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一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·红塔期末）近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·自贡期末）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·桥西期末）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排场比赛，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·遂川期末） 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·长春期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·讷河期末）若关于方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·新会期末）若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
8．（2023九上·惠州月考）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
9．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·简阳期末）已知方程的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为 ．
12．（2024九上·九龙坡期末）若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
13．（2024九上·松原期末）已知是方程的一个根，则式子的值为 ．
14．（2024九上·衡阳期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为 ．
15．（2024九上·重庆市月考）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
16．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·新会期末）关于x的一元二次方程．
（1）判断该方程根的情况，并说明理由；
（2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
18．（2024九上·五华期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？
19．（2024九上·深圳期中）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率：
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
20．（2024九上·岳麓开学考）解方程：
（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
21．（2024九上·盘州期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕．亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”共同组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表：
吉祥物价格 宸宸 琮琮
进货价（元/个） 59 66
销售价（元/个） 79 88
（1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个，求购进“宸宸”和“琮琮”各多少个；
（2）第一次购进的“宸宸”和“琮琮”售完后，该网店再次购进“宸宸”和“琮琮”共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少：
（3）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元．
22．（2024九上·封开期末）为落实“两免一补”政策，封开县2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入教育经费3600万元，已知2023年到2025年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长．
（1）求每年的平均增长率；
（2）按该平均增长率请你帮计算一下2026年封开县投入的教育经费为多少万元？
23．（2023九上·高碑店月考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元．
（1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月销售利润为 元．
（2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价．
（3）若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由．
24．（2023九上·福田月考）王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
25．（2024九上·长沙开学考）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：，则 ， ；
（2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
（3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
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一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·红塔期末）近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 设该款汽车每次降价的平均下降率是，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设该款汽车每次降价的平均下降率是，根据“ 某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元 ”列出方程即可.
2．（2024九上·自贡期末）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵于的一元二次方程有实数根，
∴，，
A. ，，，故此选项不符合题意；
B. ，，，故此选项不符合题意；
C. ，，，故此选项不符合题意；
D. ，，，，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】由根与系数的关系得，，据此逐一分析判定即可。
3．（2024九上·桥西期末）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排场比赛，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：x=9或x=-8（舍去）
故答案为：D
【分析】根据比赛的总场数=参赛队伍数×（参赛队伍数-1）÷2，代入相关数，解方程即可求出答案.
4．（2024九上·遂川期末） 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
A：，是一元二次方程，x2-x=0，符合题意
B：，a有可能等于0，则是一元一次方程，不符合题意
C：，是分式方程，不符合题意
D：，是二元二次方程，不符合题意
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义及一般式ax2+bx+c=0（a0）进行判定即可。
5．（2024九上·长春期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据题意
把 代入方程
解得b=3
故选：D
【分析】根据方程的解的意义，代入一个解到方程可求出方程中的一个未知数，则可求出原方程，解原方程或者根据韦达定理都可以求出另一个方程的解。
6．（2024·讷河期末）若关于方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 关于方程是一元二次方程，
∴m-2≠0
解之：m≠2.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），可得到关于m的不等式，然后求出m的取值范围.
7．（2025九上·新会期末）若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【解析】【解答】∵方程(x﹣4)2＝a有实数解，
∴x﹣4＝± ，
∴a≥0，
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围.
8．（2023九上·惠州月考）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
【分析】根据x2≥0得x≥0，再分情况讨论即可.
9．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
10．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·简阳期末）已知方程的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为 ．
【答案】15
【解析】【解答】设方程的两根分别为，
，
方程的两根之和等于两根之积，
解得k=6，
，
故答案为：15.
【分析】设方程的两根分别为，根据两根之和等于两根之积，求得关于k的方程，解方程得到，再利用完全平方公式进行变形即可求解.
12．（2024九上·九龙坡期末）若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】-5
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数解，
，且，
解得且，
方程，解得，
，，0，1，2，3．
有正整数解且，
∴，
，，1，2，3．
且，
，1，2．
符合条件的的值的和是．
故答案为：
【分析】根据一元二次方程的判别式并结合“关于的一元二次方程有实数解”可求出a的取值范围，根据分式方程的求解以及结合“关于的分式方程有正整数解”即可确定a的取值，加以计算即可求解。
13．（2024九上·松原期末）已知是方程的一个根，则式子的值为 ．
【答案】-4040
【解析】【解答】解：根据题意
是方程的一个根
故答案为：-4040
【分析】根据一元二次方程的根的意义，利用整体代换的思想代入m2-2m的值即可。
14．（2024九上·衡阳期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：根据题意，得：(6×矢+矢2），解得：矢=1或矢=-7（舍去）
设半径为r，弦心距为d，则：r-d=1，
∴d=r-1，
又r2=32+d2， ∴r2=32+（r-1）2，解得：r=5.
故答案为：5.
【分析】首先根据已知条件，求得矢=1，设半径为r，弦心距为d，则：r-d=1，r2=32+d2，解方程组，即可得出r=5.
15．（2024九上·重庆市月考）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
【答案】2
【解析】【解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜ 且a≠﹣1．
把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得
∵x≠﹣1，
∴ ，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【分析】由关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，可得a+1≠0且△＞0，据此求出a的范围，然后求出分式方程的解，根据此解为整数，再结合a的范围即可确定a值.
16．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：依题意，
设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，
，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，
则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，
解得
.
故答案为：3.
