第2章 整式及其加减
2.1 代数式
1.用字母表示数
知识梳理
1.能被2整除的整数叫作 ，不能被2整除的整数叫作 ．
2.设k表示任意一个整数，用含有k的式子表示：(1)任意一个偶数： ；
(2)任意一个奇数： ．
字母可以表示任意有理数，字母做分母时，不能等于0.
重难突破
重难点 字母表示数
【典例】对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x－3，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x－3可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw→I am a student，这样你就能解读它的意思了．为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子x－3的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信．
字母表示数的意义具有一般性，在不同的条件下，一个字母可以代表许多不同的意义，不能拘泥于唯一的数量关系．
【对点训练】
用字母表示数可以帮助我们表达、研究具有更普遍意义的数量关系，发现一些有趣的结论，并解释其中的道理．请根据下列步骤来完成一个有趣的游戏吧！
第一步：从1到9中选一个喜欢的数字；
第二步：用这个数乘3，再减去1；
第三步：将第二步的结果乘4，再加上15；
第四步：将第三步的结果减去你选择的数．
(1)若选择的数字是5，按以上步骤操作后所得的数是
；
(2)小明发现按以上步骤操作后所得的数始终是11的倍数，设选择的数字为x，请列出代数式解释小明发现的结论．
课堂10分钟
1.我们知道，用字母表示的数是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中不正确的是( )
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长
C．若三角形的底边长为3，面积为6a，则4a表示这条边上的高
D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数
2.“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8(x－15)元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是( )
A．在原价的基础上打八折后再减去15元
B．在原价的基础上打二折后再减去12元
C．在原价的基础上减去15元后再打八折
D．在原价的基础上减去12元后再打八折
3.下列选项中，能用2a＋6表示的是( )
A．整条线段的长度
B．整条线段的长度
C．这个长方形的周长
D．这个图形的面积
4.请你对“0.8a”赋予一个实际含义： ．
5.已知等边三角形的边长为p，正方形的边长为q，则3p＋4q的实际意义为 ．
2.代数式
第1课时 代数式
知识梳理
1.用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作 ．单个的 或
也是代数式．
2.在代数式中：(1)如果出现乘号，可写成“ ”或
，数字与字母相乘时，数字写在字母 ，字母与字母相乘时，相同字母写成 的形式，数字与数字相乘时，乘号“ ”号不能省略．(2)如果式中出现除法，如s÷v，一般写成 的形式．
3.在今后的学习中，为解决问题，常需要先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出 ．
列代数式时要注意书写的规则，不能因为书写出现错误；若代数式表示数量关系时带有单位，且代数式是一个和的形式，此时代数式一定要加括号．
重难突破
重难点 列代数式
【典例】在以“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套．于是店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
(1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案一共需要花费 元．
(2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套(a＞15)，若选择方案一购买，需要花费
（用含a的代数式表示）元；若选择方案二购买，需要花费 （用含a的代数式表示）元．
列代数式时，不仅需要注意其中的书写规则，同时要注意细心审题，理解题意，明确题目中所含数量关系，正确列出代数式．
【对点训练】
有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示(a＞b)，将它们拼成较大的长方形，共有如图2所示的三种不同的方式．
用含a，b的式子表示：
方式一拼成的大长方形的周长C1： ；
方式二拼成的大长方形的周长C2： ；
方式三拼成的大长方形的周长C3： ．
课堂10分钟
1.下列式子，符合代数式书写格式的是( )
A． B．2b C．m×7 D．x＋y人
2.在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年1月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是( )
A．左上角的数字为a＋1
B．左下角的数字为a＋7
C．右下角的数字为a＋8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
3.下列说法：①如果a表示一个有理数，那么它的相反数是－a；②a的3倍与b的平方的和，用代数式表示为：3a＋b2；③某商品原价是x元，提价10%后的价格是(x＋10%)元．正确的有( )个
A．0 B．1 C．2 D．3
4.近来，随着脐橙的大量上市，某超市将原售价为a元/千克的脐橙打九折后，再降价b元/千克，则现售价为 元/千克．
第2课时 整式
知识梳理
1.在代数式中， 叫作单项式，其中的 叫作单项式的系数，单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，单个的 或 也是单项式．
2.一个单项式中，所有字母的指数之 叫作这个单项式的次数．
3.几个单项式的 叫作多项式，在多项式里，每个单项式叫作多项式的 ，其中不含字母的项，叫作 ．
4.一个多项式含有几项，这个多项式就叫作 ．
5.一个多项式里，次数最 的项的 ，叫作这个多项式的次数．
6. 与 统称为整式．
整式中的相关概念容易混淆，一定要注意区别．
重难突破
重难点 整式的识别
【典例】下列代数式，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
1－a，，32＋a2，，－x3y4，，x2－8x＋7.
