第3章 一次方程与方程组
3.1 方程
知识梳理
1.含有 的等式叫作方程。
2.使方程两边相等的 的值叫作方程的解．
3.等式的性质：
(1)等式的两边都加上（或减去）同一个 ，所得结果仍是 ，即如果a＝b，那么a＋c＝ ，a－c＝ ．
(2)等式的两边都乘以（或除以）同一个 （除数不能为 ），所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么ac＝ ，＝ (c≠0).
(3)如果a＝b，那么b＝ ．
(4)如果a＝b，b＝c，那么a ＝ ，称为 ．
应用等式的性质时需要特别注意性质1与性质2的区别：性质1中加或减的可以是数，也可以是整式，性质2中乘或除的只能是数，不是含字母的整式．
应用等式的性质2时，一定要注意除数不能为0的前提条件，否则会出现错误．
重难突破
重难点 利用等式的性质解一元一次方程
【典例】利用等式的性质解方程并检验：2－x＝3.
本题主要考查了利用等式的基本性质解方程．应用等式的性质时需要注意其适用的条件．
【对点训练】
利用等式的性质解方程：
(1)5＋x＝－2；
(2)3x＋6＝31－2x.
课堂10分钟
1.下列四个式子中，是方程的是( )
A．3＋2＝5 B．x－1＝2
C．2x－1＜0 D．a＋b
2.已知x＝5是方程ax－8＝20＋a的解，则a的值是( )
A．2 B．3 C．7 D．8
3.已知a＝b，则下列式子不一定成立的是( )
A．a＋2＝b＋2 B．ac＝bc
C.＝ D．a－m＝b－m
4.如果a＝b，那么＝成立时c应满足的条件是 ．
5.若单项式8m2x-1n4与－5mx+2n4是同类项，且x的值是关于x的方程x－1＝a的解，则a＝ .
3.2 一元一次方程及其解法
第1课时 利用移项、去括号解一元一次方程
知识梳理
1.只含有 个未知数（元），未知数的次数是 ，且等式两边都是 的方程叫作一元一次方程．
2.一元方程的解也叫作 ．
3.把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作 ．
移项要变号，杜绝没有变号就把某一项从方程的一边变动到另一边的错误；用分配律去括号时，不要漏乘括号里面的项，并且注意不能出现符号错误．
重难突破
重难点 利用移项、去括号解一元一次方程
【典例】解方程：6－x＝x－2(3－x).
移项，一般都习惯把含未知数的项移到方程的左边．
【对点训练】
解方程：(1)6(x－1)－2(1－x)＝3＋2x.
(2)2x＋5＝3(x－1).
课堂10分钟
1.若(m－3)x|m|-2＝5是一元一次方程，则m的值是( )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．1
2.已知关于x的一元一次方程2x－a＝3的解是x＝2，则a的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3.已知y1＝5x－8，y2＝8x＋1，当y1＝y2时，x的值是( )
A．3 B．－3
C． D．－
4.小亮在解方程3a＋x＝7时，由于粗心，错把＋x看成了－x，结果解得x＝1，则a的值为( )
A．a＝ B．a＝3 C．a＝－3 D．a＝
5.若整式3x－2与2x＋1的值相等，求x的值．
第2课时 利用去分母解一元一次方程
知识梳理
解一元一次方程的一般步骤可以归纳为： 、
、 、 、 ．
去分母时，若方程的分子中含有多项式，特别需要注意其中的符号是否需要变号，不能因为忽略符号的变化出错．
重难突破
重难点 解一元一次方程
【典例】解方程：
(1)2－＝；(2)＝－.
对于较为复杂的一元一次方程，解答时要掌握化繁为简的方法：(1)含有复杂分数形式的一元一次方程需要逐次去分母，逐步转化为较为简单的一元一次方程；(2)含有多重括号的一元一次方程，应该采取由内至外（或者由外至内）的方法去括号，进而通过移项、合并同类项等步骤转化后得出答案．
【对点训练】
小明解方程＋1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确求出方程的解．
课堂10分钟
1.下列方程的变形中正确的是( )
A．将方程8＋x＝12移项，得x＝12＋8
B．将方程＋x＝去分母，得2(x－1)＋x＝3(3x＋1)
C．将方程－x＝1，系数化为1，得x＝－3
D．将方程3x－(2x－1)＝1去括号，得3x－2x－1＝4
2.方程－＝1去分母后正确的是( )
A．3x－2(x－1)＝1 B．3x－2(x－1)＝6
C．x－2(x－1)＝6 D．3x＋2(x－1)＝6
3.下列解一元一次方程的过程正确的是( )
A.若4x－3＝5，则4x＝5－3
B．若4x＋1＝3x＋2，则4x－3x＝2＋1
C．若－5x＝3，则x＝－
D．若－1＝，则3(x－1)－1＝2x
4.若代数式与代数式5－2x的差为1，则x的值为 ．
5.若单项式xm+1y3与－4x3yn的和仍是单项式，则方程＋＝1的解为 ．
3.3 一元一次方程的应用
第1课时 形积变化与行程问题
知识梳理
1.底面半径为r，高为h的圆柱体的体积V＝ ．
2.长方体的底面长为a，宽为b，高为c，其体积V＝ .
3.底面半径为r，高为h的圆锥体的体积V＝ ．
4.汽车t小时，行驶了s km，其速度v＝ km/h.
5.轮船在静水中的速度是v1 km/h，水流的速度是v2 km/h，轮船顺水航行t小时行驶的航程为s1＝
km，轮船逆水航行t小时行驶的航程为s2＝ km.
6.列方程解应用题的一般步骤如下：
(1)弄清题意和题中的 ，用 表示问题涉及的未知数；
(2)分析题意，找出 关系（可借助示意图、表格等）；
(3)根据 关系，列出需要的代数式，并列出 ；
(4)解这个方程，求出 的值；
(5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出 （包括 ）.
在形积问题中要注意各个单位长度要统一，在行程问题中要注意速度单位、时间单位、路程单位的统一．
重难突破
重难点 一元一次方程与行程问题
【典例】某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度是每小时7.5千米，水流速度是每小时2.5千米，若A，C两地距离为10千米．
(1)船在顺流航行时的速度为 ，逆流航行时的速度为 ；
(2)求A，B两地之间的距离是多少千米？
对于题目中的条件存在不确定性的时候，需要注意分类讨论，统筹计算，不要丢解．
【对点训练】
汽车以108千米/时的速度在高速公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，6秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度为340米/秒．（列一元一次方程解应用题）
课堂10分钟
1.某轮船在静水中的速度为20 km/h，水流速度为4 km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5 h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为( )
A．20x＋4x＝5
B．(20＋4)x＋(20－4)x＝5
C．＋＝5
D．＋＝5
2.在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE.若AE＝x cm，依题意可得方程( )
A．6＋2x＝14－3x
B．6＋2x＝x＋(14－3x)
C．14－3x＝6
D．6＋2x＝14－x
3.数学张老师根据《算学启蒙》中记载的良马与驽马的追及问题，改编了一道数学练习题，“跑得快的马每天比跑得慢的马多走90里．慢马先走6天，快马10天可以追上慢马．求快马每天走多少里？”如果设快马每天走x里，那么根据题意可列方程为( )
A．10x＝(10＋6)(x－90)
B．10x＝(10＋6)(x＋90)
C．(10＋6)x＝10(x－90)
D．(10＋6)x＝10(x＋90)
4.两个完全相同的长方形按如图所示的方式摆放成“L”形，则每个长方形的面积为 .
