3.2 一元一次方程及其解法
第1课时 利用移项、去括号解一元一次方程
知识点1 一元一次方程的概念
1.下列方程为一元一次方程的是( )
A．y＋3＝0 B．x＋2y＝3
C．x2＝2x D．＋y＝2
2.若(n－3)x|n-2|＝6是关于x的一元一次方程，则n的值是( )
A．1 B．任何数
C．3 D．1或3
3.下列各式中：①x＋3＝5－x；②－5－4＝－9；③3x2－2x＝4x；④x＝5，是一元一次方程的有 .（写出对应的序号）
知识点2 利用移项解一元一次方程
4.方程2－3x＝4－2x的解是( )
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝2 D．x＝－1
5.代数式a－2与1－2a的值相等，则a等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点3 利用去括号解一元一次方程
6.解方程3－5(x＋2)＝x，去括号正确的是( )
A．3－x＋2＝x B．3－5x－10＝x
C．3－5x＋10＝x D．3－x－2＝x
7.解方程2x＋3(2x－1)＝16－(x＋1)的第一步应是( )
A．去分母 B．去括号
C．移项 D．合并同类项
8.如果2(x＋3)的值与3(1－x)的值互为相反数，那么x＝ ．
易错易混点 解方程时去括号出现符号错误
9.（广西贺州平桂区月考）解方程：
2(x－2)－6(x－1)＝3(1－x).
10.（广西贺州八步区模拟）如果3ab2m-1与9abm+2是同类项，那么m等于( )
A．3 B．1 C．－1 D．0
11.定义“*”运算为a*b＝ab＋2a，若(3*x)＋(x*3)＝
14，则x＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
12.在梯形面积公式S＝(a＋b)h中，当S＝16，a＝3，h＝4时，b的值为 ．
13.如果关于x的方程3x＋(2a＋1)＝x－6(3a＋2)的解是x＝0，那么a的值等于 ．
【母题P100T3】 解下列方程：
(1)5x＋21＝7－2x；
(2)2x－＝－x＋2；
(3)0.5(m＋8)－0.6(2m－7)＝1.9；
(4)3(2y＋1)＝2(1＋y)＋3(y＋3).
【变式1】 解方程：4－(x＋3)＝2(x－1).
【变式2】 （广西贺州昭平县模拟）解方程：3x－7(x－1)＝3－2(x＋3).
14.（运算能力）已知关于x的一元一次方程(k－2 023)x－2 024＝7－2 025(x＋1)，其中k为常数．
(1)若x＝－1是该方程的解，求k的值；
(2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值．
15.（运算能力）【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“友好方程”，例如，方程2x＝－4的解为x＝－2，因为a＝2，b＝－4，所以有－2＝－4＋2，即x＝b＋a，则方程2x＝－4为“友好方程”．
【运用】
(1)①3x＝－4.5，②x＝－1，③－2x＝4三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）；
(2)若关于x的一元一次方程4x＝b是“友好方程”，求b的值；
(3)若关于x的一元一次方程－3x＝mn＋n(n≠0)是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值．
第2课时 利用去分母解一元一次方程
知识点1 去分母解方程
1.解方程－1＝时，为了去分母应将方程两边同时乘以( )
A．12 B．10 C．9 D．4
2.解方程－＝1，去分母正确的是( )
A．1－(x－1)＝1 B．2－3(x－1)＝6
C．2－3(x－1)＝1 D．3－2(x－1)＝6
3.（广西期中）下列选项正确的是( )
A．方程－＝1去分母，得2(3－2x)－3(x－2)＝1
B．方程3x＋8＝－4x－7移项，得3x＋4x＝－7＋8
C．方程7(3－x)－5(x－3)＝8去括号，得21－7x－5x＋15＝8
D．方程x＝系数化为1，得x＝1
知识点2 去分母解一元一次方程的简单应用
4.若和互为相反数，则x的值是( )
A．－9 B．9 C．－8 D．8
5.（广西百色田阳县月考）若关于x的一元一次方程x＋4＝3x＋b的解为x＝－3，则关于y的一元一次方程(y－1)＋4＝3(y－1)＋b的解为( )
A．y＝1 B．y＝－1
C．y＝－2 D．y＝－3
6.如果比的值多1，那么2－a的值为 ．
易错易混点 去分母解方程时漏乘常数项或系数为整数项
7.（广西崇左扶绥县月考）解方程：
(1)－＝－2；
(2)1－＝－x.
