1.6 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
知识点1 有理数乘方的意义
1.对乘积(－3)×(－3)×(－3)×(－3)记法正确的是( B )
A．－34 B．(－3)4
C．－(＋3)4 D．－(－3)4
2.(－5)6表示的意义是( A )
A．6个－5相乘的积
B．－5乘6的积
C．5个－6相乘的积
D．6个－5相加的和
3.（－）3的底数是 － ，指数是 3 ．
知识点2 有理数乘方的法则
4.下列运算结果为正数的是( D )
A．(－5)5 B．－3÷35
C．0×(－2 025)3 D．(－3)4
5.计算(－1)2 024的结果是( D )
A．－2 024 B．2 024
C．－1 D．1
6.（广西百色田东县期中）计算(－1)2 024＋(－1)2 025的结果是( C )
A．1 B．－1
C．0 D．－4 049
7.下列各对数中，数值相等的是( A )
A．－27与(－2)7
B．－32与(－3)2
C．－3×23与－32×2
D．－(－3)2与－(－2)3
8.某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则1个细胞经过2小时分裂成 16 个．
易错易混点 混淆幂的乘方的性质
9.（四川眉山洪雅县月考）下面各组数中，相等的一组是( A )
A．(－3)3与－33
B．与（）3
C．－|－2|与－(－2)
D．－2与(－2)2
10.下列各式：①－(－2)；②－|－2|；③－22；④－(－2)2，计算结果为负数的有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11.一个数的倒数和它的平方相等，则这个数是( C )
A．1或0 B．－1或0
C．1 D．0
12.21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是( C )
A．2 B．4 C．6 D．8
13.平方得16的数为 ±4 ， －2 的立方等于－8.
14.－26的底数是 2 ，运算结果是 －64 ．
15.（运算能力）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到23＝2×2×2；24＝2×2×2×2；观察上述算式，23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27；可以得到23×24＝27；类比上述式子，你能够得到：
(1)102×105＝ 107 ，a3×a5＝ a8 ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到am×an＝
am＋n （m，n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)知识运用：x·x2·x2 025＝ x2 028 ，y2n·yn+1＝
y3n+1 ；
(4)已知xa＝3，xb＝6，则xa＋b＝ 18 ．
第2课时 有理数的混合运算
知识点 有理数的混合运算
1.下列计算结果是负数的是( B )
A．(－1)×(－2)×(－3)×0
B．5×(－0.5)÷(－1.84)2
C．(－5)2＋(－6)2＋(－7)2
D．(－1.2)×|－3.75|×(－0.125)
2.给出以下几个判断，其中正确的个数是( C )
①两个有理数之和大于其中任意一个加数；②一个数的平方一定是正数；③减去一个负数，差一定大于被减数；④若m＜0＜n，则mn＜n－m.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.计算：|－3|＋(－1)2＝ 4 ．
易错易混点 不会分析题型，无法选择简便计算方法
4.简便计算：
(1)(－48)×0.125＋48×＋(－48)×；
(2)（－＋）×(－36)；
(3)99×(－36).
(1)原式＝48×（－＋－）＝0；
(2)原式＝×(－36)－×(－36)＋×(－36)＝－20＋27－2＝5；
(3)原式＝（100－）×(－36)＝100×(－36)＋（－）×(－36)＝－3 600＋＝－3 599.
5.下列算式中，与(－3)2相等的是( C )
A．－32 B．(－3)×2
C．(－3)×(－3) D．(－3)＋(－3)
6.现定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a(a－b)＋1，比如：2 5＝2×(2－5)＋1＝－5.则(－2) 3的值等于( D )
A．8 B．9 C．10 D．11
7.根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为( A )
A．4 B．－2 C．8 D．3
8.（广西贺州钟山县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则－＋2 0262×的值是 2 .
因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，所以a＋b＝0，cd＝1，所以－＋2 0262×＝－＋2 026×( 2025＋1)×＝0－2 025＋2 026×（1＋）＝－2 025＋2 026＋＝2.
