4.5 角的比较与补（余）角
第1课时 角的大小比较与角的平分线
知识点1 角的大小的比较
1.将∠1，∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的( C )
A．另一边上 B．内部
C．外部 D．无法判断
2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( A )
A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC
C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC
3.如图，其中最大的角是 ∠AOD ．∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ∠DOA>∠DOB>∠DOC ．
知识点2 角的平分线
4.射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的角平分线的是( B )
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC
D．∠BOC＝∠AOB
5.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为( D )
A.52° B．38° C．64° D．26°
6.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOD，若∠AOD∶∠BOC＝5∶1，则∠COE的度数为( A )
A．30° B．40° C．50° D．60°
7.（广西梧州岑溪市期末）如图，一副直角三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为 45° ．
因为∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，射线OM平分∠BOC，所以∠COM＝∠BOC＝×120°＝60°，
因为ON平分∠AOC，所以∠CON＝∠AOC＝×30°＝15°，所以∠MON＝∠COM－∠CON＝60°－15°＝45°.
易错易混点 忽视分类讨论
8.（广西百色西林县模拟）已知∠AOB＝34°，∠BOC＝
18°，求∠AOC的度数．
分为两种情况：①如图1，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝34°－18°＝16°；
②如图2，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝34°＋18°＝
52°，
故∠AOC的度数为52°或16°.
9.用一个放大镜去看一个角的大小，正确的说法是( C )
A．角的度数扩大了
B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化
D．以上都不对
10.如图，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为( D )
A．30° B．50° C．60° D．90°
11.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COB的角平分线．
(1)求∠DOE的度数；
(2)如果∠AOD＝51°17′，求∠BOE的度数．
(1)因为∠AOC＋∠COB＝180°，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COB的角平分线，
所以∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠COB，
所以∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝(∠AOC＋∠COB)＝90°.
(2)因为∠DOE＝90°，
所以∠AOD＋∠BOE＝90°，
因为∠AOD＝51°17′，
所以∠BOE＝90°－∠AOD＝38°43′.
【母题P164T8】 如图，∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
设∠AOC＝x，则∠COB＝2x，
所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝3x.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD＝∠AOB＝x.
因为∠COD＝19°，所以∠AOD－∠AOC＝19°，
即x－x＝19°.解得：x＝38°.所以∠AOB＝3x＝114°.
【变式】 （广西梧州苍梧县月考）已知：如图，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，∠AOB＝60°，求∠DOE的度数．
设∠COE＝α，∠BOD＝β，
因为OE是∠BOC的角平分线，所以∠BOE＝∠COE＝α，
因为OD是∠AOC的角平分线，所以∠AOD＝∠COD＝2α＋β，因为∠AOB＝60°，所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2α＋2β＝60°，所以α＋β＝30°，所以∠DOE＝∠BOE＋∠BOD＝α＋β＝30°.
12.（运算能力）(1)如图，∠AOB的角平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线，若∠BON＝55°，∠AON＝15°时，求∠MON的度数；
(2)某同学经过认真的分析，得出一个关系式：∠MON＝(∠BON－∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗？若正确，请把得出这个结论的过程写出来．
(1)因为∠BON＝55°，∠AON＝15°，
所以∠AOB＝∠AON＋∠BON＝70°，
因为OM平分∠AOB，所以∠AOM＝∠AOB＝35°，
所以∠MON＝∠AOM－∠AON＝35°－15°＝20°.
(2)正确．
理由：∠MON＝∠AOM－∠AON＝∠AOB－∠AON＝(∠BON＋∠AON)－∠AON＝(∠BON－∠AON).
第2课时 补角和余角
知识点1 补角
1.已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是( C )
A．55° B．65° C．145° D．165°
2.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( C )
A．50° B．60° C．140° D．150°
3.已知∠A＝70°，则∠A的补角为( A )
A．110° B．70° C．30° D．20°
4.如果∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，∠1＝72°，则∠3＝ 72 °.
