第4章 几何图形初步
4.1 几何图形
知识梳理
1.长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是 ，简称 ．
2.包围着体的是 ．
3.长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，它们都是 ．
4.面与面相交形成 ；线与线相交得到 ．
5.几何图形是由 、 、 、 组成的，其中
是最基本的图形．
6.几何图形中，各点都在同一个平面内，这样的图形叫作 ；各点不都在同一个平面内，这样的图形叫作 ．
平面没有边界．教室里窗户玻璃的表面、黑板的表面给我们的都只是平面的局部的形象．
重难突破
重难点 几何图形之间的相互转化
【典例】如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2 m、高3 m的长方形玻璃隔板组成．
(1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体；
(2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）.
本题考查了点、线、面、体之间的相互关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【对点训练】
1.将如图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是( )
A． B．
C． D．
2.将棱长为a的正方体锯成27个同样大的小正方体，表面积增加了 ．
课堂10分钟
1.下列几何体中，属于棱锥的是( )
A． B． C． D．
2.如图中柱体的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3.天空划过一道流星，这个过程可用哪个数学原理来解释( )
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
4.下面四个几何图形中，表示平面图形是( )
A． B． C． D．
5.谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“庾辞(SōuCí)”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．” ．（打一几何体）
4.2 线段、射线、直线
知识梳理
1.将线段向一个方向无限延长就得到了 ，向两个方向无限延长就形成了 ．
2.经过两点有 条直线，并且只有 条直线．
3.两点确定 条直线．
线段、射线都是直线的一部分，一条直线上可以包含多条线段或射线．
重难突破
重难点 线段、射线、直线的画法与识别
【典例】如图，在平面内有A，B，C三点.
(1)画出直线AB，射线CB，线段AC；
(2)在线段AC取一点D，数数看，此时图中共有多少条线段？
在同一条直线上如果有n个不同的点，此时这条直线上可以数出2n条不同的射线，n(n－1)条线段．
【对点训练】
读下列语句并画图：
(1)直线a经过A，B两点；
(2)点P是直线a外一点，过点P的直线b与直线a相交于点C，并且点C在线段AB上；
(3)画射线CD.
课堂10分钟
1.直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是( )
A． B．
C． D．
2.小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定( )
A．1根 B．2根 C．3根 D．4根
3.下列各图中，表示“射线CD”的是( )
A． B．
C． D．
4.如图，在3×4的网格中，标注有7个黑点和6个白点，经过同颜色的3点可以画 条直线．
5.如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 种车票．
4.3 线段的长短
知识梳理
1.两点之间的所有连线中， 最短．
2.两点之间线段的 ，叫作这两点之间的距离．
两点之间的距离是指这两点之间的线段的长度，并非这两点之间的线段．
3.只用没有 的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图．
4.尺规作图一般有以下三步：(1) ：当作图是用文字语言叙述时，要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；(2) ：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；(3) ：根据作图的过程写出每一步的操作过程，当不要求写作法时，要保留作图痕迹．
若点C是线段 AB的中点，则AC＝BC；若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，如图．
重难突破
重难点 线段的比较与计算
【典例】一根木条（线段AB）上有M，N两个木块（看作点），点M总在点N的左侧，且总有AM＝BN.
(1)图中共有 条线段；
(2)判断AN与BM长度的大小关系，并说明理由；
(3)若P是AM的中点，Q是BN的中点，当AN＝9，MN＝6时，求PQ的长度．
数形结合是解答有关几何问题的重要方法．线段的比较一般是依据图形直观判断，其计算是结合图形和已知条件正确列式后计算．
【对点训练】
如图，线段AC，点D在AC的延长线上，且CD＝AB.
(1)比较线段AC与BD的大小，并说明理由；
(2)若AB∶BC＝2∶5，AC＝14，求AD的长；
(3)若AC＝a，点P为线段AC上一动点，要使点P分别到点A，B，C的距离和最小，问点P在何处？此时最小值为多少？请说明理由．
课堂10分钟
1.如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是( )
A．a B．b
C．c D．d
2.下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3.若A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝6 cm，BC＝4 cm，则A，C两点间的距离是 cm.