5.如图，已知A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－38，B点对应的数为22.
(1)线段AB的中点C对应的数为 ；
(2)若电子蚂蚁P从A点出发，以8个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时另一只电子蚂蚁Q从B点出发，以7个单位长度/秒的速度向左匀速运动，求经过几秒两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．
第2课时 利率问题与销售问题
知识梳理
1.本金× ×期数＝利息．
2.本金＋利息＝ ．
3.实际售价－ （或 ）＝利润．
销售问题中涉及的量较多，它们之间的关系需要理清，准确掌握其中的等量关系是解题关键．
重难突破
重难点 销售问题中的最优化方案的选择
【典例】某商店双十一举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知嘉嘉11月11日前不是该商店的会员．
(1)若嘉嘉不购买会员卡，所购买商品的价格为160元，实际应支付多少元？
(2)请问所购买商品的价格是多少时，两种方案的优惠情况相同？
(3)你认为哪种方案更合算（直接写出答案）？
本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
【对点训练】
某零售店用3 800元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件．已知甲商品进价为25元/件，标价为50元/件；乙商品进价为60元/件，标价为100元/件．
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中甲商品有10%不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该零售店共获利多少元？
课堂10分钟
1.某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为 2 500元，则可列方程为( )
A．(x－80)(50＋10x)＝2 500
B．(x－120)(50＋10x)＝2 500
C．(x－120)［50＋］＝2500
D．(x－80)［50＋］＝2 500
2.小明去银行存入本金1 000元，作为一年期的定期储蓄，到期后小明共取出了1 022.5元，则一年期储蓄的年利率为( )
A．2.25% B．4.5%
C．2.5% D．4.25%
3.某商场举办“迎元旦送大礼”促销活动，已知某品牌冰箱的进价为每台2 000元，商场将该品牌冰箱按标价的八折销售，每台冰箱的利润率为10%.则该品牌冰箱的标价为每台( )
A．2 750元 B．2 700元
C．2 200元 D．2 500元
4.若某种商品的进价为120元，为了扩大销量，超市对此商品的售价作了调整，按原售价的9折出售，此时的利润率为20%，则该商品的原售价是 元．
第3课时 比例分配及其他问题
知识梳理
甲、乙两个量的比值为m∶n，若设甲量为mx，则乙量为__ __，甲、乙两个量的和为__ __；若设甲量为x，则乙量为__ __，甲、乙两个量的和为__ __．
在比例分配问题中，设未知数时，应该以设定未知数解方程时简洁方便为要，切勿因设定的未知数导致解题繁琐出错．
重难突破
重难点 比例分配问题的应用
【典例】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.
(1)设天头长为x cm，则地头长为____________cm，左边的宽为__________cm，装裱后的长为__________cm；(均用含x的式子表示)
(2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求天头长．
本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
【对点训练】
漳州平和享有“中国琯溪蜜柚之乡”的美誉，平和琯溪蜜柚热销全国，今年平和琯溪蜜柚迎来大丰收，果农李叔叔对一批红、白两种蜜柚进行装箱打包，第一天完成了这批蜜柚总量的，第二天完成了剩余量的，最后还剩下60千克在第三天完成装箱．
(1)求这批蜜柚有多少千克？
(2)某水果店用970元购进这批蜜柚，这两种蜜柚的进价、售价如表所示：
进价(元/千克) 售价(元/千克)
红蜜柚 2.8 5
白蜜柚 2.2 3.5
求这家水果店销售完这批蜜柚可以获得多少利润？
课堂10分钟
1．“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则余5个；若每个小朋友分4个则少10个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是( )
A．3x＋5＝4x－10 B．3x－5＝4x＋10
C．＝ D．＝
2．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排放量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排放量要比环保限制的最大量少100 t，新旧工艺的废水排放量之比为2∶5，若设环保限制的最大量为x t，则可列方程为( )
A．2(x＋200)＝5(x－100)
B．5(x＋200)＝2(x－100)
C．2(x－200)＝5(x＋100)
D．5(x－200)＝2(x＋100)
3．2025年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108 cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为__ _ __cm2.
4．某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
3．4 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程(组)
知识梳理
1．含有__ __个未知数的一次方程，叫作二元一次方程．
2．几个方程联立在一起，称为__ __．
3．由两个__ __次方程组成，且含__ __个未知数的方程组叫作二元一次方程组．
4．使二元一次方程组中每个方程都成立的__ __个__ __的值，叫作二元一次方程组的解．
由几个方程联立起来的方程组是多样的，不能够认为方程组就一定是二元一次方程组．
重难突破
重难点 二元一次方程组的识别
【典例】已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组须满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．三者缺一不可．
【对点训练】
若方程组是二元一次方程组，求a的值．
课堂10分钟
1．|m－2|x＋3y|m-1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝( )
A．2 B．0
C．1 D．－1
2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
3．《九章算术》中有这样一道题，大意是：假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两金．问1头牛、1只羊各值多少金？设1头牛、1只羊分别值x，y金，则列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
4．下列方程组：①②
③④其中是二元一次方程组的是__ __．(填写序号)
5．五一劳动节，初一(3)班的同学到河边进行捡垃圾活动，若每组4人，则多1人，若每组5人，则差8人，设分为a组，共b个学生，则方程组是__ __．
第2课时 用代入法解二元一次方程组
知识梳理
1．解二元一次方程组的基本思想是__ __．
2．从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作__ __，简称__ __．
用代入法解二元一次方程组的关键在于准确用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数，其中移项要变号是非常容易出错的地方，需要特别注意．
重难突破
重难点 代入法解二元一次方程组
【典例】解方程组：
代入消元法选取方程变形的原则：
①选择未知数的系数是1或－1的方程；
②选择常数项为0的方程；
③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程．
【对点训练】
解方程组：(1)(2)
课堂10分钟
1．用代入法解方程组时，代入正确的是( )
A．x－2＋x＝5 B．x－2＋2x＝5
C．x－2－2x＝5 D．x－2－x＝5
2．二元一次方程组的解是( )
A． B．
C． D．
3．若(a＋b－1)2＋|2a－b＋7|＝0，则ab＝__ __．
4．定义一种运算※如下：x※y＝ax＋by，a和b均为常数．已知3※5＝12，4※7＝20，则2※3＝__ __．
5．解方程组：
第3课时 用加减法解二元一次方程组
知识梳理
把两个方程的两边分别__ __或__ __消去一个未知数的方法叫作__ __，简称__ __．
用加减法解二元一次方程组应该先观察方程组中的两个方程的系数之间的关系，切忌直接采用加或者减去运算，否则可能会陷入无法解答的窘境．
重难突破
重难点 用加减法解二元一次方程组
【典例】解下列方程组：(1)
(2)
使用加减消元法的技巧：
(1)两方程中若有一个未知数的系数的绝对值相等，则可直接加减消元；
(2)若同一个未知数的系数的绝对值都不相等，则应选一个或两个方程进行变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，再用加减消元法求解；
(3)若方程组较复杂，则应先化简整理，再加减消元．
【对点训练】
解方程组：(1)(2)
课堂10分钟
1．方程组由①－②得( )
A．2y－3y＝4－6 B．2y－3y＝4＋6
C．2y＋3y＝4－6 D．2y＋3y＝4＋6
2．已知关于x，y的二元一次方程组求代数式4x＋3y的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
3．已知二元一次方程组若用加减法消去y，正确的是( )
A．①＋②×2 B．①＋②
C．①－② D．①－②×2
4．已知方程组则x＋y＝__ __．
5．已知代数式x2＋bx＋c.
