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二次根式（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·德惠期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·绿园期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·杭州期中）已知，则 的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
4．（2024九上·衢州期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·渝北期中）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
6．（2023九上·青神期中）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．–2与 B．–2与
C．2与（–）2 D．|–|与
7．（2023九上·大余月考）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·叙州月考）已知，则化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·中山模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·威远模拟）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·东坡期中）已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
12．（2024九上·衡南月考）计算的结果为 .
13．（2024九上·长沙开学考）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2024·霞山模拟）化简： ．
15．（2023九上·潮安期中）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
16．（2023九上·衡阳月考）已知，为实数，且，则的值为 .
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·射洪开学考）计算：
（1）
（2）
18．（2024九上·自贡开学考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
（1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______；
（2）计算：；
（3）化简：．
19．（2023九上·叙州月考）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·杭州开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
21．（2024九上·金堂期中）（1）计算（结果保留根号）；
（2）分析（1）的结果在哪两个整数之间
22．（2022九上·威远期中）已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
23．（2022九上·仁寿月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）试化简：
（2）已知a，b， c为△ABC的三边长，化简：+++；
（3）已知a、b满足求ab的值
24．（2020九上·洛阳月考）化简：
（1） ， = ， = ， = .
（2） =0， = ， = ， = ；
（3）根据以上信息，观察 所在位置，完成化简：
25．（2022九上·晋江月考）材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴1．
（1）仿照材料二，化简：；
（2）结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值．
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二次根式（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·德惠期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解
A：，计算错误，不符合题意，应为
B：，计算正确，符合题意
C：，计算错误，不符合题意，应为
D：，计算错误，不符合题意，应为
故答案为：B
【分析】根据二次根式加减和乘除法运算的法则及公式进行计算。
2．（2024九上·绿园期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
∴能与合并的是
故答案为：D
【分析】根据同类二次根式的定义结合题意对选项逐一化简，进而即可求解。
3．（2024九上·杭州期中）已知，则 的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：，，
，，
则
，
故答案为：B．
【分析】先求出，，根据完全平方公式变形为，整体代入即可解题．
4．（2024九上·衢州期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x-8≥0
∴x≥8
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数非负可得x的范围.
5．（2023九上·渝北期中）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴估计的值应在4和5之间，
故答案为：D
【分析】先根据二次根式的混合运算即可得到，进而根据题意估算无理数的大小即可求解。
6．（2023九上·青神期中）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．–2与 B．–2与
C．2与（–）2 D．|–|与
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵与-2互为相反数，∴A符合题意；
B、∵与-2不是相反数，∴B不符合题意；
C、∵与2不是相反数，∴C不符合题意；
D、∵与不是相反数，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先利用二次根式和立方根的性质化简，再利用相反数的定义逐项分析判断即可.
7．（2023九上·大余月考）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质分析化简即可.
8．（2023九上·叙州月考）已知，则化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴x<0，y>0，
∴，
故答案为：C.
【分析】先求出x<0，y>0，再利用二次根式的性质化简可得.
9．（2025·中山模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故B不符合题意；
C、（-a）2=a2，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断.
10．（2025·威远模拟）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由题意，得
解得
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数以及分母不为0列出不等式，解之即可得出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·东坡期中）已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：
因为最简二次根式 与 可以合并 ，
所以 与 是同类根式，
所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2
所以b=1，a=1
所以a+b=2
故答案为：2.
【分析】两个二次根式可以合并，那么它们一定是同类二次根式，根据同类根式的特点列式进行求出a、b再计算它们的和。
12．（2024九上·衡南月考）计算的结果为 .
【答案】
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：.
【分析】直接根据二次根式的乘法法则进行计算.
13．（2024九上·长沙开学考）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣1
【解析】【解答】由题意得：1+x≥0且x+2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠﹣2，
所以，x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0解答．
14．（2024·霞山模拟）化简： ．
【答案】
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】先对二次根式进行化简，再进行平方计算即可．
15．（2023九上·潮安期中）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出x的取值范围即可.
16．（2023九上·衡阳月考）已知，为实数，且，则的值为 .
