第1章 有理数
1.1 正数和负数
第1课时 正数和负数
知识梳理
1.为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量规定为正的，用原来熟悉的数表示，这样的数叫作 正数 ；把与相反意义的量规定为负的，用在正数前面添上负号“－”的数表示，这样的数叫作 负数 ．
2.通常情况下，正数的前面可以添上正号“＋”，正数前面的正号“＋” 可以 省略，负数前面的负号“－” 不能 省略．
3.数0既不是 正数 ，也不是 负数 ．
带有“＋”号的数不一定是正数，带有“－”号的数不一定是负数．
重难突破
重难点 用正负数表示具有相反意义的量
【典例】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作＋90元，那么亏本60元记作( )
A．－60元 B．－70元
C．＋60元 D．＋70元
解：如果盈利90元记作＋90元，那么亏本60元记作－60元．
答案：A.
两种具有相反意义的量，若把其中一种量用正数表示，则另一种量用负数表示．
【对点训练】
如果向东走5 m，记为＋5 m，那么走－10 m，表示( A )
A．向西走10 m B．向东走10 m
C．向南走10 m D．向北走10 m
课堂10分钟
1.飞机上有一种零件的尺寸标准是200±5（单位：mm），则下列零件尺寸不合格的是( D )
A．196 mm B．198 mm
C．204 mm D．210 mm
2.下列选项中，不具有相反意义的量的是( C )
A．买入20台电脑与卖出20台电脑
B．水位上升2 m与水位下降2 m
C．减少2 kg与增高2 cm
D．向东走200 m和向西走200 m
3.七年级一班期末数学考试的平均成绩是88分，小欢得了95分，记作＋7分，小乐的成绩记作－3分，则小乐得了( B )
A．83分 B．85分
C．91分 D．92分
4.一袋糖果包装上印有“总质量(500±5)克”的字样，小红拿去称了一下，发现质量为498克，则该糖果生产厂家 没有 （填“有”或“没有”）欺诈行为．
5.举办冬残奥会最理想的温度是－17 ℃至10 ℃，若10 ℃表示零上10 ℃，则－17 ℃表示 零下17 ℃ ．
第2课时 有理数
知识梳理
1. 整数 和 分数 统称有理数．
2.整数包括 正整数 、0和 负整数 ．
3.分数包括 正分数 和 负分数 ．
0既不是正数，也不是负数，0是整数．
重难突破
重难点 有理数的分类
【典例】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.070 8，－700，－3.88，0，3.14，－，0..
正有理数集合：{ …}，
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
非负整数集合：{ …}．
正有理数集合：{ 1，0.070 8，3.14，0.… }，
负整数集合：{ －700，… }，
正分数集合：{ 0.070 8，3.14，0.，… }，
非负整数集合：{ 1，0，… }．
无限循环小数属于分数．
【对点训练】
把下列各数填到相应的集合中．
1，，0.5，＋7，0，－π，－6.4，－9，，0.3，5%，－26，1.010 010 001…（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）.
正数集合：{ 1，，0.5，＋7，，0.3，5%，1.010 010 001…（每相邻两个1之间，0的个数逐次加1）… }；
负数集合：{ －π，－6.4，－9，－26… }；
整数集合：{ 1，＋7，0，－9，－26… }；
分数集合：{ ，0.5，－6.4，，0.3，5%… }．
课堂10分钟
1.在－，0，－1，3这四个数中，负整数是( C )
A．－ B．0 C．－1 D．3
2.在数0.73，0，－39，1，1，－，2.43，－，23%，98，中，分数有( C )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3.下列说法正确的是( B )
A．所有的整数都是正数
B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数
D．零既可以是正整数，也可以是负整数
4.(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
－2，，0，－0.314，－4，25%，11，－0.3，2.
(2)图中A区表示 正整数 数集，B区表示 负整数
数集．
(1)把各数分别填在数集图中为：
(2)图中A区表示正整数数集，B区表示负整数数集，故答案为：正整数，负整数．
1.2 数轴、相反数和绝对值
第1课时 数轴
知识梳理
1.画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示数 0 ；规定这条直线的一个方向为 正 方向，相反的方向就是 负 方向（当直线水平放置时，一般取从左到右的方向为正方向，并用箭头表示）；适当地选取某一长度作为 单位长度 ．这种规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的 直线 叫作数轴．
2.任意一个有理数，都可以用 数轴 上的一个点来表示．
画数轴时应注意以下四点：
①标出原点；
②标出正方向；
③标出单位长度；
④单位长度要统一．
重难突破
重难点 数轴的应用
【典例】送货员驾驶一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示1千米，你能在数轴上分别表示出货场A、批发部B、商场C、超市D的位置吗？
(2)超市D距货场A多远？
(3)此款货车每千米耗油约0.1升，每升汽油6.20元，请你计算他需多少汽油费？
解：(1)如图所示．
(2)超市D与货场A的距离AD＝2 km；
(3)(2＋1.5＋5.5＋2)×0.1×6.2＝6.82（元），
答：他需6.82元汽油费．
用数轴上的点表示有理数的一般步骤：
(1)正确画出数轴的原点、正方向和单位长度；
(2)根据数的符号和数值确定该数对应的点在数轴上的位置；
(3)用实心圆点表示出该数对应的点，并标出该数．
【对点训练】
如图1，在数轴上从左到右有A，B，C三个点，分别对应的数为－5，b，4，将刻度尺按如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8 cm，点C对齐刻度5.4 cm.
图1
图2
(1)①在图1的数轴上，AC＝ 9 个长度单位，在图2的刻度尺上，AC＝ 5.4 cm；
②数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的 0.6 cm；
③刻度尺上的1 cm对应数轴上的 个单位长度；
(2)求数轴上点B所对应的数b.
(1)①在数轴上，AC＝9个单位长度．因为刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度5.4 cm，所以AC＝5.4 cm，故答案为：9，5.4；
②5.4÷9＝0.6(cm)，故答案为：0.6；
③1÷0.6＝，故答案为：；
(2)因为点B对应刻度1.8 cm，所以在刻度尺上AB＝1.8 cm，所以在数轴上AB＝1.8÷0.6＝3（个单位长度）.因为数轴上点A所对应的数为－5，所以数轴上点B所对应的数b为－2.
课堂10分钟
1.数轴上与表示－2的点相距3个单位长度的点所表示的数是( D )
A．－5 B．－1 C．1 D．－5和1
2.如图，将刻度尺放在数轴上，让3 cm和5 cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0 cm刻度线对齐的点表示的数为( C )
A．－2 B．0 C．－1 D．1
3.如图，数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD，若A，D两点表示的数分别为－2，9，E为BD的中点，则点E所表示的数为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
因为A，D两点表示的数分别为－2，9，所以AD＝9＋2＝11.因为2AB＝BC＝3CD，所以CD＝AB，所以AB＋2AB＋AB＝11，所以AB＝3，所以BC＝6，CD＝2，所以BD＝BC＋CD＝6＋2＝8.因为点E为BD的中点，所以BE＝BD＝×8＝4，所以AE＝AB＋BE＝3＋4＝7，DE＝AD－AE＝11－7＝4，所以点E所表示的数为9－4＝5.
4.数轴上点B表示的数是3，点C表示的数是－3，则B，C两点之间的距离是 6 ．
因为数轴上点B表示的数是3，点C表示的数是－3，所以点B在原点的右侧，距离原点3个单位长度，点C在原点的左侧，距离原点3个单位长度，所以点B，C之间的距离是3＋3＝6（个单位长度）.
第2课时 相反数
知识梳理
1.只有符号不同的两个数 互为相反数 ．
2.0的相反数是 0 ．
3.不为0的数与它的相反数在数轴上所表示的点在原点的 两侧 ，到原点的距离 相等 ．
在一个有理数的前面添加上一个“－”号，就会变成这个数的相反数．例如：数a的相反数是－a；带有多重符号的数的化简，仍然依据相反数的意义和正数的表示方法进行化简．
重难突破
重难点 相反数的运用
【典例】 已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置．
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
(3)在(2)的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？
解：(1)如图．
(2)因为数a与其相反数相距20个单位长度，
所以数a与其相反数相距原点10个单位长度，
所以a＝－10.即a表示的数是－10.
(3)因为a＝－10，所以－a＝10.
当b在－a的右边时，b表示的数是10＋5＝15，
当b在－a的左边时，b表示的数是10－5＝5，
即b表示的数是5或15.
