3.3 一元一次方程的应用
第1课时 形积变化与行程问题
知识点1 形积变化问题
1.（广西崇左扶绥县月考）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A．π×（）2x＝π×（）2(x－5)
B．π×（）2x＝π×（）2×(x＋5)
C．π×82x＝π×62×(x＋5)
D．π×82x＝π×62×5
2.（广西贺州八步区月考）把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为12 dm的圆锥形钢件，这个钢件的高是( )
A．2 dm B．3 dm C．4 dm D．6 dm
3.（广西梧州藤县模拟）如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板①，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是 平方厘米．
知识点2 行程问题
4.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，甲先跑6米后，乙开始跑，设乙x秒后追上甲，依题意可列方程( )
A．5x＝4x－6 B．5x＝4x＋6
C．5x－4＝6x D．5x＋4x＝6
5.（广西南宁青秀区校级开学）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A．＝
B．＝－12
C．240x＝150(x＋12)
D．240(x－12)＝150x
6.（广西百色田阳县月考）一列长280 m的列车过一座长1 000 m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64 s，则列车的速度为( )
A．15 m/s B．24 m/s
C．20 m/s D．25 m/s
7.（广西百色隆林县模拟）一架飞机在两个城市间飞行，顺风飞行需4小时，逆风飞行需5小时，如果风速是30千米/时，两个城市的距离是x千米，则可列方程为 ．
易错易混点 误解题意导致错解
8.（广西百色西林县模拟）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示－11，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
(1)动点P从点A运动至点C需要多长时间？
(2)P，Q两点相遇时，相遇点M所对应的数是多少？
(3)当t为何值时，P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？
9.小明和小亮进行100米赛跑，两人在同一起跑线上，结果第一次比赛时小明胜10米；在进行第二次比赛时，小明的起跑线比原来起跑线推后10米，如果两次他们速度不变，则第二次结果( )
A．小亮胜 B．小明胜
C．同时到达 D．不能确定
10.（广西贺州钟山县模拟）如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形以两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比为( )
A．2∶3 B．1∶2 C．3∶4 D．1∶1
11.长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”，如图，在一个大灵动长方形ABCD(AB＜BC)中剪下两个灵动长方形，分别是长方形BEFG(EF＜BE)和长方形ECMN(MC＜EC)，若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形ABCD的面积为 ．
【母题P104T3】 甲、乙两地相距180 km.一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15 km.另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
【变式1】 A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时比乙多行2千米，经过2小时相遇，问甲、乙两人的速度分别是多少？
【变式2】 （广西百色田东县模拟）某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A，B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A，C两地之间的路程为10千米，求A，B两地之间的路程．
12.（运算能力）新安江山水画廊风景区位于安徽省黄山市歙县深渡镇，风景优美，一年四季，景色各异，似一幅流动的山水画卷，周末，小杨与同学相邀乘船游玩，他们从A地上船，花了2.5小时顺流而下至B地，游玩后又花了3小时返回A地，已知游船静水速度为17.6 km/h.如果游船从B地返航时，一个救生圈不慎滑落水中，直到返回A地时船员才察觉，请问此时救生圈离A地多远？
第2课时 利率问题与销售问题
知识点1 利率问题
1.李老师到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是3.5%.若到期后取出得到本息33 150元，则李老师存入( )元
A．35 000 B．28 072 C．30 000 D．33 000
2.（广西贺州钟山县模拟）目前，按规定存款利息税＝利息×20%，中国建行一年定期储蓄的年利率为3.00%，现在王先生有一笔一年期存款，如果到期后全取出，可取回15 360.00元．则王先生的这笔存款本金是 元．
3.王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%，到期后得到本息共23 000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
知识点2 销售问题