知识点2 余角
5.如果α与β互为余角，则( D )
A．α＋β＝180° B．α－β＝180°
C．α－β＝90° D．α＋β＝90°
6.如图，一个三角板的直角顶点在直线l上，那么∠1＋∠2等于( B )
A．60° B．90° C．110° D．180°
7.如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2与∠4的大小关系是 相等 ，其根据是 等角的余角相等 ．
知识点3 补角和余角的性质
8.若∠A＋∠B＝180°，∠A与∠C互补，则∠B与∠C的关系是( A )
A．相等 B．互补
C．互余 D．不能确定
9.已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互余，∠1＝65°，则∠3＝( A )
A．65° B．25°
C．115° D．155°
10.（广西河池环江县期末）下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( D )
A． B．
C． D．
11.（广西玉林北流市期末）若∠α＝45°－n°，∠β＝45°＋n°，则∠α与∠β的关系是( B )
A．互补 B．互余
C．和为钝角 D．和为周角
12.一个锐角和它的余角相等，则它的补角为( C )
A．75° B．120°
C．135° D．150°
13.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是 ∠BOC .
因为∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝90°－∠BOD，∠BOC＝∠COD－∠BOD＝90°－∠BOD，
所以∠AOD＝∠BOC.
【母题P163T2】 如图，点A，O，B在同一条直线上，OC是一条射线，OE，OF分别是∠AOC，∠COB的角平分线．你能说出∠EOF的度数吗？你是怎样得到的？
∠EOF＝90°.理由如下：
因为OE，OF分别是∠AOC，∠COB的角平分线，
所以∠AOE＝∠COE，∠COF＝∠BOF.
因为∠AOE＋∠COE＋∠COF＋∠BOF＝180°，
所以2∠COE＋2∠COF＝2(∠COE＋∠COF)＝180°，
所以∠COE＋∠COF＝＝90°，
所以∠EOF＝∠COE＋∠COF＝90°.
【变式1】 （广西崇左江州市模拟）如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC，OD，使∠COD＝90°.射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD，求∠EOF的度数．
因为∠AOB＝180°，∠COD＝90°，
所以∠AOC＋∠BOD＝90°，
因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
所以∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，
因为∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠DOF，
所以∠EOF＝∠AOC＋90°＋∠BOD＝×90°＋90°＝135°.
【变式2】 （广西百色靖西市月考）如图，已知OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？
设∠COD的度数为x，
因为OD是∠COE的角平分线，所以∠EOC＝2∠COD＝2x，
因为∠BOC比∠COD的2倍还多10°，
所以∠BOC＝2x＋10°，因为OB是∠AOC的角平分线，
所以∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x＋20°，
因为∠AOE＝140°，
所以2x＋4x＋20°＝140°，解得x＝20°，
所以∠BOC＝2x＋10°＝50°，
所以∠AOB＝50°.
14.（运算能力）如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的角平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)写出图中与∠EOC互余的角；
(3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由．
(1)因为∠BOC＝40°，所以∠AOC＝140°，因为OE是∠AOC的角平分线，
所以∠AOE＝140°÷2＝70°；
(2)因为OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的角平分线，
所以∠AOE＝∠EOC，∠COD＝∠BOD，所以∠EOC＋∠COD＝90°，
所以∠BOD＋∠EOC＝90°，
所以图中与∠EOC互余的角有∠COD，∠BOD；
(3)∠COE有补角，
理由：因为∠AOE＝∠EOC，∠AOE＋∠BOE＝
180°，所以∠COE＋∠BOE＝180°，所以∠COE的补角是∠BOE.
15.（运算能力）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝150°，在平面内，过点O任画射线OD.
(1)填空：若∠BOD与∠COD 互余，则∠COD的度数是 30°或60° ；
(2)射线OD绕点O从射线OA的位置出发，顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，OE平分∠AOD.
①若∠COD＝90°，求∠EOC的度数；
②在射线OD旋转过程中，是否存在α的值，使得∠EOD与∠COD互余？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由．
(1)因为∠BOD与∠COD互余，
所以有以下两种情况：
(ⅰ)当OD在AB的上方时，如图1，
因为点O在直线AB上，∠AOC＝150°，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝30°，所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝30°＋∠COD，因为∠BOD与∠COD互余，所以∠BOD＋∠COD＝90°，
即30°＋∠COD＋∠COD＝90°，所以∠COD＝
30°；
(ⅱ)当OD在AB的下方时，如图2，
∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝30°＋∠BOD，
因为∠BOD与∠COD互余，所以∠BOD＋∠COD＝90°，
所以∠BOD＋30°＋∠BOD＝90°，
所以∠BOD＝30°，
所以∠COD＝30°＋∠BOD＝60°，
综上所述，∠COD的度数是30°或60°.
