期末检测
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1.如果气温升高2 ℃时气温变化记作＋2 ℃，那么气温下降4 ℃时气温变化记作( B )
A．＋4 ℃ B．－4 ℃ C．＋6 ℃ D．－6 ℃
2.大堡地区某一天早晨的气温是－7 ℃，中午的时候上升了11 ℃，至午夜又下降了9 ℃，那么午夜的气温是( B )
A．－4 ℃ B．－5 ℃ C．－6 ℃ D．－7 ℃
3.仅用曲线可以组成的图形有( B )
4.如图，经过图中任意两点能画出射线的条数为( C )
A．3条 B．4条 C．12条 D．无数条
5.如图，数轴上有①②③④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c，且a＜0，abc＞0，则原点落在( C )
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
6.如图射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内∠AOB＝70°，则射线OB的方向是( D )
A．北偏东40° B．北偏西40° C．南偏东80° D．B、C都有可能
7.某新品种葡萄试验基地种植了5亩新品种葡萄，为了解这些新品种葡萄的单株产量，从中随机抽查了10株葡萄，在这个统计工作中，10株葡萄的产量是（亩、市制面积单位）( B )
A．总体 B．总体中的一个样本
C．样本容量 D．个体
8.下列扇形统计图中（如图所示），有问题的是( D )
9.我国五座名山的海拔高度如表所示：
山名 泰山 华山 衡山 恒山 嵩山
海拔/m 1 545 2 154.9 1 300.2 2 016.8 1 512
若想根据表中的数据制作统计图，以便更清楚地对几座山的高度进行比较，应选用( A )
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．都可以
10.已知方程：①3x－1＝2x＋1，②x＋＝（x－）x，③＋＝7－，④x－1＝x中，解为x＝2的是方程( B )
A．①②和③ B．①③和④
C．②③和④ D．①②和④
把x＝2代入①3x－1＝2x＋1，左边＝6－1＝5，右边＝4＋1＝5，左边＝右边，因而x＝2是①3x－1＝2x＋1的解．把x＝2代入②x＋＝（x－）x，左边＝2＋＝，右边＝（2－）×2＝，左边≠右边，因而x＝2不是方程②的解．把x＝2代入③＋＝7－，左边＝＋＝，右边＝7－＝，左边＝右边，因而x＝2是方程③的解．把x＝2代入④x－1＝x，左边＝×2－1＝2，右边＝2，左边＝右边，因而x＝2是方程④的解．综上可知：方程①③④的解为2.
11.已知x3+m＋ny2与2xy2是同类项，则m，n可以是( C )
A．1，0 B．－1，3 C．－2，0 D．－3，－1
因为x3+m＋ny2与2xy2是同类项，所以3＋m＋n＝1，所以m＋n＝－2，所以m，n可以是－2，0.
12.春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”“永恒”“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2∶3∶4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3∶2∶1时，老板得到的总利润率为20%，则a∶b∶c为( A )
A．1∶2∶3 B．1∶3∶4 C．2∶3∶5 D．3∶4∶5
根据题意，得
解得所以a∶b∶c＝a∶2a∶3a＝1∶2∶3.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13.－|－|的相反数是 ．
14.2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了一发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12 000千米，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12 000千米用科学记数法表示为 1.2×104 ．
15.如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形，…，按此规律，第n个图案中有 (4n＋2) 个正三角形．（用含n的代数式表示）
16.陈老师在晚会上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟的时针和分针恰好成90°，这时是七时多；故事结束时两针也是恰好成90°，这时是八时多．他还发现，讲故事当中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，那么，陈老师讲故事所用的时间是 1时5.5分 ．（答案四舍五入到半分钟，例如3时17分18秒≈3时17.5分，3时17分12秒≈3时17分）
7时起两针成90°角的时刻顺次大约是7时20分，7时55分，8时25分，9时等．按题意，陈老师的故事应从7时20分左右开始到8时25分左右结束．因分针每小时旋转360°，时针每小时旋转30°，以时针为参照物，按顺时针方向，分针从落后90°到领先90°，走一圈后又到落后90°，分针比时针多走了360°，这需要时间（采用相对路程÷相对速度）360÷(360－30)＝36÷33＝（小时）≈1小时5.5分．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本题满分8分）定义新运算：对于任意数a，b，都有a b＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法、乘方运算，比如：2 3＝(2＋3)(22－2×3＋32)－33＝8.
