4.4 角
第1课时 角的定义及表示
知识点1 角的定义
1.下列说法中，正确的是( C )
A．两条射线组成的图形叫作角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2.如图，下列说法：①若∠AOB的始边是OA，则其终边是OB；②∠AOB的边分别是直线OA，OB；③∠AOB的边分别是线段OA，OB；④∠AOB的边分别是射线OA，OB.其中正确的个数是( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 角的表示
3.图中能用一个大写字母表示的角有( B )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.（广西贺州平桂区月考）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( D )
易错易混点 忽视分类讨论出错
5.把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩几个角？
如图，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角．
6.对于如图所示的角，描述错误的是( B )
A．∠α与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC可以用∠O表示
C．∠α＝∠AOC－∠1
D．若OB是∠AOC的平分线，则∠AOC＝2∠1
7.（广西百色隆林县模拟）如图，直线m外有一定点O，A是m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察∠α的变化情况，正确的是( B )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．大小不变 D．无法确定
8.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成平角；当终止位置OB和起始位置OA重合时，形成周角．
【母题P154T1】
填空：如图，从端点O引出射线OA，OB，OC，OD.图中的角分别是 ∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD ．
【变式1】 下列图中的∠1也可以用∠O表示的是( A )
【变式2】 如图，下列表示角的方法错误的是( D )
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠β＋∠AOB＝∠AOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
9.（推理能力）如图1，从点O分别引两条射线，则得到一个角∠AOB.（图中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如图2，从点O分别引三条射线，则图中得到 3 个角；
②如图3，从点O分别引四条射线，则图中得到 6 个角；
③依此类推，从点O分别引n条射线，则得到
个角（用含n的式子表示）；
(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
(1)①由题意可得，从点O分别引三条射线，图中的角有∠AOB，∠AOC，∠BOC，1＋2＝3，所以图中得到3个角；
②由题意可得，从点O分别引四条射线，图中的角有∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，1＋2＋3＝6，所以图中得到6个角；
③由①②可得，当从点O分别引n条射线，1＋2＋3＋…＋n－1＝，所以得到个角；
(2)根据题意可得，当n＝16时，＝＝
120.
所以全部赛完共需120场比赛．
第2课时 角的度量、方向角与钟面角
知识点1 角的度量
1.下列可以表示37.48°的是( D )
A．37°12′36″ B．37°12′38″
C．37°26′38″ D．37°28′48″
2.已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，则相等的两个角是( B )
A．∠α＝∠β B．∠α＝∠γ
C．∠β＝∠γ D．无法确定
3.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°41′，∠2的大小是 57°41′ ．
因为∠BAC＝60°，∠1＝27°41′，所以∠EAC＝∠BAC－∠1＝60°－27°41′＝32°19′，因为∠EAD＝90°，所以∠2＝∠EAD－∠EAC＝90°－32°19′＝57°41′.
知识点2 方向角
4.（广西梧州岑溪市月考）学校操场上，你站在李老师北偏东45°28′36″的方向，那么李老师站在你的( C )
A．北偏西45°28′36″的方向
B．北偏西44°31′24″的方向
C．南偏西45°28′36″的方向
D．南偏西44°71′64″的方向
5.（广西贺州平桂区期末）如图，甲从点A出发向北偏东70°10′方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10′方向走到点C，则∠BAC的度数是( C )
A．124°20′ B．124°40′
C．125° D．125°20′
AB与正东方向的夹角的度数是：90°－70°10′＝19°50′，则∠BAC＝19°50′＋90°＋15°10′＝125°.
6.如图，∠1＝35°，则射线OA表示北偏东 55 °.
因为90°－∠1＝90°－35°＝55°，所以射线OA表示北偏东55°方向．
知识点3 钟面角
7.（广西百色右江区模拟）“铃铃铃”上课铃声响了，小明一看时间是下午2点30分，如果一节课是45分钟，那么下课时刻分针和时针的夹角大小是( B )
A．15° B．7.5° C．5° D．0°
由题意得：下课时的时间为下午3点15分，所以下课时刻分针和时针的夹角＝15×0.5°＝7.5°.
