3.1 方程
知识点1 方程
1.下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2＋x－2＝0；④＋2＝0；⑤3x－2；⑥x－y＝0；是方程的有( B )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.语句“x的3倍比y的大7”用方程表示为 3x－y＝7 ．
3.若单项式3acx+2与－7ac2x-1是同类项，可以得到关于x的方程为 x＋2＝2x－1 ．
知识点2 方程的解
4.下列方程中，解为x＝－2的方程是( B )
A．2x＋5＝1－x B．3－2(x－1)＝7－x
C．x－2＝－2－x D．1－x＝x
5.已知x＝2是关于x的方程3x＋a＝0的解，则a的值是( A )
A．－6 B．－3 C．－4 D．－5
6.下列说法正确的有( C )
①等式都是方程；
②方程都是等式；
③x＝－2是方程3－2x＝7的解；
④x＝3是方程3x＋2＝11的解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.x＝3和x＝－6中， x＝－6 是方程x－3(x＋2)＝6的解．
知识点3 等式的基本性质
8.已知方程x－2y＋3＝8，则整式x－2y的值为( A )
A．5 B．10 C．12 D．15
9.若等式x＝y可以变形为＝，则有( C )
A．a＞0 B．a＜0
C．a≠0 D．a为任意有理数
10.下列等式变形不正确的是( D )
A．由x＝y，得到x＋2＝y＋2
B．由2a－3＝b－3，得到2a＝b
C．由m＝n，得到2am＝2an
D．由am＝an，得到m＝n
11.在等式3a－5＝2a＋6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a＝11，则这个多项式是 2a－5 ．
知识点4 利用等式的性质解一元一次方程
12.（广西百色隆林县月考）利用等式的性质解方程2(t－3)＋3＝1.
2(t－3)＋3＝1，
两边同时减去3，得：2(t－3)＋3－3＝1－3，
即2(t－3)＝－2，两边同时除以2，得：t－3＝－1，
两边同时加上3，得：t＝－1＋3＝2，
则t＝2是方程的解．
易错易混点 错误使用等式的基本性质
13.（广西贺州平桂区月考）已知t＝（a，b是常数，x≠－a）.
(1)若a＝－2，b＝，求t的值；
(2)试将等式变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
(3)若t的取值与x无关，请说明ab＝－1.
(1)当a＝－2，b＝时，t＝＝＝
；
(2)将t＝两边都乘(x＋a)，得t(x＋a)＝bx－1，
所以tx＋ta＝bx－1，所以tx－bx＝－1－ta，
等式两边都乘以－1得，bx－tx＝ta＋1，
即(b－t)x＝ta＋1，所以A＝b－t，B＝ta＋1；
(3)因为t的取值与x无关，所以b－t＝0，即b＝t，
所以ta＋1＝0，即ab＋1＝0，所以ab＝－1.
14.（广西贺州八步区月考）若方程(m－1)·x|2-m|＋7＝0是关于x的一元一次方程，则( A )
A．m＝3 B．m＝1或3
C．m＝1 D．m＝0
因为方程(m－1)x|2-m|＋7＝0是关于x的一元一次方程，所以|2－m|＝1且m－1≠0，解得m＝3.
15.（广西崇左江州市模拟）已知方程(a－2)x|a-1|＋4＝0 是关于x的一元一次方程，则该方程的解为( C )
A．－2 B．0 C．2 D．2或－2
因为方程(a－2)x|a-1|＋4＝0是关于x的一元一次方程，所以a－2≠0且|a－1|＝1，所以a＝0，方程为－2x＋4＝0，解得x＝2.
16.（广西百色隆林县月考）下列等式变形：①若a＝b，则a＋x＝b＋x；②若ax＝－ay，则x＝－y；③若4a＝3b，则4a－3b＝1；④若＝，则4a＝3b；⑤若＝，则2x＝3y.其中一定正确的是 ①④⑤ （填正确的序号）.
①若a＝b，则a＋x＝b＋x，变形正确；②若ax＝－ay，且a≠0时，则x＝－y，变形不正确；③若4a＝3b，则4a－3b＝0，变形不正确；④若＝，则4a＝3b，变形正确；⑤若＝，则2x＝3y，变形正确．
17.（广西崇左天等县月考）观察以下等式：
①9×9＝81＝(9－1)×10＋(10－9)；
②9×8＝72＝(8－1)×10＋(10－8)；
③9×7＝63＝(7－1)×10＋(10－7)；
…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请再写出一个等式： 9×6＝54＝(6－1)×10＋(10－6)（答案不唯一） ．
(2)数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是： 9 ；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，你能解释这个魔术的原理吗？
(1)由题意可得等式，9×6＝54＝(6－1)×10＋(10－6).
(2)①取数字92，由题意得92－9－2＝81，8＋1＝9，
所以王老师猜的结果是：9；
②由题意，得10a＋b－a－b＝9a＝10(a－1)＋(10－a)，
所以(a－1)＋(10－a)＝a－1＋10－a＝9，所以这个魔术的结果是9.
【母题P87T2】根据等式的基本性质解下列方程，并检验：
(1)5x－7＝8；(2)27＝7＋4x；
(3)＝x－.
(1)因为5x－7＝8，所以5x－7＋7＝8＋7，
所以5x＝15，所以x＝3.
(2)因为27＝7＋4x，所以27－7＝7＋4x－7，
所以20＝4x，所以5＝x.所以x＝5.
(3)因为＝x－，所以＋＝x－＋，
所以＝x，所以2＝x.所以x＝2.