(1)求(－2) (－1)的值；
(2)求(－3) (－1)的值；
(3)猜想式子(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3化简的结果．
(1)因为a b＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3，
所以(－2) (－1)＝［(－2)＋(－1)］×［(－2)2－(－2)×(－1)＋(－1)2］－(－1)3＝(－3)×(4－2＋1)－(－1)＝(－3)×3＋1＝－9＋1＝－8；
(2)(－3) (－1)＝［(－3)＋(－1)］×［(－3)2－(－3)×(－1)＋(－1)2］－(－1)3＝(－4)×(9－3＋1)－(－1)＝(－4)×7＋1＝－28＋1＝－27；
(3)猜想(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3＝a3，理由：因为(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3－b3＝a3，
所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3＝a3.
18.（本题满分10分）每年的4月23日是“世界读书日”，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”前夕，订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5 000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8 400元．
(1)求A，B两种书签的进价分别为多少元；
(2)该批发商准备在进价的基础上将A，B两种书签价格提高40%售出，若该批发商购进A，B两种书签共计500张，并且A种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元．
(1)设A，B两种书签的进价分别为x元，y元，
由题意，得解得
答：A，B两种书签的进价分别为20元，15元；
(2)设购买A种书签m张，利润为W元，则购买B种书签(500－m)张，
由题意，得W＝20×40%m＋15×40%(500－m)＝8m＋3 000－6m＝2m＋3 000.
因为2＞0，0≤m≤230，所以W随m的增大而增大，
所以当m＝230时，W最大，最大值为2×230＋3 000＝3 460，
所以该批发商所获最大利润为3 460元．
19.（本题满分10分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大m（m为正整数），十位上的数字比个位上的数字大m，则称这个三位数为关于m的“递差数”．
例如：三位数531，因为5－3＝2，3－1＝2，所以531是关于2的“递差数”；
三位数987，因为9－8＝1，8－7＝1，所以987是关于1的“递差数”．
(1)判断三位数741是否为m的“递差数”，若是，求出m的值；若不是，请说明理由；
(2)若有一个三位数是关于m的“递差数”，其百位上的数字为x，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含m，x的整式表示）；
(3)若(2)中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于m的“递差数”．
(1)根据新定义，三位数741，
因为7－4＝3，4－1＝3，符合新定义，故741是关于3的“递差数”．故m为3.
(2)原来的三位数：100x＋10(x－m)＋(x－2m)＝111x－12m.
交换后的三位数：100(x－2m)＋10(x－m)＋x＝111x－210m.
原三位数和新三位数之和：
111x－12m＋111x－210m＝222x－222m.
答：原三位数和新三位数之和为(222x－222m).
(3)因为x的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中m是正整数，所以x≥3.
①当x＝3时，222x－222m＝222(3－m)，不符合题意．
②当x＝4时，222x－222m＝222(4－m)，不符合题意．
③当x＝5时，222x－222m＝222(5－m)，不符合题意．
④当x＝6时，222x－222m＝222(6－m)，当m＝1时，原式＝222×5能被5整除，符合题意．
⑤当x＝7时，222x－222m＝222(7－m)，当m＝2时，原式＝222×5能被5整除，符合题意．
⑥当x＝8时，222x－222m＝222(8－m)，当m＝3时，原式＝222×5能被5整除，符合题意．
⑦当x＝9时，222x－222m＝222(9－m)，当m＝4时，原式＝222×5能被5整除，符合题意．
答：综上所述：
当x＝6，m＝1时，递差数为654.