4.如图，先完成尺规作图（保留作图痕迹，可用黑色笔加粗痕迹，不写作法），再解答．
(1)连接AB，在射线AC上截取AD＝AB，标出字母D；
(2)根据(1)的结果，比较线段AB，AC的长短．
5.已知线段AB＝12 cm，C是直线AB上一点，BC＝4 cm，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长度．
4.4 角
第1课时 角的定义及表示
知识梳理
1.角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形，其中点O叫作角的 ，射线 OA，OB叫作角的 ．这个角可记作 ，读作“ ”．
2.∠AOB也可以看成射线OA绕着它的端点O旋转到OB的位置后形成的图形．射线OA，OB分别叫作∠AOB的 和 ．
角的表示方法有多种，用3个大写字母表示角的时候，表示顶点的字母一定要写在中间，不能因为疏忽出错．
重难突破
重难点 角的表示
【典例】如图，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角： ；
(2)写出以B为顶点的角： ；
(3)图中共有多少个角？分别把它们都表示出来．
(1)表示某一个角时，角的符号“∠”一定不能丢；
(2)当某个顶点处有两个或两个以上角时，其中任何一个角都不能用顶点字母表示．
【对点训练】
如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；….按照此规律，在∠MON内画20条射线时，求图中角的个数是多少？
课堂10分钟
1.下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是( )
2.如图所示，下列说法：①∠1就是∠A；②∠2就是∠B；③∠3就是∠C；④∠4就是∠D.其中正确的是( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
第2题图
第3题图
3.如图，∠AOB＝90°，以O为顶点的锐角共有 个．
4.如图，用三个大写字母表示∠1为 ；∠2为 ；∠3为 ．
第4题图
第5题图
5.如图，已知D，E是线段BC上的两点，连接AB，AD，AE，AC.下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于180°的角．其中正确的是 ．（填序号）
第2课时 角的度量、方向角与钟面角
知识梳理
1°＝ ′，1′＝ ″.
角的度量单位是度、分、秒，相邻单位之间的进率是60，不能与10进制单位混淆．
重难突破
重难点 角的计算
【典例】解答下列各题：
(1)钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
(2)若时针由2时30分走到2时55分，问分针转过多大的角度？
在钟表上，时针12小时转过360°，分针每小时转过360°，秒针每分钟转360°.
【对点训练】
王老师到市场去买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，秤的指标盘上的指针转了180°，如图所示．第二天王老师就给同学们出了两个问题：
(1)如果把0.5千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？
(2)如果指针转了54°，这些菜有多少千克？
课堂10分钟
1.将65.25°化为用度、分、秒表示，结果正确的是( )
A．65°25′ B．65°2′5″
C．65°4′ D．65°15′
2.36.21°用度、分、秒表示时，其中的分是( )
A．12′ B．21′
C．36′ D．60′
3.如图，一艘轮船行驶到B处时，测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°23′和西南方向，则∠ABC的度数是( )
A．104°37′ B．94°37′
C．120°23′ D．114°37′
4.以学校为观测点，广场在西偏北30°的方向上，下图中正确的是( )
A． B．
C． D．
5.如图，甲从O处出发沿北偏东15°32′的方向走到A处，乙从O处出发沿南偏西55°28′的方向走到B处，则∠BOA的度数是 ．
4.5 角的比较与补（余）角
第1课时 角的大小比较与角的平分线
知识梳理
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个 的角，这条射线叫作这个角的平分线．
角的平分线是一条射线，不是直线或线段．
重难突破
重难点 与角的平分线相关的计算
【典例】已知O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）.
(1)如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝ ；
(2)在(1)的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值．
图1
图2
本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，邻补角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
【对点训练】
如图，O为直线AB上的一点，射线OD平分∠AOC，∠DOE＝90°.