4.（广西百色田林县模拟）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折出售，结果获利28元．若这件夹克衫的成本为x元，根据题意，可得到的方程是( )
A．(1＋50%)80%x＝x－28
B．(1＋50%x)80%＝x＋28
C．(1＋50%x)80%＝x－28
D．(1＋50%)80%x＝x＋28
5.（广西贺州八步区月考）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为( )
A．(1＋30%·x)·0.9＝x＋34
B．(1＋30%·x)·0.9＝x－34
C．(1＋30%)x·0.9＝x＋34
D．(1＋30%)x·0.9＝x－34
6.（广西崇左天等县月考）一家商店某件服装标价为200元，现打折促销以7折出售可获得利润50元，则这件服装进价为 元．
7.（广西梧州苍梧县月考）某男装店进了一款价格为400元的新款羽绒服，决定按进价提高50%后标价．销售一段时间后，为减少库存，该店计划推出优惠活动，将此款羽绒服打折出售，若要使得打折后仍可获利20%，则该款羽绒服应该打 折出售．
易错易混点 混淆打折销售中的题意
8.（广西崇左宁明县模拟）某社区超市第一次用6 000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
9.某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的150%时，商场销售这两种商品的总利润率为45%，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的50%时，商场销售这两种商品的总利润率为( )
A．42.5% B．45.5% C．46.5% D．47.5%
10.某商场以每件120元的价格购进某品牌的衬衫500件，按标价的8折销售，若商场销售完这批衬衫共获利20 000元，则每件衬衫标价应为 元．
11.（广西梧州苍梧县模拟）根据图中信息可知，小明共购买跳绳 根．
12.（广西贺州钟山县期末）小明把压岁钱按定期一年存入银行．当时一年期定期存款的年利率为1.98%，利息税的税率为20%，到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92 元．问小明存入银行的压岁钱有多少元？
13.（运算能力）今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织10辆汽车装运甲、乙两种水果去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
水果种类 甲 乙
每辆汽车运载量（吨） 4 3
每吨水果利润（元） 1 400 1 600
(1)求这10辆汽车共装运水果的数量（用含有x的式子表示）；
(2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有x的式子表示）；
(3)现为了促销，公司决定甲种水果每吨让利m元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求m的值．
第3课时 比例分配及其他问题
知识点1 比例分配问题
1．三个数的比是5∶12∶13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大( )
A．48 B．42
C．36 D．30
2．甲、乙、丙三种糖果，每千克的价格分别是28元、20元、16元，若将这三种糖果按3∶2∶5的比例混合成杂拌糖，则每千克售价为__ __元．
3．(广西百色田阳县月考)一块合金中铜和锌的比是2∶3，这块合金中含铜10千克，那么这块合金中含锌多少千克？
知识点2 一元一次方程的一般应用问题
4．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一只羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这只羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为( )
A．5x－45＝7x＋3 B．5x＋45＝7x－3
C．5x－45＝7x－3 D．5x＋45＝7x＋3
5．(广西百色西林县模拟)一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＋＝1
D．＋＝1
6．(广西贺州昭平县模拟)秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好地接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数．
易错易混点 多个比例的运用中错误选择参照量
7．(广西梧州万秀区月考)生产某种合金，需要甲、乙、丙三种原料．已知需要甲原料与乙原料的质量之比为4∶3，丙原料与乙原料的质量之比为3∶2，又知需要甲原料与丙原料的质量之和比需要乙原料的质量的2倍多20千克，求甲、乙、丙三种原料各需要多少千克？
8．(广西崇左扶绥县月考)现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4把椅子，1立方米木料可做5把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为( )
A．4x＝5(90－x) B．5x＝4(90－x)
C．x＝4(90－x)×5 D．4x×5＝90－x
9．(广西崇左扶绥县期末)由于浮力的作用，金放在水里称量和它的质量比较，在水中的“质量”会减少；银放在水里称量和它的质量相比较，在水中的“质量”会减少.某个只含有金银成分的古文物，质量是150克，在水中称量，“质量”是141克，则古文物中金占__ __%.(精确到1%)
