考卷Ⅰ 小题·标准练
小题1 “8+3+3”73分练
1.A [解析] 因为A={x∈N|x2<16}={0,1,2,3},B={x|x-2≤0}={x|x≤2},所以A∩B={0,1,2}.故选A.
2.B [解析] 由a1=2a2=2(a1+d),得a1=-2d,又Sm=ma1+d=-2md+d=0,d≠0,所以-2m+=0,解得m=5或m=0(舍去),故选B.
3.D [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知=4,则|AB|=(x1+2)+(x2+2)=2×4+4=12.故选D.
4.B [解析] 对于A,若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或l与α相交,故A错误;对于B,若直线a不平行于平面α且a α,则a与α相交,所以平面α内不存在与a平行的直线,故B正确;对于C,因为a α,b β,α∥β,所以直线a,b平行或异面,故C错误;对于D,因为直线a,b相交,且a∥平面α,所以b∥α或b与α相交,故D错误.故选B.
5.D [解析] 依题意,先排第1名,有种方法,再排第5名,有种方法,最后排余下的名次,有种方法,所以这5名同学的名次排列(无并列名次)方法共有=24(种).故选D.
6.B [解析] 设A(x,y),则=(x,y),由题得=(x,-y),所以B(x,-y),得=(0,-2y),所以+a·=x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆,故选B.
7.C [解析] 因为2tan α=,所以==,
所以sin α+sin αsin β=cos αcos β,所以sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以cos=cos(α+β).因为α,β∈,所以-α∈,α+β∈(0,π),所以-α=α+β,所以2α+β=,所以cos=cos=-.故选C.
8.B [解析] 如图,连接NF1,设NF1与MF2的交点为P,|MF1|=x(x>0),因为=2,所以||=2||=2x,由双曲线的定义可知|MF2|=|MF1|+2a=2a+x,||=2a+||=2x+2a.因为=2,所以NF2∥MF1,所以△NF2P∽△F1MP,则∠F1MF2=∠MF2N=,===2,所以|PF2|=|MF2|=(2a+x),|PN|=|NF1|=(2a+2x).在△PNF2中,
由余弦定理得cos∠PF2N==
=,整理得3x2-10ax=0,得x=a,所以|MF1|=a,|MF2|=a,|F1F2|=2c,在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2==
,得7a=3c,所以双曲线C的离心率e==.故选B.
9.BD [解析] 令f(x)=sin 2x=,得2x=+2k1π或2x=+2k2π,k1,k2∈Z,故x=+k1π或x=+k2π,k1,k2∈Z,故|x1-x2|=nπ,n∈Z或|x1-x2|==,k1,k2,m∈Z,取m=0,得|x1-x2|=,取m=-1,得|x1-x2|=.故选BD.
10.BCD [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R).对于A,z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi,|z|2=()2=a2+b2,故A错误;对于B,= ,又·z=|z|2,所以=,故B正确;对于C,z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,则=a-c-(b-d)i,又=a-bi,=c-di,则-=a-bi-c+di=a-c-(b-d)i,即有=-,故C正确;对于D,===
=
=,====
,故=,故D正确.故选BCD.
11.ABD [解析] 对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,令x=y=0,可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0,令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故y=f(x)是奇函数,故A正确;对于B,令x=y=1,可得f(2)=2f(1)-3×2,又f(1)=1,所以f(2)=2×1-6=-4,又y=f(x)为奇函数,
故f(-2)=-f(2)=4,故B正确;对于C,由题知f(0)=0,又f(1)=-1,所以当x=0时,y=f(0)+0=0,当x=1时,y=f(1)+1=0,故y=f(x)+x3不是增函数,故C错误;对于D,令h(x)=f(x)+x3,在R上任取x1>x2,则h(x1)-h(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1-x2)(++x1x2)=f(x1-x2)+f(x2)-3(x1-x2)x2[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1-x2)(++x1x2)=f(x1-x2)-3x1x2(x1-x2)+(x1-x2)(++x1x2)=f(x1-x2)+(x1-x2)(+-2x1x2)=f(x1-x2)+,因为当x>0时,f(x)+x3>0恒成立,x1-x2>0,所以f(x1-x2)+(x1-x2)3>0,即h(x1)-h(x2)>0,则h(x1)>h(x2),故y=f(x)+x3为增函数,故D正确.故选ABD.