当x＝7，m＝2时，递差数为753.
当x＝8，m＝3时，递差数为852.
当x＝9，m＝4时，递差数为951.
20.（本题满分10分）如果两个角的差的绝对值等于90°，那么就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1－∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）.
(1)如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
(3)如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n(0＜n＜90°)，直线AB旋转到A′B′，OC旋转到OC′，作射线OP，使∠BOP＝∠BOB′，求：当n为何值时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
(1)互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
(2)设这个角的度数为x度，则①当0＜x＜90时，它的垂角是(90＋x)度，依题意有90＋x＝(180－x)，解得x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是(x－90)度，依题意有x－90＝(180－x)，解得x＝126；
故这个角的度数为18度或126度；
(3)当n＝75°时OC′和OA重合，因此分两种情况：
①当0＜n＜75°时，∠COC′＝n，∠AOC′＝75°－n，∠POB＝∠BOB′＝n，∠A′OP＝180°－(∠POB＋∠BOB′)＝180°－2n.
因为|∠A′OP－∠AOC′|＝90°，
所以|(180°－2n)－(75°－n)|＝90°，
因为0＜n＜75°.所以n＝15°；
②当75°＜n＜90°时，∠AOC′＝n－75°，∠POB＝∠BOB′＝n，∠A′OP＝180°－(∠POB＋∠BOB′)＝180°－2n.
因为|∠A′OP－∠AOC′|＝90°，
所以|(180°－2n)－(n－75°)|＝90°，解得n＝55°或115°.
因为75°＜n＜90°，所以n＝55°或115°舍去．
综上所述，当n＝15°时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
21.（本题满分10分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动．“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1 200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
数据的收集、 整理与描述 第一项各类图书借阅量统计 说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
第二项学生个人借阅量统计
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整；
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名；
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．但经过小组讨论，方案被否决了，请指出该方案被否决的原因．
(1)借阅图书的总数量为288÷40%＝720（本）；
所以A类书籍的借阅量为720×35%＝252（本），
C类书籍的借阅量为720×15%＝108（本），
D类书籍的借阅量为720×(1－35%－40%－15%)＝72（本），
补全统计图如下：
答：被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量为720本．
(2)×1 200＝582（名），
答：估计该校图书借阅数量为3本及以上的学生有582名．
(3)小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可）
22.（本题满分12分）已知点O在直线AB上，∠COD＝∠EOF＝90°.
(1)如图1，若射线OA是∠COE的平分线，∠DOF＝124°，求∠AOC的度数；
(2)如图2，延长线段FO得到射线OG，求∠DOF比∠COG大多少度；
(3)在(2)的条件下，如图3，若∠BOF＋3∠COG＝100°，∠GOD∶∠DOB＝3∶2，过点O作射线OM，使∠AOC＝2∠EOM，求∠COM的度数．
(1)因为∠DOF＋∠COD＋∠COE＋∠EOF＝360°，
所以∠COE＝360°－(∠DOF＋∠COD＋∠EOF).
因为∠COD＝∠EOF＝90°，∠DOF＝124°，
所以∠COE＝360°－(124°＋90°＋90°)＝56°.
因为OA是∠COE的平分线，
所以∠AOC＝∠COE＝×56°＝28°；
(2)设∠COG＝α.
因为∠COD＝90°，所以∠GOD＝∠COD－∠COG＝90°－α.
因为∠GOD＋∠DOF＝180°，
所以∠DOF＝180°－∠GOD＝180°－(90°－α)＝90°＋α，
所以∠DOF－∠COG＝90°＋α－α＝90°，
所以∠DOF比∠COG大90°；
(3)设∠COG＝α，∠BOF＝β.
因为∠BOF＋3∠COG＝100°，所以β＋3α＝100°.①
因为∠GOD∶∠DOB＝3∶2，
所以设∠GOD＝3θ，∠DOB＝2θ.