【答案】-1或-7
【解析】【解答】解：由题意可得：且
解得x=3或x=-3，
y=4，
当x=3时，x-y=3-4=-1；
当x=-3时，x-y=-3-4=-7；
故答案为：-1或-7 .
【分析】利用二次根式的非负性求得x的值，进一步求得y的值，再分类求解x-y的值即可.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·射洪开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘除，再计算加减并结合二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据绝对值的非负性去掉绝对值，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
18．（2024九上·自贡开学考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
（1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______；
（2）计算：；
（3）化简：．
【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式是，
∴分母有理化，得；
故答案为：；.
【分析】（1）根据“a-与互为有理化因式、与互为有理化因式”计算即可求解；
（2）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，化简二次根式，再计算即可求解；
（3）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，合并同类二次根式即可求解．
（1）解：，，
的有理化因式是，分母有理化，得；
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
19．（2023九上·叙州月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质、绝对值的性质及有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
20．（2024九上·杭州开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：去分母，得，
解得，，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【解析】【分析】（1）依次算乘方、化简二次根式、负整指数幂，再算加减即可；
（2）先去分母转化为整式方程 ，解一元二次方程 ，再检验并得出结论。
21．（2024九上·金堂期中）（1）计算（结果保留根号）；
（2）分析（1）的结果在哪两个整数之间
【答案】解：原式
；
，
∴在和6之间.
【解析】【分析】（1）先去括号，再将二次根式化简为最简二次根式，然后根据合并同类二次根式法则计算可求解；
（2）根据二次根式的性质“”可得=27，根据25＜27＜36可求解．
22．（2022九上·威远期中）已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
【答案】（1）解：∵ a=，b=，
∴
（2）解：∵
原式=
（3）解：原式=
【解析】【分析】（1）将a，b的值代入ab，利用二次根式的性质求出结果.
（2）先求出a+b的值，再将代数式转化为（a+b）2+ab，然后整体代入求值.
（3）先通分，可得到，然后整体代入求值.
23．（2022九上·仁寿月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）试化简：
（2）已知a，b， c为△ABC的三边长，化简：+++；
（3）已知a、b满足求ab的值
【答案】（1）解：∵ 则
∴
（2）解：∵a，b， c为△ABC的三边长，
∴
∴+++
（3）解：∵，
∴
∴
∴当时，
则 解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
【解析】【分析】（1）题中的隐含条件为x≤2，再利用二次根式的性质先化简，再化简绝对值，然后合并同类项.
（2）利用三角形的三边关系定理，可知a+b+c＞0，a-b-c＜0，b-a-c＜0，c-b-a＜0，再利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类项.
（3）利用二次根式的性质可知|2-a|=a+3≥0，可得到a的取值范围，同时可得到a-b+1≥0，再分情况讨论：当-3≤a≤2时，由|2-a|=a+3，可求出a的值，然后求出b的值，即可求出ab的值；当a＞2时，可知|2-a|=a+3无解，即可求解.
24．（2020九上·洛阳月考）化简：
（1） ， = ， = ， = .
（2） =0， = ， = ， = ；
（3）根据以上信息，观察 所在位置，完成化简：
【答案】（1）2；2；|a|
（2）3；-3；a
（3）解：由图可得，
a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴
=-a+b-a-（a+b）
=-a+b-a-a-b
=-3a.
【解析】【解答】解：（1） =2， =2， =|a|；
故答案为：2、2、|a|；
（ 2 ） =3， =-3， =a；
故答案为：3、-3、a；
【分析】（1）根据算术平方根的计算方法可以解答本题；
（2）根据立方根的计算方法可以解答本题；
（3）根据数轴得出 a＜0＜b，|a|＜|b|， 从而根据二次根式的性质及立方根的性质化简题目中的式子.
25．（2022九上·晋江月考）材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴1．
（1）仿照材料二，化简：；
（2）结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值．
【答案】（1）解：
∴
∴．
（2）解：∵
∴
∴，．
（3）解：∵，，a＝4，b＝3
∴=4，
∴．
【解析】【分析】（1）把6拆成5+1，利用题目的材料可得结论；
（2）观察上面的两个材料，结合完全平方公式“”可得结论；
（3）根据（2）先得到m，n与a，b的关系，再利用完全平方公式“”的变形得到结论.
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