代数式包含整式，整式又包含单项式和多项式，其包含关系如图所示：
【对点训练】
已知单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，求3m－2的值．
课堂10分钟
1.下列各式中，不是整式的是( )
A．0 B． C．x－2y D．xy
2.单项式的系数、次数分别是( )
A．，5次 B．1，5次
C．，4次 D．1，4次
3.多项式－2xy＋x3y－1的次数和常数项分别是( )
A．2，－1 B．3，－1
C．4，－1 D．－2，－1
4.下列结论不正确的是( )
A．多项式1－3x2－x中，二次项是－3x2
B．－ab3的次数是4
C．不是整式
D．－的系数是－
5.已知关于m，n的多项式m2n3＋mn2－10ma+3n－4b是六次四项式，常数项是2.求a，b的值．
3.代数式的值
知识梳理
用 代替代数式里的字母，按照代数式中字母的 计算得出的结果叫作 ．
通常情况下，同一个代数式中，当所含字母取不同的数值时，代数式的值是不同的；其次，代数式中的字母取值时，必须使代数式具有实际意义．
重难突破
重难点 代数式的值
【典例】“元旦”期间，甲、乙两家超市进行促销活动，各自推出不同的优惠方案：在甲超市一次性购买商品超过200元后，超出的部分按原价的80%收取；在乙超市购买商品按原价的90%收取．
(1)若一次性购物300元，分别计算在甲、乙两家超市所需的付款费用；
(2)设某顾客一次性购物x元
①当x＞200时，分别用代数式表示顾客在甲、乙两家超市购物所付的费用；
②当x＝580时，该顾客应选择哪一家超市购物比较划算？并说明理由．
本题考查了列代数式及代数式求值，准确理解题意，正确列出代数式是解题的关键．
【对点训练】
如图，用三种大小不等的正方形①②③和一个缺角的正方形拼成一个长方形ABCD（不重叠且没有缝隙），若BF＝a，GH＝a，GK＝a＋1.
(1)试用含a的代数式表示：正方形②的边长为 ，正方形③的边长为 ；
(2)用含a的代数式表示长方形ABCD的周长，并求出当a＝3时，长方形ABCD的周长．
课堂10分钟
1.小明做一道数学题，“求代数式6x5＋5x4＋4x3＋3x2＋2x＋1，当x＝－1时的值”，由于将式中某一项前的“＋”号看为“－”号，误求得代数式的值为5，小明同学看错符号的项是( )
A．5x4 B．4x3 C．3x2 D．2x
2.已知代数式ax4＋bx2－2，当x＝2时值为3，那么当x＝－2时值为( )
A．3 B．－3 C．2 D．－7
3.如果多项式－2a＋3b＋8的值为18，那么多项式6a－9b＋2的值等于( )
A．28 B．－28 C．32 D．－32
4.如图是一个运算程序，若第1次输入a的值为16，则第2 025次输出的结果是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
5.按如图所示的程序进行计算，若开始输入的x是正整数，最后输出的结果是40，则满足条件的x的值都有 ．
2.2 整式加减
1.合并同类项
知识梳理
1.所含字母 ，并且相同字母的指数也分别 的项叫作同类项．常数项与常数项 同类项.
2.把多项式中的同类项合并成一项，叫作 ．
3.合并同类项的法则是：同类项的系数 ，所得结果作为 ，字母和字母的指数 ．
合并同类项时，一是准确找到同类项，二是要注意法则的正确运用，不能误用法则.
重难突破
重难点 合并同类项与化简求值
【典例】已知T＝3a＋ab－7c2＋3a＋7c2.