【变式1】 利用等式的性质解方程2(t－3)＋3＝1.
2(t－3)＋3＝1，
两边同时减去3，得2(t－3)＋3－3＝1－3，
即 2(t－3)＝－2，
两边同时除以2，得t－3＝－1，
两边同时加上3，得t＝－1＋3＝2；
则t＝2是方程的解．
【变式2】老师在黑板上写了一个等式：(a＋3)x＝4(a＋3).王聪说x＝4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．
王聪说x＝4，不正确，
理由：当a＋3＝0时，x为任意实数；
刘敏说法正确，
理由：当a＋3＝0时，x为任意实数，当x≠4时，这个等式也可能成立．
18.（运算能力）观察下列两个等式：1－＝2×1×－1，2－＝2×2×－1，给出定义如下：我们称使等式a－b＝2ab－1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为(a，b)，如：数对（1，），（2，）都是“同心有理数对”．
(1)数对(－2，1)，（3，）是“同心有理数对”的是
（3，） ；
(2)若(a，3)是“同心有理数对”，求a的值；
(3)若(m，n)是“同心有理数对”，则(－n，－m) 是
“同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
(1)因为－2－1＝－3，2×(－2)×1－1＝－5，－3≠－5，
所以数对(－2，1)不是“同心有理数对”；
因为3－＝，2×3×－1＝，
所以3－＝2×3×－1，所以（3，）是“同心有理数对”，
所以数对(－2，1)，（3，）是“同心有理数对”的是（3，）；
(2)因为(a，3)是“同心有理数对”．
所以a－3＝6a－1，所以a＝－；
(3)因为(m，n)是“同心有理数对”，所以m－n＝2mn－1.
所以－n－(－m)＝－n＋m＝m－n＝2mn－1，所以(－n，－m)是“同心有理数对”．3.1 方程
知识点1 方程
1.下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2＋x－2＝0；④＋2＝0；⑤3x－2；⑥x－y＝0；是方程的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.语句“x的3倍比y的大7”用方程表示为 ．
3.若单项式3acx+2与－7ac2x-1是同类项，可以得到关于x的方程为 ．
知识点2 方程的解
4.下列方程中，解为x＝－2的方程是( )
A．2x＋5＝1－x B．3－2(x－1)＝7－x
C．x－2＝－2－x D．1－x＝x
5.已知x＝2是关于x的方程3x＋a＝0的解，则a的值是( )
A．－6 B．－3 C．－4 D．－5
6.下列说法正确的有( )
①等式都是方程；
②方程都是等式；
③x＝－2是方程3－2x＝7的解；
④x＝3是方程3x＋2＝11的解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.x＝3和x＝－6中， 是方程x－3(x＋2)＝6的解．
知识点3 等式的基本性质
8.已知方程x－2y＋3＝8，则整式x－2y的值为( )
A．5 B．10 C．12 D．15
9.若等式x＝y可以变形为＝，则有( )
A．a＞0 B．a＜0
C．a≠0 D．a为任意有理数
10.下列等式变形不正确的是( )
A．由x＝y，得到x＋2＝y＋2
B．由2a－3＝b－3，得到2a＝b
C．由m＝n，得到2am＝2an
D．由am＝an，得到m＝n
11.在等式3a－5＝2a＋6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a＝11，则这个多项式是 ．
知识点4 利用等式的性质解一元一次方程
12.（广西百色隆林县月考）利用等式的性质解方程2(t－3)＋3＝1.
易错易混点 错误使用等式的基本性质
13.（广西贺州平桂区月考）已知t＝（a，b是常数，x≠－a）.
(1)若a＝－2，b＝，求t的值；
(2)试将等式变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
(3)若t的取值与x无关，请说明ab＝－1.
14.（广西贺州八步区月考）若方程(m－1)·x|2-m|＋7＝0是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝3 B．m＝1或3
C．m＝1 D．m＝0
15.（广西崇左江州市模拟）已知方程(a－2)x|a-1|＋4＝0 是关于x的一元一次方程，则该方程的解为( )
A．－2 B．0 C．2 D．2或－2
16.（广西百色隆林县月考）下列等式变形：①若a＝b，则a＋x＝b＋x；②若ax＝－ay，则x＝－y；③若4a＝3b，则4a－3b＝1；④若＝，则4a＝3b；⑤若＝，则2x＝3y.其中一定正确的是 （填正确的序号）.
17.（广西崇左天等县月考）观察以下等式：
①9×9＝81＝(9－1)×10＋(10－9)；
②9×8＝72＝(8－1)×10＋(10－8)；
③9×7＝63＝(7－1)×10＋(10－7)；
…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请再写出一个等式： ．
(2)数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是： ；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，你能解释这个魔术的原理吗？
【母题P87T2】根据等式的基本性质解下列方程，并检验：
(1)5x－7＝8；(2)27＝7＋4x；
(3)＝x－.
【变式1】 利用等式的性质解方程2(t－3)＋3＝1.
【变式2】老师在黑板上写了一个等式：(a＋3)x＝4(a＋3).王聪说x＝4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．
18.（运算能力）观察下列两个等式：1－＝2×1×－1，2－＝2×2×－1，给出定义如下：我们称使等式a－b＝2ab－1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为(a，b)，如：数对（1，），（2，）都是“同心有理数对”．
(1)数对(－2，1)，（3，）是“同心有理数对”的是
；
(2)若(a，3)是“同心有理数对”，求a的值；
(3)若(m，n)是“同心有理数对”，则(－n，－m)
“同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