(1)互为相反数的两个数只是符号不同，但数字必须相同；
(2)求一个数的相反数，只需要改变该数前面的符号即可．
【对点训练】
已知，数轴上A点表示＋8，B，C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？
因为当点C在A点的左边时，点C表示的数是8－3＝5，当点C在A点的右边时，点C表示的数是8＋3＝11，所以C点表示的数是5或11，所以当C表示的数是5时，B点表示的数是－5； 当C表示的数是11时，B点表示的数是－11.
课堂10分钟
1.3的相反数是( B )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
2.当－a＝－7时，－a的相反数是( A )
A．7 B．－7
C．±7 D．不能确定
3.下列化简正确的是( C )
A．－(＋1)＝1
B．－(－1)＝－1
C．－［－(－1)］＝－1
D．－［－(＋1)］＝－1
4.若x与－3互为相反数，则x＋6的值为 9 ．
5.化简下列各式的符号：
(1)－(＋4)；(2)＋（－）；
(3)－［－（－3）］；
(4)－{－［－(－π)］}．
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“－”号的个数有什么关系？
(1)－(＋4)＝－4；(2)＋（－）＝－；
(3)－［－（－3）］＝－3；
(4)－{－［－(－π)］}＝π.
最后结果的符号与“－”的个数有着密切联系．当“－”的个数是奇数时，最后结果为负数，当“－”的个数是偶数时，最后结果为正数．
第3课时 绝对值
知识梳理
1.在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作数a的 绝对值 ，记作 |a| ．
2.一个 正数 的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数 ；0的绝对值是 0 ．
任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.不存在绝对值是负数的有理数．
重难突破
重难点 绝对值的运用
【典例】(1)绝对值是1的数有几个？各是什么？
(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？
(3)绝对值是－2 025的数是否存在？若存在，请写出来.
解：(1)绝对值是1的数有2个，是1和－1；
(2)绝对值是0的数有1个，是0；
(3)绝对值是－2 025的数不存在．
绝对值等于一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值等于0的有理数只有0本身．
【对点训练】
请根据下面的对话解答下列问题．
小锦：“我不小心把老师留的作业题弄丢了．”
小军：“我告诉你，a的相反数是4，b的绝对值是2，c与b互为相反数．”求a，b，c的值．
这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相反哦！”
因为a的相反数是4，b的绝对值是2，所以a＝－4，b＝±2.
因为a和b的符号相反，所以b＝2.因为c与b互为相反数，所以c＝－2，故答案为：a＝－4；b＝2；c＝－2.
课堂10分钟
1.－2 025的绝对值是( A )
A．2 025 B．－2 025
C． D．－
2.下列各式一定成立的是( C )
A．|－1.5|＝－1.5 B．－|－1.5|＝1.5
C．|－1.5|＝1.5 D．－|1.5|＝1.5
3.已知a＝－5，|a|＝|b|，则b＝( D )
A．＋5 B．－5
C．0 D．＋5或－5
4.下列各对数互为相反数的是( C )
A．－(－8)与＋(＋8) B．－(＋8)与－|－8|
C．－(＋8)与－(－8) D．－|－8|与＋(－8)
5.若|－a|＝10，则a＝ ±10 ．
1.3 有理数的大小
知识梳理
1.数轴上不同的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大 ．
2.正数 大于 0，0 大于 负数，正数 大于 负数．
3.两个负数比较大小，绝对值大的 反而小 ．
有理数的大小比较有两种不同的方法：一是借助于数轴比较大小，具有很强的直观性，不易出错；二是直接运用有理数的性质比较大小，较为抽象：
(1)正数>0>负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小，这一点是特别容易出错的，一定要避免出现错误．
重难突破
重难点 比较两个有理数的大小
【典例】在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“＞”号把这些数连接起来．
－(－3)，|－5|，－1.5，0.
解：绘图如图所示，
所以|－5|＞－(－3)＞0＞－1.5.
本题考查了有理数的大小比较，数轴的运用，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
【对点训练】
已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5.
(1)a＝ 2 ，b＝ －3.5 ．
(2)写出大于b的所有负整数．
(3)在数轴上标出表示－，0，－2，b的点，并用“＜”连接起来．
(1)由题意，得a＝2，b＝－3.5，
故答案为：2，－3.5；
(2)大于b的所有负整数为：－3，－2，－1；
(3)在数轴上表示各点如图所示，
－3.5＜－2＜－＜0.
课堂10分钟
1.有理数3，1，－1，4中，小于0的数是( A )
A．－1 B．1 C．3 D．4
2.下列各数中，比－π小的数是( A )
A．－5 B．－1 C．0 D．1
3.在－4，－(－2)，－|－4.5|，0中，最小的数是( D )
A．0 B．－(－2)
C．－4 D．－|－4.5|
4.绝对值小于4.01的整数有( D )
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5.比较－2.2，－1，|－3|，－5的大小，用“＜”号连接起来 －5＜－2.2＜－1＜|－3| ．
1.4 有理数的加减
1.有理数的加法
第1课时 有理数的加法
知识梳理
1.同号两数相加，取 加数 的符号，并把绝对值 相加 .
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取 绝对值较大
的加数的符号，并用较大的绝对值 减去 较小的绝对值；绝对值相等时和为 0 ．
3.一个数与0相加， 仍得这个数 ．
有理数的加法运算容易出现两个错误：(1)不会确定和的符号；(2)忽视和的绝对值的运算，误将和的绝对值一律进行加法运算．
无论确定和的符号，还是确定和的绝对值，前提条件都是确定加数的绝对值的大小，依据绝对值的大小选择运算的方法．
重难突破
重难点 有理数的加法运算
【典例】计算：
(1)(－7)＋(－15)；
(2)(－32)＋(＋27)；
(3)＋（－）.
解：(1)(－7)＋(－15)＝－(7＋15)＝－22；
(2)(－32)＋(＋27)＝－(32－27)＝－5；
(3)原式＝－（－）＝－.
有理数的加法运算分两步进行：(1)确定和的符号；(2)确定和的绝对值，和的绝对值的运算掌握以下原则：同号“＋”，异号“－”．
【对点训练】
计算：
(1)（－）＋（－）. (2)（－）＋（－）.
(3)（＋2）＋（－3）.
(1)原式＝－－＝－.
(2)原式＝－（＋）＝－.
(3)（＋2）＋（－3）＝－（3－2）＝－.
课堂10分钟
1.已知2＋□＝0，则“□”处的数为( C )
A．2 B．1 C．－2 D．－1
2.下列问题情境，能用加法算式－2＋10表示的是( C )
A．水位先下降2 cm，又下降10 cm后的水位变化情况
B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数
C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱
D．数轴上表示－2与10的两个点之间的距离
3.某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货3吨，出货4吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是( D )
A．(＋3)＋(＋4) B．(－3)＋(＋4)
C．(－3)＋(－4) D．(＋3)＋(－4)
4.如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a＋b的值是 4或2 ．
5.计算：
(1)12＋23；(2)(－12)＋(－23)；
(3)(－6)＋0；(4)（－）＋.
(1)12＋23＝35；
(2)(－12)＋(－23)＝－35；
(3)(－6)＋0＝－6；
(4)（－）＋＝－（－）＝－.
第2课时 有理数加法的运算律
知识梳理
1.用字母表示有理数的加法交换律： a＋b＝b＋a ．
2.用字母表示有理数的加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ．
运用有理数加法的运算律计算时，一定注意各数的符号不变．
重难突破
重难点 应用运算律进行有理数的计算
【典例】计算：
(1)(－25)＋(＋34)＋156＋(－65)；
(2)（－）＋（－）＋（－）＋；
(3)7＋(－3)＋|3＋(－5)|＋(－10).
解：(1)(－25)＋(＋34)＋156＋(－65)
＝(－25－65)＋(34＋156)
＝－90＋190
＝100；
(2)（－）＋（－）＋（－）＋＝（－＋）＋（－－）
＝0＋(－1)
＝－1；
(3)7＋(－3)＋|3＋(－5)|＋(－10)
＝7＋(－3)＋|－2|＋(－10)
＝7＋(－3)＋2＋(－10)
＝(7＋2)＋(－3－10)
＝9＋(－13)
＝－4.