因为∠COD＝90°，所以∠COG＋∠GOD＝90°，
所以α＋3θ＝90°.②
因为OG是FO的延长线，
所以∠GOD＋∠DOB＋∠BOF＝180°，
所以3θ＋2θ＋β＝180°，即5θ＋β＝180°，③
由①②③解得：α＝15°，θ＝25°，β＝55°，
所以∠GOD＝3θ＝75°，∠DOB＝2θ＝50°.
因为点O在直线AB上，
所以∠AOC＋∠COD＋∠DOB＝180°，
所以∠AOC＝180°－(∠COD＋∠DOB)＝180°－(90°＋50°)＝40°.
因为∠AOC＝2∠EOM，
所以∠EOM＝∠AOC＝×40°＝20°.
因为∠COE＋∠COG＋∠EOF＝180°，
所以∠COE＝180°－(∠COG＋∠EOF)＝180°－(15°＋90°)＝75°.
①当OM在OA，OE之间时，如图1
∠COM＝∠COE－∠EOM＝75°－20°＝55°；
②当OM在OE，OF之间时，如图2，
∠COM＝∠COE＋∠EOM＝75°＋20°＝95°.
综上所述：∠COM的度数为55°或95°.
23.（本题满分12分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a－b|，线段AB的中点表示的数为.
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为－2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒(t＞0).
【综合运用】
(1)填空：
①A，B两点间的距离AB＝ 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 －2＋3t ；点Q表示的数为 8－2t ．
(2)求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时，PQ＝AB；
(4)若M为PA的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
(1)①10，3；②－2＋3t，8－2t；
(2)因为当P，Q两点相遇时，P，Q表示的数相等，
所以－2＋3t＝8－2t，解得t＝2，
所以当t＝2时，P、Q相遇，此时，－2＋3t＝－2＋3×2＝4，
所以相遇点表示的数为4；
(3)因为t秒后，点P表示的数为－2＋3t，点Q表示的数为8－2t，
所以PQ＝|(－2＋3t)－(8－2t)|＝|5t－10|.
又PQ＝AB＝×10＝5，
所以|5t－10|＝5，解得t＝1或3，
所以当t＝1或3时，PQ＝AB；
(4)不变．
因为点M表示的数为＝－2，点N表示的数为＝＋3，所以MN＝|（－2）－（＋3）|＝|－2－－3|＝5，即线段MN的长为5.?
312期末检测
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1.如果气温升高2 ℃时气温变化记作＋2 ℃，那么气温下降4 ℃时气温变化记作( )
A．＋4 ℃ B．－4 ℃ C．＋6 ℃ D．－6 ℃
2.大堡地区某一天早晨的气温是－7 ℃，中午的时候上升了11 ℃，至午夜又下降了9 ℃，那么午夜的气温是( )
A．－4 ℃ B．－5 ℃ C．－6 ℃ D．－7 ℃
3.仅用曲线可以组成的图形有( )
4.如图，经过图中任意两点能画出射线的条数为( )
A．3条 B．4条 C．12条 D．无数条
5.如图，数轴上有①②③④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c，且a＜0，abc＞0，则原点落在( )
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
6.如图射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内∠AOB＝70°，则射线OB的方向是( )
A．北偏东40° B．北偏西40° C．南偏东80° D．B、C都有可能
7.某新品种葡萄试验基地种植了5亩新品种葡萄，为了解这些新品种葡萄的单株产量，从中随机抽查了10株葡萄，在这个统计工作中，10株葡萄的产量是（亩、市制面积单位）( )
A．总体 B．总体中的一个样本
C．样本容量 D．个体
8.下列扇形统计图中（如图所示），有问题的是( )
9.我国五座名山的海拔高度如表所示：
山名 泰山 华山 衡山 恒山 嵩山
海拔/m 1 545 2 154.9 1 300.2 2 016.8 1 512
若想根据表中的数据制作统计图，以便更清楚地对几座山的高度进行比较，应选用( )
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．都可以
10.已知方程：①3x－1＝2x＋1，②x＋＝（x－）x，③＋＝7－，④x－1＝x中，解为x＝2的是方程( )
A．①②和③ B．①③和④
C．②③和④ D．①②和④
11.已知x3+m＋ny2与2xy2是同类项，则m，n可以是( )
A．1，0 B．－1，3 C．－2，0 D．－3，－1
12.春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”“永恒”“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2∶3∶4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3∶2∶1时，老板得到的总利润率为20%，则a∶b∶c为( )
A．1∶2∶3 B．1∶3∶4 C．2∶3∶5 D．3∶4∶5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13.－|－|的相反数是 ．
14.2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了一发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12 000千米，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12 000千米用科学记数法表示为 ．
15.如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形，…，按此规律，第n个图案中有 个正三角形．（用含n的代数式表示）
