专题训练3 一次方程与方程组
（自测时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1.下列各式中：①x＝0；②3x－5＝2x＋1；③2x＋6＝0；④x－y＝0；⑤＝5y＋3；⑥a2＋a－6＝0是方程的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2.方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，则每个果冻的质量为( )
A．40 g B．35 g
C．30 g D．20 g
4.已知方程3x－4y＝6，用含y的式子表示x为( )
A．x＝ B．x＝
C．y＝ D．y＝
5.方程kx＋3y＝5有一组解是则k的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
6.小明在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是( )
7.解三元一次方程组若先消去z，组成关于x，y的方程组，则应对方程组进行的变形是( )
A．①－②，②＋③
B．①×2＋③，②×2＋③
C．①＋②，②×2＋③
D．①＋③，②＋③
8.已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x＋y＝0；③不论k取什么实数，x＋3y的值始终不变；④当y－x＞－1时，k＞1.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
9.有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，不答得0分，答错倒扣2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是( )
A．答对1题 B．答对3题
C．有3题没答 D．答错2题
10.一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要( )头牛．
A．16 B．18 C．20 D．22
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11.解方程||＝3，则x＝ ．
12.二元一次方程3x＋2y＝15在自然数范围内的解有 ．
13.如图，小方位于玉渊潭公园，小程在小方北侧1 800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为x米/分钟，小程的平均速度为y米/分钟，则根据题意可列方程组 ．
14.在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“永定土楼”这四个字表示的数之和
．
永 －3x＋1 楼
定 0 －4
－6 土 x－5
15.若a＋2b－3c＝4，5a－6b＋7c＝8，则9a＋2b－5c＝
．
16.一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）解方程（组）：
(1)2(x－3)－5(3－x)＝21；
(2)－＝2；
(3)
18.（12分）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
解答下列问题：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9 600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
19.（14分）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵对应的方程组的解；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a＋b＋c的值．
20.根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的.则其中B款加料的奶茶买了多少杯？专题训练3 一次方程与方程组
（自测时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1.下列各式中：①x＝0；②3x－5＝2x＋1；③2x＋6＝0；④x－y＝0；⑤＝5y＋3；⑥a2＋a－6＝0是方程的有( D )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2.方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，则每个果冻的质量为( C )
A．40 g B．35 g
C．30 g D．20 g
设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，由题意，得
解这个方程组，得
所以每个果冻的质量为30 g．
4.已知方程3x－4y＝6，用含y的式子表示x为( B )
A．x＝ B．x＝
C．y＝ D．y＝
5.方程kx＋3y＝5有一组解是则k的值是( A )
A．1 B．－1
C．0 D．2
6.小明在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是( B )
选项A，设最小的数是x，则x＋(x＋1)＋(x＋8)＝39，解得x＝10，故本选项不符合题意；选项B，设最小的数是x，则x＋(x＋8)＋(x＋14)＝39，解得x＝，故本选项符合题意；选项C，设最小的数是x，则x＋(x＋8)＋(x＋16)＝39，解得x＝5，故本选项不符合题意；选项D，设最小的数是x，则x＋(x＋1)＋(x＋2)＝39，解得x＝12，故本选项不符合题意．
7.解三元一次方程组若先消去z，组成关于x，y的方程组，则应对方程组进行的变形是( C )
A．①－②，②＋③
B．①×2＋③，②×2＋③
C．①＋②，②×2＋③
D．①＋③，②＋③
①＋②，得5x－2y＝16；②×2，得4x－2y－2z＝24④，③＋④，得5x－y＝30，即
8.已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x＋y＝0；③不论k取什么实数，x＋3y的值始终不变；④当y－x＞－1时，k＞1.其中正确的是( A )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
①当k＝0时，原方程组可整理，得解得把代入x－2y，得x－2y＝－2－2＝－4，即①正确，②解方程组得若x＋y＝0，则(3k－2)＋(1－k)＝0，解得k＝，即存在实数k，使得x＋y＝0，即②正确，③解方程组得所以x＋3y＝3k－2＋3(1－k)＝1，所以不论k取什么实数，x＋3y的值始终不变，故③正确；④解方程组，得所以当y－x＞－1时，1－k－3k＋2＞－1，所以k＜1，故④错误．
9.有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，不答得0分，答错倒扣2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是( B )
A．答对1题 B．答对3题
C．有3题没答 D．答错2题
设答对的有x题，答错的有y题，不答的有z题．依题意，得满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0且都为整数，当x＝0时，z＝－10，不合题意舍去；当x＝1时，z＝－6，不合题意舍去；当x＝2时，z＝－2，不合题意舍去；当x＝3时，z＝2，y＝1，符合题意；当x＝4时，z＝6，y＝－4，不合题意舍去；当x＝5时，z＝10，y＝－9，不合题意舍去；当x＝6时，z＝14，y＝－14，不合题意舍去；综上所述，该同学答对的有3题，答错的有1题，不答的有2题．
10.一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要( C )头牛．
A．16 B．18 C．20 D．22
设草一天的增加量是a，每头牛每天吃的草的量是b，原有草的量是c.根据题意，得解得若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是＝20.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11.解方程||＝3，则x＝ －5或7 ．
根据绝对值的意义，可将原方程化为(1)＝3；(2)＝－3.解(1)，得x＝－5；解(2)，得x＝7.