10．某地农村小学每份营养餐的标准：质量300克，蛋白质含量为8%，每份营养餐包括一盒牛奶、一包面包和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，面包的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，若一个鸡蛋的质量约为60克．
(1)一份营养餐和一个鸡蛋中含蛋白质的质量分别是多少克？
(2)每份营养餐中牛奶的质量为多少克？
11．(应用意识)某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路．甲工程队负责这条道路的铺设，从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的6%，第二天铺的比第一天的2倍少60 m，此时还剩下全长的87%没铺．
(1)若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中x所表示的实际意义，并求出它的值；
图13.3 一元一次方程的应用
第1课时 形积变化与行程问题
知识点1 形积变化问题
1.（广西崇左扶绥县月考）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( B )
A．π×（）2x＝π×（）2(x－5)
B．π×（）2x＝π×（）2×(x＋5)
C．π×82x＝π×62×(x＋5)
D．π×82x＝π×62×5
2.（广西贺州八步区月考）把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为12 dm的圆锥形钢件，这个钢件的高是( D )
A．2 dm B．3 dm C．4 dm D．6 dm
3.（广西梧州藤县模拟）如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板①，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是 36 平方厘米．
设小正方形的边长为x厘米，依题意得：1＋x＋2＝4＋5－x，解得x＝3，所以大正方形的边长为6厘米，所以大正方形的面积是6×6＝36（平方厘米）.
知识点2 行程问题
4.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，甲先跑6米后，乙开始跑，设乙x秒后追上甲，依题意可列方程( B )
A．5x＝4x－6 B．5x＝4x＋6
C．5x－4＝6x D．5x＋4x＝6
5.（广西南宁青秀区校级开学）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( C )
A．＝
B．＝－12
C．240x＝150(x＋12)
D．240(x－12)＝150x
6.（广西百色田阳县月考）一列长280 m的列车过一座长1 000 m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64 s，则列车的速度为( C )
A．15 m/s B．24 m/s
C．20 m/s D．25 m/s
7.（广西百色隆林县模拟）一架飞机在两个城市间飞行，顺风飞行需4小时，逆风飞行需5小时，如果风速是30千米/时，两个城市的距离是x千米，则可列方程为 －30＝＋30 ．
易错易混点 误解题意导致错解
8.（广西百色西林县模拟）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示－11，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
(1)动点P从点A运动至点C需要多长时间？
(2)P，Q两点相遇时，相遇点M所对应的数是多少？
(3)当t为何值时，P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？
(1)动点P从点A运动至点C时，所需时间t＝11÷2＋10÷1＋8÷2＝19.5（秒），
答：动点P从点A运动至点C需要19.5秒；
(2)由题可知，P，Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x.
则11÷2＋x÷1＝8÷1＋(10－x)÷2，x＝5，
答：点M所对应的数为5；
(3)P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，
则：8－t＝11－2t，解得：t＝3.
②动点Q在CB上，动点P在OB上，
则：8－t＝(t－5.5)×1，解得：t＝6.75.
③动点Q在BO上，动点P在OB上，
则：2(t－8)＝(t－5.5)×1，解得：t＝10.5.
④动点Q在OA上，动点P在BC上，
则：10＋2(t－15.5)＝t－13＋10，解得：t＝18，
综上所述，t的值为3或6.75或10.5或18.
9.小明和小亮进行100米赛跑，两人在同一起跑线上，结果第一次比赛时小明胜10米；在进行第二次比赛时，小明的起跑线比原来起跑线推后10米，如果两次他们速度不变，则第二次结果( B )
A．小亮胜 B．小明胜
C．同时到达 D．不能确定
第一次小明跑100米和小亮跑90米的时间相等，则设小明的速度是a，小亮的速度是a，设第二次比赛，小明经过x秒追上小亮，ax＝ax＋10，所以x＝，所以a×＝90（米），
所以小亮跑了90米时，就被小明追上，所以小明胜．
10.（广西贺州钟山县模拟）如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形以两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比为( A )
A．2∶3 B．1∶2 C．3∶4 D．1∶1
设①的长为a，宽为b，②的长为m，宽为n，则3b＋2m＝a＋n，且3b＝n，解得：a＝2m，n＝3b，所以S1＝ab＝2mb，S2＝mn＝3mb，所以S1∶S2＝2mb∶3mb＝2∶3.