(1)如果∠AOC＝40°，求∠BOD 的度数；
(2)如果∠AOC＝α，那么OE是∠BOC 的平分线吗？为什么？
课堂10分钟
1.若三个角的大小分别为∠A＝120°18′，∠B＝120°15′30″，∠C＝120.25°，则( )
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
2.如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，下列叙述正确的是( )
A．∠DOE的度数不能确定
B．∠AOD＝∠EOC
C．∠AOD＋∠BOE＝65°
D．∠BOE＝2∠COD
第2题图
第3题图
3.如图，甲从A点出发向北偏东75°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西25°方向走到点C，AM平分∠BAC，则∠DAM的度数是( )
A.45° B．50° C．55° D．60°
4.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？
第2课时 补角和余角
知识梳理
1.如果两个角的和等于一个 角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补；如果两个角的和等于一个 角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余．
2.同角（或等角）的补角 ；同角（或等角）的余角 ．
互补和互余是两个角之间的特定的数量关系，与其位置无关．
重难突破
重难点 补角和余角的有关计算
【典例】如图，直线AB上有一定点O，射线OC，OM，ON在直线AB上方，且∠MON＝90°.
(1)如图1，当OM平分∠AOC时，试说明ON平分∠BOC；
(2)如图2，分别作∠COM，∠CON的平分线OD，OE，当∠CON＝10°时，求∠DOE的度数．
图1
图2
当题目中的结论具有多样性时，需要进行分类讨论，完整求得答案．
【对点训练】
已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON按如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠BOM.
(1)若∠CON＝24°，求∠AOM的度数；
(2)若∠BON＝2∠CON，求∠AOM的度数．
课堂10分钟
1.如图，∠COD是一个平角，OE平分∠BOD.请根据量角器的读数，分析并计算∠COE的大小是( )
A．155° B．150° C．135° D．130°
2.已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
3.将一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的余角的度数是( )
A．15° B．60°
C．75° D．105°
第3题图
第4题图
4.将一副三角板如图所示放置，∠COD＝∠AOB＝90°，若∠AOD＝20°，则∠BOC的度数为 ．
5.若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为 ．
第3课时 用尺规作角
知识梳理
尺规作图 作一个角等于已知角．
已知：∠AOB.
求作：∠DEF，使得∠DEF＝∠AOB.
作法：(1)作射线EG.
(2)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q.
(3)以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D.
(4)以点D为圆心，线段PQ长为半径画弧，与(3)中所画弧交于点F.
(5)作射线EF.
∠DEF即为所求作的角．
重难突破
重难点 尺规作图的运用
【典例】如图，已知∠BAD，用直尺和圆规在射线AD的右侧作∠DCP，使得∠DCP＝∠BAD.
用圆规量长度，用直尺画线．作图完成后，不要擦去必要的作图痕迹，要保留作图过程中的基本作图的痕迹，以体现是通过尺规作出的图形．
【对点训练】
如图所示，已知锐角∠α.
求作：∠AOD＝3∠α.（写出作法，并画出图形．）
课堂10分钟
1.如图所示是作一个角等于已知角∠P的基本作图，下列说法：(1)弧①的作法是以P为圆心，任意长为半径；(2)弧②的作法是以O为圆心，PM长为半径；(3)弧③的作法是以C为圆心，PN长为半径；(4)弧③的作法是以O为圆心，MN长为半径．其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，D是三角形ABC的边BC延长线上一点，以点C为顶点，射线CD为一边，在BD上方利用尺规作∠DCE，使得∠DCE＝∠B.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）第4章 几何图形初步
4.1 几何图形
知识梳理
1.长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是 几何体 ，简称 体 ．
2.包围着体的是 面 ．
3.长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，它们都是 多面体 ．
4.面与面相交形成 线 ；线与线相交得到 点 ．
5.几何图形是由 点 、 线 、 面 、 体 组成的，其中
点 是最基本的图形．
6.几何图形中，各点都在同一个平面内，这样的图形叫作 平面图形 ；各点不都在同一个平面内，这样的图形叫作 立体图形 ．
平面没有边界．教室里窗户玻璃的表面、黑板的表面给我们的都只是平面的局部的形象．
重难突破
重难点 几何图形之间的相互转化
【典例】如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2 m、高3 m的长方形玻璃隔板组成．
(1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体；
(2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）.