8.（广西贺州昭平县月考）把方程－1＝的分母化成整数后，可得方程( )
A．－1＝
B．－1＝
C．－10＝
D．－1＝
9.关于x的方程－a＝＋的解为x＝33，则实数a的值为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
10.如果5x－8＝3x－4的解与关于x的方程＝1＋的解互为相反数，那么a＝ ．
【母题P101T1】 解下列方程：
(1)－＝0；
(2)y－＝－；
(3)（x－）－(x＋5)＝0；
(4)＝.
【变式】 解方程：
(1)＝＋1；(2)－＝3.
11.（运算能力）小米解方程5－＝的过程如下：
解：去分母，方程两边都乘以10，得5－2(10x－21)＝3x，①
去括号，得5－20x－42＝3x，②
移项，合并同类项，得－23x＝37，③
系数化为1，得x＝－，④
所以原方程的解是x＝－.
(1)请你指出小米解答过程中的错误步骤；
(2)请写出正确的解答过程．
一元一次方程的解法
思路1 一元一次方程的常规解法
一、用移项、合并同类项解方程
1.(1)4－3x＝6－5x；
(2)6＋2x＝14－3x（写出检验过程）.
二、用去括号解方程
2.(1)4(y＋4)＝3－5(7－2y)；
(2)3x－7(x－1)＝3－2(x＋3).
三、用去分母解方程
3.(1)－＝1；
(2)－＝－1.
思路2 一元一次方程的特殊解法
一、巧去括号
4.(1)［（－1）－3］－2x＝3；
(2)［（－1）－2］－x＝2.
二、巧用分数的基本性质
5.(1)－＝1；
(2)－＝0.75.
思路3 利用一元一次方程解答
6.若“※”是新规定的某种运算符号，即x※y＝x4＋y，则(－1)※k＝6中k的值为( )
A．－3 B．3 C．－5 D．5
7.若(m＋2)2＋|3－n|＝0，则(m＋n)2 024＝ ．
8.已知代数式6x－12与4＋2x的值互为相反数，求x的值．3.2 一元一次方程及其解法
第1课时 利用移项、去括号解一元一次方程
知识点1 一元一次方程的概念
1.下列方程为一元一次方程的是( A )
A．y＋3＝0 B．x＋2y＝3
C．x2＝2x D．＋y＝2
2.若(n－3)x|n-2|＝6是关于x的一元一次方程，则n的值是( A )
A．1 B．任何数
C．3 D．1或3
3.下列各式中：①x＋3＝5－x；②－5－4＝－9；③3x2－2x＝4x；④x＝5，是一元一次方程的有 ①④ .（写出对应的序号）
知识点2 利用移项解一元一次方程
4.方程2－3x＝4－2x的解是( B )
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝2 D．x＝－1
5.代数式a－2与1－2a的值相等，则a等于( B )
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点3 利用去括号解一元一次方程
6.解方程3－5(x＋2)＝x，去括号正确的是( B )
A．3－x＋2＝x B．3－5x－10＝x
C．3－5x＋10＝x D．3－x－2＝x
7.解方程2x＋3(2x－1)＝16－(x＋1)的第一步应是( B )
A．去分母 B．去括号
C．移项 D．合并同类项
8.如果2(x＋3)的值与3(1－x)的值互为相反数，那么x＝ 9 ．
易错易混点 解方程时去括号出现符号错误
9.（广西贺州平桂区月考）解方程：
2(x－2)－6(x－1)＝3(1－x).
去括号，得2x－4－6x＋6＝3－3x，
移项，得2x－6x＋3x＝3＋4－6，
合并同类项，得－x＝1，系数化为1，得x＝－1.