(1)当x＝2时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b；
(2)当x＝1时，代数式的值是0；当x＝－2时，代数式的值是15，求b，c的值．
3．5 二元一次方程组的应用
第1课时 积分问题与行程问题
知识梳理
1．列二元一次方程组解应用题，需要找到题目中包含的__ __个数量关系．
2．行程问题常见的三个类型：一是相向而行的__ __问题，二是同向而行__ __问题；三是流水中的行程问题．
行程问题中的相遇问题可以包含同向而行或者相向而行两种不同情形，解题时要注意区分．
重难突破
重难点 列方程组解行程问题
【典例】小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2 h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24 km，相遇后0.5 h 小魏到达B地．
(1)两人的速度分别是多少？
(2)相遇后小梁多少时间到达A地？
列二元一次方程组解答行程问题时，可以通过绘制示意图分析题目中的数量关系，进而设定合理的未知数表示数量关系，列出方程组并解答．
【对点训练】
甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行，如果甲比乙先走2 h，那么他们在乙出发2.5 h后相遇；如果乙比甲先走2 h，那么他们在甲出发3 h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？
课堂10分钟
1．作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1 h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4 km，登山每小时走3 km，下山每小时走6 km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现此题答案中的方程组因有污损，只看清其中一个方程为“3x＝6y”，则答案中另一个方程应为( )
A．x－y＝1 B．3x＋2y＝12
C．＋＝3 D．＝
2．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是( )
A．20 B．22 C．23 D．25
3．一条船顺流航行，每小时行30千米；逆流航行，每小时行20千米．设船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为y km/h.则可列方程组为__ __．
4．某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．
(1)甲同学参加了竞赛，成绩是96分，请问甲同学在竞赛中答对了多少道题？
(2)乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问乙同学有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．
第2课时 百分率问题
知识梳理
解答百分率问题时，可以运用表格表示数量之间的关系，进而发现题目中隐含的__ __关系．
百分率问题中涉及的数量较多，分析问题时，容易混淆数量之间的倍分或者多少关系.
重难突破
重难点 百分率问题的应用
【典例】某校准备购进21套桌椅来筹建一间多功能数学实验室，现有两种桌椅可供选择：甲类桌椅是三角形桌，每桌可坐3人，乙类桌椅是五边形桌，每桌可坐5人．学校分两次进行采购，第一次采购甲、乙桌椅均是原价；第二次采购时，甲因原材料上涨提价了20%，乙因促销活动恰好降价20%；两次采购的数量和费用如表：
购买甲类桌椅(套) 购买乙类桌椅(套) 购买总费用(元)
第一次采购 6 5 1 950
第二次采购 3 7 1 716
(1)求第一次购买时，甲、乙类桌椅每套的购买价格；
(2)若该校每班有学生42人，问：该多功能数学实验室最多能同时容纳几个班级开展活动？
(3)某班42位同学需使用该实验室，为了合理分配学习资源，管理员规定每套桌椅必须坐满，且桌子的使用数量尽量少，请你设计人员分配方案．
解题的技巧是依据两次购买的费用不变设定未知数，进而列出方程组求解．
【对点训练】
某水果种植基地，去年的利润(收入－支出)为500万元，估计今年的利润为980万元，并且今年的收入比去年增加了15%，支出比去年减少了10%，求：去年的收入与支出各是多少万元？
课堂10分钟
1．某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中住宿学生增加6%，走读生减少2%.若设该校去年有住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组( )
A．
B．
C．
D．
2．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%.若设甲、乙商品原来的单价分别为x元、y元，则下面根据题意，所列方程组正确的是( )
A.
