3.6 三元一次方程组及其解法
知识点1 三元一次方程组的概念
1．下列各方程组，是三元一次方程组的是( C )
① ②
③ ④
A．①②④ B．①②③
C．②③ D．①②③④
方程组中含有三个未知数，并且每个方程中未知数的次数都是1，且为三个整式方程，满足这些条件才是三元一次方程组．①的第1个方程和④的第3个方程都不是整式方程．
2．以为解建立三元一次方程，不正确的是( C )
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．－y－z＝
把分别代入A，B，C，D四个选项的方程中，计算看方程左边的值与右边的值是否相等，只有C不正确．
3．已知甲、乙两数之和为5，乙、丙两数之和为8，甲、丙两数之和为6.如果甲数用x表示，乙数用y表示，丙数用z表示，则可列方程组为____.
根据题意，甲数用x表示，乙数用y表示，丙数用z表示，甲、乙两数之和为5，表示为x＋y＝5；乙、丙两数之和为8，表示为y＋z＝8；甲、丙两数之和为6，表示为x＋z＝6.则可列方程组为
知识点2 解三元一次方程组
4．下列四组数值中，为方程组的解的是( D )
A． B．
C． D．
①＋②，得3x＋y＝1④，①＋③，得4x＋y＝2⑤，⑤－④，得x＝1，
将x＝1代入④，得y＝－2，将x＝1，y＝－2代入①，得z＝3，
则方程组的解为
5．已知方程组则x＋y＋z的值为( C )
A．6 B．－6 C．5 D．－5
6．如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k＝( A )
A． B．－ C．3 D．－3
①－②，得x－z＝2④，③＋④，得2x＝6，解得x＝3，将x＝3代入①，得y＝5，将x＝3代入③，得z＝1，
故原方程组的解是又因为方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，所以3k＋2×5－3×1＝8，解得k＝.
7．解方程组：
(1) (2)
(1)
②－①，得y＋4z＝10④，
将③代入①，得5y＋z＝12，⑤
由④⑤，得解得
把y＝2代入③，得x＝8.所以原方程组的解是
(2)
①＋②，得4x＋y＝16④，①－③，得2x－2y＝－2，即x－y＝－1，⑤
④＋⑤，得5x＝15，解得x＝3，把x＝3代入⑤，得3－y＝－1，解得y＝4，把x＝3，y＝4代入③，得3＋4＋z＝12，解得z＝5，所以方程组的解为
知识点3 三元一次方程组的应用
8.(江苏常州武进区期中)如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a－bc的值为__13__．
2 a 0
－3 －1 1
b 3 c
9．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方将密文解密成明文．已知某加密规则为明文x，y互为相反数，其对应密文为x＋2y－k，2x＋y－k.若接收方收到密文为2和－1，则k的值为__－__.
易错易混点 不能准确选择解三元一次方程组的方法
10．(广西梧州苍梧县期末)下面所示为三元一次方程组的解题过程，请根据提供的做法和有关信息解决问题．
解方程组：
解：由方程②，得z＝7－3x＋2y.④…步骤一
将④分别代入方程①和③，得
……步骤二
整理，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得z＝7－3－6＝－2.
所以原方程组的解是
我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为__一元一次方程__求解，方法有__代入消元法__和__加减消元法__．其中的步骤二通过__代入消元__法消去未知数z，将三元一次方程组变成了__二元一次方程组__，体现了数学中__消元__思想．
(2)仿照以上思路解方程组
消去字母z后得到的二元一次方程组为____．
(2)
由方程②，得z＝5－2x－y，④
将④分别代入方程①和③，得：
整理得：
11．已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是( A )
A．3 B．2
C．1 D．无法确定
由题意将代入方程组，得
①＋②＋③，得a＋2b＋2b＋3c＋c＋3a＝2＋3＋7，即4a＋4b＋4c＝4(a＋b＋c)＝12，则a＋b＋c＝3.
12．纸箱里有红黄绿三色球，红球与黄球的比为1∶2，黄球与绿球的比为3∶4，纸箱内共有68个球，则黄球有__24__个．
设红色球有x个，黄色球有y个，绿色球有z个，
依题意，得解得即红色球有12个，黄色球有24个，绿色球有32个．
13．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝__9__．
因为|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，
所以
②＋③×2，得2x－z＝－3④，由①④组成方程组解得把z＝5代入②，得y＝3，
所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.
【母题P127T2】 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部3 600元、1 200元和2 400元．一商场用120 000元购买上述三种型号手机共40部，其中甲型号手机比丙型号手机多24部，求该商场购买上述三种型号手机各多少部．
设该商场购买了x部甲型号手机，y部乙型号手机，z部丙型号手机，根据题意得：
解得：
答：该商场购买了28部甲型号手机，8部乙型号手机，4部丙型号手机．
【变式1】 (广西梧州蒙山县月考)有A，B，C三种盐水，按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A，B，C数量之比为1∶1∶3，混合成的盐水浓度为10.2%.问盐水C的浓度是多少？
设盐水A的浓度是x，盐水B的浓度是y，盐水C的浓度是z，
根据题意得：
解得：
答：盐水C的浓度是8%.