11.长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”，如图，在一个大灵动长方形ABCD(AB＜BC)中剪下两个灵动长方形，分别是长方形BEFG(EF＜BE)和长方形ECMN(MC＜EC)，若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形ABCD的面积为 12 ．
设EF＝m，MC＝n，所以BG＝EF＝m，BE＝GF＝3m，NE＝MC＝n，MN＝EC＝3n，所以2EF＋2BE＝2m＋6m＝8m，2MC＋2EC＝2n＋6n＝8n，BC＝BE＋EC＝3m＋3n＝3(m＋n)，所以2EF＋2BE＋2MC＋2EC＝8m＋8n＝8(m＋n)，设m＋n＝x，则长方形BEFG和长方形ECMN的周长之和为8x，BC＝3x，根据题意得8x＝16，解得x＝2，所以BC＝3×2＝6，所以3CD＝6，解得CD＝2，所以BC×CD＝6×2＝12，所以大灵动长方形ABCD的面积为12.
【母题P104T3】 甲、乙两地相距180 km.一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15 km.另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
设经过x小时两人相遇，
由题意得：15x＋45x＝180，解得：x＝3.
答：经过3小时两人相遇．
【变式1】 A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时比乙多行2千米，经过2小时相遇，问甲、乙两人的速度分别是多少？
设乙的速度是每小时x千米，则甲的速度是每小时(x＋2)千米．
依题意得：2x＋2(x＋2)＝60.解得x＝14，则x＋2＝16.
答：甲的速度是每小时16千米，乙的速度是每小时14千米．
【变式2】 （广西百色田东县模拟）某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A，B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A，C两地之间的路程为10千米，求A，B两地之间的路程．
设A，B两地距离为y千米．则B，C两地距离为(y－10)千米，根据题意可得：＋＝7，解得：y＝32.5.
答：A，B两地之间的路程为32.5 km.
12.（运算能力）新安江山水画廊风景区位于安徽省黄山市歙县深渡镇，风景优美，一年四季，景色各异，似一幅流动的山水画卷，周末，小杨与同学相邀乘船游玩，他们从A地上船，花了2.5小时顺流而下至B地，游玩后又花了3小时返回A地，已知游船静水速度为17.6 km/h.如果游船从B地返航时，一个救生圈不慎滑落水中，直到返回A地时船员才察觉，请问此时救生圈离A地多远？
设水流速度为x km/h，由题意得：2.5(17.6＋x)＝3(17.6－x)，解得：x＝1.6，即水流速度为1.6 km/h，
于是得到A，B两地之间的距离为3×(17.6－1.6)＝48(km)，
救生圈漂流距离为3×1.6＝4.8(km)，
所以救生圈与A地距离为48＋4.8＝52.8(km)，
答：救生圈与A地距离为52.8 km.
第2课时 利率问题与销售问题
知识点1 利率问题
1.李老师到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是3.5%.若到期后取出得到本息33 150元，则李老师存入( C )元
A．35 000 B．28 072 C．30 000 D．33 000
2.（广西贺州钟山县模拟）目前，按规定存款利息税＝利息×20%，中国建行一年定期储蓄的年利率为3.00%，现在王先生有一笔一年期存款，如果到期后全取出，可取回15 360.00元．则王先生的这笔存款本金是 15 000 元．
3.王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%，到期后得到本息共23 000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
设当年王大伯存入银行x元钱，
根据题意得：x＋3×5%x＝23 000，解得：x＝20 000.