16.陈老师在晚会上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟的时针和分针恰好成90°，这时是七时多；故事结束时两针也是恰好成90°，这时是八时多．他还发现，讲故事当中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，那么，陈老师讲故事所用的时间是 ．（答案四舍五入到半分钟，例如3时17分18秒≈3时17.5分，3时17分12秒≈3时17分）
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本题满分8分）定义新运算：对于任意数a，b，都有a b＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法、乘方运算，比如：2 3＝(2＋3)(22－2×3＋32)－33＝8.
(1)求(－2) (－1)的值；
(2)求(－3) (－1)的值；
(3)猜想式子(a＋b)(a2－ab＋b2)－b3化简的结果．
18.（本题满分10分）每年的4月23日是“世界读书日”，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”前夕，订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5 000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8 400元．
(1)求A，B两种书签的进价分别为多少元；
(2)该批发商准备在进价的基础上将A，B两种书签价格提高40%售出，若该批发商购进A，B两种书签共计500张，并且A种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元．
19.（本题满分10分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大m（m为正整数），十位上的数字比个位上的数字大m，则称这个三位数为关于m的“递差数”．
例如：三位数531，因为5－3＝2，3－1＝2，所以531是关于2的“递差数”；
三位数987，因为9－8＝1，8－7＝1，所以987是关于1的“递差数”．
(1)判断三位数741是否为m的“递差数”，若是，求出m的值；若不是，请说明理由；
(2)若有一个三位数是关于m的“递差数”，其百位上的数字为x，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含m，x的整式表示）；
(3)若(2)中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于m的“递差数”．
20.（本题满分10分）如果两个角的差的绝对值等于90°，那么就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1－∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）.
(1)如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
(3)如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n(0＜n＜90°)，直线AB旋转到A′B′，OC旋转到OC′，作射线OP，使∠BOP＝∠BOB′，求：当n为何值时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
21.（本题满分10分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动．“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1 200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
数据的收集、 整理与描述 第一项各类图书借阅量统计 说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
第二项学生个人借阅量统计
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整；
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名；
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．但经过小组讨论，方案被否决了，请指出该方案被否决的原因．
22.（本题满分12分）已知点O在直线AB上，∠COD＝∠EOF＝90°.
(1)如图1，若射线OA是∠COE的平分线，∠DOF＝124°，求∠AOC的度数；
(2)如图2，延长线段FO得到射线OG，求∠DOF比∠COG大多少度；
(3)在(2)的条件下，如图3，若∠BOF＋3∠COG＝100°，∠GOD∶∠DOB＝3∶2，过点O作射线OM，使∠AOC＝2∠EOM，求∠COM的度数．
23.（本题满分12分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a－b|，线段AB的中点表示的数为.
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为－2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒(t＞0).
【综合运用】
(1)填空：
①A，B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
(2)求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时，PQ＝AB；
(4)若M为PA的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
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