(1)化简T；
(2)当a＝3，b＝－2，c＝－时，求T的值．
合并同类项时要掌握一“变”二“不变”，一“变”——系数相加；二“不变”——字母和字母的指数不变．
【对点训练】
已知一个代数式与－2x2＋x的和是－6x2＋x＋3.
(1)求这个代数式；
(2)当x＝－时，求这个代数式的值．
课堂10分钟
1.下列各组中的两项，不是同类项的是( )
A．－x2y和2x2y B．23和32
C．－m3n2和m2n3 D．2πR和3R
2.已知2xn+2与－3x4是同类项，则n的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如果单项式xay3与5x2yb的和仍是单项式，那么b－a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4.下列计算：①m3－m2＝m；②3xy2－2xy2＝1；③3ab－2ab＝ab；④(－2)3－(－3)2＝－17.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.定义：若x－y＝m，则称x与y是关于m的相关数．
(1)若5与a是关于2的相关数，则a＝ ．
(2)若A与B是关于m的相关数，A＝3mn－5m＋n＋6，B的值与m无关，求n的值．
2.去（添）括号
知识梳理
1.如果括号前面是“＋”号，去括号时把括号连同它前面的“＋”号去掉，括号内的各项都 符号．
2.如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都 符号．
3.所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都 符号．
4.所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都 符号．
无论去括号，还是添括号，都需要牢记“＋”不改变，“－”改变．
重难突破
重难点 去括号及其应用
【典例】先去括号，再合并同类项．
(1)2(2b－3a)＋3(2a－3b)
(2)4a2＋2(3ab－2a2)－(7ab－1)
准确运用去括号法则是解题的关键所在．
【对点训练】
如果关于x的多项式2x2－(2yn+1－mx2)－3的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次，求m，n的值．
课堂10分钟
1.将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是( )
A．3x＋2－2x＋1 B．3x＋2－4x＋1
C．3x＋2－4x－2 D．3x＋2－4x＋2
2.下列去括号或添括号正确的是( )
A．a2－(2a－b＋c)＝a2－2a－b＋c
B．a－2(b－c)＝a－2b－c
C．－3b＋2c－d＝－(3b＋2c－d)
D．2x－x2＋y2＝2x＋(－x2＋y2)
3.已知(a－b)－(c－d)＝5，a－c＝3，则b－d＝ ．
4.已知|a|＝3，|b|＝5，且满足ab＜0，则2 024(a－b)－2 025(a－b)＝ ．
5.已知：代数式A＝2x2－2x－1，代数式B＝－x2＋xy＋1，代数式M＝4A－(3A－2B).
(1)当(x＋1)2＋|y－2|＝0时，求代数式M的值；
(2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值；
(3)当代数式M的值等于5时，求整数x，y的值．
3.整式加减
知识梳理
1.整式加减运算可归结为 、 ．
2.将多项式按照某个字母（如x）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫作关于这个字母（如x）的 排列．
多项式的升幂或者降幂排列，是按照某个指定的字母的幂的大小顺序排列的，并非按照这个多项式的次数排列的．
重难突破
重难点 整式的加减与多项式的排列
【典例】已知代数式－2(2xy－2x)－(－y2＋x2y3).
(1)先化简，再将代数式按y的降幂排列；
(2)当x＝2，y＝－1时，求该代数式的值．
本题主要考查了去括号法则以及整式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【对点训练】
已知M＝4x2－2x－1，N＝3x2－2x－5.