解：(1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这体现了面动成体，
故答案为：圆柱；面；
(2)由题意，得π×22×3＝12π(m3)，所以每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积12π m3.
本题考查了点、线、面、体之间的相互关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【对点训练】
1.将如图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是( A )
A． B．
C． D．
2.将棱长为a的正方体锯成27个同样大的小正方体，表面积增加了 12a2 ．
课堂10分钟
1.下列几何体中，属于棱锥的是( D )
A． B． C． D．
2.如图中柱体的个数是( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
3.天空划过一道流星，这个过程可用哪个数学原理来解释( A )
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
4.下面四个几何图形中，表示平面图形是( D )
A． B． C． D．
5.谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“庾辞(SōuCí)”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．” 圆锥 ．（打一几何体）
4.2 线段、射线、直线
知识梳理
1.将线段向一个方向无限延长就得到了 射线 ，向两个方向无限延长就形成了 直线 ．
2.经过两点有 一 条直线，并且只有 一 条直线．
3.两点确定 一 条直线．
线段、射线都是直线的一部分，一条直线上可以包含多条线段或射线．
重难突破
重难点 线段、射线、直线的画法与识别
【典例】如图，在平面内有A，B，C三点.
(1)画出直线AB，射线CB，线段AC；
(2)在线段AC取一点D，数数看，此时图中共有多少条线段？
解：(1)如图，直线AB，射线CB，线段AC即为所求；
(2)图中有AB，AD，CD，BC，AC共5条线段．
在同一条直线上如果有n个不同的点，此时这条直线上可以数出2n条不同的射线，n(n－1)条线段．
【对点训练】
读下列语句并画图：
(1)直线a经过A，B两点；
(2)点P是直线a外一点，过点P的直线b与直线a相交于点C，并且点C在线段AB上；
(3)画射线CD.
如图所示．（答案不唯一）
课堂10分钟
1.直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是( B )
A． B．
C． D．
2.小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定( B )
A．1根 B．2根 C．3根 D．4根
3.下列各图中，表示“射线CD”的是( B )
A． B．
C． D．
4.如图，在3×4的网格中，标注有7个黑点和6个白点，经过同颜色的3点可以画 1或3 条直线．
5.如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 20 种车票．
4.3 线段的长短
知识梳理
1.两点之间的所有连线中， 线段 最短．
2.两点之间线段的 长度 ，叫作这两点之间的距离．
两点之间的距离是指这两点之间的线段的长度，并非这两点之间的线段．
3.只用没有 刻度 的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图．
4.尺规作图一般有以下三步：(1) 已知 ：当作图是用文字语言叙述时，要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；(2) 求作 ：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；(3) 作法 ：根据作图的过程写出每一步的操作过程，当不要求写作法时，要保留作图痕迹．
若点C是线段 AB的中点，则AC＝BC；若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，如图．
重难突破
重难点 线段的比较与计算
【典例】一根木条（线段AB）上有M，N两个木块（看作点），点M总在点N的左侧，且总有AM＝BN.
(1)图中共有 条线段；
(2)判断AN与BM长度的大小关系，并说明理由；
(3)若P是AM的中点，Q是BN的中点，当AN＝9，MN＝6时，求PQ的长度．
解：(1)图中有线段：AM，MN，NB，AN，MB，AB，共6条，故答案为：6
(2)AN＝BM.
理由：因为AM＝BN，所以AM＋MN＝BN＋MN，
即AN＝BM.
(3)因为AN＝9，MN＝6，所以AM＝BN＝AN－MN＝9－6＝3.因为P是AM的中点，Q是BN的中点，所以PM＝AM＝，QN＝BN＝，所以PQ＝PM＋QN＋MN＝＋＋6＝9.