对于多个有理数的加法的运算，需要注意加数的特征，适当应用运算律简化运算顺序，降低计算难度．
【对点训练】
阅读下面文字：
对于（－3）＋（－1）＋2＋2可以如下计算：
原式＝［－3＋（－）］＋［－1＋（－）］＋（2＋）＋（2＋）
＝［(－3)＋(－1)＋2＋2］＋
＝0＋ （－＋）
＝ ．
上面这种方法叫拆项法．
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：（－2 025）＋2 024＋（－2 023）＋2 022.
(1)（－3）＋（－1）＋2＋2
＝＋＋（2＋）＋（2＋）＝［(－3)＋(－1)＋2＋2］＋
＝0＋（－＋）
＝.
(2)（－2 025）＋2 024＋（－2 023）＋
2 022＝＋（2 024＋）＋＋2 022＋＝［－2 025＋2 024＋(－2 023)＋2 022］＋［－＋＋（－）＋］＝－2＋（－）＝－2.
课堂10分钟
1.能与－（－）相加得0的数是( B )
A．－－ B．－＋
C．＋ D．－＋
2.已知□＝〇＋〇＋2，□－〇＝6，则〇表示的数为( B )
A．8 B．4 C．3 D．2
3.某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：km）：＋7，－9，＋8，－6，－5，则收工时检修小组在A地的( A )
A．西边5 km B．东边5 km
C．西边35 km D．东边35 km
由题意，得＋7＋(－9)＋(＋8)＋(－6)＋(－5)＝－5(km)，所以收工时检修小组在A地的西边5 km.
4.计算：
(1)(＋7)＋(－6)＋(－7)；
(2)13＋(－12)＋17＋(－18)；
(3)（－）＋（－）＋＋（－）；
(4)(－20)＋3＋20＋（－）；
(5)(－3.75)＋2＋（－1）；
(6)5.6＋(－0.9)＋4.4＋(－8.1).
(1)(＋7)＋(－6)＋(－7)＝(＋7)＋(－7)＋(－6)＝－6；
(2)13＋(－12)＋17＋(－18)＝［13＋(－12)］＋［17＋(－18)］＝1＋(－1)＝0；
(3)（－）＋（－）＋＋（－）
＝＋＝1＋(－1)＝0；
(4)(－20)＋3＋20＋（－）＝(－20)＋20＋3＋（－）＝3；
(5)(－3.75)＋2＋（－1）＝(－3.75)＋（－1）＋2＝－5＋2＝－3；
(6)5.6＋(－0.9)＋4.4＋(－8.1)＝(5.6＋4.4)＋［(－0.9)＋(－8.1)］＝10＋(－9)＝1.
2.有理数的减法
知识梳理
有理数的减法运算转化为加法运算时，减号“－”变为“＋”，同时减数的符号也要改变，两者缺一不可．
重难突破
重难点 有理数的减法运算
【典例】计算下列各题：
(1)(－3)－0；
(2)9－(－7)；
(3)(－4)－(－6)；
(4)(－7.3)－(＋7.3).
解：(1)(－3)－0＝－3；
(2)9－(－7)＝9＋7＝16；
(3)(－4)－(－6)＝－4＋6＝2；
(4)(－7.3)－(＋7.3)＝－7.3＋(－7.3)＝－14.6.
先将有理数的减法运算转化为加法运算，然后运用有理数加法运算法则计算．
【对点训练】
列式并计算：
(1)－1减去－与的和；
(2)3的相反数与－2的绝对值的和．
(1)－1－（－＋）＝－1－（－）＝－1＋＝－；
(2)－3＋|－2|＝－＋＝－.
课堂10分钟
1.温度－4 ℃比－9 ℃高( B )
A．－5 ℃ B．5 ℃ C．－13 ℃ D．13 ℃
2.计算－2－|－3|的结果为( A )
A．－5 B．－1 C．1 D．5
3.下列说法正确的是( D )
A．两数相减，被减数一定大于减数
B．零减去一个数仍得这个数
C．互为相反数的两数差为0
D．减去一个正数，差一定小于被减数
4.已知|a|＝3，b＝7，则a－b的值为( C )
A．4或10 B．－4或10
C．－4或－10 D．4或－10
5.a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a－b的值是 1 ．
3.加、减混合运算
知识梳理
当有理数的算式中只含有加法运算时，可以省去 加号 和各个 括号 ，写成省略“＋”号的和的形式，例如式子(－3)＋(＋2)＋(－5)＋(－9)可以写成“ －3＋2－5－9 ”可以读作“ －3、＋2、－5、－9的和 ”，或者读作“ －3加2减5减9 ”．
只有在有理数的加法中可以省略加号与括号，此时不妨碍运用加法的运算律进行计算，遇到加减混合运算时，需要先把减法转化为加法，然后再计算．
重难突破
重难点 有理数的加减混合运算
【典例】若|－1|＝1－，|－|＝－，|－|＝－，…，照此规律试求：
(1)|－|；
(2)|－1|＋|－|＋|－|＋|－|；
(3)|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|.
解：(1)|－|＝－；
(2)原式＝1－＋－＋－＋－＝1－＝；
(3)原式＝1－＋－＋＋…＋－＝1－＝.
本题主要考查了有理数的加减法以及绝对值的性质，读懂题意，掌握有理数的混合运算的法则进行计算是解题的关键所在.
【对点训练】
观察下面的等式：
－1＝－|－＋2|＋3；
3－1＝－|－3＋2|＋3；
1－1＝－|－5＋2|＋3；
（－）－1＝－|－＋2|＋3；
(－2)－1＝－|－8＋2|＋3.
回答下列问题：
(1)填空： －3 －1＝－|－9＋2|＋3；
(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式．
(1)观察已知条件可知，若最左边的数为a，则等式为a－1＝－|a－6＋2|＋3，所以a－6＝－9，所以a＝－3，所以(－3)－1＝－|－9＋2|＋3，故答案为：－3；
(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，则此时的等式为：a－1＝－|a－6＋2|＋3.
课堂10分钟
1.将(－2)－(＋1)－(－5)＋(－4)统一为加法运算，正确的是( B )
A．(－2)＋(＋1)＋(－5)＋(－4)
B．(－2)＋(－1)＋(＋5)＋(－4)
C．(－2)＋(＋1)＋(＋5)＋(＋4)
D．(－2)＋(－1)＋(－5)＋(＋4)
2.把－(－3)－4＋(－5)写成省略括号的代数和的形式，正确的是( A )
A．3－4－5 B．－3－4－5
C．3－4＋5 D．－3－4＋5
3.阅读材料：已知|4－1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4＋1|可以看作|4－(－1)|，表示4与－1两数在数轴上所对应的两点间的距离．若|x＋1|＝3，则符合条件的整数x的值为( C )
A．－4 B．2
C．－4或2 D．不存在
根据题意，|x＋1|＝3可以看作表示x与－1两数在数轴上所对应的两点间的距离为3.因为－1－3＝－4，－1＋3＝2，所以符合条件的整数x的值为－4或2.
4.若“方框”表示运算x－y＋z＋w，则“方框”＝ －8 ．
5.计算：(1)－3＋（－）－（－）＋1；
(2)(－5.3)＋|－2.5|＋(－3.2)－(＋4.8).
(1)－3＋（－）－（－）＋1＝（－3＋
）＋（－＋1）＝－3＋1＝－2；
(2)(－5.3)＋|－2.5|＋(－3.2)－(＋4.8)＝－5.3＋2.5－3.2－4.8＝2.5－(5.3＋3.2＋4.8)＝2.5－13.3＝－10.8.
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1.5 有理数的乘除
1.有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法
知识梳理
1.两数相乘，同号 得正 ，异号 得负 ，并把绝对值 相乘 ．
2.任何数与0相乘仍得 0 ．
3.如果两个有理数的乘积为1.我们称这两个有理数 互为倒数 .
4.几个数相乘，有一个因数为0，积为 0 ．
5.几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的 个数 决定.当负因数有 奇数 个时，积为负；当负因数有 偶数 个时，积为正．
有理数的乘法运算有两个需要注意的问题：一是确定乘积的符号，二是确定乘积的绝对值，两者缺一不可．
重难突破
重难点 有理数的乘法运算
【典例】计算：(－4)××(－0.25)×2.
解：原式＝4×××＝.
有理数的乘法运算，先确定积的符号，后进行乘法运算，若因数中有带分数，先化为假分数，约分后计算．
【对点训练】
计算：
(1)×(－16)×（－）×（－1）；
(2)（－）×（－）×（－2）×（－）.