10.（广西贺州八步区模拟）如果3ab2m-1与9abm+2是同类项，那么m等于( A )
A．3 B．1 C．－1 D．0
11.定义“*”运算为a*b＝ab＋2a，若(3*x)＋(x*3)＝
14，则x＝( B )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
12.在梯形面积公式S＝(a＋b)h中，当S＝16，a＝3，h＝4时，b的值为 5 ．
13.如果关于x的方程3x＋(2a＋1)＝x－6(3a＋2)的解是x＝0，那么a的值等于 － ．
【母题P100T3】 解下列方程：
(1)5x＋21＝7－2x；
(2)2x－＝－x＋2；
(3)0.5(m＋8)－0.6(2m－7)＝1.9；
(4)3(2y＋1)＝2(1＋y)＋3(y＋3).
(1)因为5x＋21＝7－2x，所以5x＋2x＝7－21，所以7x＝－14，所以x＝－2.
(2)因为2x－＝－x＋2，所以2x＋x＝2＋，
所以x＝，所以x＝1.
(3)因为0.5(m＋8)－0.6(2m－7)＝1.9，所以0.5m＋4－1.2m＋4.2＝1.9，所以0.5m－1.2m＝1.9－4－4.2，所以－0.7m＝－6.3，所以m＝9.
(4)因为3(2y＋1)＝2(1＋y)＋3(y＋3)，所以6y＋3＝2y＋2＋3y＋9，所以6y－2y－3y＝2＋9－3，所以y＝8.
【变式1】 解方程：4－(x＋3)＝2(x－1).
因为4－(x＋3)＝2(x－1)，所以4－x－3＝2x－2，
所以－x－2x＝－2＋3－4，所以－3x＝－3，所以x＝1.
【变式2】 （广西贺州昭平县模拟）解方程：3x－7(x－1)＝3－2(x＋3).
因为3x－7(x－1)＝3－2(x＋3)，所以3x－7x＋7＝3－2x－6，
所以3x－7x＋2x＝3－6－7，所以－2x＝－10，所以x＝5.
14.（运算能力）已知关于x的一元一次方程(k－2 023)x－2 024＝7－2 025(x＋1)，其中k为常数．
(1)若x＝－1是该方程的解，求k的值；
(2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值．
(1)(k－2 023)x－2 024＝7－2 025(x＋1)，
去括号，得kx－2 023x－2 024＝7－2 025x－2 025，
移项，得kx－2 023x＋2 025x＝7－2 025＋2 024，
合并同类项，得(k＋2)x＝6，
因为x＝－1是该方程的解，所以－(k＋2)＝6，解得：k＝－8；
(2)由(1)可知(k＋2)x＝6，所以x＝，
因为方程的解为正整数，k的值为整数，
所以k＋2＝1或k＋2＝2或k＋2＝3或k＋2＝6，
所以k＝－1或k＝0或k＝1或k＝4.
15.（运算能力）【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“友好方程”，例如，方程2x＝－4的解为x＝－2，因为a＝2，b＝－4，所以有－2＝－4＋2，即x＝b＋a，则方程2x＝－4为“友好方程”．
【运用】
(1)①3x＝－4.5，②x＝－1，③－2x＝4三个方程中，为“友好方程”的是 ① （填写序号）；
(2)若关于x的一元一次方程4x＝b是“友好方程”，求b的值；
(3)若关于x的一元一次方程－3x＝mn＋n(n≠0)是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值．
(1)①因为3x＝－4.5，所以x＝－1.5，
因为－1.5＝－4.5＋3，所以①为“友好方程”；
②因为x＝－1，所以x＝－3，
因为－3≠－1＋，所以②不是“友好方程”；
③因为－2x＝4，所以x＝－2，
因为－2≠4＋(－2)，所以③不是“友好方程”．
故答案为：①.
(2)4x＝b，解得：x＝，
因为关于x的一元一次方程4x＝b是“友好方程”，
所以＝b＋4，所以b＝4b＋16，所以b－4b＝16，所以－3b＝16，所以b＝－.
