章末小结 第3章一次方程与方程组
考点1 一元一次方程的解法与应用
1．(广西崇左扶绥县月考)小丽同学在做作业时，不小心将方程2(x－3)－■＝x＋1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知2a－b＝3，求代数式6a－3b－1的值．”可以这样解：6a－3b－1＝3(2a－b)－1＝3×3－1＝8.根据阅读材料，解决问题：若x＝3是关于x的一元一次方程mx＋n＝2的解，则代数式9m2＋6mn＋n2＋6m＋2n－1的值是__ __．
3．(广西贺州期中)若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x－2＝0是方程x－1＝0的“后移方程”．
(1)方程2x＋2＝0__ __(填“是”或“不是”)方程2x＋4＝0的“后移方程”，并说明理由？
(2)若关于x的方程6(x－1)－m＝m＋3是方程2(x－1)－1＝1－(x＋1)的“后移方程”，试求m的值．
考点2 二元一次方程组及其解法
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
5．(广西贺州八步区月考)在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝－3，y＝－1，则a和b的正确值应是( )
A．a＝－4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13
C．a＝4，b＝4 D．a＝－5，b＝4
6．(广西梧州蒙山县月考)已知方程组的解是则a－b的值为__ __．
7．解下列方程组：
(1)(2)
考点3 二元一次方程组的应用
8．(广西梧州蒙山县模拟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹(算筹是中国古代用来计数、列式和进行演算的一种工具)来记录的．在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式．如图1，从左到右列出的算筹数分别表示x，y的系数与相应的常数项，根据图1可列出方程组则根据图2列出的方程组是( )
A． B．
C． D．
9．甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是( )
A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t
C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t
10．(广西百色右江区模拟)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由．
考点4 三元一次方程组及其解法
11．已知且x＋y＝3，则z的值为( )
A．9 B．－3 C．12 D．不确定
12．(广西百色右江区月考)已知：＝＝，且3a＋2b－4c＝9，则a＋b＋c的值等于__ __．
考点5 三元一次方程组的应用
13．(广西崇左江州市月考)一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角.3种包装的饮料每瓶各多少元( )
A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元
B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元
C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元
D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元
14．(广西贺州钟山县月考)购买铅笔7支，作业本6本，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5本，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需__ __元．
15．(广西百色田东县月考)一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈．
(1)若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？
(2)救生圈于何时掉入水中？
16．【提出问题】
小刚对李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？
【分析问题】
查资料知，白帝城是今重庆奉节，而江陵是今湖北荆州．李白的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14 km/h，从宜昌到荆州的速度约为10 km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350 km.小刚经过分析发现：李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h.
【解决问题】
(1)奉节到宜昌的水上距离有多远？
(2)请你计算，李白能在一日之内从白帝城到达江陵吗？
【实践体验】
小刚8：00从奉节出发，乘坐游轮以50 km/h的速度前往荆州，真正实现了“千里江陵一日还”．小刚的姑妈10：30从宜昌出发，也乘坐游轮前往荆州，速度为30 km/h，请你计算小刚几点能追上姑妈？章末小结 第3章一次方程与方程组
考点1 一元一次方程的解法与应用
1．(广西崇左扶绥县月考)小丽同学在做作业时，不小心将方程2(x－3)－■＝x＋1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是( C )
A．4 B．3 C．2 D．1
把x＝9代入2(x－3)－■＝x＋1，得：2×(9－3)－■＝9＋1，解得■＝2.
2．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知2a－b＝3，求代数式6a－3b－1的值．”可以这样解：6a－3b－1＝3(2a－b)－1＝3×3－1＝8.根据阅读材料，解决问题：若x＝3是关于x的一元一次方程mx＋n＝2的解，则代数式9m2＋6mn＋n2＋6m＋2n－1的值是__7__．
因为x＝3是关于x的一元一次方程mx＋n＝2的解，则3m＋n＝2，所以9m2＋6mn＋n2＋6m＋2n－1＝(9m2＋6mn＋n2)＋(6m＋2n)－1＝(3m＋n)2＋2(3m＋n)－1＝22＋2×2－1＝4＋4－1＝7.
3．(广西贺州期中)若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x－2＝0是方程x－1＝0的“后移方程”．
(1)方程2x＋2＝0__是__(填“是”或“不是”)方程2x＋4＝0的“后移方程”，并说明理由？
(2)若关于x的方程6(x－1)－m＝m＋3是方程2(x－1)－1＝1－(x＋1)的“后移方程”，试求m的值．
(1)方程2x＋2＝0是方程2x＋4＝0的“后移方程”．理由如下：
解方程2x＋2＝0，得x＝－1，解方程2x＋4＝0，得x＝－2，
所以方程2x＋2＝0是方程2x＋4＝0的“后移方程”；
(2)原方程去括号，得2x－2－1＝1－x－1，
移项，合并同类项，得3x＝3，解得x＝1.
