第一章　空间向量与立体几何（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试

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第一章　空间向量与立体几何--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
2．已知向量，，若，则( )
A.-5 B.5 C.4 D.-1
3．已知向量，，且，则( )
A.-2 B.-4 C.2 D.4
4．如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线所成的角为( )
A. B. C. D.
5．如图,平行六面体所有棱长都为1,底面为正方形,.则对角线的长度为( )
A. B. C.2 D.
6．如图,在三棱柱中,E,F分别为棱,的中点.设,,,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量，，若与共线，则( )
A.12 B.9 C. D.
8．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9．如图，在三棱锥中，，，，，E是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
10．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
11．直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
12．如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且,,设,,,则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13．正方体中，________.（用、、表示）
14．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，P为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________.
15．正四面体中，平面PAB与平面ABC所成角余弦值为________.
四、解答题
16．在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．
17．如图,四边形与四边形均为等腰梯形,,,,,,,平面,M为上一点,且,连接、、.
（1）证明:平面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．如图,在四棱锥中,,,,,,点Q为棱上一点.
(1)证明：；
(2)当点Q为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知向量,,且．
(1)求c的值；
(2)若与互相垂直,求实数k的值．
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，F是棱的中点，E在棱上，且平面，平面平面.
(1)求证：E是棱的中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：对于A选项，因为，
所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意；
对于B选项，假设存在实数使得，
则，，无解，
所以，不共线，可以作为平面的基底，故B正确；
对于C选项，因为，
所以，共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意；
对于D选项，因为，
所以，共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意.
故选：B.
2．答案：B
解析：由，故，
即有，解得.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为向量，
且，所以存在实数t，使得，
即，
所以，解得，
所以
故选：C
4．答案：C
解析：以A为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，
则，，，
所以，
所以，
又，所以，
因此直线与直线所成的角为.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题知,
所以,
所以,即.
故选:B.
6．答案：A
解析：.
故选:A
7．答案：C
解析：由向量，共线，
故存在，使得，即，
解得，，所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：
设正方体的棱长为2，以D为原点，
为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D.
9．答案：D
解析：因为E是线段的中点，，
所以
，
故选：D
10．答案：AD
解析：直线l的一个方向向量为，
平面的一个法向量为，
当时，则有，
因此，即，A正确，C错误；
当时，则有，
因此，
则，，，B错误，D正确.
故选：AD
11．答案：BC
解析：由，
可得，直线的斜率为，
则直线的方向向量可表示为，，
当时，可得直线的方向向量为，故B正确，A错误；
当时，可得直线的方向向量为，故C正确，D错误.
故选：BC.
12．答案：BD
解析：由向量的平行四边形法则,得,故A错误;
由向量平行四边形法则和三角形法则,
得
,故B正确;
因为点P在线段AN上,且,所以,
所以,故C错误;
,故D正确.
故选:BD.
13．答案：
解析：在正方体中，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：连接交于O，
在正四棱锥中，可得平面，
以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为底边，侧棱，
则高，
所以，，
可得，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：设正四面体棱长为2，取AB中点O，
连接PO、CO，则，
所以为PAB与ABC二面角，如图：
，，
故答案为：．
16．答案：，作图见解析
解析：在正六棱柱中，
四边形是平行四边形，所以．
同理，，
由正六棱柱性质可知，
所以
，
所以化简结果如下图所示：
17．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）因为平面,又平面,
所以.又,且,
所以平面.因为,所以平面.
（2）作,垂足为N.则.又,
所以四边形平行四边形,又,
所以四边形是矩形,又四边形为等腰梯形,且,,
所以.
由（1）知平面,所以.又,
所以.在中,.
在中,.
由上可知,以,,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,
由,得,可取.
设平面的法向量为,
由,得,可取.
因此,.
依题意可知,平面与平面的夹角的余弦值为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为,,,
所以,所以,
又,且,平面,所以平面,
又平面,所以.
(2)因为,,所以,则.
由(1)可知,,两两垂直,以D为原点,以,,所在直
线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,
当点Q为棱的中点时,,,,.
设平面的一个法向量,
则即令,解得,,故,
设直线与平面所成角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1),
所以,解得：；
(2)当时,
,
,
因为与互相垂直,
所以,解得：,
当时,,
因为与互相垂直,
所以,解得：,
综上：.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取的中点G，连接，，又F是的中点，则且，
由E在棱上，底面为矩形，则，故，
由平面，平面且平面平面，则，
所以为平行四边形，故，所以E是的中点；
（2）平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
显然平面的一个法向量可以为，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
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