8.（广西崇左江州市月考）上午9点30分时，钟面上时针与分针所成的角的度数是( B )
A．115° B．105° C．100° D．90°
因为3×30°＋15°＝105°，所以钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.
9.王老师7：20从家出发去学校上班，到达学校的时间是7：35，那么这段时间时针走了 7.5 °.
易错易混点 混淆角的进率与计算方法
10.如图，射线OB表示的方向是北偏东76°，射线OC表示的方向是北偏西46°，射线OA在射线OB和射线OC之间，且∠AOB＝32°.
(1)填空：∠COW的度数为 44° ；
(2)求射线OA的方向．
(1)由题意得：∠WON＝90°，∠CON＝46°，
所以∠COW＝∠WON－∠CON＝44°，故答案为：44°；
(2)由题意得：∠BON＝76°，∠AOB＝32°，所以∠AON＝∠BON－∠AOB＝44°，所以射线OA的方向是北偏东44°.
11.（广西百色田林县模拟）小明在学习基本平面图形中角的知识后，学会了角的度量单位：度、分、秒的换算．课后小明仿照例题给同学们出了一道填空题，计算：0.2°＝ ′＝ ″，以下四名同学的答案正确的是( B )
A．12，72 B．12，720
C．20，200 D．2，20
12.将2 880″用度表示为( B )
A．0.6° B．0.8° C．1.2° D．1.4°
13.（广西梧州苍梧县模拟）如图，已知∠1＝70°，则点E位于O点的( C )
A．南偏西20°
B．南偏西70°
C．北偏东20°
D．北偏东70°
【母题P155T2】 计算：
(1)25°23′17″＋46°53′43″；
(2)75°23′12″－46°53′43″；
(3)19°20′24″×4；
(4)134°22′÷3.
(1)25°23′17″＋46°53′43″＝71°76′60″＝71°77′＝72°17′；
(2)75°23′12″－46°53′43″＝74°83′12″－46°53′43″＝74°82′72″－46°53′43″＝28°29′29″；
(3)19°20′24″×4＝76°80′96″＝76°81′36″＝77°21′36″；
(4)134°22′÷3＝132°142′÷3＝132°141′60″÷3＝44°47′20″.
【变式1】 计算：24°31′×4－62°10′.
24°31′×4－62°10′＝96°124′－62°10′＝34°114′＝35°54′.
【变式2】 计算：36°16′＋×(100°－71°20′).
36°16′＋×(100°－71°20′)＝36°16′＋×28°40′＝36°16′＋14°20′＝50°36′.
14.（运算能力）爱钻研的琪琪发现将如图1所示的手表，理解成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题．
(1)已知表盘直径BC为4 cm，CD＝4AB，若B是AC的中点，则表带CD＝ 16 cm；
(2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合），时针为OE，表盘显示时间为10：30，如图3所示．
①10：30时分针和时针的夹角为 135 °；
②作射线OF，使∠EOF＝20°，求此时∠BOF的度数；
(1)因为BC为4 cm，B是AC的中点，所以AB＝BC＝4 cm，所以CD＝4AB＝16 cm；故答案为：16；
(2)①表盘分为12大格，一大格的度数为 360°÷12＝30°，时针一分钟所走的度数为：30°÷60＝0.5°，从10：00到10：30，时针30分钟走的度数为30×0.5°＝15°，所以10：30分针和时针的夹角的度数为 4×30°＋15°＝135°；故答案为：135；
②由①知：∠EOC＝135°，所以∠BOE＝180°－135°＝45°，
当OF 在∠EOB内部时：∠BOF＝∠BOE－∠EOF＝25°；
当OF在∠EOB外部时：∠BOF＝∠BOE＋∠EOF＝65°；
综上，∠BOF＝25°或∠BOF＝65°.4.4 角
第1课时 角的定义及表示
知识点1 角的定义
1.下列说法中，正确的是( )
A．两条射线组成的图形叫作角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2.如图，下列说法：①若∠AOB的始边是OA，则其终边是OB；②∠AOB的边分别是直线OA，OB；③∠AOB的边分别是线段OA，OB；④∠AOB的边分别是射线OA，OB.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 角的表示
3.图中能用一个大写字母表示的角有( )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.（广西贺州平桂区月考）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( )
易错易混点 忽视分类讨论出错
5.把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩几个角？
6.对于如图所示的角，描述错误的是( )
A．∠α与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC可以用∠O表示