(1)×(－16)×（－）×（－1）＝－×16××＝－4；
(2)（－）×（－）×（－2）×（－）＝×××＝.
课堂10分钟
1.计算(－2)×(＋4)的结果是( B )
A．8 B．－8 C．6 D．－6
2.计算(－4)×的结果等于( A )
A．－2 B．2 C．－ D．
3.下列说法：①5个有理数相乘，当负因数有3个时，积为负；②－1乘任何有理数等于这个有理数的相反数；③两个有理数的积为负数，则这两个有理数都为负数；④绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大．正确的有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.在五个数2，－1，－5，4，－3中任取三个数相乘，其中最小的积等于 －40 ．
5.计算：
××××…×.
原式＝××××…×＝.
第2课时 有理数乘法的运算律
知识梳理
用字母表示：
(1)乘法交换律： ab＝ba ；
(2)乘法结合律： (ab)c＝a(bc) ；
(3)乘法分配律： a(b＋c)＝ab＋ac ．
有理数的运算律同样适用乘法的运算律，需要注意运算符号与绝对值分别计算．
重难突破
重难点 应用运算律简化计算
【典例】计算：
(1)（－）×15×（－1）；
(2)（－＋－）×(－210)；
(3)（－＋－）×|－12|；
(4)－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4.
解：(1)原式＝××15＝15；
(2)原式＝－×(－210)＋×(－210)－×(－210)＝70－60＋84＝94；
(3)原式＝－×12＋×12－×12＝－6＋8－9＝－7.
(4)原式＝－3.14×35.2－3.14×2×23.3－1.57×2×18.2＝－3.14×(35.2＋2×23.3＋18.2)＝－3.14×100＝－314.
在有理数乘法的运算中，可根据算式的特点，灵活运用有理数乘法的运算律，如逆用有理数乘法对加法的分配律．
【对点训练】
计算：
(1)－×3.5×（－）×（－）；
(2)25×(－128)＋25×141－25×113；
(3)9×(－19).
(1)原式＝－×3.5××＝－3.5；
(2)原式＝25×(－128＋141－113) ＝25×(－100) ＝－2 500；
(3)原式＝（10－）×(－19)＝10×(－19)－×(－19)＝－190＋3＝－187.
课堂10分钟
1.计算：（－）×(－25)×(－14)×的结果是( B )
A．33 B．－33
C．66 D．－66
2.简便计算57×99＋44×99－99正确的是( B )
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
3.计算(－3)×（4－），用乘法分配律计算过程正确的是( A )
A．(－3)×4＋(－3)×（－）
B．(－3)×4－(－3)×（－）
C．3×4－(－3)×（－）
D．(－3)×4＋3×（－）
4.利用乘法运算律填空：
(1)(－2.5)×3×(－16)＝ ［(－2.5)× (－16) ］×3；
(2)［7×(－33)］×（－）＝7×［ (－33) ×（－）］；
(3)54×（－1）＝ 54×(－1) ＋ 54×（－） ．
5.计算：
(1)25×(－0.125)×(－4)×（－）×(－8)×1；
(2)－|－2|×［－（－）］×(－3)×2.5.
(1)原式＝25×0.125×4××8×1＝25××4××8×＝100；
(2)原式＝－2××(－3)×2.5＝××3×＝.
2.有理数的除法
第1课时 有理数的除法
知识梳理
1.两数相除，同号 得正 ，异号 得负 ，并把绝对值 相除 ．
2.0除以一个 不为0 的数仍得0， 0 不能作除数．
3.除以一个不为0的数，等于乘以这个数的 倒数 ．
0不能做除数是一个极容易忽视的易错点，特别是选择题中，极其容易出错．
重难突破
重难点 有理数的除法运算
【典例】计算：
(1) (－56)÷(＋8)；(2)(－5.2)÷3；
(3)(－0.8)÷（－）；(4)(－0.75)÷（－）.
解：(1)原式＝－(56÷8)＝－7；
(2)原式＝－（×）＝－；
(3)原式＝×＝2；
(4)原式＝×＝.
两个有理数相除，一是确定商的符号，二是确定商的绝对值，若是两个分数相除或者整数除以分数，一般采用法则（二）计算其绝对值，若是两个整数相除，一般采用法则（一）确定商的绝对值．
【对点训练】
计算：(1)(＋150)÷(－25)；
(2)(－306)÷(＋6)；(3)(－195)÷(－15).
(1)(＋150)÷(－25)＝－(150÷25)＝－6；
(2)(－306)÷(＋6)＝－(306÷6)＝－51；
(3)(－195)÷(－15)＝195÷15＝13.
课堂10分钟
1.与8÷(－4)结果相同的是( C )
A．8÷（－） B．×(－4)
C．8×（－） D．÷(－4)
2.我们把2÷2÷2记作2③，(－4)÷(－4)记作(－4)②，那么计算9×(－3)④的结果为( A )
A．1 B．3 C． D．
3.计算6÷（－）的结果为 －8 .
4.在－2，－3，0，4这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是 －2 ．
5.计算：
(1)－72÷9；(2)144÷(－36)；
(3)(－256)÷(－8)；(4)(－21)÷2；
(5)(－86)÷（－21）；(6)7÷（－1）.
(1)－72÷9＝－8；
(2)144÷(－36)＝－4；
(3)(－256)÷(－8)＝32；
(4)(－21)÷2＝－21×＝－9；
(5)(－86)÷（－21）＝86×＝4；
(6)7÷（－1）＝－×＝－6.
第2课时 有理数的乘除混合运算
知识梳理
1.有理数乘、除的混合运算，可统一化为 乘法 运算．
2.含加、减、乘、除的算式，如果没有括号，应先做 乘除 运算，后做 加减 运算；如果有括号，应先做 括号里 的运算．
有理数的混合运算要注意运算的顺序，其算理与小学所学数的四则混合运算的顺序相同，其区别在于先确定每一步骤中的运算符号，后确定其绝对值．
重难突破
重难点 有理数的混合运算
【典例】计算：
(1)÷（－）×（－）；
(2)－1＋|5－8|＋27÷(－3)×.
解：(1)÷（－）×（－）＝××＝1；
(2)－1＋|5－8|＋27÷(－3)×
＝－1＋3＋(－3)＝－1.
有理数的乘除混合运算需要先统一为乘法运算，然后计算其乘积，含有加、减、乘、除的混合运算要按照运算顺序计算．
【对点训练】
计算：
(1)(－1)÷(0.75)×（－1）÷3×；
(2)9－×－6÷.
(1)(－1)÷(0.75)×（－1）÷3 ×＝(－1)××（－）××＝1××××＝；
(2)9－×－6÷＝9－×－6×＝
9－－9＝－.
课堂10分钟
1.计算：5÷(－2－3)的结果是( A )
A．－1 B． C．－ D．－
2.计算：（－）×3÷×(－3)的结果是( D )
A．－9 B．－1 C．3 D．9
3.计算：(－32)÷4×(－8)结果是( C )
A．1 B．－1 C．64 D．－64
4.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则a＋cd＋b的值为 1 .
5.计算：
(1)(－2.25)÷1×(－8)；
(2)（－2）÷（×）；
(3)(－1)÷(－8)×.
(1)原式＝（－）÷×(－8)＝××8＝
16.
(2)原式＝（－）÷＝－（×）＝－.
(3)原式＝(－1)×（－）×＝.
1.6 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
知识梳理
(1)－an和(－a)n的底数不同，分别为a和－a；
(2)和（）n的底数不同，分别为b和.
重难突破
重难点 幂的应用
【典例】规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.
例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(5，125)＝ ，(－2，4)＝ ，(－2，－8)＝ ；
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c， 试说明：a＋b＝c.
解：(1)因为53＝125，所以(5，125)＝3；
因为(－2)2＝4，所以(－2，4)＝2；
因为(－2)3＝－8，所以(－2，－8)＝3.
故答案为：3，2，3.
(2)因为(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，所以3a＝5，3b＝6，3c＝30.因为5×6＝30，所以3a×3b＝3c，所以3a＋b＝3c，所以a＋b＝c.