12.e [解析] ∵f(x)=ln x,∴f'(x)=,则f'(x0)=,又f(x0)=ln x0,∴f(x)的图象在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y-ln x0=(x-x0),把(0,0)代入切线方程,可得-ln x0=-1,解得x0=e.
13.24π [π,6π] [解析] 由题意,在三棱锥P-AEF中,AP⊥PE,PE⊥PF,PF⊥PA,PA=4,PE=PF=2,故可将三棱锥补形为长、宽、高分别为2,2,4的长方体,如图所示,则三棱锥P-AEF的外接球即为长方体的外接球,设三棱锥P-AEF的外接球的半径为R,则(2R)2=22+22+42=24,得R=,所以三棱锥P-AEF外接球的表面积S=4πR2=24π.设三棱锥P-AEF的外接球球心为O,EF的中点为O1,连接OM,OO1,O1M,则OO1⊥平面PEF,OO1=2,O1M=1,则OM=.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆,其中最大的截面为过球心O的大圆,此时截面的面积为πR2=π()2=6π,最小的截面是以M为圆心且垂直于OM的圆,此时截面圆的半径r===1,故截面的面积为πr2=π,所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π].
14.2 [解析] 若a≤,则ab≤1,此时min=min,因为a=1+3ab≤4,所以a和+3b中至少有一个小于或等于2,所以min≤2,又当a=2,b=时,a==+3b=2,所以min的最大值为2.若a>,则ab>1,此时min=min,因为=+3<4,所以和+3b中至少有一个小于2,所以min<2.综上,min的最大值为2.
小题2 “8+3+3”73分练
1.A [解析] 因为|1+i|==2,所以由z(1+i)=|1+i|,得z===1-i.故选A.
2.C [解析] 当x<2时,2x<4,因为“ x<2,2x
3.D [解析] 由题易知μ=90,由正态曲线的对称性可知P(X>110)=0.5-P(70≤X≤110)=0.5-0.4=0.1,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为0.1×50 000=5000.故选D.
4.C [解析] 令f(x)=sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,则x=-+,k∈Z.当k=1时,x=;当k=2时,x=π;当k=3时,x=π;当k=4时,x=π.所以f(x)在(0,2π)内共有4个零点.故选C.
5.B [解析] 依题意,a2=2a1=2,当n∈N*且n≥2时,a2n=2a2n-1=2a2n-2+2,所以a2n+2=2(a2n-2+2),可知数列{a2n+2}是以a2+2=4为首项,以2为公比的等比数列,所以a2n+2=2n+1,得a2n=2n+1-2,所以a20=211-2.故选B.
6.A [解析] 根据题意,以圆锥的高为直径的球的半径为1,且球与圆锥底面相切于圆锥的底面圆心.如图,作圆锥PO1的轴截面PAB,设AB的中点为O1,连接PO1,设PO1的中点为O,圆O与PA,PB的交点分别为A1,B1(A1,B1均不与P重合),连接A1B1,设A1B1的中点为O2.由题知PA=PB=,tan∠APO1=,设∠APB=α,则sin α=sin(π-
2∠PAB)=sin 2∠PAB=2sin∠PABcos∠PAB=2××=.设A1O2=r,则2=,得r=,则PO2==,则所求体积V=π××-××=.故选A.
7.C [解析] ①当a<0时,若xa,所以-1a,所以a>.综上,实数a的取值范围是(-1,0)∪.故选C.
8.A [解析] 如图,连接OA,OB,则PA⊥OA,PB⊥OB,设P(x,y),则||=,·=(+)·(+)=||2+·+·+·,由题知·=||·||cos∠AOB=cos∠AOB=cos 2∠POA=2cos2∠POA-1=2×-1=-1,·=·=||·||cos(180°-∠POA)=-||·||cos∠POA=-||·||·=-1,故·=x2+y2-2+-1≥2-3=2-3,当且仅当x2+y2=,即x2+y2=时,等号成立,故当·的值最小时,点P到圆心O的距离为.故选A.