9.“24”点游戏的游戏规则：用一副扑克牌，去掉大小王，从中任取4张，将抽出的数进行加减乘除四则运算，使其结果为24.如：1，2，3，4，可运算为(1＋2＋3)×4＝24.现抽3，4，6，10，用上述规则写出运算算式为 3×(4－6＋10)＝24 ．
10.（广西百色田阳县期中）在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：a★b＝(a＋b)(a－b)，例如：5★3＝(5＋3)×(5－3)＝8×2＝16，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①3★(－2)＝5；②3★2＝2★3；③若b＝0，则a★b＝a2.其中正确的结论是 ①③ ．（只填正确序号）
3★(－2)＝(3－2)×(3＋2)＝1×5＝5，则①正确；3★2＝(3＋2)×(3－2)＝5×1＝5，2★3＝(2＋3)×(2－3)＝5×(－1)＝－5，那么3★2≠2★3，则②错误；若b＝0，那么a★b＝(a＋0)(a－0)＝a2，则③正确；综上，正确的结论是①③.
11.计算：
(1)－2－1＋(－16)－(－13)；
(2)－4÷×（－）；
(3)（－）×÷(－9)；
(4)（－－＋）×(－48)；
(5)－32＋（－1）×(－2)2.
(1)－2－1＋(－16)－(－13)＝－2－1－16＋13＝－19＋13＝－6；
(2)－4÷×（－）＝－4××（－）＝；
(3)（－）×÷(－9)＝（－）××（－）＝××＝；
(4)（－－＋）×(－48)＝（－）×(－48)＋（－）×(－48)＋×(－48)＝9＋14－40＝－17；
(5)－32＋（－1）×(－2)2＝－9＋（－）×4＝－9－＝－9.
【母题P45T1】 计算：
(1)－23－3×(－1)3－(－1)4；
(2)(－2)3÷×（－）2.
(1)原式＝－8－3×(－1)－1＝－8＋3－1＝－6；
(2)原式＝－8××＝－8.
【变式1】 （广西崇左宁明县期中）计算：
(1)－12＋3×－［－－2×（－）］÷（－）；
(2)－19×(－8)＋（－19）×(－5)＋（－19）×15.
(1)－12＋3×－［－－2×（－）］÷（－）＝－1＋－（－＋）×(－5)＝－1＋－（－）×(－5)－×(－5)＝－1＋－＋2＝－＋2＝－2＋2＝0；
(2)－19×(－8)＋（－19）×(－5)＋（－19）×15＝(－8－5＋15)×（－19）＝2×（－20＋）＝2×(－20)＋2×＝－40＋＝－39.
【变式2】 （广西崇左大新县期中）计算：
(1)36×［＋（－）＋］；
(2)－12 024－（－）×［(－2)3－(－3)2］.
(1)36×［＋（－）＋］＝36×＋36×（－）＋36×＝18－8＋15＝25；
(2)－12 024－（－）×［(－2)3－(－3)2］＝
－1－×(－8－9)＝－1－×(－17)＝－1＋＝.
12.（运算能力）综合与实践：
用“△”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有a△b＝a2×b；当a＞b时，都有a△b＝a×b2.
(1)求2△6的值．
(2)定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求(－1)△(－3)和(－3)△(－1)的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足 乘法交换律 .（填运算律）
(1)因为当a≤b时，a△b＝a2×b，
所以2△6＝22×6＝4×6＝24；
(2)①因为当a≤b时，a△b＝a2×b；当a＞b时，a△b＝a×b2，
所以(－1)△(－3)＝(－1)×(－3)2＝－9；
(－3)△(－1)＝(－3)2×(－1)＝－9.
②这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律．
故答案为乘法交换律．
13.（运算能力）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算※，叫‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算的运算法则进行运算的算式：
(＋3)※(＋6)＝(＋9)；
(＋5)※(－3)＝(－8)；
(－2)※(＋4)＝(－6)；
(－4)※(－3)＝(＋7)；
0※(＋8)＝8；
(－6)※0＝6.
根据上述材料，回答下列问题：
(1)归纳“※”运算的运算法则：两数进行“※”运算时， 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 ；
特别地，0和任何数进行“※”运算，或任何数和0进行“※”运算， 都等于这个数的绝对值 ；
(2)计算(－7)※［0※(－2)］＝ －9 ；
(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“※”是否具有交换律？并举例验证你的结论（写出一个例子即可）.