【变式2】 (广西崇左扶绥县月考)甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙．已知甲速与乙速的比是3∶2，湖的周长是1 800米．甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？
设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，丙的速度为z米/分，
因为在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙，则甲、乙两人相遇时间为1.25＋3.75＝5分钟，
所以甲、乙速度和为1 800÷5＝360米/分，即x＋y＝360，
因为甲、乙两人的速度比为3∶2，所以2x＝3y，
由于甲与乙相遇时间为3＋2＝5分钟，
甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，
则甲、丙的相遇时间为5＋1.25＝6.25分钟，所以甲、丙速度和为1 800÷6.25＝288米/分，所以x＋z＝288，
即解得：
答：甲的速度为216米/分，乙的速度为144米/分，丙的速度为72米/分．
14．(运算能力)在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．
例如1：已知：x＋2y－3z＝2，2x＋y＋6z＝1，求：x＋y＋z的值．
解：令x＋2y－3z＝2，①
2x＋y＋6z＝1，②
①＋②，得3x＋3y＋3z＝3，所以x＋y＋z＝1.
已知求x＋2y的值．
解：①×2，得2x＋2y＝－10，③
②－③，得x＋2y＝11.
利用材料中提供的方法，解决下列问题．
(1)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝6，求m的值；
(2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900 朵红花，3 750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？
(1)
②－①得，3x－3y＝－m＋2，即x－y＝，
因为x－y＝6，所以＝6，解得：m＝－16；
(2)设黄花有M朵，
由题意得，
①＋③得，40x＋30y＋35z＝6 650，④
④×得，8x＋6y＋7z＝1 330，即M＝1 330，
答：黄花一共用了1 330朵．3.6 三元一次方程组及其解法
知识点1 三元一次方程组的概念
1．下列各方程组，是三元一次方程组的是( )
① ②
③ ④
A．①②④ B．①②③
C．②③ D．①②③④
2．以为解建立三元一次方程，不正确的是( )
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．－y－z＝
3．已知甲、乙两数之和为5，乙、丙两数之和为8，甲、丙两数之和为6.如果甲数用x表示，乙数用y表示，丙数用z表示，则可列方程组为__ __.
知识点2 解三元一次方程组
4．下列四组数值中，为方程组的解的是( )
A． B．
C． D．
5．已知方程组则x＋y＋z的值为( )
A．6 B．－6 C．5 D．－5
6．如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k＝( )
A． B．－ C．3 D．－3
7．解方程组：
(1) (2)
知识点3 三元一次方程组的应用
8.(江苏常州武进区期中)如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a－bc的值为__ __．
2 a 0
－3 －1 1
b 3 c
9．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方将密文解密成明文．已知某加密规则为明文x，y互为相反数，其对应密文为x＋2y－k，2x＋y－k.若接收方收到密文为2和－1，则k的值为__ __.
易错易混点 不能准确选择解三元一次方程组的方法
10．(广西梧州苍梧县期末)下面所示为三元一次方程组的解题过程，请根据提供的做法和有关信息解决问题．
解方程组：
解：由方程②，得z＝7－3x＋2y.④…步骤一
将④分别代入方程①和③，得
……步骤二
整理，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得z＝7－3－6＝－2.
所以原方程组的解是
我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为__ __求解，方法有__ __和__ __．其中的步骤二通过__ __法消去未知数z，将三元一次方程组变成了__ __，体现了数学中__ __思想．
(2)仿照以上思路解方程组
消去字母z后得到的二元一次方程组为__ __．
11．已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是( )
A．3 B．2
C．1 D．无法确定
12．纸箱里有红黄绿三色球，红球与黄球的比为1∶2，黄球与绿球的比为3∶4，纸箱内共有68个球，则黄球有__ __个．
13．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝__ __．
【母题P127T2】 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部3 600元、1 200元和2 400元．一商场用120 000元购买上述三种型号手机共40部，其中甲型号手机比丙型号手机多24部，求该商场购买上述三种型号手机各多少部．
【变式1】 (广西梧州蒙山县月考)有A，B，C三种盐水，按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A，B，C数量之比为1∶1∶3，混合成的盐水浓度为10.2%.问盐水C的浓度是多少？
【变式2】 (广西崇左扶绥县月考)甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙．已知甲速与乙速的比是3∶2，湖的周长是1 800米．甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？
14．(运算能力)在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．
例如1：已知：x＋2y－3z＝2，2x＋y＋6z＝1，求：x＋y＋z的值．
解：令x＋2y－3z＝2，①
2x＋y＋6z＝1，②
①＋②，得3x＋3y＋3z＝3，所以x＋y＋z＝1.
已知求x＋2y的值．
解：①×2，得2x＋2y＝－10，③
②－③，得x＋2y＝11.
利用材料中提供的方法，解决下列问题．
(1)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝6，求m的值；
(2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900 朵红花，3 750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？
