专题训练4 几何图形初步
（自测时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1.如图，一个正方体模块，上面留有一个圆柱形孔洞，不可能堵上这个孔洞的几何体是( )
A．球 B．圆柱
C．圆锥 D．长方体
2.以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是( )
A．①②③④ B．①③
C．②③④ D．①
3.用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是( )
4.下列图中，能用∠α，∠O，∠AOB三种方法表示同一角的图形是( )
5.下列说法：①角的两边越长，角就越大；②∠AOB与∠BOA表示同一个角；③有一个公共端点的两条线段组成的图形叫作角；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
其中错误的有( )
A．①②③ B．①③
C．②④ D．①③④
6.对于棱柱，下列说法错误的是( )
A．n棱柱有n个面
B．n棱柱有2n个顶点
C．n棱柱有3n条棱
D．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等
7.如图，观察图形，下列结论中不正确的是( )
A．直线BA和直线AB是同一条直线
B．图中有5条线段
C．AB＋BD＞AD
D．射线AC和射线AD是同一条射线
8.如图，点C，D分别是线段AB上两点(CD＞AC，CD＞BD)，用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝( )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
9.已知：∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论正确的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠C
D．三个角互不相等
10.已知长方形纸板的长和宽分别为4 cm和2 cm，将这张长方形纸板按如图所示方式旋转一周形成的圆柱体的体积是( )cm3.
A．4π B．8π
C．16π D．32π
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11.小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52 km，53 km，56 km，如图．能解释这一现象的数学知识是 ．
12.如图所示，已知∠AOB＝128°，OC1平分∠AOB，OC2平分∠AOC1，OC3平分∠AOC2，OC4平分∠AOC3，则∠AOC4＝ ．
13.经过平面内A，B，C，D四点中的每两点作一条直线，可以作 条直线．
14.如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且∠BOC＝38°，则∠AOD的度数为 ．
15.如图，已知点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N在线段CB上，且CN∶NB＝1∶2.若AC＝14，CB＝12，则线段MN的长为 ．
16.(1)已知平面内有n个点(n≥2)，其中任意三个点都不在同一条直线上，过这些点中的每两个作直线，一共能作出 条不同的直线（用含n的代数式表示）.
(2)已知平面内有n条直线，记这n条直线最多将这个平面分成的区域数为an，则an＝ （用含n的代数式表示）.
三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）如图，∠AOB.
(1)用尺规作出∠AOB的平分线OD.
(2)以OA为一边在∠AOB的外部画，∠AOB的余角∠AOC.
（画图时不要求写出画法，但要保留画图痕迹）
18.（12分）如图1，A，O，B三点在同一直线上，OD是∠AOC的平分线．
(1)与∠AOD互补的角是 ．
(2)若∠COD＝30°，求∠BOC的度数；
(3)如图2，在第(2)问的条件下，若OE是∠BOD的平分线，请你直接写出∠COE的度数．
19.（14分）(1)分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成的角的度数．
(2)每经过1 h，时针转过多少度？每经过1 min，分针转过多少度？
(3)当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是多少度？
(4)请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
20.（14分）【问题提出】
某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
【构建模型】
生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
(1)如图，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校一共要安排 场比赛．
(2)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛．
【类比迁移】
(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角．
【实际应用】
(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种？专题训练4 几何图形初步
（自测时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1.如图，一个正方体模块，上面留有一个圆柱形孔洞，不可能堵上这个孔洞的几何体是( D )
A．球 B．圆柱
C．圆锥 D．长方体
2.以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是( B )
A．①②③④ B．①③
C．②③④ D．①
3.用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是( C )
4.下列图中，能用∠α，∠O，∠AOB三种方法表示同一角的图形是( C )
5.下列说法：①角的两边越长，角就越大；②∠AOB与∠BOA表示同一个角；③有一个公共端点的两条线段组成的图形叫作角；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
其中错误的有( B )
A．①②③ B．①③
C．②④ D．①③④
6.对于棱柱，下列说法错误的是( A )
A．n棱柱有n个面
B．n棱柱有2n个顶点
C．n棱柱有3n条棱
D．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等
n棱柱有(n＋2)个面，2n个顶点，3n条棱，因此B、C不符合题意，A符合题意；若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等，正确，D不符合题意．
7.如图，观察图形，下列结论中不正确的是( B )
A．直线BA和直线AB是同一条直线
B．图中有5条线段
C．AB＋BD＞AD
D．射线AC和射线AD是同一条射线
选项A、直线BA和直线AB是同一条直线，正确；选项B、图中有6条线段，故错误；选项C、AB＋BD＞AD，正确；选项D、射线AC和射线AD是同一条射线，正确．
8.如图，点C，D分别是线段AB上两点(CD＞AC，CD＞BD)，用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝( A )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
因为CE＝AC，DF＝BD，所以点C和点D分别是AE、BF的中点，CE＝AE，DF＝BF.若点E和点F重合，则AE＋BF＝AB，CE＋DF＝CD，所以CD＝CE＋DF＝AE＋BF＝AB＝4.
9.已知：∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论正确的是( C )
A．∠A＝∠B
B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠C
D．三个角互不相等
10.已知长方形纸板的长和宽分别为4 cm和2 cm，将这张长方形纸板按如图所示方式旋转一周形成的圆柱体的体积是( C )cm3.