B．
C．
D．
3．某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3 000册，由于学生积极响应，实际赠书3 780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书__ _ __册，高中部原计划赠书__ _ __册．
4．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收，去年菠萝的收入结余12 000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，结余今年预计比去年多11 400元．小明家去年种植菠萝的收入和支出各是多少元？
第3课时 调配问题与配套问题
知识梳理
在调配问题或配套问题中，两个相关的量之间的 关系是列方程组的依据之一．
在调配问题或配套问题中，两个相关的量之间存在的常见数量关系是倍分关系，故列方程（组）时，常以乘积的形式出现．
重难突破
重难点 调配问题的实际应用
【典例】某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？
调配问题中涉及的两个相关的数量关系中存在着整数倍数关系，这是列方程组的一个技巧．
【对点训练】
一批同学到学校礼堂观摩模拟法庭主题活动，如果每3人坐一张长条椅，那么有25人没有座位；如果每4人坐一张长条椅，那么刚好有4张长条椅空出，则有学生( )
A．145人 B．148人
C．120人 D．124人
课堂10分钟
1.有这样一道数学题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人半斤多半斤，每人九两少一两，试问各位善算者，多少人分多少银？其大意为有一群人分若干两银子，若每人分半斤，则剩半斤，若每人分9两，则少1两，问多少人分多少两银子？（注：这里的斤是指市斤，1市斤＝16两）( )
A.9人，64两 B．9人，80两
C．10人，89两 D．10人，85两
2.某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有( )
A．90人 B．200人
C．220人 D．270人
3.成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共 千克．
4.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1 m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
*3.6 三元一次方程组及其解法
知识梳理
1.由 个一次方程组成，且含 个未知数的方程组，叫作三元一次方程组．
2.解三元一次方程组的方法有 和 ．
解方程组的基本思想是消元，由于三元一次方程组含有较多的未知数，因此求三元一次方程组的解时，可以先转化为求二元一次方程组的解，最后求得方程组的解，消元时，要注意消去相同的未知数，达到消元的目的．
重难突破
重难点 解三元一次方程组
【典例】解方程组：
将“三元”转化为“二元”的策略：
①先消去某个方程中缺少的未知数；
②先消去系数的绝对值较小的未知数；
③先消去系数成整数倍的未知数；
④注意整体加减或整体代入的应用．
【对点训练】
解方程组：(1)
(2)
课堂10分钟
1.已知方程组则x＋y＋z的值是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
2.若二元一次方程组的解同时也是方程2x－my＝－1的解，则m的值为( )
A．－2 B．－1
C．3 D．4
3.一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有( )
A．4种 B．3种
C．2种 D．1种
4.某班级组织活动购买小奖品，若购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元，则购买10支铅笔，10块橡皮，10本笔记本共需多少元？第3章 一次方程与方程组
3.1 方程
知识梳理
1.含有 未知数 的等式叫作方程。
2.使方程两边相等的 未知数 的值叫作方程的解．
3.等式的性质：
(1)等式的两边都加上（或减去）同一个 整式 ，所得结果仍是 等式 ，即如果a＝b，那么a＋c＝ b＋c ，a－c＝ b－c ．
(2)等式的两边都乘以（或除以）同一个 数 （除数不能为 0 ），所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么ac＝ bc ，＝ (c≠0).
(3)如果a＝b，那么b＝ a ．
(4)如果a＝b，b＝c，那么a ＝ c ，称为 等量代换 ．
应用等式的性质时需要特别注意性质1与性质2的区别：性质1中加或减的可以是数，也可以是整式，性质2中乘或除的只能是数，不是含字母的整式．
应用等式的性质2时，一定要注意除数不能为0的前提条件，否则会出现错误．
重难突破
重难点 利用等式的性质解一元一次方程
【典例】利用等式的性质解方程并检验：2－x＝3.
解：根据等式性质1，方程两边都减去2，得－x＝1，根据等式性质2，方程两边都乘－4，得x＝－4.检验：将x＝－4代入原方程，得左边＝2－×(－4)＝3，右边＝3，所以方程的左右两边相等，故x＝－4是方程的解．
本题主要考查了利用等式的基本性质解方程．应用等式的性质时需要注意其适用的条件．
【对点训练】
利用等式的性质解方程：
(1)5＋x＝－2；
(2)3x＋6＝31－2x.
(1)5＋x＝－2，根据等式性质1，方程两边都减去5，得5＋x－5＝－2－5，所以x＝－7；
(2)3x＋6＝31－2x，根据等式性质1，方程两边都加上2x－6，得3x＋6＋2x－6＝31－2x＋2x－6，所以5x＝25，根据等式性质2，方程两边都除以5，得x＝5.
课堂10分钟
1.下列四个式子中，是方程的是( B )
A．3＋2＝5 B．x－1＝2
C．2x－1＜0 D．a＋b
2.已知x＝5是方程ax－8＝20＋a的解，则a的值是( C )
A．2 B．3 C．7 D．8
3.已知a＝b，则下列式子不一定成立的是( C )
A．a＋2＝b＋2 B．ac＝bc
C.＝ D．a－m＝b－m
4.如果a＝b，那么＝成立时c应满足的条件是 c≠1 ．
5.若单项式8m2x-1n4与－5mx+2n4是同类项，且x的值是关于x的方程x－1＝a的解，则a＝ .
3.2 一元一次方程及其解法
第1课时 利用移项、去括号解一元一次方程
知识梳理
1.只含有 一 个未知数（元），未知数的次数是 1 ，且等式两边都是 整式 的方程叫作一元一次方程．
2.一元方程的解也叫作 根 ．
3.把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作 移项 ．
移项要变号，杜绝没有变号就把某一项从方程的一边变动到另一边的错误；用分配律去括号时，不要漏乘括号里面的项，并且注意不能出现符号错误．
重难突破
重难点 利用移项、去括号解一元一次方程
【典例】解方程：6－x＝x－2(3－x).
解：原方程去括号，得6－x＝x－6＋2x，
移项，合并同类项，得－4x＝－12，
系数化为1，得x＝3.
移项，一般都习惯把含未知数的项移到方程的左边．
【对点训练】
解方程：(1)6(x－1)－2(1－x)＝3＋2x.
(2)2x＋5＝3(x－1).
(1)因为6(x－1)－2(1－x)＝3＋2x，所以6x－6－2＋2x＝3＋2x，所以6x＋2x－2x＝3＋2＋6，所以6x＝11，所以x＝.
(2)因为2x＋5＝3(x－1)，所以2x＋5＝3x－3，所以2x－3x＝－3－5，所以－x＝－8，所以x＝8.
课堂10分钟
1.若(m－3)x|m|-2＝5是一元一次方程，则m的值是( B )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．1
2.已知关于x的一元一次方程2x－a＝3的解是x＝2，则a的值是( C )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3.已知y1＝5x－8，y2＝8x＋1，当y1＝y2时，x的值是( B )
A．3 B．－3
C． D．－
4.小亮在解方程3a＋x＝7时，由于粗心，错把＋x看成了－x，结果解得x＝1，则a的值为( A )
A．a＝ B．a＝3 C．a＝－3 D．a＝
5.若整式3x－2与2x＋1的值相等，求x的值．
根据题意，得3x－2＝2x＋1，移项，得3x－2x＝1＋2，合并同类项，得x＝3.若整式3x－2与2x＋1的值相等，则x的值是3.
第2课时 利用去分母解一元一次方程
知识梳理
解一元一次方程的一般步骤可以归纳为： 去分母 、
去括号 、 移项 、 合并同类项 、 系数化为1 ．
去分母时，若方程的分子中含有多项式，特别需要注意其中的符号是否需要变号，不能因为忽略符号的变化出错．
重难突破
重难点 解一元一次方程
【典例】解方程：
(1)2－＝；(2)＝－.
解：(1)2－＝，
去分母，得12－2(2x＋1)＝3(x＋1)，
去括号，得12－4x－2＝3x＋3，
移项、合并同类项，得－7x＝－7，系数化1，得x＝1；
(2)＝－，化简，得5（x＋）＝－，
去分母，得5(9x＋15)＝－10(2x－1)，
去括号，得45x＋75＝10－20x，
移项、合并同类项，得65x＝－65，系数化1，得x＝－1.