(1)化简4M－(2M＋3N)，结果按照x的降幂排列；
(2)当x＝－2时，求(1)中代数式的值；
(3)试判断M，N的大小关系，并说明理由．
课堂10分钟
1.把多项式a3＋b2－3ab2－3a2b按a的降幂排列正确的是( )
A．b2－3ab2－3a2b＋a3
B．b2－3a2b－3ab2＋a3
C．a3－3a2b－3ab2＋b2
D．a3－3ab2－3a2b＋b2
2.多项式2xmy2＋3x2y－1是按x的降幂排列的，则m应满足( )
A．m＝2 B．m＞2
C．m≥2 D．m≥3
3.对于五个整式，A：2x2；B：x＋1；C：－2x；D：y2；E：2x－y，有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式B·C＋A＋D＋E的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A＋D＋2E的值为－2；③若关于x的多项式M＝3(A－B)＋m·B·C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于－3.上述结论中，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.已知多项式－4x4y－1＋3x2－6x3y2，将其按x的升幂排列为 ．第2章 整式及其加减
2.1 代数式
1.用字母表示数
知识梳理
1.能被2整除的整数叫作 偶数 ，不能被2整除的整数叫作 奇数 ．
2.设k表示任意一个整数，用含有k的式子表示：(1)任意一个偶数： 2k ；
(2)任意一个奇数： 2k＋1 ．
字母可以表示任意有理数，字母做分母时，不能等于0.
重难突破
重难点 字母表示数
【典例】对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x－3，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x－3可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw→I am a student，这样你就能解读它的意思了．为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子x－3的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信．
解：密码为k tbjx，钥匙为x＋1.英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x＋1可以代表“把一个字母换成字母表中从它向后移动1位的字母”，按这个规律就有ktbjx→lucky.（答案不唯一）
字母表示数的意义具有一般性，在不同的条件下，一个字母可以代表许多不同的意义，不能拘泥于唯一的数量关系．
【对点训练】
用字母表示数可以帮助我们表达、研究具有更普遍意义的数量关系，发现一些有趣的结论，并解释其中的道理．请根据下列步骤来完成一个有趣的游戏吧！
第一步：从1到9中选一个喜欢的数字；
第二步：用这个数乘3，再减去1；
第三步：将第二步的结果乘4，再加上15；
第四步：将第三步的结果减去你选择的数．
(1)若选择的数字是5，按以上步骤操作后所得的数是
66 ；
(2)小明发现按以上步骤操作后所得的数始终是11的倍数，设选择的数字为x，请列出代数式解释小明发现的结论．
(1)若选择数字5，根据题意，得(5×3－1)×4＋15－5＝14×4＋15－5＝56＋10＝66；
(2)设选择数字为x，则(3x－1)×4＋15－x＝12x－4＋15－x＝11x＋11.因为11x是11的倍数，11也是11的倍数，所以操作后所得的数始终是11的倍数．
课堂10分钟
1.我们知道，用字母表示的数是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中不正确的是( D )
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长
C．若三角形的底边长为3，面积为6a，则4a表示这条边上的高
D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数
2.“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8(x－15)元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是( C )
A．在原价的基础上打八折后再减去15元
B．在原价的基础上打二折后再减去12元
C．在原价的基础上减去15元后再打八折
D．在原价的基础上减去12元后再打八折
3.下列选项中，能用2a＋6表示的是( C )
A．整条线段的长度
B．整条线段的长度
C．这个长方形的周长
D．这个图形的面积
4.请你对“0.8a”赋予一个实际含义： 练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元（答案不唯一） ．
5.已知等边三角形的边长为p，正方形的边长为q，则3p＋4q的实际意义为 等边三角形的周长与正方形的周长之和 ．
2.代数式
第1课时 代数式
知识梳理
1.用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作 代数式 ．单个的 数 或
字母 也是代数式．
2.在代数式中：(1)如果出现乘号，可写成“ · ”或
不写 ，数字与字母相乘时，数字写在字母 前 ，字母与字母相乘时，相同字母写成 幂 的形式，数字与数字相乘时，乘号“ × ”号不能省略．(2)如果式中出现除法，如s÷v，一般写成 的形式．
3.在今后的学习中，为解决问题，常需要先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出 代数式 ．
列代数式时要注意书写的规则，不能因为书写出现错误；若代数式表示数量关系时带有单位，且代数式是一个和的形式，此时代数式一定要加括号．
重难突破
重难点 列代数式
【典例】在以“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套．于是店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
(1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案一共需要花费 元．
(2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套(a＞15)，若选择方案一购买，需要花费
（用含a的代数式表示）元；若选择方案二购买，需要花费 （用含a的代数式表示）元．
解：(1)优惠之前，购买30个安全头盔需100×30＝3 000（元），购买100副手套需30×100＝3 000（元），若选择方案一共需要花费(3 000＋3 000)×90%＝5 400（元），故答案为：5 400元．
(2)优惠之前，购买30个安全头盔需3 000元，a副手套需30a元，若选择方案一购买需90%(3 000＋30a)＝(2 700＋27a)元．若选择方案二购买需3 000＋30（a－）＝(2 550＋30a)元．
故答案为：(2 700＋27a)元，(2 550＋30a)元．
列代数式时，不仅需要注意其中的书写规则，同时要注意细心审题，理解题意，明确题目中所含数量关系，正确列出代数式．
【对点训练】
有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示(a＞b)，将它们拼成较大的长方形，共有如图2所示的三种不同的方式．
用含a，b的式子表示：
方式一拼成的大长方形的周长C1： 8a＋2b ；
方式二拼成的大长方形的周长C2： 2a＋8b ；
方式三拼成的大长方形的周长C3： 4a＋4b ．
由题知，方式一中大长方形的长为4a，宽为b，所以方式一拼成的大长方形的周长为：2(4a＋b)＝8a＋2b.