9.ACD [解析] 由题可得=×(9+9.5+10+10.5+11)=10,故A正确.r===≈-0.99,故y与x的线性相关性很强,从而可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系,且y与x负相关,故B错误,C,D正确.故选ACD.
10.BD [解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,又点M(2,)满足|MF|=2|OF|,所以=2×,即3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-(舍去),所以抛物线C:y2=4x,则C的准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A错误;易知点M在抛物线内,过点P作准线x=-1的垂线,垂足为H,连接MH,则|MH|min=3,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以△PMF的周长为|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥|MH|+2≥3+2=5,当且仅当M,P,H三点共线时,△PMF的周长取得最小值5,故B正确;因为kMF==,所以直线MF的倾斜角为,故C错误;过点M作OF的平行线,交抛物线于点P,由解得即P,则|MP|=2-=≠|OF|,所以四边形OPMF不可能是平行四边形,故D正确.故选BD.
11.ABD [解析] 由题可知,两个函数图象都在x轴及其上方,所以函数f(x)是增函数,故虚线部分为y=f'(x)的图象,实线部分为y=f(x)的图象.令g(x)=f(x)·ex,则g'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=[f'(x)+f(x)]·ex>0恒成立,故g(x)=f(x)·ex在R上单调递增,则g(x)没有最值,故A,B中结论均错误.令h(x)=,则h'(x)==,由图可知,当x∈(-∞,0)时,h'(x)=>0,故h(x)=单调递增,当x∈(0,+∞)时,h'(x)=<0,故h(x)=单调递减,所以函数h(x)=在x=0处取得最大值,最大值为=1,故C中结论正确,D中结论错误.故选ABD.
12. [解析] ∵cos=,∴sin=-cos=-cos=1-2cos2=1-2×=.
13.24 [解析] 因为(x+2y)(x-y)6=(x+2y)(x6-x5y+x4y2-x3y3+x2y4-xy5+y6),所以x2y5的系数为-+2=24.
14.{9,12,21} [解析] 由题意设x2-80=y2≥0(x∈N*,y∈N),则(x-y)(x+y)=80,可得040),(4,20),(8,10)三种情况,所以正整数x的取值是=21,=12,=9,即正整数x的取值组成的集合是{9,12,21}.
小题3 “8+3+3”73分练
1.A [解析] 由题知N={y|y>1},又M={x|-2≤x≤2},所以M∪N={x|x≥-2}.故选A.
2.A [解析] 由z(1+i)=i2024得z====-i,故z的虚部为-.故选A.
3.B [解析] 由双曲线的焦距为4可得2c=4,即c=2,又a=1,所以c2=1+b2=4,可得b2=3,即b=,则C的渐近线方程为y=±x=±x.故选B.
4.D [解析] 因为sin 2α===-,所以1+tan2α=-tan α,所以=
×===-4.故选D.
5.D [解析] 因为P(A)=P(AB)+P(A),P(A)=,P(A)=,所以P(AB)=P(A)-P(A)=,又P(A|B)==,所以P(B)==.故选D.
6.B [解析] 因为f(x)为奇函数且满足f(1+x)=f(1-x),所以f[(x+1)+1]=f[1-(x+1)],即f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.因为5=log2327.D [解析] 由an+1=,an≠0,得==2+,则=3+=3·,由题知an+1≠0,则=3,即数列是公比为3的等比数列,所以与的比值为3.故选D.
8.C [解析] 要求出被完全覆盖的最大的圆的半径,由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况,设三个半径为1的圆的圆心分别为O1,O2,O3,被覆盖的圆的圆心为O.如图,设圆O1与圆O2交于A,B两点,连接AB并延长,交圆O3于点C(B在A,C之间),连接O1O2,O2O3,O3O1,设O1O2∩AB=H,显然O为正三角形O1O2O3的中心.连接O1A,OO1,设OO1=OO3=x,则O1H=,OH=,所以HA==,则OA=OH+HA=+=(x+),由得0OA,因此圆O的最大半径为OA.令f(x)=(x+),得f'(x)=,由f'(x)=0,得x=,当00,当9.BC [解析] 如图,连接AB,BC,CA,由题知四边形OACB是平行四边形,=a-b.因为OC平分∠AOB,所以平行四边形OACB是菱形,即|a|=|b|.对于A,a与b不一定垂直,故A错误;对于B,(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,即(a+b)⊥(a-b),故B正确;对于C,a在a+b上的投影向量为(a+b)=(a+b),b在a+b上的投影向量为(a+b)=(a+b)=(a+b),故C正确;对于D,由选项A知,a·b不一定为0,则|a+b|与|a-b|不一定相等,故D错误.故选BC.