本题考查对于有理数的乘方意义的理解和应用，解题的关键是正确理解新定义运算的内涵，准确运用新定义的要求和幂的性质列式计算．
【对点训练】
有一根4米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后，剩下的木棒长度为 米．
课堂10分钟
1.下列运算中，结果为负的是( A )
A．－|－2| B．－(－2)
C．(－2)2 D．－(－2)3
2.下列各组数中，结果相等的是( B )
A．－|－3|和－(－3) B．－33和(－3)3
C．－32和(－3)2 D．23和32
3.下列各组数中互为相反数的是( D )
A．2与 B．2与|－2|
C．1与(－1)2 D．－12与1
4.计算(－4)2的倒数是( C )
A．－16 B．16
C． D．－
5.拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示．这样捏合到第 10 次后可拉出1 024根细面条．
第2课时 有理数的混合运算
知识梳理
在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，一般应按下列顺序进行：先 乘方 ，再 乘除 ，后 加减 ；如果有括号，先进行 括号里 的运算．
在进行有理数的混合运算时，一定要注意括号的优先作用，不要出现计算顺序的错误．
重难突破
重难点 有理数的混合运算
【典例】计算：
(1)(－3)×4＋(－24)÷(－6)；
(2)－22＋|5－8|＋24÷(－3)×.
解：(1)(－3)×4＋(－24)÷(－6)
＝－12＋4
＝－8；
(2)－22＋|5－8|＋24÷(－3)×
＝－4＋3＋(－8)×
＝－1－
＝－.
绝对值符号“| |”的作用在进行有理数的运算时相当于括号的作用．
【对点训练】
计算：
(1)－15＋3×2－(－10)；
(2)16÷(－2)3－22×|－|＋(－1)2 024.
(1)－15＋3×2－(－10)＝－15＋6＋10＝－9＋10＝
1；
(2)16÷(－2)3－22×|－|＋(－1)2 024＝16÷(－8)－4×＋1＝－2－2＋1＝－3.
课堂10分钟
1.计算：－32＋4的结果是( B )
A．－13 B．－5 C．－2 D．13
2.若a＝－(－2)2，b＝－(－3)3，c＝－(－4)2，则－［a－(b－c)］的值为( D )
A．－39 B．7 C．15 D．47
3.用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab＋b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则－4※2的值为( A )
A．－4 B．8 C．4 D．－8
4.如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2 023＋2 024n＋c2 025的值为 0 ．
5.计算：
(1)(－6)2×（－）；
(2)－23＋8－×(－2)2.
(1)原式＝36×（－）＝36×－36×＝18－12＝6；
(2)原式＝－8＋8－×4＝－8＋8－1＝－1.
第3课时 科学记数法
知识梳理
一般地，绝对值大于10的数都可记成 ±a×10n 的形式，其中a的取值范围是 1≤a<10 ，n等于 原数的整数位数减1 ，这种记数方法叫作 科学记数法 ．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，既清晰方便，又不容易出错．在记数时，一定要数清楚原数的整数位数，准确确定n的值．
重难突破
重难点 用科学记数法记数
【典例】我国约有9 600 000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150 000吨煤所产生的能量．
(1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？
(2)若1吨煤大约可以发出8 000度电，那么(1)中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）
解：(1)(9.6×106)×(1.5×105)＝(9.6×1.5)×(106×105)＝1.44×1012（吨）.
答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤．
(2)(1.44×1012)×(8×103)＝(1.44×8)×(1012×103)＝1.152×1016（度）.
答：(1)中的煤大约发出1.152×1016度电．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，解题的关键是熟练应用运算法则，准确计算．
【对点训练】
已知一个U盘的名义内存为10 GB，平均每个视频的内存为512 MB，平均每首音乐的内存为10.24 MB，平均每篇文章的内存为10.24 KB.现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）.（注：已知1 GB＝1 024 MB，1 MB＝1 024 KB）
(10×1 024×1 024×0.9－512×1 024×16－10.24×50×1 024)÷10.24＝5.12×104.
答：还可以存文章的篇数最多是5.12×104.
课堂10分钟
1.据悉，在国内大量终端的背景下，某公司仅移动端APP应用规模就达261万，为其相关技术服务开辟道路．数“261万”用科学记数法表示为( C )
A．2.61×104 B．261×104
C．2.61×106 D．0.261×107
2.从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70 000 000次．其中70 000 000用科学记数法表示为( D )
A．7×103 B．7×105
C．7×106 D．7×107
3.用科学记数法表示的数8.07×108的原数为( C )
A．80 700 000 000 B．8 070 000 000
C．807 000 000 D．80 700 000
4.中国的火星探测器“天问一号”到地球的距离约为1.92×109千米，其中1.92×109是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个 十 位数．
1.7 近似数
知识梳理
1.由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，许多测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为 近似数 ．
2.近似值与它的准确值的差，叫作 误差 ．即 误差＝近似值－准确值 ．
实际生活中，准确数与近似数并存，许多近似数可以用准确数近似地表示出来．
重难突破
重难点 近似数的应用
【典例】甲、乙两名同学的身高都约是1.6×102 cm，但甲却比乙高9 cm，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明．
解：有这种可能．
因为身高在1.55×102 cm至1.65×102 cm之间（不含1.65×102 cm）均可视为1.6×102 cm.
当甲的身高为1.55×102 cm，乙的身高为1.64×102 cm时，他们的身高都约是1.6×102 cm，但此时他们的身高相差9 cm.
经过四舍五入得到的数是近似数，故近似数都有一定的取值范围．
【对点训练】
西周的城邑（都城）为正方形规制，《周礼》规定：天子城邑为九里之城，公爵城邑可为七里之城，侯伯爵城邑可为五里之城．若按1周尺≈20厘米计算，一里为1 800周尺，则九里之城边长为3 223米．请你根据上面的信息，推算出侯伯爵城邑的实际大小约是多少平方千米？（得数保留一位小数）
5×1 800×20＝1.8×105（厘米）＝1.8（千米），1.8×1.8≈3.2（平方千米）.
答：侯伯爵城邑的实际大小约是3.2平方千米．
课堂10分钟
1.用四舍五入法按要求对3.050 19分别取近似值，其中错误的是( A )
A．3.05（精确到0.001）
B．3.050 2（精确到0.000 1）
C．3.1（精确到0.1）
D．3.05（精确到百分位）
2.用四舍五入法得到的近似数0.13万精确到( D )
A．十分位 B．百分位
C．十位 D．百位
3.用四舍五入法取1.896 5的近似数正确的是( B )
A．精确到0.1的结果是1.8
B．精确到0.01的结果是1.90
C．精确到百分位的结果是1.89
D．精确到千分位的结果是1.896
4.用四舍五入法将5.724精确到0.01，所得到的近似数为 5.72 ．
5.近似数0.092 06精确到 十万分 位，将207 670精确到千位，其近似值是 2.08×105 .第1章 有理数
1.1 正数和负数
第1课时 正数和负数
知识梳理
1.为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量规定为正的，用原来熟悉的数表示，这样的数叫作 ；把与相反意义的量规定为负的，用在正数前面添上负号“－”的数表示，这样的数叫作 ．
2.通常情况下，正数的前面可以添上正号“＋”，正数前面的正号“＋” 省略，负数前面的负号“－” 省略．
3.数0既不是 ，也不是 ．
带有“＋”号的数不一定是正数，带有“－”号的数不一定是负数．
重难突破
重难点 用正负数表示具有相反意义的量
【典例】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作＋90元，那么亏本60元记作( )
A．－60元 B．－70元
C．＋60元 D．＋70元
两种具有相反意义的量，若把其中一种量用正数表示，则另一种量用负数表示．
【对点训练】
如果向东走5 m，记为＋5 m，那么走－10 m，表示( )
A．向西走10 m B．向东走10 m
C．向南走10 m D．向北走10 m
课堂10分钟
1.飞机上有一种零件的尺寸标准是200±5（单位：mm），则下列零件尺寸不合格的是( )
A．196 mm B．198 mm
C．204 mm D．210 mm
2.下列选项中，不具有相反意义的量的是( )
A．买入20台电脑与卖出20台电脑
B．水位上升2 m与水位下降2 m
C．减少2 kg与增高2 cm
D．向东走200 m和向西走200 m
3.七年级一班期末数学考试的平均成绩是88分，小欢得了95分，记作＋7分，小乐的成绩记作－3分，则小乐得了( )
A．83分 B．85分
C．91分 D．92分
4.一袋糖果包装上印有“总质量(500±5)克”的字样，小红拿去称了一下，发现质量为498克，则该糖果生产厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为．
5.举办冬残奥会最理想的温度是－17 ℃至10 ℃，若10 ℃表示零上10 ℃，则－17 ℃表示 ．
第2课时 有理数
知识梳理
1. 和 统称有理数．
2.整数包括 、0和 ．
3.分数包括 和 ．
0既不是正数，也不是负数，0是整数．
重难突破
重难点 有理数的分类
【典例】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.070 8，－700，－3.88，0，3.14，－，0..