对于较为复杂的一元一次方程，解答时要掌握化繁为简的方法：(1)含有复杂分数形式的一元一次方程需要逐次去分母，逐步转化为较为简单的一元一次方程；(2)含有多重括号的一元一次方程，应该采取由内至外（或者由外至内）的方法去括号，进而通过移项、合并同类项等步骤转化后得出答案．
【对点训练】
小明解方程＋1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确求出方程的解．
由题意可知，2(2x－1)＋1＝5(x＋a)的解为x＝4，所以把x＝4代入，得a＝－1，将a＝－1代入原方程，得＋1＝，去分母，得4x－2＋10＝5x－5，移项合并，得－x＝－13，解得x＝13.
课堂10分钟
1.下列方程的变形中正确的是( C )
A．将方程8＋x＝12移项，得x＝12＋8
B．将方程＋x＝去分母，得2(x－1)＋x＝3(3x＋1)
C．将方程－x＝1，系数化为1，得x＝－3
D．将方程3x－(2x－1)＝1去括号，得3x－2x－1＝4
2.方程－＝1去分母后正确的是( B )
A．3x－2(x－1)＝1 B．3x－2(x－1)＝6
C．x－2(x－1)＝6 D．3x＋2(x－1)＝6
3.下列解一元一次方程的过程正确的是( C )
A.若4x－3＝5，则4x＝5－3
B．若4x＋1＝3x＋2，则4x－3x＝2＋1
C．若－5x＝3，则x＝－
D．若－1＝，则3(x－1)－1＝2x
4.若代数式与代数式5－2x的差为1，则x的值为 2 ．
5.若单项式xm+1y3与－4x3yn的和仍是单项式，则方程＋＝1的解为 x＝2 ．
3.3 一元一次方程的应用
第1课时 形积变化与行程问题
知识梳理
1.底面半径为r，高为h的圆柱体的体积V＝ πr2h ．
2.长方体的底面长为a，宽为b，高为c，其体积V＝ abc .
3.底面半径为r，高为h的圆锥体的体积V＝ πr2h ．
4.汽车t小时，行驶了s km，其速度v＝ km/h.
5.轮船在静水中的速度是v1 km/h，水流的速度是v2 km/h，轮船顺水航行t小时行驶的航程为s1＝
(v1＋v2)t km，轮船逆水航行t小时行驶的航程为s2＝ (v1－v2)t km.
6.列方程解应用题的一般步骤如下：
(1)弄清题意和题中的 数量关系 ，用 字母 表示问题涉及的未知数；
(2)分析题意，找出 等量 关系（可借助示意图、表格等）；
(3)根据 等量 关系，列出需要的代数式，并列出 方程 ；
(4)解这个方程，求出 未知数 的值；
(5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出 答案 （包括 单位 ）.
在形积问题中要注意各个单位长度要统一，在行程问题中要注意速度单位、时间单位、路程单位的统一．
重难突破
重难点 一元一次方程与行程问题
【典例】某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度是每小时7.5千米，水流速度是每小时2.5千米，若A，C两地距离为10千米．
(1)船在顺流航行时的速度为 ，逆流航行时的速度为 ；
(2)求A，B两地之间的距离是多少千米？
解：(1)船在顺流航行时的速度＝船在静水中的速度＋水流的速度＝7.5＋2.5＝10（千米/时），逆流航行时的速度＝船在静水中的速度－水流的速度＝7.5－2.5＝5（千米/时），
故答案为：10千米/时，5千米/时；
(2)设A，B两地的距离为x千米，则B，C两地的距离为(x－10)千米或(x＋10)千米，
依题意，得当点C在A，B之间时，＋＝4，
解得x＝20，
当点C在A的上游时，＋＝4，解得x＝.
答：A，B两地的距离为20千米或千米．
对于题目中的条件存在不确定性的时候，需要注意分类讨论，统筹计算，不要丢解．
【对点训练】
汽车以108千米/时的速度在高速公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，6秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度为340米/秒．（列一元一次方程解应用题）
108千米/时＝30米/秒．
设听到回响的时候，汽车离山谷的距离是x m，
由题意得2x＋6×30＝6×340，解得x＝930.
答：这时汽车离山谷为930米．
课堂10分钟
1.某轮船在静水中的速度为20 km/h，水流速度为4 km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5 h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为( D )
A．20x＋4x＝5
B．(20＋4)x＋(20－4)x＝5
C．＋＝5
D．＋＝5
2.在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE.若AE＝x cm，依题意可得方程( B )
A．6＋2x＝14－3x
B．6＋2x＝x＋(14－3x)
C．14－3x＝6
D．6＋2x＝14－x
3.数学张老师根据《算学启蒙》中记载的良马与驽马的追及问题，改编了一道数学练习题，“跑得快的马每天比跑得慢的马多走90里．慢马先走6天，快马10天可以追上慢马．求快马每天走多少里？”如果设快马每天走x里，那么根据题意可列方程为( A )
A．10x＝(10＋6)(x－90)
B．10x＝(10＋6)(x＋90)
C．(10＋6)x＝10(x－90)
D．(10＋6)x＝10(x＋90)
4.两个完全相同的长方形按如图所示的方式摆放成“L”形，则每个长方形的面积为 30 .
5.如图，已知A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－38，B点对应的数为22.
(1)线段AB的中点C对应的数为 －8 ；
(2)若电子蚂蚁P从A点出发，以8个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时另一只电子蚂蚁Q从B点出发，以7个单位长度/秒的速度向左匀速运动，求经过几秒两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．
(1)设线段AB的中点C对应的数为x.根据题意，得x－(－38)＝22－x，解得x＝－8，所以线段AB的中点C对应的数为－8.
(2)当运动时间为t秒时，电子蚂蚁P在数轴上对应的数为8t－38，电子蚂蚁Q在数轴上对应的数为－7t＋22.根据题意，得|－7t＋22－(8t－38)|＝15，即60－15t＝15或15t－60＝15，解得t＝3或t＝5.
答：经过3或5秒钟后，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．
第2课时 利率问题与销售问题
知识梳理
1.本金× 利率 ×期数＝利息．
2.本金＋利息＝ 本息和 ．
3.实际售价－ 进价 （或 成本 ）＝利润．
销售问题中涉及的量较多，它们之间的关系需要理清，准确掌握其中的等量关系是解题关键．
重难突破
重难点 销售问题中的最优化方案的选择
【典例】某商店双十一举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知嘉嘉11月11日前不是该商店的会员．
(1)若嘉嘉不购买会员卡，所购买商品的价格为160元，实际应支付多少元？
(2)请问所购买商品的价格是多少时，两种方案的优惠情况相同？
(3)你认为哪种方案更合算（直接写出答案）？
解：(1)160×0.95＝152（元）.