C．∠α＝∠AOC－∠1
D．若OB是∠AOC的平分线，则∠AOC＝2∠1
7.（广西百色隆林县模拟）如图，直线m外有一定点O，A是m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察∠α的变化情况，正确的是( )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．大小不变 D．无法确定
8.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
【母题P154T1】
填空：如图，从端点O引出射线OA，OB，OC，OD.图中的角分别是 ．
【变式1】 下列图中的∠1也可以用∠O表示的是( )
【变式2】 如图，下列表示角的方法错误的是( )
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠β＋∠AOB＝∠AOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
9.（推理能力）如图1，从点O分别引两条射线，则得到一个角∠AOB.（图中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如图2，从点O分别引三条射线，则图中得到 个角；
②如图3，从点O分别引四条射线，则图中得到 个角；
③依此类推，从点O分别引n条射线，则得到
个角（用含n的式子表示）；
(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
第2课时 角的度量、方向角与钟面角
知识点1 角的度量
1.下列可以表示37.48°的是( )
A．37°12′36″ B．37°12′38″
C．37°26′38″ D．37°28′48″
2.已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，则相等的两个角是( )
A．∠α＝∠β B．∠α＝∠γ
C．∠β＝∠γ D．无法确定
3.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°41′，∠2的大小是 ．
知识点2 方向角
4.（广西梧州岑溪市月考）学校操场上，你站在李老师北偏东45°28′36″的方向，那么李老师站在你的( )
A．北偏西45°28′36″的方向
B．北偏西44°31′24″的方向
C．南偏西45°28′36″的方向
D．南偏西44°71′64″的方向
5.（广西贺州平桂区期末）如图，甲从点A出发向北偏东70°10′方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10′方向走到点C，则∠BAC的度数是( )
A．124°20′ B．124°40′
C．125° D．125°20′
6.如图，∠1＝35°，则射线OA表示北偏东 °.
知识点3 钟面角
7.（广西百色右江区模拟）“铃铃铃”上课铃声响了，小明一看时间是下午2点30分，如果一节课是45分钟，那么下课时刻分针和时针的夹角大小是( )
A．15° B．7.5° C．5° D．0°
8.（广西崇左江州市月考）上午9点30分时，钟面上时针与分针所成的角的度数是( )
A．115° B．105° C．100° D．90°
9.王老师7：20从家出发去学校上班，到达学校的时间是7：35，那么这段时间时针走了 °.
易错易混点 混淆角的进率与计算方法
10.如图，射线OB表示的方向是北偏东76°，射线OC表示的方向是北偏西46°，射线OA在射线OB和射线OC之间，且∠AOB＝32°.
(1)填空：∠COW的度数为 ；
(2)求射线OA的方向．
11.（广西百色田林县模拟）小明在学习基本平面图形中角的知识后，学会了角的度量单位：度、分、秒的换算．课后小明仿照例题给同学们出了一道填空题，计算：0.2°＝ ′＝ ″，以下四名同学的答案正确的是( )
A．12，72 B．12，720
C．20，200 D．2，20
12.将2 880″用度表示为( )
A．0.6° B．0.8° C．1.2° D．1.4°
13.（广西梧州苍梧县模拟）如图，已知∠1＝70°，则点E位于O点的( )
A．南偏西20°
B．南偏西70°
C．北偏东20°
D．北偏东70°
【母题P155T2】 计算：
(1)25°23′17″＋46°53′43″；
(2)75°23′12″－46°53′43″；
(3)19°20′24″×4；
(4)134°22′÷3.
【变式1】 计算：24°31′×4－62°10′.
【变式2】 计算：36°16′＋×(100°－71°20′).
14.（运算能力）爱钻研的琪琪发现将如图1所示的手表，理解成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题．
(1)已知表盘直径BC为4 cm，CD＝4AB，若B是AC的中点，则表带CD＝ cm；
(2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合），时针为OE，表盘显示时间为10：30，如图3所示．
①10：30时分针和时针的夹角为 °；
②作射线OF，使∠EOF＝20°，求此时∠BOF的度数；