10.ACD [解析] 在△ABC中,由余弦定理得BC2=1+42-2×1×4×cos=13,则BC=,由AE平分∠BAC得BE∶EC=BA∶AC=1∶4,则BE=BC=,所以A正确;由S△ABE+S△ACE=S△ABC得×AE×1×sin+×AE×4×sin=×1×4×sin,解得AE=,所以B错误;S△ABE=×AE×1×sin=,所以C正确;如图,在△ABD中,由余弦定理得BD==,由题知∠BPD=,设∠PBD=θ,则∠PDB=-θ,在△BPD中,由正弦定理得====2,所以PB+PD=2sin+sin θ=cos θ+2sin θ=sin(θ+φ)≤,其中tan φ=,当sin(θ+φ)=1时,PB+PD取得最大值,所以D正确.故选ACD.
11.ACD [解析] 由题知平面ABCD⊥平面ABEF, DA⊥AB,所以DA⊥平面ABEF,则DA⊥AF,又四边形ABEF是矩形,所以AB⊥AF,以A为原点AF,AB,AD所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),F(1,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2),C(0,2,2),E(1,2,0),设P(0,m,n),Q(s,t,0),其中0≤m,n,t≤2,0≤s≤1 .对于A,=(s,t-m,-n),则||=,当s=1,t=n=2,m=0时,||==3,故存在点P,Q,使得PQ=3,故A正确;对于B,=(s,t-2,-2),=(-1,m-2,n),假设存在点P,Q,使得CQ∥EP,则存在实数λ,使得=λ,即得由0≤m,n,t≤2,0≤s≤1,sn=2,可得s=1,n=2,此时有m-2=-(t-2),即m+t=4,可得m=t=2,此时Q与E重合,P与C重合,假设不成立,故不存在点P,Q,使得CQ∥EP,故B错误;对于C,由题知点P到直线AD的距离为m,点P到直线EF的距离为,由m=,得m2-n2=1,0≤m,n≤2,故点P的轨迹为双曲线右支的一部分,即满足题意的点P有无数个,故C正确;对于D,=(0,m,n),=(-1,m-2,n),由PA⊥PE,得m(m-2)+n2=0,则n2=1-(m-1)2∈[0,1],由题知三棱锥P-AQE的高为n,又S△AQE≤S矩形ABEF=×1×2=1,故VP-AQE=×S△AQE×n≤×1×1=,故D正确.故选ACD.
12.6 [解析] 由题意知这组数据的极差是57-1=56.由10×30%=3,得这组数据的第30百分位数为,故56=7×,得a=6.
13.-1 [解析] 设椭圆的焦距为2c(c>0),则F(c,0),由题知c=,因为PF⊥x轴,所以xP=c,=2pc=4c2.不妨取P(c,2c),由点P在椭圆+=1(a>b>0)上,得+=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,即e4-6e2+1=0,解得e2=3±2,因为014. [解析] 函数f(x)=eax(a≠0)的导数为f'(x)=a·eax,f(a)=,可得P(a,),故过点P的切线的斜率为a,切线的方程为y-=a(x-a),令y=0,可得x=-+a,即B.在直角三角形PAB中,|AB|=,|AP|=,则△APB的面积S(a)=|AB||AP|=··(a≠0),因为S(-a)=··=S(a),所以函数S(a)为偶函数.不妨取a>0,则S(a)=··,则S'(a)==,当a∈时,S'(a)<0,S(a)单调递减;当a∈时,S'(a)>0,S(a)单调递增.故S(a)的最小值为S=,即△APB面积的最小值为.