正有理数集合：{ …}，
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
非负整数集合：{ …}．
无限循环小数属于分数．
【对点训练】
把下列各数填到相应的集合中．
1，，0.5，＋7，0，－π，－6.4，－9，，0.3，5%，－26，1.010 010 001…（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）.
正数集合：{ 1，，0.5，＋7，，0.3，5%，1.010 010 001…（每相邻两个1之间，0的个数逐次加1）… }；
负数集合：{ －π，－6.4，－9，－26… }；
整数集合：{ 1，＋7，0，－9，－26… }；
分数集合：{ ，0.5，－6.4，，0.3，5%… }．
课堂10分钟
1.在－，0，－1，3这四个数中，负整数是( )
A．－ B．0 C．－1 D．3
2.在数0.73，0，－39，1，1，－，2.43，－，23%，98，中，分数有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3.下列说法正确的是( )
A．所有的整数都是正数
B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数
D．零既可以是正整数，也可以是负整数
4.(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
－2，，0，－0.314，－4，25%，11，－0.3，2.
(2)图中A区表示 数集，B区表示
数集．
1.2 数轴、相反数和绝对值
第1课时 数轴
知识梳理
1.画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示数 ；规定这条直线的一个方向为 方向，相反的方向就是 方向（当直线水平放置时，一般取从左到右的方向为正方向，并用箭头表示）；适当地选取某一长度作为 ．这种规定了 、 和 的 叫作数轴．
2.任意一个有理数，都可以用 上的一个点来表示．
画数轴时应注意以下四点：
①标出原点；
②标出正方向；
③标出单位长度；
④单位长度要统一．
重难突破
重难点 数轴的应用
【典例】送货员驾驶一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示1千米，你能在数轴上分别表示出货场A、批发部B、商场C、超市D的位置吗？
(2)超市D距货场A多远？
(3)此款货车每千米耗油约0.1升，每升汽油6.20元，请你计算他需多少汽油费？
用数轴上的点表示有理数的一般步骤：
(1)正确画出数轴的原点、正方向和单位长度；
(2)根据数的符号和数值确定该数对应的点在数轴上的位置；
(3)用实心圆点表示出该数对应的点，并标出该数．
【对点训练】
如图1，在数轴上从左到右有A，B，C三个点，分别对应的数为－5，b，4，将刻度尺按如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8 cm，点C对齐刻度5.4 cm.
图1
图2
(1)①在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位，在图2的刻度尺上，AC＝ cm；
②数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的 cm；
③刻度尺上的1 cm对应数轴上的 个单位长度；
(2)求数轴上点B所对应的数b.
课堂10分钟
1.数轴上与表示－2的点相距3个单位长度的点所表示的数是( )
A．－5 B．－1 C．1 D．－5和1
2.如图，将刻度尺放在数轴上，让3 cm和5 cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0 cm刻度线对齐的点表示的数为( )
A．－2 B．0 C．－1 D．1
3.如图，数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD，若A，D两点表示的数分别为－2，9，E为BD的中点，则点E所表示的数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4.数轴上点B表示的数是3，点C表示的数是－3，则B，C两点之间的距离是 ．
第2课时 相反数
知识梳理
1.只有符号不同的两个数 ．
2.0的相反数是 ．
3.不为0的数与它的相反数在数轴上所表示的点在原点的 ，到原点的距离 ．
在一个有理数的前面添加上一个“－”号，就会变成这个数的相反数．例如：数a的相反数是－a；带有多重符号的数的化简，仍然依据相反数的意义和正数的表示方法进行化简．
重难突破
重难点 相反数的运用
【典例】 已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置．
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
(3)在(2)的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？
(1)互为相反数的两个数只是符号不同，但数字必须相同；
(2)求一个数的相反数，只需要改变该数前面的符号即可．
【对点训练】
已知，数轴上A点表示＋8，B，C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？
课堂10分钟
1.3的相反数是( )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
2.当－a＝－7时，－a的相反数是( )
A．7 B．－7
C．±7 D．不能确定
3.下列化简正确的是( )
A．－(＋1)＝1
B．－(－1)＝－1
C．－［－(－1)］＝－1
D．－［－(＋1)］＝－1
4.若x与－3互为相反数，则x＋6的值为 ．
5.化简下列各式的符号：
(1)－(＋4)；(2)＋（－）；
(3)－［－（－3）］；
(4)－{－［－(－π)］}．
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“－”号的个数有什么关系？
第3课时 绝对值
知识梳理
1.在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作数a的 ，记作 ．
2.一个 的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ．
任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.不存在绝对值是负数的有理数．
重难突破
重难点 绝对值的运用
【典例】(1)绝对值是1的数有几个？各是什么？
(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？
(3)绝对值是－2 025的数是否存在？若存在，请写出来.
绝对值等于一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值等于0的有理数只有0本身．
【对点训练】
请根据下面的对话解答下列问题．
小锦：“我不小心把老师留的作业题弄丢了．”
小军：“我告诉你，a的相反数是4，b的绝对值是2，c与b互为相反数．”求a，b，c的值．
这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相反哦！”
课堂10分钟
1.－2 025的绝对值是( )
A．2 025 B．－2 025
C． D．－
2.下列各式一定成立的是( )
A．|－1.5|＝－1.5 B．－|－1.5|＝1.5
C．|－1.5|＝1.5 D．－|1.5|＝1.5
3.已知a＝－5，|a|＝|b|，则b＝( )
A．＋5 B．－5
C．0 D．＋5或－5
4.下列各对数互为相反数的是( )
A．－(－8)与＋(＋8) B．－(＋8)与－|－8|
C．－(＋8)与－(－8) D．－|－8|与＋(－8)
5.若|－a|＝10，则a＝ ．
1.3 有理数的大小
知识梳理
1.数轴上不同的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ．
2.正数 0，0 负数，正数 负数．
3.两个负数比较大小，绝对值大的 ．
有理数的大小比较有两种不同的方法：一是借助于数轴比较大小，具有很强的直观性，不易出错；二是直接运用有理数的性质比较大小，较为抽象：
(1)正数>0>负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小，这一点是特别容易出错的，一定要避免出现错误．
重难突破
重难点 比较两个有理数的大小
【典例】在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“＞”号把这些数连接起来．
－(－3)，|－5|，－1.5，0.
本题考查了有理数的大小比较，数轴的运用，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
【对点训练】
已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5.
(1)a＝ ，b＝ ．
(2)写出大于b的所有负整数．
(3)在数轴上标出表示－，0，－2，b的点，并用“＜”连接起来．
课堂10分钟
1.有理数3，1，－1，4中，小于0的数是( )
A．－1 B．1 C．3 D．4
2.下列各数中，比－π小的数是( )
A．－5 B．－1 C．0 D．1
3.在－4，－(－2)，－|－4.5|，0中，最小的数是( )
A．0 B．－(－2)
C．－4 D．－|－4.5|
4.绝对值小于4.01的整数有( )
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5.比较－2.2，－1，|－3|，－5的大小，用“＜”号连接起来 ．
1.4 有理数的加减
1.有理数的加法
第1课时 有理数的加法
知识梳理
1.同号两数相加，取 的符号，并把绝对值 .
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取
的加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值；绝对值相等时和为 ．
3.一个数与0相加， ．
有理数的加法运算容易出现两个错误：(1)不会确定和的符号；(2)忽视和的绝对值的运算，误将和的绝对值一律进行加法运算．
无论确定和的符号，还是确定和的绝对值，前提条件都是确定加数的绝对值的大小，依据绝对值的大小选择运算的方法．
重难突破
重难点 有理数的加法运算
【典例】计算：
(1)(－7)＋(－15)；
(2)(－32)＋(＋27)；
(3)＋（－）.
有理数的加法运算分两步进行：(1)确定和的符号；(2)确定和的绝对值，和的绝对值的运算掌握以下原则：同号“＋”，异号“－”．
【对点训练】
计算：
(1)（－）＋（－）. (2)（－）＋（－）.
(3)（＋2）＋（－3）.