数形结合是解答有关几何问题的重要方法．线段的比较一般是依据图形直观判断，其计算是结合图形和已知条件正确列式后计算．
【对点训练】
如图，线段AC，点D在AC的延长线上，且CD＝AB.
(1)比较线段AC与BD的大小，并说明理由；
(2)若AB∶BC＝2∶5，AC＝14，求AD的长；
(3)若AC＝a，点P为线段AC上一动点，要使点P分别到点A，B，C的距离和最小，问点P在何处？此时最小值为多少？请说明理由．
(1)AC＝BD.理由如下：
因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC，所以AC＝BD；
(2)因为AB∶BC＝2∶5，所以设AB＝2k，则BC＝5k，所以AC＝AB＋BC＝2k＋5k＝7k.又因为AC＝14，所以7k＝14，解得：k＝2，所以AB＝2k＝4，BC＝5k＝10.因为AB＝CD，所以CD＝4，所以AD＝AC＋CD＝18；
(3)当P在点B时，到点A，B，C的距离和最小，最小值为a.理由如下：因为P为线段AC上一动点，所以点P到A，B，C的距离分别为PA，PB，PC，如图所示．
因为PA＋PC＝AC，AC＝a为定值，所以要使距离和PA＋PB＋PC最小，则只需PB最短即可，所以当点P与点B重合，PB＝0时，PB最小，此时PA＋PB＋PC＝AC＝a，即当P在点B时，到点A、B、C的距离和最小，最小值为a.
课堂10分钟
1.如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是( D )
A．a B．b
C．c D．d
2.下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( D )
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3.若A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝6 cm，BC＝4 cm，则A，C两点间的距离是 2或10 cm.
4.如图，先完成尺规作图（保留作图痕迹，可用黑色笔加粗痕迹，不写作法），再解答．
(1)连接AB，在射线AC上截取AD＝AB，标出字母D；
(2)根据(1)的结果，比较线段AB，AC的长短．
(1)如图，连接AB，在射线AC上截取AD＝AB；
(2)因为AD＝AB，AD＞AC，
所以AB＞AC.
5.已知线段AB＝12 cm，C是直线AB上一点，BC＝4 cm，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长度．
①当点C在线段AB上时，如图1.
图1
因为M是AB的中点，N是BC的中点，AB＝12 cm，BC＝4 cm，所以AM＝MB＝AB＝6 cm，CN＝NB＝BC＝2 cm，则MN＝MB－BN＝6－2＝4(cm)；
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2.
图2
因为M是AB的中点，N是BC的中点，AB＝12 cm，BC＝4 cm，
所以MN＝MB＋BN＝AB＋BC＝6＋2＝8(cm).
综上所述，线段MN的长度是4 cm或8 cm.
4.4 角
第1课时 角的定义及表示
知识梳理
1.角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形，其中点O叫作角的 顶点 ，射线 OA，OB叫作角的 边 ．这个角可记作 ∠AOB ，读作“ 角AOB ”．
2.∠AOB也可以看成射线OA绕着它的端点O旋转到OB的位置后形成的图形．射线OA，OB分别叫作∠AOB的 始边 和 终边 ．
角的表示方法有多种，用3个大写字母表示角的时候，表示顶点的字母一定要写在中间，不能因为疏忽出错．
重难突破
重难点 角的表示
【典例】如图，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角： ；
(2)写出以B为顶点的角： ；
(3)图中共有多少个角？分别把它们都表示出来．
解：(1)能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C；
(2)以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC；
(3)图中小于平角的角有7个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC.
(1)表示某一个角时，角的符号“∠”一定不能丢；
(2)当某个顶点处有两个或两个以上角时，其中任何一个角都不能用顶点字母表示．
【对点训练】
如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；….按照此规律，在∠MON内画20条射线时，求图中角的个数是多少？
由题可得，画n条射线所得的角的个数为：
1＋2＋3＋…＋(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)，
所以当n＝20时，(n＋1)(n＋2)＝×21×22＝231.