方式二中大长方形的长为4b，宽为a，所以方式二拼成的大长方形的周长为：2(4b＋a)＝2a＋8b.
方式三中大长方形的长为2a，宽为2b，所以方式三拼成的大长方形的周长为：2(2a＋2b)＝4a＋4b.
课堂10分钟
1.下列式子，符合代数式书写格式的是( A )
A． B．2b C．m×7 D．x＋y人
2.在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年1月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是( D )
A．左上角的数字为a＋1
B．左下角的数字为a＋7
C．右下角的数字为a＋8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
3.下列说法：①如果a表示一个有理数，那么它的相反数是－a；②a的3倍与b的平方的和，用代数式表示为：3a＋b2；③某商品原价是x元，提价10%后的价格是(x＋10%)元．正确的有( B )个
A．0 B．1 C．2 D．3
4.近来，随着脐橙的大量上市，某超市将原售价为a元/千克的脐橙打九折后，再降价b元/千克，则现售价为 (0.9a－b) 元/千克．
第2课时 整式
知识梳理
1.在代数式中， 数与字母的乘积 叫作单项式，其中的 数字因数 叫作单项式的系数，单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，单个的 字母 或 数 也是单项式．
2.一个单项式中，所有字母的指数之 和 叫作这个单项式的次数．
3.几个单项式的 和 叫作多项式，在多项式里，每个单项式叫作多项式的 项 ，其中不含字母的项，叫作 常数项 ．
4.一个多项式含有几项，这个多项式就叫作 几项式 ．
5.一个多项式里，次数最 高 的项的 次数 ，叫作这个多项式的次数．
6. 单项式 与 多项式 统称为整式．
整式中的相关概念容易混淆，一定要注意区别．
重难突破
重难点 整式的识别
【典例】下列代数式，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
1－a，，32＋a2，，－x3y4，，x2－8x＋7.
解：，－x3y4是单项式；
1－a，32＋a2，x2－8x＋7是多项式；
1－a，，32＋a2，－x3y4，x2－8x＋7是整式．
代数式包含整式，整式又包含单项式和多项式，其包含关系如图所示：
【对点训练】
已知单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，求3m－2的值．
因为单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，所以2＋
4＝1＋m＋2，解得：m＝3，所以3m－2＝3×3－2＝9－2＝7.
课堂10分钟
1.下列各式中，不是整式的是( B )
A．0 B． C．x－2y D．xy
2.单项式的系数、次数分别是( A )
A．，5次 B．1，5次
C．，4次 D．1，4次
3.多项式－2xy＋x3y－1的次数和常数项分别是( C )
A．2，－1 B．3，－1
C．4，－1 D．－2，－1
4.下列结论不正确的是( D )
A．多项式1－3x2－x中，二次项是－3x2
B．－ab3的次数是4
C．不是整式
D．－的系数是－
5.已知关于m，n的多项式m2n3＋mn2－10ma+3n－4b是六次四项式，常数项是2.求a，b的值．
由题意，得a＋3＋1＝6，－4b＝2，
解得a＝2，b＝－.