小题4 “8+3+3”73分练
1.D [解析] 因为B={x|x3=x}={-1,0,1},所以A∩B={-1,0,1}.故选D.
2.A [解析] 函数y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称,作出函数y=ex,y=ln x在(0,+∞)上的图象,如图所示,数形结合可知,命题p: x∈(0,+∞),ex>ln x为真命题.p的否定: x∈(0,+∞),ex≤ln x.故选A.
3.C [解析] 因为sin 18°=m,所以cos 18°=,则sin 63°=sin(18°+45°)
=(sin 18°+cos 18°)=(m+).故选C.
4.B [解析] 连接BD,由|-|=||,得||=||,又四边形ABCD是菱形,所以△ABD是正三角形,则∠BAD=,·=||||cos=||2,因此在上的投影向量为 =,所以λ=.故选B.
5.C [解析] 因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上也单调递增,f(0)=0,故f(x)是增函数.对于A,不妨令f(x)=x,则y=f(x)+x2=x+x2=-,此时y=f(x)+x2在上单调递减,在上单调递增,故A错误;对于B,不妨令f(x)=x,则y=f(x)-x2=x-x2=
-+,此时y=f(x)-x2在上单调递增,在上单调递减,故B错误;对于C,y=x2f(x)的定义域为R,又(-x)2f(-x)=-x2f(x),所以y=x2f(x)是奇函数,取06.B [解析] 设函数f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)≥f(0)=0,即ex≥x+1.因为S3=≥S4+1,所以S3-S4≥1,即a4≤-1.因为a4=a1q3,a1>1,所以q<0,排除A,C.若q=-1,a1=2,则S3=2,S4=0,不满足S3=,排除D.故选B.
7.B [解析] 由x∈及ω>0,可得ωx-∈,因为f(x)在上的取值范围为[-1,2],且2sin=-1,所以≤ω-≤π+,解得≤ω≤.故选B.
8.D [解析] 设|F1F2|=2c(c>0).如图,因为双曲线E的离心率为,所以c=a,因为|AB|=|AF1|,所以|BF2|=|AB|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a,由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=|BF1|-2a=2a,所以|BF1|=4a=2|BF2|.在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠BF2F1=
=
=-,在△AF1F2中,cos∠F1F2A=-cos∠F1F2B=,设|AF2|=m(m>0),则|AF1|=m+2a,由|AF1|2=|F1F2|2+|AF2|2-2|F1F2||AF2|cos∠F1F2A,得(2a+m)2=(2a)2+m2-2×2a×m×,解得m=a,所以|AF1|=,所以在△BAF1中,cos∠BAF1=
=
=-.故选D.
9.ABC [解析] 由题设得
=
-3,解得a=28.对于A,6×70%=4.2,故甲组数据的第70百分位数为24,A中结论错误;对于B,甲组数据的极差为25-20=5,乙组数据的极差为28-23=5,所以甲、乙两组数据的极差相同,B中结论错误;对于C,乙组数据按从小到大排列为23,24,25,26,27,28,故乙组数据的中位数为=25.5,C中结论错误;对于D,甲组数据的平均数为
=22.5,乙组数据的平均数为=25.5,所以甲组数据的方差为×[(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52]=,乙组数据的方差为×[2.52+(-2.5)2
+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52]=,故两组数据的方差相同,D中结论正确.故选ABC.
10.ACD [解析] 依题意,心形线C过原点O(0,0).对于A,B,由∥,可知O,P1,P2三点共线,则x1x2<0,设直线P1P2的方程为y=tx,由消去y,得(1+t2)x2-|x|+tx=0,不妨设x1>0,x2<0,则x1=,x2=,所以|P1P2|=·|x1-x2|=·=2,|OP1|·|OP2|=···=,当t≠0时,|OP1|·|OP2|≠1,故选项A正确,选项B错误.对于C,D,设点P(x,y)在心形线C上,
∠POx=α,由心形线C的方程可得|OP|2+|OP|sin α=|OP|,即|OP|·(|OP|+sin α-1)=0,当P与O重合时,|OP|=0,当P与O不重合时,|OP|=1-sin α≤2,又x1x2≠0,所以|OP1|+|OP2|<4,故选项C正确.由|OP|=≤2,可知-2≤y≤2,令m=(m≥0),则心形线C的方程可化为m2-m+y=0,又Δ=1-4y≥0,所以-2≤y≤,当y=0时,由m2-m=0,解得m=0或m=1,进而可得x=±1或0;当y=-1时,由m2-m-1=0,得m=,此时=无整数解;当y=-2时,由m2-m-2=0,得m=2,所以x=0.所以C上有4个整点(-1,0),(1,0),(0,0),(0,
-2),故选项D正确.故选ACD.