故答案为：30°或60°.
(2)①因为∠COD＝90°，0°<α<180°，
图3
OD在AB的上方，如图3，
因为点O在直线AB上，∠AOC＝150°，
所以∠AOD＝∠AOC－∠COD＝150°－90°＝60°，因为OE平分∠AOD，
所以∠EOD＝∠AOD＝30°，
所以∠EOC＝∠EOD＋∠COD＝30°＋90°＝120°；
②存在，α＝120°或160°，理由如下：
依题意得：α＝∠AOD，
分两种情况讨论如下：
(ⅰ)当OD在∠AOC内部时，如图4，
因为∠EOD与∠COD互余，所以∠EOD＋∠COD＝90°，即∠EOC＝90°，
所以∠AOE＝∠AOC－∠EOC＝150°－90°＝60°，
因为OE平分∠AOD，
所以∠AOD＝2∠AOE＝120°，
所以当∠EOD与∠COD互余时，α＝120°；
(ⅱ)当OD在∠BOC内部时，如图5，
因为∠EOD与∠COD互余，所以∠EOD＋∠COD＝90°，
所以∠EOD＝90°－∠COD，
因为∠EOD＝∠EOC＋∠COD，
所以∠EOC＝90°－2∠COD，
因为OE平分∠AOD，
所以∠AOE＝∠EOD＝90°－∠COD，
因为∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝150°，
所以90°－∠COD＋90°－2∠COD＝150°，
所以∠COD＝10°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝150°＋10°＝160°，所以当∠EOD与∠COD互余时，α＝160°.
综上所述，当α＝120°或160°时，使得∠EOD与∠COD互余．
第3课时 用尺规作角
知识点 用尺规作角
1.下列说法正确的有( C )
①利用尺规能作一个角等于已知角；②利用尺规能作一个角等于已知两个角的和；③利用尺规能作一个角等于已知两个角的差；④利用尺规不能作一个角等于已知角的2倍．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
尺规作图可以作一个角等于已知角，作已知两角的和与差，也能作出一个角等于已知角的2倍，故④错误，因此选C.
2.如图1，求作一个角等于已知角∠AOB.
图1
图2
作法：(1)作射线 O′B′ ；
(2)以点 O 为圆心，以 任意长 为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
(3)以点 O′ 为圆心，以 OC 为半径画弧，交O′B′于点D′；
(4)以点D′为圆心，以 CD 为半径画弧，交前面的弧于点C′；
(5)过点 O′，C′ 作射线O′A′.
则∠A′O′B′就是所求作的角，如图2.
3.作图题：（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
已知：如图，∠α，∠β.
求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β.
如图所示．
4.下列作图属于尺规作图的是( B )
A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝∠1
B.用无刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
C．画线段AB＝3 cm
D．用三角板画∠AOB＝90°
用无刻度的直尺和圆规画图才是尺规作图．
5.下列尺规作图的语句错误的是( B )
A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α
B．以点O为圆心作弧
C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β
A.作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，正确；B.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误；C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，正确；D.作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β，正确．
6.（应用能力）如图，两条公路l1，l2相交于O 点，在公路l1上有一个公交车站A，在公路l2上有一个公交车站B，已知两个车站A，B所在的直线与公路l1的夹角恰好等于α，请你画出公交车站B的位置．
作法：如图所示：
(1)以∠α的顶点N为圆心，任意长为半径画弧，分别交∠α的两边于P，Q两点；
(2)以点A为圆心，NP为半径画弧，交射线AO于点C；
(3)以点C为圆心，PQ为半径画弧，交前弧于D，E两点；
(4)画射线AD、AE分别交直线l2于B1、B2两点．
即B1、B2两点均是所求作的公交车站B的位置．
线段或角的计算
思路1 利用线段的和差倍分计算
1.在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB＝10 cm，BC＝4 cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为( A )
A．3 cm B．7 cm
C．3 cm或7 cm D．5 cm或2 cm
2.A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为AB，BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为( D )
A．30 B．30或10
C．50 D．50或10
3.点M，N都在线段AB上，且M分AB为2∶3两部分，N分AB为3∶4两部分，若MN＝2 cm，则AB的长为( B )
A．60 cm B．70 cm
C．75 cm D．80 cm
4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点．若AB＝9 cm，则DC的长为 6 cm.