(1)由题意，可得
归纳“※”运算的运算法则：两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行“※”运算，或任何数和0进行“※”运算，都等于这个数的绝对值．
故答案为同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都等于这个数的绝对值；
(2)(－7)※［0※(－2)］＝(－7)※2＝－9.故答案为－9.
(3)因为(＋3)※(＋6)＝(＋9)，(＋6)※(＋3)＝(＋9)，所以(＋3)※(＋6)＝(＋6)※(＋3)，可知这种新运算“※”具有交换律．
第3课时 科学记数法
知识点1 用科学记数法表示绝对值较大的数
1.（广西南宁期末）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月17日在珠海圆满闭幕．在为期六天的展览中，吸引了近590 000人参观.数据590 000用科学记数法表示为( B )
A．0.59×106 B．5.9×105
C．59×104 D．590×103
2.（广西崇左宁明县期中）北斗系统是由GEO卫星、IGSO卫星和MEO卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，MEO卫星的轨道高度约为21 500 000米，将21 500 000用科学记数法表示应为( B )
A．0.215×108 B．2.15×107
C．21.5×106 D．215×105
3.（广西梧州万秀区月考）著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218 000 000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218 000 000用科学记数法表示为( B )
A．0.218×109 B．2.18×108
C．2.18×109 D．218×106
4.（广西贺州八步区期中）地球距月球大约为38.4万千米，将38.4万用科学记数法表示为 3.84×
105 ．
知识点2 求用科学记数法表示的数的原数
5.长城的总长用科学记数法表示约为6.7×106米，则它的原数为( B )
A．670 000米 B．6 700 000米
C．67 000 000米 D．670 000 000米
6.（广西百色右江区期中）若一个整数12 500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为( B )
A．5 B．8 C．9 D．10
7.某数用科学记数法表示为－1.96×104，则它的原数是( D )
A．0.000 196 B．－1 960
C．196 000 D．－19 600
8.地球赤道的周长约是4.021×107 m，还原这个数据为 40 210 000 m．
易错易混点 用科学记数法表示数时，数位出错
9.（广西崇左江州市月考）地球绕自转轴自西向东转动，赤道的线速度约是1 668 km/h，声音在空气中的传播速度约是340 m/s，试比较这两个速度的大小．
1 668 km/h＝m/s≈463 m/s.
因为463＞340，所以，地球自转赤道的线速度大于声音在空气中的传播速度．
10.（广西崇左大新县期中）地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，将149 600 000用科学记数法表示应为( C )
A．1 496×103 B．14.96×102
C．1.496×108 D．0.149 6×109
11.（广西梧州藤县期中）我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一，据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有3×1011元的国内生产总值，数据3×1011可以表示为( C )
A．30亿 B．300亿
C．3 000亿 D．30 000亿
12.“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位.1天文单位用科学记数法表示为1.496×108千米，这个数也可以写成 1.496 亿千米．
13.（广西百色右江区月考）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
(1)9.6×105；
(2)6.03×108.
(1)9.6×105＝960 000；(2)6.03×108＝603 000 000.
【母题P47T6】用科学记数法表示下列数：
(1)地球的半径约为6 400 000 m；
(2)青藏铁路中从青海西宁到西藏拉萨的铁路全长约1 956 000 m；
(3)长江每年流入大海的淡水约10 000亿立方米；
(4)卧龙国家级自然保护区总面积约200 000 hm2；
(5)马拉松长跑全程约42 195 m.
(1)6.4×106；(2)1.956×106；(3)1×1012；(4)2×105；(5)4.219 5×104.
【变式】 光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是多少米？
3×108×5×102＝1.5×1011（米），
答：地球与太阳的距离约是1.5×1011米．
14.（运算能力）已知10×102＝1 000＝103，
102×102＝10 000＝104，
102×103＝100 000＝105.
(1)猜想106×104＝ 1010 ，10m×10n＝ 10m＋n （m，n均为正整数）.
(2)运用上述猜想计算下列式子：
①(1.5×104)×(1.2×105)；
②(－6.4×103)×(2×106).