3.代数式的值
知识梳理
用 数值 代替代数式里的字母，按照代数式中字母的 运算关系 计算得出的结果叫作 代数式的值 ．
通常情况下，同一个代数式中，当所含字母取不同的数值时，代数式的值是不同的；其次，代数式中的字母取值时，必须使代数式具有实际意义．
重难突破
重难点 代数式的值
【典例】“元旦”期间，甲、乙两家超市进行促销活动，各自推出不同的优惠方案：在甲超市一次性购买商品超过200元后，超出的部分按原价的80%收取；在乙超市购买商品按原价的90%收取．
(1)若一次性购物300元，分别计算在甲、乙两家超市所需的付款费用；
(2)设某顾客一次性购物x元
①当x＞200时，分别用代数式表示顾客在甲、乙两家超市购物所付的费用；
②当x＝580时，该顾客应选择哪一家超市购物比较划算？并说明理由．
解：(1)根据题意，因为300＞200，所以在甲超市的付款费用是200＋(300－200)×80%＝280（元），
在乙超市的付款费用是300×90%＝270（元）.
(2)①当x＞200时，在甲超市的付款费用是200＋(x－200)×80%＝(0.8x＋40)元，
在乙超市的付款费用是x·90%＝0.9x（元）.
②顾客应选择甲超市购物比较划算．理由如下：
当x＝580时，在甲超市购物所付的费用是0.8×580＋40＝504（元），在乙超市购物所付的费用是0.9×580＝522（元）.
因为504＜522，所以该顾客应选择甲超市购物比较划算．
本题考查了列代数式及代数式求值，准确理解题意，正确列出代数式是解题的关键．
【对点训练】
如图，用三种大小不等的正方形①②③和一个缺角的正方形拼成一个长方形ABCD（不重叠且没有缝隙），若BF＝a，GH＝a，GK＝a＋1.
(1)试用含a的代数式表示：正方形②的边长为 2a ，正方形③的边长为 3a－1 ；
(2)用含a的代数式表示长方形ABCD的周长，并求出当a＝3时，长方形ABCD的周长．
(1)由题意，得GN＝GH＋HN＝GH＋BF＝a＋a＝2a，KM＝GM－GK＝2GN－GK＝2×2a－(a＋1)＝4a－a－1＝3a－1，故答案为：2a，3a－1；
(2)由(1)题结论，可得BC＝a×3＋2a×2＝3a＋4a＝7a，CD＝2a＋(3a－1)＝5a－1，所以长方形ABCD的周长为：2×［7a＋(5a－1)］＝2×(7a＋5a－1)＝2×(12a－1)＝24a－2，即长方形ABCD的周长是24a－2.当a＝3时，24a－2＝24×3－2＝70.所以当a＝3时，长方形ABCD的周长是70.
课堂10分钟
1.小明做一道数学题，“求代数式6x5＋5x4＋4x3＋3x2＋2x＋1，当x＝－1时的值”，由于将式中某一项前的“＋”号看为“－”号，误求得代数式的值为5，小明同学看错符号的项是( B )
A．5x4 B．4x3 C．3x2 D．2x
2.已知代数式ax4＋bx2－2，当x＝2时值为3，那么当x＝－2时值为( A )
A．3 B．－3 C．2 D．－7
3.如果多项式－2a＋3b＋8的值为18，那么多项式6a－9b＋2的值等于( B )
A．28 B．－28 C．32 D．－32
4.如图是一个运算程序，若第1次输入a的值为16，则第2 025次输出的结果是( B )
A．1 B．2 C．4 D．8
5.按如图所示的程序进行计算，若开始输入的x是正整数，最后输出的结果是40，则满足条件的x的值都有 1或4或13 ．
2.2 整式加减
1.合并同类项
知识梳理
1.所含字母 相同 ，并且相同字母的指数也分别 相同 的项叫作同类项．常数项与常数项 是 同类项.
2.把多项式中的同类项合并成一项，叫作 合并同类项 ．
3.合并同类项的法则是：同类项的系数 相加 ，所得结果作为 系数 ，字母和字母的指数 不变 ．
合并同类项时，一是准确找到同类项，二是要注意法则的正确运用，不能误用法则.