A．4π B．8π
C．16π D．32π
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11.小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52 km，53 km，56 km，如图．能解释这一现象的数学知识是 两点之间线段最短 ．
12.如图所示，已知∠AOB＝128°，OC1平分∠AOB，OC2平分∠AOC1，OC3平分∠AOC2，OC4平分∠AOC3，则∠AOC4＝ 8° ．
因为OC1平分∠AOB，且∠AOB＝128°，所以∠AOC1＝∠AOB＝×128°＝64°.因为OC2平分∠AOC1，所以∠AOC2＝∠AOC1＝×64°＝32°.因为OC3平分∠AOC2，所以∠AOC3＝∠AOC2＝×32°＝16°.因为OC4平分∠AOC3，所以∠AOC4＝∠AOC3＝×16°＝8°.
13.经过平面内A，B，C，D四点中的每两点作一条直线，可以作 1或4或6 条直线．
根据题意可以分为三种情况：①四点在同一直线上，则只能作一条直线；②其中三点在同一直线上，如图1，可以作出4条直线；③任意三点都不在一条直线上，如图2，可作出6条直线．综上可以得出可以作1条直线，可以作4条直线，可以作6条直线．
14.如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且∠BOC＝38°，则∠AOD的度数为 142° ．
因为∠BOC＝38°，∠COD＝90°，所以∠BOD＝∠COD－∠BOC＝90°－38°＝52°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋52°＝142°.
15.如图，已知点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N在线段CB上，且CN∶NB＝1∶2.若AC＝14，CB＝12，则线段MN的长为 11 ．
因为AC＝14，点M是线段AC的中点，所以CM＝7.因为CB＝12，CN∶NB＝1∶2，所以CN＝4.因为MN＝CM＋CN，所以MN＝11.
16.(1)已知平面内有n个点(n≥2)，其中任意三个点都不在同一条直线上，过这些点中的每两个作直线，一共能作出 条不同的直线（用含n的代数式表示）.
(2)已知平面内有n条直线，记这n条直线最多将这个平面分成的区域数为an，则an＝ （用含n的代数式表示）.
(1)过两点可以画1条直线，过不在同一直线上的三点可以画3条直线，过任意三个点都不在同一条直线上的四点可以画6条直线，…，过任意三个点都不在同一条直线上的n点可以画条直线；(2)1条直线将平面分为2个区域，即a1＝2，2条直线最多将平面分为4个区域，即a2＝4，3条直线最多将平面分为7个区域，即a3＝7，4条直线最多将平面分为11个区域，即a4＝11，那么就出现了一个比较明显的规律，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，所以a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋＝.
三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）如图，∠AOB.
(1)用尺规作出∠AOB的平分线OD.
(2)以OA为一边在∠AOB的外部画，∠AOB的余角∠AOC.
（画图时不要求写出画法，但要保留画图痕迹）
(1)如图所示，OD即为所求；
(2)如图所示，∠AOC即为所求．
18.（12分）如图1，A，O，B三点在同一直线上，OD是∠AOC的平分线．
(1)与∠AOD互补的角是 ∠BOD ．
(2)若∠COD＝30°，求∠BOC的度数；
(3)如图2，在第(2)问的条件下，若OE是∠BOD的平分线，请你直接写出∠COE的度数．
(1)与∠AOD互补的角是∠BOD，故答案为：∠BOD；
(2)因为OD是∠AOC的平分线，所以∠AOC＝2∠COD＝60°，
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝120°；
(3)因为OD是∠AOC的平分线，所以∠AOD＝∠COD＝30°，
所以∠BOD＝180°－30°＝150°.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD＝75°，所以∠COE＝75°－30°＝45°.
19.（14分）(1)分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成的角的度数．
(2)每经过1 h，时针转过多少度？每经过1 min，分针转过多少度？
(3)当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是多少度？
(4)请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
巴黎时间时针与分针的夹角是30°×1＝30°；
伦敦时间时针与分针的夹角是30°×0＝0°；
北京时间时针与分针的夹角是30°×4＝120°；
东京时间时针与分针的夹角是30°×3＝90°；
(2)每经过1 h，时针转过360°÷12＝30°，
每经过1 min，分针转过360°÷60＝6°；
(3)令每大格为1份，则上午10：10时时针与分针相距3＋＝（份），上午10：10时时针与分针的夹角是30°×＝115°；
方法二：上午10：10时时针与分针的夹角是120°－10×（）°＝115°；
(4)下午2：30时针与分针的夹角是多少度？
令每大格为1份，则下午2：30时针与分针相距3＋＝（份），
下午2：30时针与分针的夹角是30°×＝105°.（合理即可）
20.（14分）【问题提出】
某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
【构建模型】
生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
(1)如图，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校一共要安排 10 场比赛．
(2)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛．
【类比迁移】
(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 15 个角．
【实际应用】
(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种？
(1)5×4÷2＝10，故答案为：，10.
(2)共要安排比赛场次：，故答案为：.
(3)6×5÷2＝15（个），故答案为：15.
(4)5×4÷2×2＝20（种），答：要准备的车票为20种．