5.如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶4∶3 的三部分，M是AD的中点，若CD＝6，求线段MC的长．
因为B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，2＋4＋3＝9，
所以AB＝AD，BC＝AD，CD＝AD，
又因为CD＝6，所以AD＝18.
因为M是AD的中点，所以MD＝9，
所以MC＝MD－CD＝9－6＝3.
6.如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论，并说明理由．
(1)因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝
AC，CN＝BC.因为MN＝MC＋CN＝AC＋BC，所以MN＝AB＝7 cm；
(2)MN＝ cm.理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝AC，CN＝BC，又因为MN＝MC＋CN，AB＝AC＋BC，所以MN＝(AC＋BC)＝ cm；
(3)MN＝ cm.理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝AC，NC＝BC.
又因为MN＝MC－NC，所以MN＝(AC－BC)＝ cm.
思路2 利用角的和差倍分计算
7.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为( A )
A．22° B．34° C．56° D．90°
第7题图
第8题图
8.如图，∠AOB＝30°，OB平分∠AOC，OC平分∠BOD，OD平分∠COE，则∠COE＝( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
9.已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( B )
A．120° B．120°或60°
C．30° D．30°或90°
10.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为( C )
A．α B．180°－2α
C．360°－4α D．2α－60°
11.如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数．
因为∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝40°，
所以∠BOC＝2×40°＝80°，
所以∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝80°＋40°＝120°.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD＝∠AOB＝×120°＝60°，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°－40°＝20°.
12.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
图1 图2 图3
(1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ 25° ；
(2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
(1)因为∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
所以∠MOC＝∠MON－∠BOC＝90°－65°＝25°.
(2)因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
所以∠MOB＝2∠BOC＝130°.
所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝
40°，
所以∠CON＝∠COB－∠BON＝65°－40°＝25°.
(3)因为∠NOC＝∠AOM，所以∠AOM＝4∠NOC.
因为∠BOC＝65°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°.因为∠MON＝90°，所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°.所以4∠NOC＋∠NOC＝25°.所以∠NOC＝5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°.4.5 角的比较与补（余）角
第1课时 角的大小比较与角的平分线
知识点1 角的大小的比较
1.将∠1，∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的( )
A．另一边上 B．内部
C．外部 D．无法判断
2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )
A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC
C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC
3.如图，其中最大的角是 ．∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ．
知识点2 角的平分线
4.射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的角平分线的是( )
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC
D．∠BOC＝∠AOB
5.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为( )
A.52° B．38° C．64° D．26°
6.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOD，若∠AOD∶∠BOC＝5∶1，则∠COE的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
7.（广西梧州岑溪市期末）如图，一副直角三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为 ．
易错易混点 忽视分类讨论
8.（广西百色西林县模拟）已知∠AOB＝34°，∠BOC＝
18°，求∠AOC的度数．
9.用一个放大镜去看一个角的大小，正确的说法是( )
A．角的度数扩大了
B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化
D．以上都不对
10.如图，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为( )
A．30° B．50° C．60° D．90°
11.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COB的角平分线．
(1)求∠DOE的度数；
(2)如果∠AOD＝51°17′，求∠BOE的度数．
【母题P164T8】 如图，∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
【变式】 （广西梧州苍梧县月考）已知：如图，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，∠AOB＝60°，求∠DOE的度数．
12.（运算能力）(1)如图，∠AOB的角平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线，若∠BON＝55°，∠AON＝15°时，求∠MON的度数；
(2)某同学经过认真的分析，得出一个关系式：∠MON＝(∠BON－∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗？若正确，请把得出这个结论的过程写出来．
第2课时 补角和余角
知识点1 补角
1.已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是( )
A．55° B．65° C．145° D．165°
2.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60° C．140° D．150°
3.已知∠A＝70°，则∠A的补角为( )
A．110° B．70° C．30° D．20°
4.如果∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，∠1＝72°，则∠3＝ °.