答：当年王大伯存入银行20 000元钱．
知识点2 销售问题
4.（广西百色田林县模拟）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折出售，结果获利28元．若这件夹克衫的成本为x元，根据题意，可得到的方程是( D )
A．(1＋50%)80%x＝x－28
B．(1＋50%x)80%＝x＋28
C．(1＋50%x)80%＝x－28
D．(1＋50%)80%x＝x＋28
5.（广西贺州八步区月考）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为( C )
A．(1＋30%·x)·0.9＝x＋34
B．(1＋30%·x)·0.9＝x－34
C．(1＋30%)x·0.9＝x＋34
D．(1＋30%)x·0.9＝x－34
6.（广西崇左天等县月考）一家商店某件服装标价为200元，现打折促销以7折出售可获得利润50元，则这件服装进价为 90 元．
7.（广西梧州苍梧县月考）某男装店进了一款价格为400元的新款羽绒服，决定按进价提高50%后标价．销售一段时间后，为减少库存，该店计划推出优惠活动，将此款羽绒服打折出售，若要使得打折后仍可获利20%，则该款羽绒服应该打 8 折出售．
易错易混点 混淆打折销售中的题意
8.（广西崇左宁明县模拟）某社区超市第一次用6 000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
(1)设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x＋15）件，根据题意得：22x＋30（x＋15）＝6 000，
解得x＝150，则x＋15＝75＋15＝90，
答：该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为150件、90件．
(2)设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：(29－22)×150＋（40×－30）×90×3＝(29－22)×150＋(40－30)×90＋180，解得y＝8.5.
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
9.某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的150%时，商场销售这两种商品的总利润率为45%，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的50%时，商场销售这两种商品的总利润率为( D )
A．42.5% B．45.5% C．46.5% D．47.5%
设甲种商品的进价为a元/件，乙种商品的进价为b元/件，根据题意得：150%×40%a＋50%b＝45%(150%a＋b)，解得：b＝1.5a，所以×100%＝×100%＝47.5%，所以商场销售这两种商品的总利润率为47.5%.
10.某商场以每件120元的价格购进某品牌的衬衫500件，按标价的8折销售，若商场销售完这批衬衫共获利20 000元，则每件衬衫标价应为 200 元．
11.（广西梧州苍梧县模拟）根据图中信息可知，小明共购买跳绳 25 根．
设小明共购买跳绳x根，因为164＞8×10，所以x＞10.依题意，得8×10＋(x－10)×8×0.7＝164.解得x＝25.
12.（广西贺州钟山县期末）小明把压岁钱按定期一年存入银行．当时一年期定期存款的年利率为1.98%，利息税的税率为20%，到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92 元．问小明存入银行的压岁钱有多少元？
设小明存入银行的压岁钱有x元，
根据题意得：x＋(1－20%)×1.98%x＝507.92，解得：x＝500.
答：小明存入银行的压岁钱有500元．
13.（运算能力）今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织10辆汽车装运甲、乙两种水果去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
水果种类 甲 乙
每辆汽车运载量（吨） 4 3
每吨水果利润（元） 1 400 1 600
(1)求这10辆汽车共装运水果的数量（用含有x的式子表示）；
(2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有x的式子表示）；
(3)现为了促销，公司决定甲种水果每吨让利m元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求m的值．
(1)因为装运甲种水果的汽车有x辆，则装运乙种水果的汽车有(10－x)辆，
所以装运的总量为：4x＋3(10－x)＝(x＋30)吨．
故这10辆汽车共装运水果的数量为(x＋30)吨．
(2)令总利润为w元，
则w＝1 400×4x＋1 600×3(10－x)＝800x＋48 000.
故销售完装运的这批水果后所获得的总利润为(800x＋48 000)元．
(3)由题知，(1 400－m)×4x＋1 600×3(10－x)＝(800－4m)x＋48 000，因为无论装运甲水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，所以利润的表达式的取值与x的值无关，所以800－4m＝0，解得：m＝200.
故m的值为200.