(1)106×104＝1010，10m×10n＝10m＋n；
(2)①(1.5×104)×(1.2×105)＝(1.5×1.2)×(104×105)＝1.8×109；
②(－6.4×103)×(2×106)＝(－6.4×2)×(103×106)＝－12.8×109＝－1.28×1010.1.6 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
知识点1 有理数乘方的意义
1.对乘积(－3)×(－3)×(－3)×(－3)记法正确的是( )
A．－34 B．(－3)4
C．－(＋3)4 D．－(－3)4
2.(－5)6表示的意义是( )
A．6个－5相乘的积
B．－5乘6的积
C．5个－6相乘的积
D．6个－5相加的和
3.（－）3的底数是 ，指数是 ．
知识点2 有理数乘方的法则
4.下列运算结果为正数的是( )
A．(－5)5 B．－3÷35
C．0×(－2 025)3 D．(－3)4
5.计算(－1)2 024的结果是( )
A．－2 024 B．2 024
C．－1 D．1
6.（广西百色田东县期中）计算(－1)2 024＋(－1)2 025的结果是( )
A．1 B．－1
C．0 D．－4 049
7.下列各对数中，数值相等的是( )
A．－27与(－2)7
B．－32与(－3)2
C．－3×23与－32×2
D．－(－3)2与－(－2)3
8.某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则1个细胞经过2小时分裂成 个．
易错易混点 混淆幂的乘方的性质
9.（四川眉山洪雅县月考）下面各组数中，相等的一组是( )
A．(－3)3与－33
B．与（）3
C．－|－2|与－(－2)
D．－2与(－2)2
10.下列各式：①－(－2)；②－|－2|；③－22；④－(－2)2，计算结果为负数的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11.一个数的倒数和它的平方相等，则这个数是( )
A．1或0 B．－1或0
C．1 D．0
12.21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
13.平方得16的数为 ， 的立方等于－8.
14.－26的底数是 ，运算结果是 ．
15.（运算能力）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到23＝2×2×2；24＝2×2×2×2；观察上述算式，23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27；可以得到23×24＝27；类比上述式子，你能够得到：
(1)102×105＝ ，a3×a5＝ ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到am×an＝
（m，n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)知识运用：x·x2·x2 025＝ ，y2n·yn+1＝
；
(4)已知xa＝3，xb＝6，则xa＋b＝ ．
第2课时 有理数的混合运算
知识点 有理数的混合运算
1.下列计算结果是负数的是( )
A．(－1)×(－2)×(－3)×0
B．5×(－0.5)÷(－1.84)2
C．(－5)2＋(－6)2＋(－7)2
D．(－1.2)×|－3.75|×(－0.125)
2.给出以下几个判断，其中正确的个数是( )
①两个有理数之和大于其中任意一个加数；②一个数的平方一定是正数；③减去一个负数，差一定大于被减数；④若m＜0＜n，则mn＜n－m.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.计算：|－3|＋(－1)2＝ ．
易错易混点 不会分析题型，无法选择简便计算方法
4.简便计算：
(1)(－48)×0.125＋48×＋(－48)×；
(2)（－＋）×(－36)；
(3)99×(－36).
5.下列算式中，与(－3)2相等的是( )
A．－32 B．(－3)×2
C．(－3)×(－3) D．(－3)＋(－3)
6.现定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a(a－b)＋1，比如：2 5＝2×(2－5)＋1＝－5.则(－2) 3的值等于( )
A．8 B．9 C．10 D．11
7.根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为( )
A．4 B．－2 C．8 D．3
8.（广西贺州钟山县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则－＋2 0262×的值是 .
9.“24”点游戏的游戏规则：用一副扑克牌，去掉大小王，从中任取4张，将抽出的数进行加减乘除四则运算，使其结果为24.如：1，2，3，4，可运算为(1＋2＋3)×4＝24.现抽3，4，6，10，用上述规则写出运算算式为 ．
10.（广西百色田阳县期中）在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：a★b＝(a＋b)(a－b)，例如：5★3＝(5＋3)×(5－3)＝8×2＝16，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①3★(－2)＝5；②3★2＝2★3；③若b＝0，则a★b＝a2.其中正确的结论是 ．（只填正确序号）
11.计算：
(1)－2－1＋(－16)－(－13)；
(2)－4÷×（－）；
(3)（－）×÷(－9)；
(4)（－－＋）×(－48)；
(5)－32＋（－1）×(－2)2.
【母题P45T1】 计算：
(1)－23－3×(－1)3－(－1)4；
(2)(－2)3÷×（－）2.
