第三章圆锥曲线的方程（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试

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第三章圆锥曲线的方程--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．已知,是抛物线上两点,则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2．已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3．以直线与为渐近线的双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.或2
4．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5．若存在过双曲线右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．已知椭圆（）的离心率为，则( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若C上一点A到y轴的距离为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8．如图,、分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上的点,Q是线段上靠近的三等分点,为正三角形,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
9．若双曲线满足，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
10．对抛物线,下列描述正确的是( )
A.开口向下,准线方程为
B.开口向下,焦点为
C.开口向左,焦点为
D.开口向左,准线方程为
11．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的一点(异于左、右顶点)，若存在以为半径的圆内切于，则该椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. D.
12．已知双曲线的一条渐近线为.将的实轴,虚轴长度均变为原先的,记得到的双曲线为,则( )
A. B.的离心率为
C.的一条渐近线为 D.的焦点到渐近线的距离为的
三、填空题
13．抛物线的焦点的坐标为__________.
14．双曲线的左、右焦点为,,P为双曲线上一点,且满足,则双曲线的离心率为______________．
15．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，P，Q是C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为_________.
四、解答题
16．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，求椭圆C的标准方程.
17．已知点 分别是椭圆C：）的左 右焦点，点P在椭圆C上，当时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A B两点，求面积的最大值.
18．设抛物线的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点.
(1)求C的准线方程；
(2)设为C准线上一点,且,求.
19．已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线的斜率分别为,,证明是定值；
20．已知曲线C上任意一点M满足,且,.
(1)求C的方程.
(2)设,,若过的直线与C交于P,Q两点,且直线AP与BQ交于点R.证明：点R在定直线上.
参考答案
1．答案：B
解析：由,在抛物线上上,
可得解得
故选：B.
2．答案：C
解析：设椭圆长轴长,焦距,则,即.
故选:C
3．答案：D
解析：由题意可知，当焦点在x轴时，由渐近线方程得，
所以，，；
当焦点在y轴时，由渐近线方程得，
所以，，.
故选：D.
4．答案：B
解析：双曲线,
可知,,.
即,渐近线方程为.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题意知直线与双曲线只能交于左、
右两支，即点A在左支，点B在右支，
设双曲线的方程为，
，，右焦点，
因为，所以，
，即，
因为，，所以，，
故，即，
，，
所以双曲线的渐近线的斜率的取值范围为，
故选：C.
6．答案：B
解析：椭圆的离心率,
化简得,
故选B.
7．答案：B
解析：由题意知点A的横坐标为，
代入得，又，
所以的面积为.
故选：B
8．答案：D
解析：由椭圆的定义知,,则,
因为为正三角形,所以,.
在中,由余弦定理得,
则,,
故选:D.
9．答案：C
解析：由，
得，
即.
故选：C.
10．答案：AB
解析：由题设,抛物线可化为,
开口向下,焦点为,准线方程为.所以AB正确,CD错误.
故选：AB.
11．答案：CD
解析：由椭圆的性质可知，，存在以为半径的圆内切于，，，，，，.又，.结合选项可知，选CD.
12．答案：BCD
解析：选项A:因为双曲线的一条渐近线为.
且根据双曲线性质可得:的渐近线为.
所以其一条渐近线等价于,因为,故,得到,解得,故A错误;
选项B:将代入方程,得到,所以的离心率为,故B正确;
选项C:将的实轴,虚轴长度均变为原先的,则.
其渐近线为,所以的一条渐近线为,故C正确;
选项D:对于双曲线,焦点到渐近线的距离为.
其中n即为半虚轴长.
由于的虚轴长为的,故的焦点到渐近线的距离为的,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：
解析：抛物线,则即,抛物线开口向上,焦点为.
故答案为:
14．答案：
解析：设,,由题意可得,代入双曲线方程,
得到,
因为,,在中,
,
所以,即
即,解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：由双曲线对称性及，
可知，
则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性，
可知四边形为平行四边形，结合，
可知四边形为矩形，则为直角三角形.
设，则
.
故.
故答案为：
16．答案：
解析：由题意可得，该椭圆的半焦距，设椭圆C的标准方程为，右焦点为，则，连接，如图.
因为，所以，
所以.
又,，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
17．答案：(1)
(2)3
解析：(1)面积达到最大时P为椭圆的上顶点或下顶点，
而此时，故面积最大时为等边三角形，
故，，因面积的最大值为，
故，
故，，
故椭圆的标准方程为：.
(2)设，
则由
可得，
此时恒成立.
而，
到的距离为,
故的面积
，
令，设，则，
故在上为增函数，
故即S的最大值为3.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为抛物线C的方程为,所以抛物线C的准线方程为
(2)因为在C的准线上,所以,即,
易得F的坐标为,此时,
因为,所以,解得,
所以l的方程为,设,,
联立消去y并整理得,由韦达定理得,
所以
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)因为椭圆过点和,
代入椭圆表达式可得,；
所以椭圆的标准方程为.
(2)证明：设,,,,
直线的斜率一定存在,设为,
如下图所示：
联立,消去y得到,
易知,可得；
且,,
,
故是定值.
【题目19】已知函数,,
(1)当时,讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点,,求的最小值.
【答案19】答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)因为,
所以,
令,则,
因为,
当时,,则,即,
此时在上单调递增,
当时,,由,得,,且,
当或时,,即；
当时,,即,
所以在,上单调递增,在上单调递减；
综上,当时,在上单调递增,
当时,在,上单调递增,在上单调递减,
其中,.
(2)由(1)可知,,为的两个极值点,且,
所以,且,是方程的两不等正根,
此时,,,
所以,,且有,,
则
令,则,令,
则,
当时,,则单调递减,
当时,,则单调递增,
所以,
所以的最小值为.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由于,符合双曲线中一支的定义,
于是,,即,,故.
又因为,且焦点在x轴上,
所以曲线C的方程为.
(2)证明：若过的直线与C交于P,Q两点,
则该直线的斜率不会是0,否则和该曲线只有一个交点.
当该直线的方程为时,不妨设,,
则直线AP的方程为,直线BQ的方程为,
两方程联立得则.
设该直线的方程为,和曲线C的方程联立可得,
则,,.
设,,则直线AP的方程为,直线BQ的方程为,
联立直线AP,BQ的方程消去y可得,
整理可得,则.
因为点P,Q在直线上,
所以
,
故,即,故交点R在定直线上.
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