故图中角的个数为231个．
课堂10分钟
1.下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是( A )
2.如图所示，下列说法：①∠1就是∠A；②∠2就是∠B；③∠3就是∠C；④∠4就是∠D.其中正确的是( A )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
第2题图
第3题图
3.如图，∠AOB＝90°，以O为顶点的锐角共有 5 个．
4.如图，用三个大写字母表示∠1为 ∠MCB ；∠2为 ∠AMC ；∠3为 ∠CAN ．
第4题图
第5题图
5.如图，已知D，E是线段BC上的两点，连接AB，AD，AE，AC.下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于180°的角．其中正确的是 ①③④ ．（填序号）
第2课时 角的度量、方向角与钟面角
知识梳理
1°＝ 60 ′，1′＝ 60 ″.
角的度量单位是度、分、秒，相邻单位之间的进率是60，不能与10进制单位混淆．
重难突破
重难点 角的计算
【典例】解答下列各题：
(1)钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
(2)若时针由2时30分走到2时55分，问分针转过多大的角度？
解：(1)2时15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝7.5°，
所以钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数为30°－7.5°＝22.5°；
(2)分针转过的角度为25×6°＝150°.
在钟表上，时针12小时转过360°，分针每小时转过360°，秒针每分钟转360°.
【对点训练】
王老师到市场去买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，秤的指标盘上的指针转了180°，如图所示．第二天王老师就给同学们出了两个问题：
(1)如果把0.5千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？
(2)如果指针转了54°，这些菜有多少千克？
(1)因为＝18°，所以0.5×18°＝9°，
所以0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°；
(2)因为＝3（千克），所以菜的质量共有3千克菜．
课堂10分钟
1.将65.25°化为用度、分、秒表示，结果正确的是( D )
A．65°25′ B．65°2′5″
C．65°4′ D．65°15′
2.36.21°用度、分、秒表示时，其中的分是( A )
A．12′ B．21′
C．36′ D．60′
3.如图，一艘轮船行驶到B处时，测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°23′和西南方向，则∠ABC的度数是( A )
A．104°37′ B．94°37′
C．120°23′ D．114°37′
4.以学校为观测点，广场在西偏北30°的方向上，下图中正确的是( C )
A． B．
C． D．
5.如图，甲从O处出发沿北偏东15°32′的方向走到A处，乙从O处出发沿南偏西55°28′的方向走到B处，则∠BOA的度数是 140°04′ ．
4.5 角的比较与补（余）角
第1课时 角的大小比较与角的平分线
知识梳理
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个 相等 的角，这条射线叫作这个角的平分线．
角的平分线是一条射线，不是直线或线段．
重难突破
重难点 与角的平分线相关的计算
【典例】已知O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）.
(1)如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝ ；
(2)在(1)的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值．
图1
图2
解：(1)因为∠AOC＝72°，
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－72°＝108°.
因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，所以∠COD＝∠AOC＝36°，∠COE＝∠BOC＝54°，
所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝36°＋54°＝90°.
故答案为：90°；
(2)因为∠AOB＝180°，∠AOC＝72°，
所以∠COB＝108°.
因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，所以∠AOD＝∠AOC＝36°，∠BOE＝∠BOC＝54°，
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝144°.
因为OF平分∠BOD，所以∠BOF＝∠BOD＝72°，所以∠EOF＝∠BOF－∠BOE＝72°－54°＝18°.
本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，邻补角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
【对点训练】
如图，O为直线AB上的一点，射线OD平分∠AOC，∠DOE＝90°.