答：若嘉嘉不购买会员卡，所购买商品的价格为160元时，实际应支付152元；
(2)设所购买商品的价格为x元，
则按方案一实际应支付(0.8x＋168)元；
按方案二实际应支付0.95x元，
若两种方案的优惠情况相同，则0.95x＝0.8x＋168，解得x＝1 120，
答：所购买商品的价格在1 120 元时，两种方案的优惠情况相同；
(3)当购买商品的价格低于1 120元时，方案二更合算，当购买商品的价格等于1 120元时，两种方案一样，当购买商品的价格高于1 120元时，方案一更合算.
本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
【对点训练】
某零售店用3 800元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件．已知甲商品进价为25元/件，标价为50元/件；乙商品进价为60元/件，标价为100元/件．
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中甲商品有10%不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该零售店共获利多少元？
(1)设购进甲商品件数为x件，则购进乙商品(2x＋15)件．
根据题意，得25x＋60(2x＋15)＝3 800，解得x＝20，2x＋15＝2×20＋15＝55（件），答：甲商品购进20件，乙商品购进55件；
(2)根据题意，该零售店共获利：50×20×(1－10%)×0.9－25×20＋(0.85×100－60)×55＝1 685（元），答：这批商品全部售出后，该零售店共获利1 685元．
课堂10分钟
1.某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为 2 500元，则可列方程为( D )
A．(x－80)(50＋10x)＝2 500
B．(x－120)(50＋10x)＝2 500
C．(x－120)［50＋］＝2500
D．(x－80)［50＋］＝2 500
2.小明去银行存入本金1 000元，作为一年期的定期储蓄，到期后小明共取出了1 022.5元，则一年期储蓄的年利率为( A )
A．2.25% B．4.5%
C．2.5% D．4.25%
3.某商场举办“迎元旦送大礼”促销活动，已知某品牌冰箱的进价为每台2 000元，商场将该品牌冰箱按标价的八折销售，每台冰箱的利润率为10%.则该品牌冰箱的标价为每台( A )
A．2 750元 B．2 700元
C．2 200元 D．2 500元
4.若某种商品的进价为120元，为了扩大销量，超市对此商品的售价作了调整，按原售价的9折出售，此时的利润率为20%，则该商品的原售价是 160 元．
第3课时 比例分配及其他问题
知识梳理
甲、乙两个量的比值为m∶n，若设甲量为mx，则乙量为__nx__，甲、乙两个量的和为__mx＋nx__；若设甲量为x，则乙量为__x__，甲、乙两个量的和为__x__．
在比例分配问题中，设未知数时，应该以设定未知数解方程时简洁方便为要，切勿因设定的未知数导致解题繁琐出错．
重难突破
重难点 比例分配问题的应用
【典例】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.
(1)设天头长为x cm，则地头长为____________cm，左边的宽为__________cm，装裱后的长为__________cm；(均用含x的式子表示)
(2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求天头长．
解：(1)根据题意，设天头长为x cm，则地头长为x cm，左边的宽为(x＋x)＝x(cm)，
装裱后的长为(x＋x＋100)＝(x＋100) cm，故答案为：x，x，(x＋100)；
(2)由题意，可得x＋100＝4(2×x＋27)，解得x＝24，答：天头长为24 cm.
本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
【对点训练】
漳州平和享有“中国琯溪蜜柚之乡”的美誉，平和琯溪蜜柚热销全国，今年平和琯溪蜜柚迎来大丰收，果农李叔叔对一批红、白两种蜜柚进行装箱打包，第一天完成了这批蜜柚总量的，第二天完成了剩余量的，最后还剩下60千克在第三天完成装箱．
(1)求这批蜜柚有多少千克？
(2)某水果店用970元购进这批蜜柚，这两种蜜柚的进价、售价如表所示：
进价(元/千克) 售价(元/千克)
红蜜柚 2.8 5
白蜜柚 2.2 3.5
求这家水果店销售完这批蜜柚可以获得多少利润？
(1)设这批蜜柚有x千克，根据题意，得x＋(1－)x＋60＝x，解得 x＝400，
所以这批蜜柚有400千克．
(2)设这批蜜柚有红蜜柚a千克，则白蜜柚有 (400－a) 千克．根据题意，得2.8a＋2.2(400－a)＝970，解得 a＝150，则400－a＝250，所以这批蜜柚有红蜜柚150千克，白蜜柚250千克．
所以销售完这批蜜柚的利润为(5－2.8)×150＋(3.5－2.2)×250＝655(元).
所以这家水果店销售完这批蜜柚可以获得655元利润．
课堂10分钟
1．“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则余5个；若每个小朋友分4个则少10个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是( C )
A．3x＋5＝4x－10 B．3x－5＝4x＋10
C．＝ D．＝
2．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排放量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排放量要比环保限制的最大量少100 t，新旧工艺的废水排放量之比为2∶5，若设环保限制的最大量为x t，则可列方程为( A )
A．2(x＋200)＝5(x－100)
B．5(x＋200)＝2(x－100)
C．2(x－200)＝5(x＋100)
D．5(x－200)＝2(x＋100)
3．2025年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108 cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为__3_888__cm2.
4．某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
设分配x名工人生产螺母，则(22－x)人生产螺钉．由题意，得2 000x＝2×1 200(22－x)，解得x＝12，则22－x＝10，答：应安排生产螺钉和螺母的工人分别为10名，12名．
3．4 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程(组)
知识梳理
1．含有__两__个未知数的一次方程，叫作二元一次方程．
2．几个方程联立在一起，称为__方程组__．
3．由两个__一__次方程组成，且含__两__个未知数的方程组叫作二元一次方程组．
4．使二元一次方程组中每个方程都成立的__两__个__未知数__的值，叫作二元一次方程组的解．
由几个方程联立起来的方程组是多样的，不能够认为方程组就一定是二元一次方程组．
重难突破
重难点 二元一次方程组的识别
【典例】已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
解：依题意，得|m－2|－2＝1，且m－3≠0，m＋1≠0，
解得m＝5.所以m的值是5.
本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组须满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．三者缺一不可．
【对点训练】
若方程组是二元一次方程组，求a的值．
根据题意，得a－5≠0，|a|－4＝1，所以a＝－5.