课堂10分钟
1.已知2＋□＝0，则“□”处的数为( )
A．2 B．1 C．－2 D．－1
2.下列问题情境，能用加法算式－2＋10表示的是( )
A．水位先下降2 cm，又下降10 cm后的水位变化情况
B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数
C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱
D．数轴上表示－2与10的两个点之间的距离
3.某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货3吨，出货4吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是( )
A．(＋3)＋(＋4) B．(－3)＋(＋4)
C．(－3)＋(－4) D．(＋3)＋(－4)
4.如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a＋b的值是 ．
5.计算：
(1)12＋23；(2)(－12)＋(－23)；
(3)(－6)＋0；(4)（－）＋.
第2课时 有理数加法的运算律
知识梳理
1.用字母表示有理数的加法交换律： ．
2.用字母表示有理数的加法结合律： ．
运用有理数加法的运算律计算时，一定注意各数的符号不变．
重难突破
重难点 应用运算律进行有理数的计算
【典例】计算：
(1)(－25)＋(＋34)＋156＋(－65)；
(2)（－）＋（－）＋（－）＋；
(3)7＋(－3)＋|3＋(－5)|＋(－10).
对于多个有理数的加法的运算，需要注意加数的特征，适当应用运算律简化运算顺序，降低计算难度．
【对点训练】
阅读下面文字：
对于（－3）＋（－1）＋2＋2可以如下计算：
原式＝［－3＋（－）］＋［－1＋（－）］＋（2＋）＋（2＋）
＝［(－3)＋(－1)＋2＋2］＋
＝0＋
＝ ．
上面这种方法叫拆项法．
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：（－2 025）＋2 024＋（－2 023）＋2 022.
课堂10分钟
1.能与－（－）相加得0的数是( )
A．－－ B．－＋
C．＋ D．－＋
2.已知□＝〇＋〇＋2，□－〇＝6，则〇表示的数为( )
A．8 B．4 C．3 D．2
3.某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：km）：＋7，－9，＋8，－6，－5，则收工时检修小组在A地的( )
A．西边5 km B．东边5 km
C．西边35 km D．东边35 km
4.计算：
(1)(＋7)＋(－6)＋(－7)；
(2)13＋(－12)＋17＋(－18)；
(3)（－）＋（－）＋＋（－）；
(4)(－20)＋3＋20＋（－）；
(5)(－3.75)＋2＋（－1）；
(6)5.6＋(－0.9)＋4.4＋(－8.1).
2.有理数的减法
知识梳理
有理数的减法运算转化为加法运算时，减号“－”变为“＋”，同时减数的符号也要改变，两者缺一不可．
重难突破
重难点 有理数的减法运算
【典例】计算下列各题：
(1)(－3)－0；
(2)9－(－7)；
(3)(－4)－(－6)；
(4)(－7.3)－(＋7.3).
先将有理数的减法运算转化为加法运算，然后运用有理数加法运算法则计算．
【对点训练】
列式并计算：
(1)－1减去－与的和；
(2)3的相反数与－2的绝对值的和．
课堂10分钟
1.温度－4 ℃比－9 ℃高( )
A．－5 ℃ B．5 ℃ C．－13 ℃ D．13 ℃
2.计算－2－|－3|的结果为( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5
3.下列说法正确的是( )
A．两数相减，被减数一定大于减数
B．零减去一个数仍得这个数
C．互为相反数的两数差为0
D．减去一个正数，差一定小于被减数
4.已知|a|＝3，b＝7，则a－b的值为( )
A．4或10 B．－4或10
C．－4或－10 D．4或－10
5.a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a－b的值是 ．
3.加、减混合运算
知识梳理
当有理数的算式中只含有加法运算时，可以省去 和各个 ，写成省略“＋”号的和的形式，例如式子(－3)＋(＋2)＋(－5)＋(－9)可以写成“ ”可以读作“ ”，或者读作“ ”．
只有在有理数的加法中可以省略加号与括号，此时不妨碍运用加法的运算律进行计算，遇到加减混合运算时，需要先把减法转化为加法，然后再计算．
重难突破
重难点 有理数的加减混合运算
【典例】若|－1|＝1－，|－|＝－，|－|＝－，…，照此规律试求：
(1)|－|；
(2)|－1|＋|－|＋|－|＋|－|；
(3)|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|.
本题主要考查了有理数的加减法以及绝对值的性质，读懂题意，掌握有理数的混合运算的法则进行计算是解题的关键所在.
【对点训练】
观察下面的等式：
－1＝－|－＋2|＋3；
3－1＝－|－3＋2|＋3；
1－1＝－|－5＋2|＋3；
（－）－1＝－|－＋2|＋3；
(－2)－1＝－|－8＋2|＋3.
回答下列问题：
(1)填空： －1＝－|－9＋2|＋3；
(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式．
课堂10分钟
1.将(－2)－(＋1)－(－5)＋(－4)统一为加法运算，正确的是( )
A．(－2)＋(＋1)＋(－5)＋(－4)
B．(－2)＋(－1)＋(＋5)＋(－4)
C．(－2)＋(＋1)＋(＋5)＋(＋4)
D．(－2)＋(－1)＋(－5)＋(＋4)
2.把－(－3)－4＋(－5)写成省略括号的代数和的形式，正确的是( )
A．3－4－5 B．－3－4－5
C．3－4＋5 D．－3－4＋5
3.阅读材料：已知|4－1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4＋1|可以看作|4－(－1)|，表示4与－1两数在数轴上所对应的两点间的距离．若|x＋1|＝3，则符合条件的整数x的值为( )
A．－4 B．2
C．－4或2 D．不存在
4.若“方框”表示运算x－y＋z＋w，则“方框”＝ ．
5.计算：(1)－3＋（－）－（－）＋1；
(2)(－5.3)＋|－2.5|＋(－3.2)－(＋4.8).
1.5 有理数的乘除
1.有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法
知识梳理
1.两数相乘，同号 ，异号 ，并把绝对值 ．
2.任何数与0相乘仍得 ．
3.如果两个有理数的乘积为1.我们称这两个有理数 .
4.几个数相乘，有一个因数为0，积为 ．
5.几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的 决定.当负因数有 个时，积为负；当负因数有 个时，积为正．
有理数的乘法运算有两个需要注意的问题：一是确定乘积的符号，二是确定乘积的绝对值，两者缺一不可．
重难突破
重难点 有理数的乘法运算
【典例】计算：(－4)××(－0.25)×2.
有理数的乘法运算，先确定积的符号，后进行乘法运算，若因数中有带分数，先化为假分数，约分后计算．
【对点训练】
计算：
(1)×(－16)×（－）×（－1）；
(2)（－）×（－）×（－2）×（－）.
课堂10分钟
1.计算(－2)×(＋4)的结果是( )
A．8 B．－8 C．6 D．－6
2.计算(－4)×的结果等于( )
A．－2 B．2 C．－ D．
3.下列说法：①5个有理数相乘，当负因数有3个时，积为负；②－1乘任何有理数等于这个有理数的相反数；③两个有理数的积为负数，则这两个有理数都为负数；④绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大．正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.在五个数2，－1，－5，4，－3中任取三个数相乘，其中最小的积等于 ．
5.计算：
××××…×.
第2课时 有理数乘法的运算律
知识梳理
用字母表示：
(1)乘法交换律： ；
(2)乘法结合律： ；
(3)乘法分配律： ．
有理数的运算律同样适用乘法的运算律，需要注意运算符号与绝对值分别计算．
重难突破
重难点 应用运算律简化计算
【典例】计算：
(1)（－）×15×（－1）；
(2)（－＋－）×(－210)；
(3)（－＋－）×|－12|；
(4)－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4.
在有理数乘法的运算中，可根据算式的特点，灵活运用有理数乘法的运算律，如逆用有理数乘法对加法的分配律．
【对点训练】
计算：
(1)－×3.5×（－）×（－）；
(2)25×(－128)＋25×141－25×113；
(3)9×(－19).
课堂10分钟
1.计算：（－）×(－25)×(－14)×的结果是( )
A．33 B．－33
C．66 D．－66
2.简便计算57×99＋44×99－99正确的是( )
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
3.计算(－3)×（4－），用乘法分配律计算过程正确的是( )
A．(－3)×4＋(－3)×（－）
B．(－3)×4－(－3)×（－）
C．3×4－(－3)×（－）
D．(－3)×4＋3×（－）
4.利用乘法运算律填空：
(1)(－2.5)×3×(－16)＝ ［(－2.5)× ］×3；
(2)［7×(－33)］×（－）＝7×［ ×（－）］；
(3)54×（－1）＝ ＋ ．
5.计算：
(1)25×(－0.125)×(－4)×（－）×(－8)×1；
(2)－|－2|×［－（－）］×(－3)×2.5.