(1)如果∠AOC＝40°，求∠BOD 的度数；
(2)如果∠AOC＝α，那么OE是∠BOC 的平分线吗？为什么？
(1)因为∠AOC＝40°，射线OD平分∠AOC，所以∠1＝∠2＝∠AOC＝×40°＝20°.因为∠1＋∠BOD＝180°，所以∠BOD＝180°－∠1＝180°－20°＝160°；
(2)是．理由如下：
因为∠AOC＝α，射线OD平分∠AOC，所以∠2＝∠AOC＝α.因为∠DOE＝90°，∠2＝α，所以∠3＝90°－∠2＝90°－α，所以∠4＝180°－∠AOC－∠3＝90°－α，所以∠3＝∠4，所以OE是∠BOC 的平分线．
课堂10分钟
1.若三个角的大小分别为∠A＝120°18′，∠B＝120°15′30″，∠C＝120.25°，则( A )
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
因为1°＝60′，所以0.25°＝15′.所以∠C＝120.25°＝120°15′，因为∠A＝120°18′，∠B＝120°15′30″，所以∠A＞∠B＞∠C.
2.如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，下列叙述正确的是( C )
A．∠DOE的度数不能确定
B．∠AOD＝∠EOC
C．∠AOD＋∠BOE＝65°
D．∠BOE＝2∠COD
因为OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，所以∠AOD＝∠COD，∠EOC＝∠BOE.又因为∠AOD＋∠BOE＋∠EOC＋∠COD＝∠AOB＝130°，所以∠AOD＋∠BOE＝∠COD＋∠EOC＝∠DOE＝65°.
第2题图
第3题图
3.如图，甲从A点出发向北偏东75°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西25°方向走到点C，AM平分∠BAC，则∠DAM的度数是( B )
A.45° B．50° C．55° D．60°
由题意可知，∠EAB＝75°，∠CAF＝25°，∠DAF＝90°，∠EAD＝90°，所以∠BAD＝∠EAD－∠EAB＝90°－75°＝15°，所以∠BAC＝∠BAD＋∠DAF＋∠CAF＝15°＋90°＋25°＝130°，因为AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠BAC＝65°，所以∠DAM＝∠BAM－∠BAD＝65°－15°＝50°.
4.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？
因为OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
所以∠AOB＝∠COB，∠COD＝∠DOE.
因为∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，所以∠COB＝40°，∠COD＝30°，所以∠BOD＝∠COB＋∠COD＝70°.
第2课时 补角和余角
知识梳理
1.如果两个角的和等于一个 平 角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补；如果两个角的和等于一个 直 角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余．
2.同角（或等角）的补角 相等 ；同角（或等角）的余角 相等 ．
互补和互余是两个角之间的特定的数量关系，与其位置无关．
重难突破
重难点 补角和余角的有关计算
【典例】如图，直线AB上有一定点O，射线OC，OM，ON在直线AB上方，且∠MON＝90°.
(1)如图1，当OM平分∠AOC时，试说明ON平分∠BOC；
(2)如图2，分别作∠COM，∠CON的平分线OD，OE，当∠CON＝10°时，求∠DOE的度数．
图1
图2
解：(1)因为OM平分∠AOC，
所以∠AOM＝∠COM.
因为∠MON＝90°，
即∠MOC＋∠NOC＝90°，
所以∠AOM＋∠BON＝90°，所以∠CON＝∠BON，所以ON平分∠BOC；
(2)①当OD，OE在OC异侧时．
因为OD，OE分别是∠COM，∠CON的平分线，
所以∠COD＝∠COM，∠COE＝∠CON.
因为∠MON＝90°，即∠MOC＋∠NOC＝90°，
所以∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝45°；
②当OD，OE在OC同侧时．
因为OD，OE分别是∠COM，∠CON的平分线，
所以∠COD＝∠COM，∠COE＝∠CON.
因为∠MON＝90°，即∠MOC－∠NOC＝90°，
所以∠DOE＝∠DOC－∠COE＝45°，
答：∠DOE的度数为45°.
当题目中的结论具有多样性时，需要进行分类讨论，完整求得答案．
【对点训练】
已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON按如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠BOM.
(1)若∠CON＝24°，求∠AOM的度数；
(2)若∠BON＝2∠CON，求∠AOM的度数．
(1)因为∠MON＝90°，∠CON＝24°，
所以∠MOC＝90°－∠CON＝66°.
由OC平分∠MOB，得∠BOM＝2∠MOC＝132°，
故∠AOM＝180°－∠BOM＝48°.
