专题训练1 有理数
（自测时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1.如果“盈利3%”记作＋3%，那么－5%表示( )
A．少赚5% B．亏损－5%
C．盈利5% D．亏损5%
2.下列各数中是负分数的是( )
A．80% B． C．－0.5 D．－π
3.下列各数中，比－1小的数是( )
A．－3 B．|－2| C．0 D．1
4.下面各数中，与－4的和为0的是( )
A．4 B．－4 C． D．－
5.若有理数m的绝对值的相反数是－6，则m的值是( )
A．6 B．－6
C．或－ D．6或－6
6.用四舍五入法将数4.151 49精确到千分位，结果是( )
A．4.2 B．4.15
C．4.152 D．4.151
7.如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是( )
A．π B．π＋1
C．π－1 D．2π
8.对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9.每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15.如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为( )
A．5 B．1 C．0 D．－1
9.下列说法中：
①有理数的绝对值一定是正数；
②互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；
③若|a|＝|b|，则a与b互为相反数；
④绝对值等于本身的数是0；
⑤任何一个数都有它的相反数；
⑥小于1的数的倒数一定大于1.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1 001)2换算成十进制数应为：
(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；
(1 001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9.
按此方式，将二进制(1 011)2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为( )
A．17，(1 101)2 B．17，(1 110)2
C．11，(1 101)2 D．11，(1 110)2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11.据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到 位．
12.地球上水的总储量为1.39×1018 m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为1.07×1018 m3，因此我们要节约用水．请写出1.07×1018的原数 ．
13.已知m是有理数，则－|2m－5|＋9的最大值为 ．
14.已知酒精冻结的温度是－117 ℃，现有一杯酒精的温度为19 ℃，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.6 ℃，要使这杯酒精冻结，至少需要 分钟．
15.如图，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数的积相等，那么y－x的值为 ．
16.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)＝1－，f(2)＝1－，f(3)＝1－，f(4)＝1－，…，利用以上运算的规律，写出f(n)＝ （n为正整数），计算f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)＝ ．
三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）计算：
(1)7－(－8)＋(－4)；
(2)(－2)×÷(－7)；
(3)（＋－）×(－24)；
(4)－32×＋(－4)2÷(－4).
18.（12分）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝m2－mn＋n，例如：2☆3＝22－2×3＋3＝1，解答下列问题：
(1)3☆4；
(2)(－1)☆［2☆(－3)］.
19.（14分）(1)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接．
3，－1，－2.5，2.
(2)快递员要从物流中心出发送货，已知甲住户在物流中心的东边2 km处，乙住户在甲住户的西边3 km处，丙住户在物流中心的西边1.5 km处，请建立数轴表示物流中心、甲住户、乙住户、丙住户的位置关系．
20.（14分）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
(＋2)*(＋4)＝＋(22＋42)；
(－4)*(－7)＝＋［(－4)2＋(－7)2］；
(－2)*(＋4)＝－［(－2)2＋(＋4)2］；(＋5)*(－7)＝－［(＋5)2＋(－7)2］；
0*(－5)＝(－5)*0＝(－5)2；(＋3)*0＝0*(＋3)＝(＋3)2，
0*0＝02＋02＝0.
(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
(2)计算：(＋1)*［0*(－2)］＝ ．
(3)是否存在有理数m，n，使得(m－1)*(n＋2)＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．专题训练1 有理数
（自测时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1.如果“盈利3%”记作＋3%，那么－5%表示( D )
A．少赚5% B．亏损－5%
C．盈利5% D．亏损5%
2.下列各数中是负分数的是( C )
A．80% B． C．－0.5 D．－π
3.下列各数中，比－1小的数是( A )
A．－3 B．|－2| C．0 D．1
4.下面各数中，与－4的和为0的是( A )
A．4 B．－4 C． D．－
5.若有理数m的绝对值的相反数是－6，则m的值是( D )
A．6 B．－6
C．或－ D．6或－6
6.用四舍五入法将数4.151 49精确到千分位，结果是( D )
A．4.2 B．4.15
C．4.152 D．4.151
7.如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是( B )
A．π B．π＋1
C．π－1 D．2π
8.对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9.每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15.如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为( B )
A．5 B．1 C．0 D．－1
9.下列说法中：
①有理数的绝对值一定是正数；
②互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；
③若|a|＝|b|，则a与b互为相反数；
④绝对值等于本身的数是0；
⑤任何一个数都有它的相反数；
⑥小于1的数的倒数一定大于1.
其中正确的有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1 001)2换算成十进制数应为：
(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；
(1 001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9.