【变式1】 （广西崇左宁明县期中）计算：
(1)－12＋3×－［－－2×（－）］÷（－）；
(2)－19×(－8)＋（－19）×(－5)＋（－19）×15.
【变式2】 （广西崇左大新县期中）计算：
(1)36×［＋（－）＋］；
(2)－12 024－（－）×［(－2)3－(－3)2］.
12.（运算能力）综合与实践：
用“△”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有a△b＝a2×b；当a＞b时，都有a△b＝a×b2.
(1)求2△6的值．
(2)定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求(－1)△(－3)和(－3)△(－1)的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足 .（填运算律）
13.（运算能力）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算※，叫‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算的运算法则进行运算的算式：
(＋3)※(＋6)＝(＋9)；
(＋5)※(－3)＝(－8)；
(－2)※(＋4)＝(－6)；
(－4)※(－3)＝(＋7)；
0※(＋8)＝8；
(－6)※0＝6.
根据上述材料，回答下列问题：
(1)归纳“※”运算的运算法则：两数进行“※”运算时， ；
特别地，0和任何数进行“※”运算，或任何数和0进行“※”运算， ；
(2)计算(－7)※［0※(－2)］＝ ；
(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“※”是否具有交换律？并举例验证你的结论（写出一个例子即可）.
第3课时 科学记数法
知识点1 用科学记数法表示绝对值较大的数
1.（广西南宁期末）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月17日在珠海圆满闭幕．在为期六天的展览中，吸引了近590 000人参观.数据590 000用科学记数法表示为( )
A．0.59×106 B．5.9×105
C．59×104 D．590×103
2.（广西崇左宁明县期中）北斗系统是由GEO卫星、IGSO卫星和MEO卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，MEO卫星的轨道高度约为21 500 000米，将21 500 000用科学记数法表示应为( )
A．0.215×108 B．2.15×107
C．21.5×106 D．215×105
3.（广西梧州万秀区月考）著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218 000 000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218 000 000用科学记数法表示为( )
A．0.218×109 B．2.18×108
C．2.18×109 D．218×106
4.（广西贺州八步区期中）地球距月球大约为38.4万千米，将38.4万用科学记数法表示为 3.84×
105 ．
知识点2 求用科学记数法表示的数的原数
5.长城的总长用科学记数法表示约为6.7×106米，则它的原数为( )
A．670 000米 B．6 700 000米
C．67 000 000米 D．670 000 000米
6.（广西百色右江区期中）若一个整数12 500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为( )
A．5 B．8 C．9 D．10
7.某数用科学记数法表示为－1.96×104，则它的原数是( )
A．0.000 196 B．－1 960
C．196 000 D．－19 600
8.地球赤道的周长约是4.021×107 m，还原这个数据为 m
易错易混点 用科学记数法表示数时，数位出错
9.（广西崇左江州市月考）地球绕自转轴自西向东转动，赤道的线速度约是1 668 km/h，声音在空气中的传播速度约是340 m/s，试比较这两个速度的大小．
10.（广西崇左大新县期中）地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，将149 600 000用科学记数法表示应为( )
A．1 496×103 B．14.96×102
C．1.496×108 D．0.149 6×109
11.（广西梧州藤县期中）我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一，据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有3×1011元的国内生产总值，数据3×1011可以表示为( )
A．30亿 B．300亿
C．3 000亿 D．30 000亿
12.“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位.1天文单位用科学记数法表示为1.496×108千米，这个数也可以写成 亿千米．
13.（广西百色右江区月考）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
(1)9.6×105；
(2)6.03×108.
【母题P47T6】用科学记数法表示下列数：
(1)地球的半径约为6 400 000 m；
(2)青藏铁路中从青海西宁到西藏拉萨的铁路全长约1 956 000 m；
(3)长江每年流入大海的淡水约10 000亿立方米；
(4)卧龙国家级自然保护区总面积约200 000 hm2；
(5)马拉松长跑全程约42 195 m.
【变式】 光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是多少米？
14.（运算能力）已知10×102＝1 000＝103，
102×102＝10 000＝104，
102×103＝100 000＝105.
(1)猜想106×104＝ ，10m×10n＝ （m，n均为正整数）.
(2)运用上述猜想计算下列式子：
①(1.5×104)×(1.2×105)；
②(－6.4×103)×(2×106).