(2)因为∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
所以∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC.
因为∠MOC＋∠NOC＝∠MON＝90°，
所以3∠NOC＋∠NOC＝90°，即4∠NOC＝90°，
所以∠BON＝2∠NOC＝45°，
所以∠AOM＝180°－∠MON－∠BON＝180°－90°－45°＝45°.
课堂10分钟
1.如图，∠COD是一个平角，OE平分∠BOD.请根据量角器的读数，分析并计算∠COE的大小是( A )
A．155° B．150° C．135° D．130°
因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD.因为∠COD是一个平角，所以∠BOD＝∠AOC＝50°，所以∠DOE＝25°，所以∠COE＝180°－∠DOE＝155°.
2.已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是( C )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
设这个角为α.由题意，得180°－α＝4(90°－α)，解得α＝60°，即这个角的度数是60°.
3.将一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的余角的度数是( A )
A．15° B．60°
C．75° D．105°
如图所示，
依题意，得∠2＝45°，∠3＝60°，所以∠2＋∠3＝105°.因为∠4＋∠2＋∠3＝180°，所以∠4＝75°，根据直尺的对边平行，得∠1＝∠4＝75°，所以∠1的余角为90°－∠1＝90°－75°＝15°.
第3题图
第4题图
4.将一副三角板如图所示放置，∠COD＝∠AOB＝90°，若∠AOD＝20°，则∠BOC的度数为 160° ．
因为∠COD＋∠AOB＝∠BOC＋∠AOD，所以∠BOC＝∠COD＋∠AOB－∠AOD.因为∠AOD＝20°，∠COD＝∠AOB＝90°，所以∠BOC＝
160°.
5.若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为 45° ．
设这个角的度数是x，则180°－x＝3(90°－x)，解得x＝45°.答：这个角的度数是45°.
第3课时 用尺规作角
知识梳理
尺规作图 作一个角等于已知角．
已知：∠AOB.
求作：∠DEF，使得∠DEF＝∠AOB.
作法：(1)作射线EG.
(2)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q.
(3)以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D.
(4)以点D为圆心，线段PQ长为半径画弧，与(3)中所画弧交于点F.
(5)作射线EF.
∠DEF即为所求作的角．
重难突破
重难点 尺规作图的运用
【典例】如图，已知∠BAD，用直尺和圆规在射线AD的右侧作∠DCP，使得∠DCP＝∠BAD.
解：如图所示．
(1)以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交∠BAD的两边于E，F两点；
(2)以C为圆心，AE长为半径画弧，交射线CD于点G；
(3)以G为圆心，EF长为半径画弧，在射线AD右侧交前弧于点H；
(4)过H点作射线CP，则∠DCP就是所求作的角．
用圆规量长度，用直尺画线．作图完成后，不要擦去必要的作图痕迹，要保留作图过程中的基本作图的痕迹，以体现是通过尺规作出的图形．
【对点训练】
如图所示，已知锐角∠α.
求作：∠AOD＝3∠α.（写出作法，并画出图形．）
作法：如图所示．
(1)画射线OM；
(2)以∠α的顶点N为圆心，任意长为半径画弧，分别交∠α的两边于P，Q两点；
(3)以O为圆心，NP长为半径画弧，交射线OM于点A；
(4)以A为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点B；以B为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点C；以C为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点D；
(5)画射线OD.
即∠AOD就是所求作的角．
课堂10分钟
1.如图所示是作一个角等于已知角∠P的基本作图，下列说法：(1)弧①的作法是以P为圆心，任意长为半径；(2)弧②的作法是以O为圆心，PM长为半径；(3)弧③的作法是以C为圆心，PN长为半径；(4)弧③的作法是以O为圆心，MN长为半径．其中正确的说法有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，D是三角形ABC的边BC延长线上一点，以点C为顶点，射线CD为一边，在BD上方利用尺规作∠DCE，使得∠DCE＝∠B.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
如图，∠DCE为所作．