12.二元一次方程3x＋2y＝15在自然数范围内的解有 或或 ．
因为3x＋2y＝15，所以y＝.当x＝1时，y＝6；当x＝3时，y＝3；当x＝5时，y＝0，所以方程组的自然数解为：或或
13.如图，小方位于玉渊潭公园，小程在小方北侧1 800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为x米/分钟，小程的平均速度为y米/分钟，则根据题意可列方程组 ．
14.在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“永定土楼”这四个字表示的数之和
20 ．
永 －3x＋1 楼
定 0 －4
－6 土 x－5
由第2列、第3行，得－3x＋1＋0＝－6＋x－5，解得x＝3；由第2行、第1列，得永－6＝0－4，所以永＝2；由对角线可得，2＋0＋x－5＝－6＋0＋楼，所以楼＝6；当x＝3时，－3x＋1＝－8，x－5＝－2，所以－6＋土－2＝2－2＋0，2－6＋定＝2－2＋0，所以土＝8，定＝4，所以“永定土楼”这四个字表示的数之和＝2＋6＋8＋4＝20.
15.若a＋2b－3c＝4，5a－6b＋7c＝8，则9a＋2b－5c＝
24 ．
因为a＋2b－3c＝4，所以4a＋8b－12c＝16①.又因为5a－6b＋7c＝8②，所以①＋②，得9a＋2b－5c＝24.
16.一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为 635 ．
设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则解得所以原三位数为635.
三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）解方程（组）：
(1)2(x－3)－5(3－x)＝21；
(2)－＝2；
(3)
(1)去括号，得2x－6－15＋5x＝21，移项，得2x＋5x＝21＋6＋15，
合并同类项，得7x＝42，系数化1，得x＝6；
(2)去分母，得4(2x－1)－3(3x－5)＝24，
去括号，得8x－4－9x＋15＝24，
移项，得8x－9x＝24＋4－15，
合并同类项，得－x＝13，系数化1，得x＝－13；
(3)①＋②×3，得11x＝33，解得x＝3，
把x＝3代入②，得y＝－1，则方程组的解为
18.（12分）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
解答下列问题：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9 600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
(1)设甲、乙型车分别需要a辆、b辆．
根据题意，得解得
答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆；
(2)设乙、丙型车分别需要x辆、y辆，
根据题意，得解得
此时总运费为450×2＋600×5＋700×7＝900＋3 000＋4 900＝8 800（元）.
答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8 800元．
19.（14分）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵对应的方程组的解；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a＋b＋c的值．
(1)由题意，得矩阵对应的方程组为解得所以矩阵对应的方程组的解为
(2)因为矩阵所对应的方程组的解为
所以将代入
得
①＋②＋③得，a＋b＋c＝13.
20.根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的.则其中B款加料的奶茶买了多少杯？
任务1 设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元．
由题意，得解得
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2 设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯．由题意，得10m＋12n＝220，整理，得m＝22－n.因为m，n均为正整数，所以或或
答：有3种购买方案；
任务3 设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了(3a－a－b)杯，即(2a－b)杯．
由题意，得10a＋12b＋(12＋2)(2a－b)＝380，
整理，得b＝19a－190.
因为a，b，3a－a－b均为正整数，所以
所以2a－b＝2×11－19＝3（杯），
答：B款加料的奶茶买了3杯．