【分析】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·新会期末）关于x的一元二次方程．
（1）判断该方程根的情况，并说明理由；
（2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）解：方程有两个实数根．
理由∶∵关于x的一元二次方程中，
，，，
∴，
∵无论m为任意实数，，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为2．
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有两个实数根.
（2）将x=1代入方程可得m=0，设方程的另一个根为，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（1）解：方程有两个不相等的实数根．
理由∶∵关于x的一元二次方程中，
，，，
∴，
∵无论m为任意实数，，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为2．
18．（2024九上·五华期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？
【答案】（1）解：根据道路的宽为米，
根据题意得，，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米.
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让利居民，
∴，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【解析】【分析】(1)通过矩形面积公式列方程，结合实际意义舍去不合理解；(2)依据租金收入=单价×租出数量列方程，根据让利需求选较小上涨金额.
（1）解：根据道路的宽为米，
根据题意得，，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米；
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让利居民，
∴，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
19．（2024九上·深圳期中）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率：
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵尽快减少库存，
∴，
答：售价应降价3元．
【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据“到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩”列出方程，再求解即可；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据“使销售“早黑宝”每天可获利1750元”列出方程，再求解即可.
（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵尽快减少库存，
∴，
答：售价应降价3元．
20．（2024九上·岳麓开学考）解方程：
（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【答案】（1）解：x（x﹣6）＝5（6﹣x）
x（x-6）-5（6-x）=0，
（x+5）（x-6）=0，
x1＝6，x2＝﹣5
（2）解：a=2，b=-4，c=-3，
x1＝1+，x2＝1﹣
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
21．（2024九上·盘州期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕．亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”共同组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表：
吉祥物价格 宸宸 琮琮
进货价（元/个） 59 66
销售价（元/个） 79 88
（1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个，求购进“宸宸”和“琮琮”各多少个；
（2）第一次购进的“宸宸”和“琮琮”售完后，该网店再次购进“宸宸”和“琮琮”共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少：
（3）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元．
【答案】（1）解：设“宸宸”购进个，“琮琮”购进个，依题意得：
解得：
则“宸宸”购进20个，“琮琮”购进30个
（2）解：设“宸宸”购进个，则“琮琮”购进个，设销售利润为，依题意得：
随的增大而减小
解这个不等式得：
取整数
最小为55
则
则“宸宸”购进55个，“琮琮”购进25个，全部销售后，可获得最大利润1650元
（3）解：设“宸宸”降价元，则“宸宸”的售价为（79-a）元，依题意得：
整理得：
解得：
则
将销售价定为71元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元
【解析】【分析】（1）设“宸宸”购进个，“琮琮”购进个，再根据“第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个”列出方程组求解即可；
（2）设“宸宸”购进个，则“琮琮”购进个，设销售利润为，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可；
（3）设“宸宸”降价元，则“宸宸”的售价为（79-a）元，根据“使“宸宸”平均每天销售利润为288元”列出方程，再求解即可.
22．（2024九上·封开期末）为落实“两免一补”政策，封开县2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入教育经费3600万元，已知2023年到2025年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长．
（1）求每年的平均增长率；
（2）按该平均增长率请你帮计算一下2026年封开县投入的教育经费为多少万元？
【答案】（1）解：设每年平均增长的百分率为．
得方程：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：每年平均增长的百分率为20%．
（2）解：2026年该区教育经费为（万元）．
答：预计2026年该区教育经费应投入4320万元．
【解析】【分析】（1）设每年平均增长的百分率为，根据“封开县2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入教育经费3600万元”即可列出一元二次方程，从而解方程即可求解；
（2）根据（1）中的增长的百分率进行计算即可求解。
23．（2023九上·高碑店月考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元．
（1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月销售利润为 元．
（2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价．
（3）若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由．
【答案】（1）400；8000
（2）解：设降价元，每月的利润为7500元，
根据题意可得，
化简方程可得，
解得，．
商店要减少库存，
（元）．
答：头盔的销售单价为65元．
（3）解：每月的利润不能达到9000元．
理由：设降价元，每月的利润为9000元，
根据题意可得，
化简方程可得
，
原方程无解，
每月的利润不能达到9000元．
【解析】【解答】解：（1）根据题意， 每降价1元，每月多售出20顶
则降价10，可多售出顶
每月可销售顶
故第一空填：400
每顶头盔利润：80-10-50=20元
每月销售利润：顶
故第二空填：8000
【分析】（1）根据“售价-成本=利润”和“每月销售利润=每个利润每月销售数量”两个等量关系可直接计算；（2）同（1）的思路， 设降价元，每个利润为（80-x-50）元，每月销售数量为（200+20x），求解方程即可；（3）每月利润的表达式是个二次函数，当值是9000时整理成方程的一般式，如果方程有实数解，说明可以达到，反之无法达到；计算判别式的值即可得出结论。
24．（2023九上·福田月考）王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【解析】【解答】解：（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3.
【分析】（1）直接代入x=1即可得出答案；
（2）对代数式x2+10x+32 进行配方，从而得出答案；
（3）对 代数式进行配方，根据-＜0，可得该代数式的最大值.
25．（2024九上·长沙开学考）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：，则 ， ；
（2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
（3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
【答案】（1）-3；-5
（2）解：由题意，得：，，∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）解：∵，∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
【解析】【解答】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系(若一元二次方程有两个根，则两根之和等于，两根之积等于)，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可；
（3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可．
（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
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