按此方式，将二进制(1 011)2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为( C )
A．17，(1 101)2 B．17，(1 110)2
C．11，(1 101)2 D．11，(1 110)2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11.据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到 百万 位．
12.地球上水的总储量为1.39×1018 m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为1.07×1018 m3，因此我们要节约用水．请写出1.07×1018的原数 1 070 000 000 000 000 000 ．
13.已知m是有理数，则－|2m－5|＋9的最大值为 9 ．
14.已知酒精冻结的温度是－117 ℃，现有一杯酒精的温度为19 ℃，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.6 ℃，要使这杯酒精冻结，至少需要 85 分钟．
15.如图，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数的积相等，那么y－x的值为 －4 ．
这9个数的积为××1×2×4×8×16×32×64＝643，所以每行、每列、每条对角线上三个数字的积为64，得ay＝1，ef＝1，ax＝2，a，y，e，f分别为，，2，4中的某个数，对a进行讨论，只有当a＝或a＝2时，x不是，，2，4中某个数；当a＝2时，x＝1，y＝，此时e＝128不合题意，当a＝时，x＝8.y＝＝4，经检验符合题意．所以y－x＝4－8＝－4.
16.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)＝1－，f(2)＝1－，f(3)＝1－，f(4)＝1－，…，利用以上运算的规律，写出f(n)＝ 1－ （n为正整数），计算f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)＝ ．
因为f(1)＝1－，f(2)＝1－，f(3)＝1－，f(4)＝1－，…，所以f(n)＝1－.f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)＝（1－）（1－）（1－）…（1－）＝×××…×＝.
三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）计算：
(1)7－(－8)＋(－4)；
(2)(－2)×÷(－7)；
(3)（＋－）×(－24)；
(4)－32×＋(－4)2÷(－4).
(1)7－(－8)＋(－4)＝7＋8＋(－4)＝11；
(2)(－2)×÷(－7)＝2××＝；
(3)（＋－）×(－24)＝×(－24)＋×(－24)－×(－24)＝－12＋(－8)＋18＝－2；
(4)－32×＋(－4)2÷(－4)＝－9×＋16÷(－4)＝－＋(－4)＝－.
18.（12分）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝m2－mn＋n，例如：2☆3＝22－2×3＋3＝1，解答下列问题：
(1)3☆4；
(2)(－1)☆［2☆(－3)］.
(1)因为m☆n＝m2－mn＋n，
所以3☆4＝32－3×4＋4＝9－12＋4＝1；
(2)因为m☆n＝m2－mn＋n，所以(－1)☆［2☆(－3)］＝(－1)☆［22－2×(－3)＋(－3)］＝(－1)☆(4＋6－3)＝(－1)☆7＝(－1)2－(－1)×7＋7＝1＋7＋7＝15.
19.（14分）(1)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接．
3，－1，－2.5，2.
(2)快递员要从物流中心出发送货，已知甲住户在物流中心的东边2 km处，乙住户在甲住户的西边3 km处，丙住户在物流中心的西边1.5 km处，请建立数轴表示物流中心、甲住户、乙住户、丙住户的位置关系．
(1)在数轴上表示各数，如图所示，
从小到大排列为：－2.5<－1<2<3；
(2)由题意可知，以物流中心为原点，1 km为1个单位长度，向东为正方向，画数轴，则甲住户表示的数为2，乙住户表示的数为－1，丙住户表示的数为－1.5，如图所示．
20.（14分）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
(＋2)*(＋4)＝＋(22＋42)；
(－4)*(－7)＝＋［(－4)2＋(－7)2］；
(－2)*(＋4)＝－［(－2)2＋(＋4)2］；(＋5)*(－7)＝－［(＋5)2＋(－7)2］；
0*(－5)＝(－5)*0＝(－5)2；(＋3)*0＝0*(＋3)＝(＋3)2，
0*0＝02＋02＝0.
(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， 同号得正，异号得负，并把两数的平方相加 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， 都等于这个数的平方 ．
(2)计算：(＋1)*［0*(－2)］＝ 17 ．
(3)是否存在有理数m，n，使得(m－1)*(n＋2)＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，都等于这个数的平方．
故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；都等于这个数的平方；
(2)(＋1)*［0*(－2)］＝(＋1)*(－2)2＝(＋1)*4＝＋(12＋42)＝1＋16＝17.故答案为：17；
(3)因为(m－1)*(n＋2)＝0，所以±［(m－1)2＋(n＋2)2］＝0，
所以m－1＝0，n＋2＝0，
解得m＝1，n＝－2.