2.有理数的除法
第1课时 有理数的除法
知识梳理
1.两数相除，同号 ，异号 ，并把绝对值 ．
2.0除以一个 的数仍得0， 不能作除数．
3.除以一个不为0的数，等于乘以这个数的 ．
0不能做除数是一个极容易忽视的易错点，特别是选择题中，极其容易出错．
重难突破
重难点 有理数的除法运算
【典例】计算：
(1) (－56)÷(＋8)；(2)(－5.2)÷3；
(3)(－0.8)÷（－）；(4)(－0.75)÷（－）.
两个有理数相除，一是确定商的符号，二是确定商的绝对值，若是两个分数相除或者整数除以分数，一般采用法则（二）计算其绝对值，若是两个整数相除，一般采用法则（一）确定商的绝对值．
【对点训练】
计算：(1)(＋150)÷(－25)；
(2)(－306)÷(＋6)；(3)(－195)÷(－15).
课堂10分钟
1.与8÷(－4)结果相同的是( )
A．8÷（－） B．×(－4)
C．8×（－） D．÷(－4)
2.我们把2÷2÷2记作2③，(－4)÷(－4)记作(－4)②，那么计算9×(－3)④的结果为( )
A．1 B．3 C． D．
3.计算6÷（－）的结果为 .
4.在－2，－3，0，4这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是 ．
5.计算：
(1)－72÷9；(2)144÷(－36)；
(3)(－256)÷(－8)；(4)(－21)÷2；
(5)(－86)÷（－21）；(6)7÷（－1）.
第2课时 有理数的乘除混合运算
知识梳理
1.有理数乘、除的混合运算，可统一化为 运算．
2.含加、减、乘、除的算式，如果没有括号，应先做 运算，后做 运算；如果有括号，应先做 的运算．
有理数的混合运算要注意运算的顺序，其算理与小学所学数的四则混合运算的顺序相同，其区别在于先确定每一步骤中的运算符号，后确定其绝对值．
重难突破
重难点 有理数的混合运算
【典例】计算：
(1)÷（－）×（－）；
(2)－1＋|5－8|＋27÷(－3)×.
有理数的乘除混合运算需要先统一为乘法运算，然后计算其乘积，含有加、减、乘、除的混合运算要按照运算顺序计算．
【对点训练】
计算：
(1)(－1)÷(0.75)×（－1）÷3×；
(2)9－×－6÷.
课堂10分钟
1.计算：5÷(－2－3)的结果是( )
A．－1 B． C．－ D．－
2.计算：（－）×3÷×(－3)的结果是( )
A．－9 B．－1 C．3 D．9
3.计算：(－32)÷4×(－8)结果是( )
A．1 B．－1 C．64 D．－64
4.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则a＋cd＋b的值为 .
5.计算：
(1)(－2.25)÷1×(－8)；
(2)（－2）÷（×）；
(3)(－1)÷(－8)×.
1.6 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
知识梳理
(1)－an和(－a)n的底数不同，分别为a和－a；
(2)和（）n的底数不同，分别为b和.
重难突破
重难点 幂的应用
【典例】规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.
例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(5，125)＝ ，(－2，4)＝ ，(－2，－8)＝ ；
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c， 试说明：a＋b＝c.
本题考查对于有理数的乘方意义的理解和应用，解题的关键是正确理解新定义运算的内涵，准确运用新定义的要求和幂的性质列式计算．
【对点训练】
有一根4米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后，剩下的木棒长度为 米．
课堂10分钟
1.下列运算中，结果为负的是( )
A．－|－2| B．－(－2)
C．(－2)2 D．－(－2)3
2.下列各组数中，结果相等的是( )
A．－|－3|和－(－3) B．－33和(－3)3
C．－32和(－3)2 D．23和32
3.下列各组数中互为相反数的是( )
A．2与 B．2与|－2|
C．1与(－1)2 D．－12与1
4.计算(－4)2的倒数是( )
A．－16 B．16
C． D．－
5.拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示．这样捏合到第 次后可拉出1 024根细面条．
第2课时 有理数的混合运算
知识梳理
在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，一般应按下列顺序进行：先 ，再 ，后 ；如果有括号，先进行 的运算．
在进行有理数的混合运算时，一定要注意括号的优先作用，不要出现计算顺序的错误．
重难突破
重难点 有理数的混合运算
【典例】计算：
(1)(－3)×4＋(－24)÷(－6)；
(2)－22＋|5－8|＋24÷(－3)×.
绝对值符号“| |”的作用在进行有理数的运算时相当于括号的作用．
【对点训练】
计算：
(1)－15＋3×2－(－10)；
(2)16÷(－2)3－22×|－|＋(－1)2 024.
课堂10分钟
1.计算：－32＋4的结果是( )
A．－13 B．－5 C．－2 D．13
2.若a＝－(－2)2，b＝－(－3)3，c＝－(－4)2，则－［a－(b－c)］的值为( )
A．－39 B．7 C．15 D．47
3.用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab＋b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则－4※2的值为( )
A．－4 B．8 C．4 D．－8
4.如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2 023＋2 024n＋c2 025的值为 ．
5.计算：
(1)(－6)2×（－）；
(2)－23＋8－×(－2)2.
第3课时 科学记数法
知识梳理
一般地，绝对值大于10的数都可记成 的形式，其中a的取值范围是 ，n等于 ，这种记数方法叫作 ．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，既清晰方便，又不容易出错．在记数时，一定要数清楚原数的整数位数，准确确定n的值．
重难突破
重难点 用科学记数法记数
【典例】我国约有9 600 000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150 000吨煤所产生的能量．
(1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？
(2)若1吨煤大约可以发出8 000度电，那么(1)中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，解题的关键是熟练应用运算法则，准确计算．
【对点训练】
已知一个U盘的名义内存为10 GB，平均每个视频的内存为512 MB，平均每首音乐的内存为10.24 MB，平均每篇文章的内存为10.24 KB.现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）.（注：已知1 GB＝1 024 MB，1 MB＝1 024 KB）
课堂10分钟
1.据悉，在国内大量终端的背景下，某公司仅移动端APP应用规模就达261万，为其相关技术服务开辟道路．数“261万”用科学记数法表示为( )
A．2.61×104 B．261×104
C．2.61×106 D．0.261×107
2.从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70 000 000次．其中70 000 000用科学记数法表示为( )
A．7×103 B．7×105
C．7×106 D．7×107
3.用科学记数法表示的数8.07×108的原数为( )
A．80 700 000 000 B．8 070 000 000
C．807 000 000 D．80 700 000
4.中国的火星探测器“天问一号”到地球的距离约为1.92×109千米，其中1.92×109是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个 位数．
1.7 近似数
知识梳理
1.由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，许多测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为 ．
2.近似值与它的准确值的差，叫作 ．即 ．
实际生活中，准确数与近似数并存，许多近似数可以用准确数近似地表示出来．
重难突破
重难点 近似数的应用
【典例】甲、乙两名同学的身高都约是1.6×102 cm，但甲却比乙高9 cm，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明．
经过四舍五入得到的数是近似数，故近似数都有一定的取值范围．
【对点训练】
西周的城邑（都城）为正方形规制，《周礼》规定：天子城邑为九里之城，公爵城邑可为七里之城，侯伯爵城邑可为五里之城．若按1周尺≈20厘米计算，一里为1 800周尺，则九里之城边长为3 223米．请你根据上面的信息，推算出侯伯爵城邑的实际大小约是多少平方千米？（得数保留一位小数）
课堂10分钟
1.用四舍五入法按要求对3.050 19分别取近似值，其中错误的是( )
A．3.05（精确到0.001）
B．3.050 2（精确到0.000 1）
C．3.1（精确到0.1）
D．3.05（精确到百分位）
2.用四舍五入法得到的近似数0.13万精确到( )
A．十分位 B．百分位
C．十位 D．百位
3.用四舍五入法取1.896 5的近似数正确的是( )
A．精确到0.1的结果是1.8
B．精确到0.01的结果是1.90
C．精确到百分位的结果是1.89
D．精确到千分位的结果是1.896
4.用四舍五入法将5.724精确到0.01，所得到的近似数为 ．
5.近似数0.092 06精确到 位，将207 670精确到千位，其近似值是 .