课堂10分钟
1．|m－2|x＋3y|m-1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝( B )
A．2 B．0
C．1 D．－1
2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是( B )
A． B．
C． D．
3．《九章算术》中有这样一道题，大意是：假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两金．问1头牛、1只羊各值多少金？设1头牛、1只羊分别值x，y金，则列方程组正确的是( B )
A． B．
C． D．
4．下列方程组：①②
③④其中是二元一次方程组的是__④__．(填写序号)
5．五一劳动节，初一(3)班的同学到河边进行捡垃圾活动，若每组4人，则多1人，若每组5人，则差8人，设分为a组，共b个学生，则方程组是____．
第2课时 用代入法解二元一次方程组
知识梳理
1．解二元一次方程组的基本思想是__消元__．
2．从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作__代入消元法__，简称__代入法__．
用代入法解二元一次方程组的关键在于准确用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数，其中移项要变号是非常容易出错的地方，需要特别注意．
重难突破
重难点 代入法解二元一次方程组
【典例】解方程组：
解：由①，得x＝y＋4③，把③代入②，可得3(y＋4)＋2y＝7，解得y＝－1，把y＝－1代入③，可得x＝3，所以原方程组的解是
代入消元法选取方程变形的原则：
①选择未知数的系数是1或－1的方程；
②选择常数项为0的方程；
③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程．
【对点训练】
解方程组：(1)(2)
(1)将①代入②，得y－1＋3y＝3，解得y＝1，将y＝1代入①，得x＝1－1＝0，故原方程组的解为
(2)由②，得x＝2y＋8③，把③代入①，可得4(2x＋8)＋y＝5，解得y＝－3，把y＝－3代入③，可得x＝2，所以原方程组的解是
课堂10分钟
1．用代入法解方程组时，代入正确的是( C )
A．x－2＋x＝5 B．x－2＋2x＝5
C．x－2－2x＝5 D．x－2－x＝5
2．二元一次方程组的解是( B )
A． B．
C． D．
3．若(a＋b－1)2＋|2a－b＋7|＝0，则ab＝__－8__．
4．定义一种运算※如下：x※y＝ax＋by，a和b均为常数．已知3※5＝12，4※7＝20，则2※3＝__4__．
5．解方程组：
原方程组可化为：
由②，得x＝9y－2③，把③代入①，可得5(9y－2)＋y＝36，
解得y＝1，把y＝1代入①，可得x＝7，
所以原方程组的解是
第3课时 用加减法解二元一次方程组
知识梳理
把两个方程的两边分别__相加__或__相减__消去一个未知数的方法叫作__加减消元法__，简称__加减法__．
用加减法解二元一次方程组应该先观察方程组中的两个方程的系数之间的关系，切忌直接采用加或者减去运算，否则可能会陷入无法解答的窘境．
重难突破
重难点 用加减法解二元一次方程组
【典例】解下列方程组：(1)
(2)
解：(1)②－①，得4y＝16，解得y＝4，
把y＝4代入②得x＋4＝6，
解得x＝2，则方程组的解为
(2)方程组整理，得②×2－①，得5x＝12，解得x＝，把x＝代入②，
得－y＝8，
解得y＝，则方程组的解为
使用加减消元法的技巧：
(1)两方程中若有一个未知数的系数的绝对值相等，则可直接加减消元；
(2)若同一个未知数的系数的绝对值都不相等，则应选一个或两个方程进行变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，再用加减消元法求解；
(3)若方程组较复杂，则应先化简整理，再加减消元．
【对点训练】
解方程组：(1)(2)
(1)①×2，得2x＋4y＝12③，②＋③，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝2，所以方程组的解为：
(2)①×3＋②，得16x＝48，解得x＝3，把x＝3代入①，得y＝2，所以原方程组的解为
课堂10分钟
1．方程组由①－②得( D )
A．2y－3y＝4－6 B．2y－3y＝4＋6
C．2y＋3y＝4－6 D．2y＋3y＝4＋6
2．已知关于x，y的二元一次方程组求代数式4x＋3y的值为( C )
A．8 B．9 C．10 D．12
3．已知二元一次方程组若用加减法消去y，正确的是( A )
A．①＋②×2 B．①＋②
C．①－② D．①－②×2
4．已知方程组则x＋y＝__2__．
5．已知代数式x2＋bx＋c.
(1)当x＝2时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b；
(2)当x＝1时，代数式的值是0；当x＝－2时，代数式的值是15，求b，c的值．
(1)根据题意，得22＋2b＋c＝5，所以2b＋c＝1，所以用含c的代数式表示b：b＝.
(2)根据题意，得解得
3．5 二元一次方程组的应用
第1课时 积分问题与行程问题
知识梳理
1．列二元一次方程组解应用题，需要找到题目中包含的__两__个数量关系．
2．行程问题常见的三个类型：一是相向而行的__相遇__问题，二是同向而行__追及__问题；三是流水中的行程问题．
行程问题中的相遇问题可以包含同向而行或者相向而行两种不同情形，解题时要注意区分．
重难突破
重难点 列方程组解行程问题
【典例】小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2 h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24 km，相遇后0.5 h 小魏到达B地．
(1)两人的速度分别是多少？
(2)相遇后小梁多少时间到达A地？
解：(1)设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h，
由题意，得解得
答：小魏的速度为16 km/h，小梁的速度为4 km/h；
(2)2×16÷4＝8(h)，
答：相遇后小梁8小时到达A地．
列二元一次方程组解答行程问题时，可以通过绘制示意图分析题目中的数量关系，进而设定合理的未知数表示数量关系，列出方程组并解答．
【对点训练】
甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行，如果甲比乙先走2 h，那么他们在乙出发2.5 h后相遇；如果乙比甲先走2 h，那么他们在甲出发3 h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？
设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，
依题意，得解得
答：甲的速度为6 km/h，乙的速度为3.6 km/h.
课堂10分钟
1．作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1 h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4 km，登山每小时走3 km，下山每小时走6 km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现此题答案中的方程组因有污损，只看清其中一个方程为“3x＝6y”，则答案中另一个方程应为( A )
A．x－y＝1 B．3x＋2y＝12
C．＋＝3 D．＝
2．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是( C )
A．20 B．22 C．23 D．25
3．一条船顺流航行，每小时行30千米；逆流航行，每小时行20千米．设船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为y km/h.则可列方程组为____．
4．某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．
(1)甲同学参加了竞赛，成绩是96分，请问甲同学在竞赛中答对了多少道题？
(2)乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问乙同学有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．
(1)设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题．根据题意，得解得
答：甲同学在竞赛中答对了26道题．
(2)乙同学没有可能拿到100分．理由如下：
设乙同学在竞赛中答对了m道题，则不答或答错了(30－m)道题．根据题意，得4m－2(30－m)＝100，解得m＝.因为m为整数，所以m＝舍去，所以乙同学没有可能拿到100分．
第2课时 百分率问题
知识梳理
解答百分率问题时，可以运用表格表示数量之间的关系，进而发现题目中隐含的__等量__关系．
百分率问题中涉及的数量较多，分析问题时，容易混淆数量之间的倍分或者多少关系.