11.ABC [解析] 对于A,若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x=sin,
f(2)(x)=-sin x=sin(x+π),f(3)(x)=-cos x=sin,f(4)(x)=sin x=sin(x+2π),观察可知f(n)(x)=sin,A正确;对于B,若f(x)=,则f'(x)=-=-x-2,f(2)(x)=(-x-2)'=2x-3=
(-1)2(2!)x-3,f(3)(x)=(2x-3)'=-6x-4=(-1)3(3!)x-4,f(4)(x)=(-6x-4)'=24x-5=(-1)4(4!)x-5,观察可知f(n)(x)=(-1)n(n!)x-(n+1),B正确;对于C,f(x)=ex的n阶导数为f(n)(x)=ex,得T3(x)=f(0)+(x-0)+(x-0)2+(x-0)3=1+x++,C正确;对于D,记g(x)=cos x,则g'(x)=
-sin x,g(2)(x)=-cos x,g(3)(x)=sin x,因为g=,g'=-,g(2)=-,g(3)=,所以g(x)在x=处的3次泰勒多项式为T3(x)=--+,T3(1)=--+=--+≈--+≈0.54,D错误.故选ABC.
12. [解析] f(x)=xln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,则切线l的斜率k=f'(1)=1,又f(1)=ln 1-1=-1,所以切线l的方程为y-(-1)=x-1,即x-y-2=0.圆C的圆心为C(1,0),半径r=3,设圆心C到直线l的距离为d,则d==,则|AB|=2=2=.
13.576 [解析] 符合题意的一种填法如图所示,行交换有=24(种)方法,列交换有=24(种)方法,所以根据分步乘法计数原理得不同的填表方式共有·=24×24=576(种).
1 2 3 4
4 3 1 2
2 1 4 3
3 4 2 1
14.16π [解析] 如图①,设点P在平面ABC内的射影为P',连接PP',P'A,P'C,则∠PAP'为直线PA与平面ABC所成的角,即∠PAP'=α,∠PCP'为直线PC与平面ABC所成的角,即∠PCP'=β,因为β=2α=60°,所以α=30°,P'P=P'C,P'P=P'A,所以3P'C=P'A.如图②,在平面ABC内,以AC所在直线为x轴,线段AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系xOy,因为AB=BC=2,且AB⊥BC,所以AC==
=4,得OB=OA=OC=2,则A(-2,0),B(0,2),C(2,0).令P'(x,y),则3=,化简得+y2=,可知P'在以为圆心,为半径的圆上.因为S△ABC=×2×2=4,所以当P'C最小时,P'P最小,即三棱锥P-ABC的体积最小,易知当P'的坐标为(1,0)时,P'C取得最小值1,此时P'P=,P'A=3,P'C=1,得PA=2,PC=2,因为PA2+PC2=AC2,所以∠APC=90°,又∠ABC=90°,所以此时三棱锥P-ABC的外接球的球心为棱AC的中点,外接球的半径R=AC=2,故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=4π×22=16π.
小题5 “8+3+3”73分练
1.C [解析] 依题意知C={3,4,5},集合C中有3个元素,则其真子集的个数为23-1=7.故选C.
2.A [解析] 复数z=m+(m+1)i(m∈R)在复平面内对应的点为(m,m+1),依题意可得m+1=2m,解得m=1.故选A.
3.A [解析] 由题知f(x)的定义域为R,f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=-f(x),所以f(x)=cos 2x为奇函数,排除B,C;当x∈时,f(x)<0,排除D.故选A.
