山西省三区八校2017届高三暑假末结业考试数学试题

山西省古县、离石区、高县三区（县）八校高三暑假末结业考试数学试卷
考生请注意：
1.本卷文理合卷，作答前看清题旨。作答前请将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和合题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题上意上对应的答题区域内。写在试题卷发、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答
( http: / / www.21cnjy.com )题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和合题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷
选择题
一、选择题：本题共12小题，每题5分；共60分。在每题所给的四个选项中，只有一个为最佳项。
1、（文）已知全集R，集合M={x|x＞1}，N={x||x|≤2}，则（ RM）∩N等于（
C
）
A．（﹣2，1]
B．[﹣2，1）
C．[﹣2，1]
D．[1，2]
1、（理）用表示三个数中的最小值，设（）,则的最大值为（ B ）

A.7


B.6

C.5

D.
4
2、（文）命题，；命题，；
则下列命题中真命题是（
A
）
A．
B．
C．
D．
2、（理）“”是“函数的减区间是”的（ B ）
A.充分非必要条件． 　

B.必要非充分条件．
C.充要条件． 　
　
D.既非充分又非必要条件．
3、（文）设 a，b，c∈R，且a＞b，则（　C　）
A．＜
B．a2＞b2
C．a﹣c＞b﹣c
D．ac＞bc
3、（理）若a、b为实数, 且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ C ）
A．18

B． 2
C．6


D．2
4、如右图所示,程序执行后的输出结果为( A
)
A.
B.1
C.2
D.3
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5、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （ D ）
A．

B．
C．
D．
6、设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ A ）
A. 第一象限　　
B. 第二象限　　
C．第三象限
D.第四象限
7、已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（
B
）
A．2
B．6
C．4 D．2
8、一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（ C ）
A．抽签抽样
B．分层抽样
C．系统抽样
D．随机抽样
9、若动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为 （ D
）
A.
B. 2

C.

D
10、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是 （ A ）
A. 　　　　　　　
B.
C. 　　　　　　　　 D.
11、已知，记数列的前项之积为，则的值为(　B　)
A．－

B．－1
C.


D．2
12、已知椭圆，过右焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于两点，的垂直平分线交轴于，则等于（ A ）
A．
B．

C．
D．
第II卷
非选择题
二、填空题：4小题，每题5分，共20分。
13、（文）已知非零向量、满足，那么向量与向量的夹角为____90°___.
13、（理）已知点是重心,,若,则的最小值是________.
14、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象关于点_______对称。
15、若定义域为R的奇函数，则下列结论：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数，且2个它的一个周期；
④在区间（—1，1）上是单调函数，其中正确结论的序号是 ②③ 。（填上你认为所有正确结论的序号）
16、已知直线，则____24 。
三、综合题：70分。
17、在中，角的对边分别为，且满足。
（1）求角的大小；
（2）设，试求的最小值。
17、解：（1），
由正弦定理得：……………1分
,
化为
,……………3分
,得，……………5分
(2) ……………6分
…………9分
.从而……………10分
取得最小值，
所以，的最小值为。 ---------12分

18、（文）（本大题满分12分）
甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：
甲： 78
76
74
90
82
乙： 90
70
75
85
80
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由。
18、解：（1）略………………………………………3分


（2）从甲乙两人得成绩各随机抽取一个，所有情况如下：
（78，90） （78，70） （78，75） （78，85） （78，80）
（76，90） （76，70） （76，75） （76，85） （76，80）
（74，90） （74，70） （74，75） （74，85） （74，80）
（90，90） （90，70） （90，75）
（90，85） （90，80）
（82，90） （82，70） （82，75） （82，85） （82，80）
共有25种
而甲大于乙的情况有12种，. ……………………………………8分
（3），，而，
，，选甲参加更合适。…………………………………………………12分
18、（理）（本大题满分12分）
008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中
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福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只。
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；依此类推。设表示所得的分数，求的分布列和期望值。
18、解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
————————————4分
（2）的取值为100，80，60，40.—————————6分


.
X的分布列为
X
100
80
60
40
P
———————12分

19、（本大题满分12分）
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
19、方法一：（Ⅰ）证明：
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（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE
∵△VAD是正三角形
∴AE⊥VD，AE=AD
∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE
又由三垂线定理知BE⊥VD
因此，是所求二面角的平面角
于是，，
即得所求二面角的大小为
方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。
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（Ⅰ）证明：不妨设，则，
由，得⊥
又，因而与平面内两条相交直线都垂直。
∴⊥平面
（Ⅱ）解：设为中点，则
由，得，又
因此，是所求二面角的平面角。
∵∴解得所求二面角的大小为
20、（本大题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
解：（1）由，得
又由点M在准线上，得 ……………1分
故， 从而 ……………2分
所以椭圆方程为 ……………3分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………5分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离 ……………7分
所以，解得
所求圆的方程为 ……………9分
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN：
……………10分
由
( http: / / www.21cnjy.com )得
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所以线段ON的长为定值。 ……………12分
方法二、设，则
又
所以，为定值。
21、（本大题满分12分）
已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调性。
21、（Ⅰ）当时，，，此时点，，
切线的斜率，切线方程为：，即
（Ⅱ）由题意知：的定义域为。

令
1） 当，即时，
即为的单调递增函数；
2） 当，即时，此时有两个根：

① 若时，
② 若时，当
当
综上可知：1）当时，为的单调递增函数；
2）当时，的减区间是，
增区间是
选考题
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑。
22．选修
4-1：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且，求证：
（1）；
（2）．
23．
选修
4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于A、B两点．
（1）求的值；
（2）求点到A、B两点的距离之积．
24．
选修
4-5：不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为，点，，
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求t的最小值．
22.（1）证明：连接AD，在中
( http: / / www.21cnjy.com )
又∽
则
（2）在中，
又
四点共圆；
又是⊙的直径，则，
23.（1）曲线的普通方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，
,则的普通方程为，
则的参数方程为：
( http: / / www.21cnjy.com )为参数），代入得，
( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）
( http: / / www.21cnjy.com ).
24.（1）由定义得，即，两边平方得，
解得；
（2）当时，不等式恒成立，也就是恒成立，
法一：函数
令，所以，
要使原不等式恒成立只要即可，故.
法二：三角不等式性质
因为，所以，.