重难突破
重难点 百分率问题的应用
【典例】某校准备购进21套桌椅来筹建一间多功能数学实验室，现有两种桌椅可供选择：甲类桌椅是三角形桌，每桌可坐3人，乙类桌椅是五边形桌，每桌可坐5人．学校分两次进行采购，第一次采购甲、乙桌椅均是原价；第二次采购时，甲因原材料上涨提价了20%，乙因促销活动恰好降价20%；两次采购的数量和费用如表：
购买甲类桌椅(套) 购买乙类桌椅(套) 购买总费用(元)
第一次采购 6 5 1 950
第二次采购 3 7 1 716
(1)求第一次购买时，甲、乙类桌椅每套的购买价格；
(2)若该校每班有学生42人，问：该多功能数学实验室最多能同时容纳几个班级开展活动？
(3)某班42位同学需使用该实验室，为了合理分配学习资源，管理员规定每套桌椅必须坐满，且桌子的使用数量尽量少，请你设计人员分配方案．
解：(1)设第一次购买时，甲类桌椅每套的购买价格为x元，乙类桌椅每套的购买价格为y元，根据题意得
解得
答：第一次购买时，甲类桌椅每套的购买价格为150元，乙类桌椅每套的购买价格为210元．
(2)由题意，得甲类桌椅两次采购了9套，乙类桌椅两次采购了12套，所以可容纳的总人数为3×9＋5×12＝87(人)，因为＝2，所以只能取整数2.
答：该多功能数学实验室最多能同时容纳2个班级开展活动．
(3)若使用8张乙类桌子，则剩2名学生，甲类桌子坐不满，不合题意，若使用7张乙类桌子，则剩7名学生，甲类桌子坐不满，不合题意，若使用6张乙类桌子，则剩12名学生，甲类桌子正好坐满4张，符合题意．
答：应使用4张甲类桌子，6张乙类桌子．
解题的技巧是依据两次购买的费用不变设定未知数，进而列出方程组求解．
【对点训练】
某水果种植基地，去年的利润(收入－支出)为500万元，估计今年的利润为980万元，并且今年的收入比去年增加了15%，支出比去年减少了10%，求：去年的收入与支出各是多少万元？
设去年的收入为x万元，支出为y万元．根据题意，得解得
答：去年的收入为2 120万元，支出为1 620万元．
课堂10分钟
1．某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中住宿学生增加6%，走读生减少2%.若设该校去年有住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组( A )
A．
B．
C．
D．
2．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%.若设甲、乙商品原来的单价分别为x元、y元，则下面根据题意，所列方程组正确的是( B )
A.
B．
C．
D．
3．某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3 000册，由于学生积极响应，实际赠书3 780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书__1_200__册，高中部原计划赠书__1_800__册．
设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册．依题意，有
解得
4．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收，去年菠萝的收入结余12 000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，结余今年预计比去年多11 400元．小明家去年种植菠萝的收入和支出各是多少元？
设小明家去年种植菠萝的收入是x元，支出是y元．
依题意，得
解得
答：小明家去年种植菠萝的收入是42 000元，支出是30 000元．
第3课时 调配问题与配套问题
知识梳理
在调配问题或配套问题中，两个相关的量之间的 倍分 关系是列方程组的依据之一．
在调配问题或配套问题中，两个相关的量之间存在的常见数量关系是倍分关系，故列方程（组）时，常以乘积的形式出现．
重难突破
重难点 调配问题的实际应用
【典例】某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？
解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位．
根据题意，得解得
答：A型车有45个座位，B型车有60个座位．
调配问题中涉及的两个相关的数量关系中存在着整数倍数关系，这是列方程组的一个技巧．
【对点训练】
一批同学到学校礼堂观摩模拟法庭主题活动，如果每3人坐一张长条椅，那么有25人没有座位；如果每4人坐一张长条椅，那么刚好有4张长条椅空出，则有学生( B )
A．145人 B．148人
C．120人 D．124人
课堂10分钟
1.有这样一道数学题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人半斤多半斤，每人九两少一两，试问各位善算者，多少人分多少银？其大意为有一群人分若干两银子，若每人分半斤，则剩半斤，若每人分9两，则少1两，问多少人分多少两银子？（注：这里的斤是指市斤，1市斤＝16两）( B )
A.9人，64两 B．9人，80两
C．10人，89两 D．10人，85两
2.某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有( D )
A．90人 B．200人
C．220人 D．270人
3.成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共 14 千克．
4.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1 m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
设应用x m3钢材做A部件，用y m3钢材做B部件．
依题意，得解得
所以40x＝160.
答：应用4 m3钢材做A部件，2 m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套．
*3.6 三元一次方程组及其解法
知识梳理
1.由 三 个一次方程组成，且含 三 个未知数的方程组，叫作三元一次方程组．
2.解三元一次方程组的方法有 代入法 和 加减法 ．
解方程组的基本思想是消元，由于三元一次方程组含有较多的未知数，因此求三元一次方程组的解时，可以先转化为求二元一次方程组的解，最后求得方程组的解，消元时，要注意消去相同的未知数，达到消元的目的．
重难突破
重难点 解三元一次方程组
【典例】解方程组：
解：①＋③，得5x＋5y＝15，
整理，得x＋y＝3.
②＋③，得3x＋4y＝11，
可得方程组
⑤－④×3，得y＝2.
把y＝2代入④，得x＝1，
把④代入②，得z＝7，
所以原方程组的解为
将“三元”转化为“二元”的策略：
①先消去某个方程中缺少的未知数；
②先消去系数的绝对值较小的未知数；
③先消去系数成整数倍的未知数；
④注意整体加减或整体代入的应用．
【对点训练】
解方程组：(1)
(2)
(1)①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝22，整理，得x＋y＋z＝11④，把①代入④，得5＋z＝11，解得z＝6；把②代入④，得9＋x＝11，解得x＝2；把③代入④，得8＋y＝11，解得y＝3，则方程组的解为
(2)②－①，得3a＋3b＝3，即a＋b＝1④，③－①，得24a＋6b＝60，即4a＋b＝10⑤，⑤－④，得3a＝9，解得a＝3.把a＝3代入④，得3＋a＝1，解得b＝－2；将a＝3，b＝－2代入①，得3－(－2)＋c＝0，解得c＝－5，所以方程组的解为
课堂10分钟
1.已知方程组则x＋y＋z的值是( A )
A．9 B．8
C．7 D．6
2.若二元一次方程组的解同时也是方程2x－my＝－1的解，则m的值为( C )
A．－2 B．－1
C．3 D．4
3.一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有( B )
A．4种 B．3种
C．2种 D．1种
4.某班级组织活动购买小奖品，若购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元，则购买10支铅笔，10块橡皮，10本笔记本共需多少元？
设铅笔是x元/支，橡皮是y元/块，笔记本是z元/本．
根据题意，得
①×2－②，得x＋y＋z＝6，所以10x＋10y＋10z＝10(x＋y＋z)＝10×6＝60.
答：购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需60元．