(3)因为x＝n是关于x的一元一次方程－3x＝mn＋n(n≠0)的解，
所以－3n＝mn＋n，解得：m＝－4，
依题意得：a＝－3，x＝b＋a＝(mn＋n)＋(－3)，
所以n＝(mn＋n)＋(－3)，
所以n＝(－4n＋n)＋(－3)，
所以n＝－.
第2课时 利用去分母解一元一次方程
知识点1 去分母解方程
1.解方程－1＝时，为了去分母应将方程两边同时乘以( A )
A．12 B．10 C．9 D．4
2.解方程－＝1，去分母正确的是( B )
A．1－(x－1)＝1 B．2－3(x－1)＝6
C．2－3(x－1)＝1 D．3－2(x－1)＝6
3.（广西期中）下列选项正确的是( C )
A．方程－＝1去分母，得2(3－2x)－3(x－2)＝1
B．方程3x＋8＝－4x－7移项，得3x＋4x＝－7＋8
C．方程7(3－x)－5(x－3)＝8去括号，得21－7x－5x＋15＝8
D．方程x＝系数化为1，得x＝1
知识点2 去分母解一元一次方程的简单应用
4.若和互为相反数，则x的值是( B )
A．－9 B．9 C．－8 D．8
5.（广西百色田阳县月考）若关于x的一元一次方程x＋4＝3x＋b的解为x＝－3，则关于y的一元一次方程(y－1)＋4＝3(y－1)＋b的解为( C )
A．y＝1 B．y＝－1
C．y＝－2 D．y＝－3
因为关于x的一元一次方程x＋4＝3x＋b的解为x＝－3，所以关于y的一元一次方程(y－1)＋4＝3(y－1)＋b中y－1＝－3，所以y＝－2.
6.如果比的值多1，那么2－a的值为 －3 ．
易错易混点 去分母解方程时漏乘常数项或系数为整数项
7.（广西崇左扶绥县月考）解方程：
(1)－＝－2；
(2)1－＝－x.
(1)因为－＝－2，
所以2(2x－1)－(10x＋1)＝3(2x＋1)－12，
所以4x－2－10x－1＝6x＋3－12，
所以4x－10x－6x＝3－12＋2＋1，
所以－12x＝－6，所以x＝；
(2)因为1－＝－x，所以8－(7＋3x)＝2(3x－10)－8x，所以8－7－3x＝6x－20－8x，所以－3x－6x＋8x＝－20＋7－8，所以－x＝－21，所以x＝21.
8.（广西贺州昭平县月考）把方程－1＝的分母化成整数后，可得方程( B )
A．－1＝
B．－1＝
C．－10＝
D．－1＝
9.关于x的方程－a＝＋的解为x＝33，则实数a的值为( B )
A．1 B．3 C．2 D．4
10.如果5x－8＝3x－4的解与关于x的方程＝1＋的解互为相反数，那么a＝ 11 ．
【母题P101T1】 解下列方程：
(1)－＝0；
(2)y－＝－；
(3)（x－）－(x＋5)＝0；
(4)＝.
(1)因为－＝0，所以3(2x＋1)－5(x＋1)＝0，所以6x＋3－5x－5＝0，所以x＝2.
(2)因为y－＝－，
所以10y－5(y－1)＝－2(y＋2)，所以10y－5y＋5＝－2y－4，
所以10y－5y＋2y＝－4－5，所以7y＝－9，所以y＝－.
(3)因为（x－）－(x＋5)＝0，所以x－1－x－5＝0，所以x－x＝1＋5，
所以－x＝6，所以x＝－8.
(4)因为＝，
所以6.4－4x＝3.9－9x，
所以－4x＋9x＝3.9－6.4，所以5x＝－2.5，所以x＝－0.5.
【变式】 解方程：
(1)＝＋1；(2)－＝3.
(1)＝＋1.
去分母，得3(x－1)＝8x＋6.
去括号，得3x－3＝8x＋6.
移项，得3x－8x＝6＋3.
合并同类项，得－5x＝9.
系数化为1，得x＝－；
(2)－＝3.
去分母，得5x－10－(2x＋2)＝3.
去括号，得5x－10－2x－2＝3.
移项，得5x－2x＝10＋2＋3.