重难突破
重难点 合并同类项与化简求值
【典例】已知T＝3a＋ab－7c2＋3a＋7c2.
(1)化简T；
(2)当a＝3，b＝－2，c＝－时，求T的值．
解：(1)T＝3a＋ab－7c2＋3a＋7c2＝6a＋ab；
(2)把a＝3，b＝－2代入T得
T＝6a＋ab＝6×3＋3×(－2)＝18－6＝12.
合并同类项时要掌握一“变”二“不变”，一“变”——系数相加；二“不变”——字母和字母的指数不变．
【对点训练】
已知一个代数式与－2x2＋x的和是－6x2＋x＋3.
(1)求这个代数式；
(2)当x＝－时，求这个代数式的值．
(1)因为一个代数式与－2x2＋x的和是－6x2＋x＋3，所以这个代数式为：－6x2＋x＋3－(－2x2＋x)＝－6x2＋x＋3＋2x2－x＝－4x2＋3；
(2)当x＝－时，原式＝－4×（－）2＋3＝－1＋3＝2.
课堂10分钟
1.下列各组中的两项，不是同类项的是( C )
A．－x2y和2x2y B．23和32
C．－m3n2和m2n3 D．2πR和3R
2.已知2xn+2与－3x4是同类项，则n的值是( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如果单项式xay3与5x2yb的和仍是单项式，那么b－a的值为( D )
A．4 B．3 C．2 D．1
4.下列计算：①m3－m2＝m；②3xy2－2xy2＝1；③3ab－2ab＝ab；④(－2)3－(－3)2＝－17.其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.定义：若x－y＝m，则称x与y是关于m的相关数．
(1)若5与a是关于2的相关数，则a＝ ．
(2)若A与B是关于m的相关数，A＝3mn－5m＋n＋6，B的值与m无关，求n的值．
(1)因为5与a是关于2的相关数，所以5－a＝2，解得a＝3，故答案为：3；
(2)因为A与B是关于m的相关数，A＝3mn－5m＋n＋6，所以A－B＝m，所以B＝A－m＝3mn－5m＋n＋6－m＝3mn－6m＋6＋n＝3m(n－2)＋6＋n.因为B的值与m无关，所以n－2＝0，得n＝2.
2.去（添）括号
知识梳理
1.如果括号前面是“＋”号，去括号时把括号连同它前面的“＋”号去掉，括号内的各项都 不改变 符号．
2.如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都 改变 符号．
3.所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都 不改变 符号．
4.所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都 改变 符号．
无论去括号，还是添括号，都需要牢记“＋”不改变，“－”改变．
重难突破
重难点 去括号及其应用
【典例】先去括号，再合并同类项．
(1)2(2b－3a)＋3(2a－3b)
(2)4a2＋2(3ab－2a2)－(7ab－1)
解：(1)2(2b－3a)＋3(2a－3b)
＝4b－6a＋6a－9b＝－5b；
(2)4a2＋2(3ab－2a2)－(7ab－1)
＝4a2＋6ab－4a2－7ab＋1＝－ab＋1.
准确运用去括号法则是解题的关键所在．
【对点训练】
如果关于x的多项式2x2－(2yn+1－mx2)－3的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次，求m，n的值．
2x2－(2yn+1－mx2)－3＝2x2－2yn+1＋mx2－3＝(2＋m)x2－2yn+1－3.
因为(2＋m)x2－2yn+1－3的值与x的取值无关且该多项式的次数为三次，所以2＋m＝0，n＋1＝3，所以m＝－2，n＝2.
课堂10分钟
1.将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是( D )
A．3x＋2－2x＋1 B．3x＋2－4x＋1
C．3x＋2－4x－2 D．3x＋2－4x＋2
2.下列去括号或添括号正确的是( D )
A．a2－(2a－b＋c)＝a2－2a－b＋c
B．a－2(b－c)＝a－2b－c
C．－3b＋2c－d＝－(3b＋2c－d)
D．2x－x2＋y2＝2x＋(－x2＋y2)
3.已知(a－b)－(c－d)＝5，a－c＝3，则b－d＝ －2 ．
4.已知|a|＝3，|b|＝5，且满足ab＜0，则2 024(a－b)－2 025(a－b)＝ ±8 ．
5.已知：代数式A＝2x2－2x－1，代数式B＝－x2＋xy＋1，代数式M＝4A－(3A－2B).