知识点2 余角
5.如果α与β互为余角，则( )
A．α＋β＝180° B．α－β＝180°
C．α－β＝90° D．α＋β＝90°
6.如图，一个三角板的直角顶点在直线l上，那么∠1＋∠2等于( )
A．60° B．90° C．110° D．180°
7.如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2与∠4的大小关系是 ，其根据是 ．
知识点3 补角和余角的性质
8.若∠A＋∠B＝180°，∠A与∠C互补，则∠B与∠C的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．不能确定
9.已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互余，∠1＝65°，则∠3＝( )
A．65° B．25°
C．115° D．155°
10.（广西河池环江县期末）下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
A． B．
C． D．
11.（广西玉林北流市期末）若∠α＝45°－n°，∠β＝45°＋n°，则∠α与∠β的关系是( )
A．互补 B．互余
C．和为钝角 D．和为周角
12.一个锐角和它的余角相等，则它的补角为( )
A．75° B．120°
C．135° D．150°
13.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是 .
【母题P163T2】 如图，点A，O，B在同一条直线上，OC是一条射线，OE，OF分别是∠AOC，∠COB的角平分线．你能说出∠EOF的度数吗？你是怎样得到的？
【变式1】 （广西崇左江州市模拟）如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC，OD，使∠COD＝90°.射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD，求∠EOF的度数．
【变式2】 （广西百色靖西市月考）如图，已知OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？
14.（运算能力）如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的角平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)写出图中与∠EOC互余的角；
(3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由．
15.（运算能力）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝150°，在平面内，过点O任画射线OD.
(1)填空：若∠BOD与∠COD 互余，则∠COD的度数是 ；
(2)射线OD绕点O从射线OA的位置出发，顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，OE平分∠AOD.
①若∠COD＝90°，求∠EOC的度数；
②在射线OD旋转过程中，是否存在α的值，使得∠EOD与∠COD互余？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由．
第3课时 用尺规作角
知识点 用尺规作角
1.下列说法正确的有( )
①利用尺规能作一个角等于已知角；②利用尺规能作一个角等于已知两个角的和；③利用尺规能作一个角等于已知两个角的差；④利用尺规不能作一个角等于已知角的2倍．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图1，求作一个角等于已知角∠AOB.
图1
图2
作法：(1)作射线 ；
(2)以点 为圆心，以 为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
(3)以点 为圆心，以 为半径画弧，交O′B′于点D′；
(4)以点D′为圆心，以 为半径画弧，交前面的弧于点C′；
(5)过点 作射线O′A′.
则∠A′O′B′就是所求作的角，如图2.
3.作图题：（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
已知：如图，∠α，∠β.
求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β.
4.下列作图属于尺规作图的是( )
A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝∠1
B.用无刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
C．画线段AB＝3 cm
D．用三角板画∠AOB＝90°
5.下列尺规作图的语句错误的是( )
A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α
B．以点O为圆心作弧
C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β
6.（应用能力）如图，两条公路l1，l2相交于O 点，在公路l1上有一个公交车站A，在公路l2上有一个公交车站B，已知两个车站A，B所在的直线与公路l1的夹角恰好等于α，请你画出公交车站B的位置．
线段或角的计算
思路1 利用线段的和差倍分计算
1.在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB＝10 cm，BC＝4 cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为( )
A．3 cm B．7 cm
C．3 cm或7 cm D．5 cm或2 cm
2.A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为AB，BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为( )
A．30 B．30或10
C．50 D．50或10
3.点M，N都在线段AB上，且M分AB为2∶3两部分，N分AB为3∶4两部分，若MN＝2 cm，则AB的长为( )
A．60 cm B．70 cm
C．75 cm D．80 cm
4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点．若AB＝9 cm，则DC的长为 cm.
5.如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶4∶3 的三部分，M是AD的中点，若CD＝6，求线段MC的长．
6.如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论，并说明理由．
思路2 利用角的和差倍分计算
7.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为( )
A．22° B．34° C．56° D．90°
第7题图
第8题图
8.如图，∠AOB＝30°，OB平分∠AOC，OC平分∠BOD，OD平分∠COE，则∠COE＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
9.已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( )
A．120° B．120°或60°
C．30° D．30°或90°
10.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为( )
A．α B．180°－2α
C．360°－4α D．2α－60°
11.如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数．
12.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
图1 图2 图3
(1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ ；
(2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