第3课时 比例分配及其他问题
知识点1 比例分配问题
1．三个数的比是5∶12∶13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大( A )
A．48 B．42
C．36 D．30
2．甲、乙、丙三种糖果，每千克的价格分别是28元、20元、16元，若将这三种糖果按3∶2∶5的比例混合成杂拌糖，则每千克售价为__20.4__元．
3．(广西百色田阳县月考)一块合金中铜和锌的比是2∶3，这块合金中含铜10千克，那么这块合金中含锌多少千克？
设这块合金中含锌x千克，
根据题意得：2∶3＝10∶x，所以2x＝30，解得x＝15；
答：这块合金中含锌15千克．
知识点2 一元一次方程的一般应用问题
4．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一只羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这只羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为( D )
A．5x－45＝7x＋3 B．5x＋45＝7x－3
C．5x－45＝7x－3 D．5x＋45＝7x＋3
5．(广西百色西林县模拟)一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程( D )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＋＝1
D．＋＝1
6．(广西贺州昭平县模拟)秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好地接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数．
设租45座的客车x辆，则60座的客车为(x－3)辆，
根据题意，得45x＋25＝60(x－3)－20，
解得x＝15，45x＋25＝45×15＋25＝700，
答：此次秋游的人数为700人．
易错易混点 多个比例的运用中错误选择参照量
7．(广西梧州万秀区月考)生产某种合金，需要甲、乙、丙三种原料．已知需要甲原料与乙原料的质量之比为4∶3，丙原料与乙原料的质量之比为3∶2，又知需要甲原料与丙原料的质量之和比需要乙原料的质量的2倍多20千克，求甲、乙、丙三种原料各需要多少千克？
设需要乙种原料x千克，由题意得：x＋x＝2x＋20，
解得：x＝24.所以x＝32，x＝36.
答：甲种原料需要32千克，乙种原料需要24千克，丙种原料需要36千克．
8．(广西崇左扶绥县月考)现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4把椅子，1立方米木料可做5把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为( A )
A．4x＝5(90－x) B．5x＝4(90－x)
C．x＝4(90－x)×5 D．4x×5＝90－x
9．(广西崇左扶绥县期末)由于浮力的作用，金放在水里称量和它的质量比较，在水中的“质量”会减少；银放在水里称量和它的质量相比较，在水中的“质量”会减少.某个只含有金银成分的古文物，质量是150克，在水中称量，“质量”是141克，则古文物中金占__84__%.(精确到1%)
设古文物中金的质量是x克，则银的质量是(150－x)克，根据题意，得x＋(150－x)＝150－141，解得x＝；因此古文物中金占÷150≈84%.
10．某地农村小学每份营养餐的标准：质量300克，蛋白质含量为8%，每份营养餐包括一盒牛奶、一包面包和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，面包的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，若一个鸡蛋的质量约为60克．
(1)一份营养餐和一个鸡蛋中含蛋白质的质量分别是多少克？
(2)每份营养餐中牛奶的质量为多少克？
(1)300×8%＝24(克)，60×15%＝9(克)，
答：一份营养餐中蛋白质含量是24克，一个鸡蛋中蛋白质含量是9克；
(2)设每份营养餐中牛奶的质量为x克，根据题意得：5%x＋12.5%(300－60－x)＝24－9，
解得：x＝200，
答：每份营养餐中牛奶的质量为200克．
11．(应用意识)某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路．甲工程队负责这条道路的铺设，从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的6%，第二天铺的比第一天的2倍少60 m，此时还剩下全长的87%没铺．
(1)若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中x所表示的实际意义，并求出它的值；
图1
(2)为了按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺．两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答．
图2
(1)因为第一天铺了全长的6%，第二天铺的比第一天的2倍少60 m，所以第二天铺的长度为2×6%x－60＝0.12x－60(m)，所以x表示道路的全长．
根据题意，得6%x＋2×6%x－60＋87%x＝x，
解得x＝1 200.
(2)提出的问题：①加速后，甲工程队每天铺多少米？
设加速后，甲工程队每天铺y m，则
6%×1 200＋2×6%×1 200－60＝156，
156＋(6－2)y＋(6－2)(y＋75)＝1 200，解得y＝93，
答：加速后甲工程队每天铺93 m．