(1)当(x＋1)2＋|y－2|＝0时，求代数式M的值；
(2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值；
(3)当代数式M的值等于5时，求整数x，y的值．
先化简，依题意，得M＝4A－(3A－2B)＝4A－3A＋2B＝A＋2B，将A，B分别代入，得A＋2B＝2x2－2x－1＋2(－x2＋xy＋1)＝2x2－2x－1－2x2＋2xy＋2＝－2x＋2xy＋1.
(1)因为(x＋1)2＋|y－2|＝0，所以x＋1＝0，y－2＝0，得x＝－1，y＝2，将x＝－1，y＝2代入原式，则M＝－2×(－1)＋2×(－1)×2＋1＝2－4＋1＝－1；
(2)因为M＝－2x＋2xy＋1＝－2x(1－y)＋1的值与x的取值无关，所以1－y＝0，所以y＝1；
(3)当代数式M＝5时，即－2x＋2xy＋1＝5，整理，得－2x＋2xy－4＝0，所以x－xy＋2＝0，即x(1－y)＝－2.因为x，y为整数，所以 或或或
所以或或或
3.整式加减
知识梳理
1.整式加减运算可归结为 去括号 、 合并同类项 ．
2.将多项式按照某个字母（如x）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫作关于这个字母（如x）的 降（升）幂 排列．
多项式的升幂或者降幂排列，是按照某个指定的字母的幂的大小顺序排列的，并非按照这个多项式的次数排列的．
重难突破
重难点 整式的加减与多项式的排列
【典例】已知代数式－2(2xy－2x)－(－y2＋x2y3).
(1)先化简，再将代数式按y的降幂排列；
(2)当x＝2，y＝－1时，求该代数式的值．
解：(1)原式＝－4xy＋4x＋y2－x2y3，
将代数式按y的降幂排列为－x2y3＋y2－4xy＋4x；
(2)当x＝2，y＝－1时，
－4xy＋4x＋y2－x2y3
＝－4×2×(－1)＋4×2＋(－1)2－22×(－1)3
＝8＋8＋1＋4
＝21.
本题主要考查了去括号法则以及整式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【对点训练】
已知M＝4x2－2x－1，N＝3x2－2x－5.
(1)化简4M－(2M＋3N)，结果按照x的降幂排列；
(2)当x＝－2时，求(1)中代数式的值；
(3)试判断M，N的大小关系，并说明理由．
(1)4M－(2M＋3N)＝4M－2M－3N＝2M－3N.
因为M＝4x2－2x－1，N＝3x2－2x－5，
所以原式＝2(4x2－2x－1)－3(3x2－2x－5)＝
8x2－4x－2－9x2＋6x＋15＝－x2＋2x＋13.
(2)当x＝－2时，原式＝－(－2)2＋2×(－2)＋13＝－4－4＋13＝5；
(3)M－N＝(4x2－2x－1)－(3x2－2x－5)＝4x2－2x－1－3x2＋2x＋5＝x2＋4.
因为无论x为何值，x2≥0恒成立，所以x2＋4＞0，所以M＞N.
课堂10分钟
1.把多项式a3＋b2－3ab2－3a2b按a的降幂排列正确的是( C )
A．b2－3ab2－3a2b＋a3
B．b2－3a2b－3ab2＋a3
C．a3－3a2b－3ab2＋b2
D．a3－3ab2－3a2b＋b2
2.多项式2xmy2＋3x2y－1是按x的降幂排列的，则m应满足( C )
A．m＝2 B．m＞2
C．m≥2 D．m≥3
3.对于五个整式，A：2x2；B：x＋1；C：－2x；D：y2；E：2x－y，有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式B·C＋A＋D＋E的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A＋D＋2E的值为－2；③若关于x的多项式M＝3(A－B)＋m·B·C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于－3.上述结论中，正确的个数是( B )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.已知多项式－4x4y－1＋3x2－6x3y2，将其按x的升幂排列为 －1＋3x2－6x3y2－4x4y ．