因为关于x的方程6(x－1)－m＝m＋3是方程2(x－1)－1＝1－(x＋1)的“后移方程”，
所以关于x的方程6(x－1)－m＝m＋3的解为x＝1＋1＝2，
将x＝2代入6(x－1)－m＝m＋3，
得6×(2－1)－m＝m＋3，解得m＝.
考点2 二元一次方程组及其解法
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是( C )
A． B．
C． D．
5．(广西贺州八步区月考)在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝－3，y＝－1，则a和b的正确值应是( D )
A．a＝－4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13
C．a＝4，b＝4 D．a＝－5，b＝4
将x＝4，y＝2代入3x－by＝4得12－2b＝4，解得b＝4，将x＝－3，y＝－1代入ax＋8y＝7得－3a－8＝7，解得a＝－5.
6．(广西梧州蒙山县月考)已知方程组的解是则a－b的值为__－1__．
7．解下列方程组：
(1)(2)
(1)(2)
考点3 二元一次方程组的应用
8．(广西梧州蒙山县模拟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹(算筹是中国古代用来计数、列式和进行演算的一种工具)来记录的．在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式．如图1，从左到右列出的算筹数分别表示x，y的系数与相应的常数项，根据图1可列出方程组则根据图2列出的方程组是( D )
A． B．
C． D．
9．甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是( A )
A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t
C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t
设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t，根据题意得：解得：
10．(广西百色右江区模拟)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由．
(1)设一道正门平均每分钟通过x名学生，一道侧门平均每分钟通过y名学生，
由题意，得：解得：
答：一道正门平均每分钟通过120名学生，一道侧门平均每分钟通过80名学生．
(2)共有学生：45×8×4＝1 440(名)，
在拥挤的状态下5分钟通过：(120＋80)×80%×2×5＝1 600(名)，
因为1 600＞1 440.所以建造的这4道门符合安全规定．
考点4 三元一次方程组及其解法
11．已知且x＋y＝3，则z的值为( B )
A．9 B．－3 C．12 D．不确定
②－①，得：x＋y＝z＋6，因为x＋y＝3，所以z＋6＝3，解得，z＝－3.
12．(广西百色右江区月考)已知：＝＝，且3a＋2b－4c＝9，则a＋b＋c的值等于__－15__．
设＝＝＝k，则a＝3k，b＝5k，c＝7k，代入3a＋2b－4c＝9，得9k＋10k－28k＝9，解得：k＝－1，所以a＝－3，b＝－5，c＝－7，于是a＋b＋c＝－3－5－7＝－15.
考点5 三元一次方程组的应用
13．(广西崇左江州市月考)一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角.3种包装的饮料每瓶各多少元( C )
A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元
B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元
C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元
D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元
设大、中、小瓶包装的饮料每瓶分别为x，y，z元．根据题意得：解得：即小瓶饮料每瓶1.6元，中瓶饮料每瓶3元，大瓶饮料每瓶5元．
14．(广西贺州钟山县月考)购买铅笔7支，作业本6本，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5本，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需__7__元．
设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元，购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．则由题意得：由①－②得2x＋y＋z＝7，于是：a＝7.
15．(广西百色田东县月考)一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈．
(1)若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？
(2)救生圈于何时掉入水中？
(1)设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，A港口到B港口的距离为s，由题意得：解得：
所以救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为＝80(小时)；
答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为80小时．
(2)设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了(8－t＋2)小时，由题意得：(s＋s)(8－t)＝(s－s)×2＋s1×(8－t＋2)，解得：t＝6，所以6＋6＝12；
答：救生圈于中午12时掉入水中．
16．【提出问题】
小刚对李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？
【分析问题】
查资料知，白帝城是今重庆奉节，而江陵是今湖北荆州．李白的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14 km/h，从宜昌到荆州的速度约为10 km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350 km.小刚经过分析发现：李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h.
【解决问题】
(1)奉节到宜昌的水上距离有多远？
(2)请你计算，李白能在一日之内从白帝城到达江陵吗？
【实践体验】
小刚8：00从奉节出发，乘坐游轮以50 km/h的速度前往荆州，真正实现了“千里江陵一日还”．小刚的姑妈10：30从宜昌出发，也乘坐游轮前往荆州，速度为30 km/h，请你计算小刚几点能追上姑妈？
(1)设奉节到宜昌的水上距离为x千米，
根据题意得：－＝1，解得x＝210，
答：奉节到宜昌的水上距离为210千米；
(2)＋＝15＋14＝29(小时)，
因为29＞24，所以李白不能在一日之内从白帝城到达江陵；
(3)设小刚出发y小时追上姑妈，
根据题意得：50y－210＝30(y－2.5)，解得y＝6.75，
因为6.75小时＝6小时45分钟，所以8小时＋6小时45分钟＝14小时45分钟，所以小刚14：45能追上姑妈．