合并同类项，得3x＝15.
系数化为1，得x＝5.
11.（运算能力）小米解方程5－＝的过程如下：
解：去分母，方程两边都乘以10，得5－2(10x－21)＝3x，①
去括号，得5－20x－42＝3x，②
移项，合并同类项，得－23x＝37，③
系数化为1，得x＝－，④
所以原方程的解是x＝－.
(1)请你指出小米解答过程中的错误步骤；
(2)请写出正确的解答过程．
(1)去分母错误，利用等式性质2，等式两边都乘以10，而5没有乘以10；
去括号错误，“－2(10x－21)”，括号前面是“－”，去括号时括号里各项都变号，而“－42”没有变为“＋42”；
(2)去分母，方程两边都乘以10，得50－2(10x－21)＝3x，
去括号，得50－20x＋42＝3x，
移项，合并同类项，得－23x＝－92，
系数化为1，得x＝4，所以原方程的解是x＝4.
一元一次方程的解法
思路1 一元一次方程的常规解法
一、用移项、合并同类项解方程
1.(1)4－3x＝6－5x；
(2)6＋2x＝14－3x（写出检验过程）.
(1)移项，得5x－3x＝6－4.
合并同类项，得2x＝2.
系数化为1，得x＝1.
(2)移项，得3x＋2x＝14－6.
合并同类项，得5x＝8，系数化为1，得x＝1.6.
当x＝1.6时，左边＝6＋3.2＝9.2，右边＝14－4.8＝9.2，
因为左边＝右边，
所以x＝1.6是方程的解．
二、用去括号解方程
2.(1)4(y＋4)＝3－5(7－2y)；
(2)3x－7(x－1)＝3－2(x＋3).
(1)去括号，得4y＋16＝3－35＋10y.
移项、合并同类项，得－6y＝－48.
系数化为1，得y＝8.
(2)去括号，得3x－7x＋7＝3－2x－6.
移项，得3x－7x＋2x＝3－6－7.
合并同类项，得－2x＝－10.
系数化为1，得x＝5.
三、用去分母解方程
3.(1)－＝1；
(2)－＝－1.
(1)去分母，得3(x＋2)－2(2x－3)＝12.
去括号，得3x＋6－4x＋6＝12.
移项、合并同类项，得－x＝0.
系数化为1，得x＝0.
(2)去分母，得2(x－1)－(x＋2)＝3(3x－1)－6.
去括号，得2x－2－x－2＝9x－3－6.
移项、合并同类项，得－8x＝－5.
系数化为1，得x＝.
思路2 一元一次方程的特殊解法
一、巧去括号
4.(1)［（－1）－3］－2x＝3；
(2)［（－1）－2］－x＝2.
(1)去括号，得2（－1）－4－2x＝3.
x－2－4－2x＝3.
移项、合并同类项，得－x＝9.
系数化为1，得x＝－9.
(2)去括号，得－1－3－x＝2.
去分母，得x－4－12－4x＝8.
移项、合并同类项，得－3x＝24.
系数化为1，得x＝－8.
二、巧用分数的基本性质
5.(1)－＝1；
(2)－＝0.75.
(1)方程整理，得－＝1.
去分母，得3(3x＋5)－2(2x－1)＝6.
去括号，得9x＋15－4x＋2＝6.
移项、合并同类项，得5x＝－11.
系数化为1，得x＝－2.2.
(2)方程整理，得15＋x－20－3x＝0.75.
移项、合并同类项，得－2x＝5.75.
系数化为1，得x＝－2.875.
思路3 利用一元一次方程解答
6.若“※”是新规定的某种运算符号，即x※y＝x4＋y，则(－1)※k＝6中k的值为( D )
A．－3 B．3 C．－5 D．5
7.若(m＋2)2＋|3－n|＝0，则(m＋n)2 024＝ 1 ．
8.已知代数式6x－12与4＋2x的值互为相反数，求x的值．
根据题意，得6x－12＋4＋2x＝0.
移项，得6x＋2x＝12－4.
合并同类项，得8x＝8.
系数化为1，得x＝1.