4.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a1=3,且-3a1,a2,a3成等差数列,得2a2=a3-3a1,即2a1q=a1q2-3a1,即6q=3q2-9,可得q=3,所以Sn==.故选A.
5.A [解析] 因为x>3,且xy+2x-3y=12,所以y==-2+,从而x+y=x-2+=(x-3)++1≥2+1,当且仅当x=+3,y=-2时等号成立,所以x+y的最小值为1+2.故选A.
6.B [解析] 如图,取CD的中点O,AB的中点O1,连接OA,OB,OO1,由AB,CD分别是圆台上、下底面圆的直径,且AB⊥CD,可得AC=AD=BC=BD,则OA⊥CD,OB⊥CD,又OA∩OB=O,所以CD⊥平面AOB,所以VA-BCD=VC-AOB+VD-AOB=S△AOB·CD.设EF为圆O的直径,且EF⊥CD,则EF∥AB,四边形ABFE为等腰梯形,过F作FQ⊥AB于Q,因为EF=2,AB=8,BF=5,所以BQ=4-1=3,得FQ==4,又OO1=FQ=4,OO1⊥AB,所以S△AOB=×8×4=16,所以VA-BCD=×16×2=.故选B.
7.D [解析] 令f(x)=0,得|2x-1|=a,令g(x)=0,得x2-4|x|+2=a,令h(x)=|2x-1|=φ(x)=x2-4|x|+2=则f(x),g(x)的零点个数即为h(x),φ(x)的图象与直线y=a的交点个数,作出h(x)=|2x-1|,φ(x)=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D.
8.C [解析] 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,所以函数f(x)=|sin 2x|+cos 2x=
k∈Z,即f(x)=
k∈Z,作出函数f(x)的图象,如图所示.对于A,由图可知,f(x)在上不单调,故A错误;对于B,由图可知,f(x)的图象无对称中心,故B错误;对于C,f(x)的定义域为R,由f(-x)=|sin(-ωx)|+cos(-ωx)=|sin ωx|+cos ωx=f(x),可知f(x)为偶函数,当x∈时,2x+∈,所以sin∈,所以sin∈[1,],所以f(x)在上的取值范围为[1,],故C正确;对于D,由图可知,f(x)图象的对称轴方程为x=,k∈Z,故D错误.故选C.
9.AB [解析] 对于A,所有项的二项式系数之和为28,则所有奇数项的二项式系数的和为=128,故A正确;对于B,在所有项的二项式系数中,最大的为,则二项式系数最大的项为第5项,故B正确;对于C,的展开式的通项为
Tk+1=(-)k=(-1)k·28-k(0≤k≤8,k∈N),当k-8∈Z时,k可能取的值为0,3,6,所以有理项共有三项,故C错误;对于D,令x=1,则所有项的系数的和为=1,故D错误.故选AB.
10.BCD [解析] 由题可知a=,b=,c==2,所以F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1)
(-≤x1≤且x1≠0),则B(-x1,-y1),P(0,),因为A(x1,y1)在椭圆上,所以=2.对于A,|AB|=2|AO|=2=2=2>2,故A错误;对于B,连接BF2,可知四边形AF1BF2是平行四边形,则|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|=2,故B正确;对于C,因为c>b,所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点,则存在点A,使得AF1⊥AF2,故C正确;对于D,kPA·kPB=·===-,故D正确.故选BCD.
11.AC [解析] 在梯形ABCD中,连接AO,过A作AE⊥DC于E,如图①,由题知AB=BC=AD=2,CD=4,则DE=1,cos∠ADE=,故∠ADE=,得∠DAB=,所以∠ADB=
∠ABD=,则OA⊥BD.又∠BCD=,∠BDC=,所以BC⊥BD,得OA=2sin=1,OB=2cos=,OC==.沿BD将△ABD翻折,则点A的轨迹为圆,且圆面一直和BD垂直,如图②,当A'O⊥OC时,A'C=2,又A'O⊥BD,OC∩BD=O,OC,BD 平面BCD,所以A'O⊥平面BCD,因为A'O 平面A'BD,所以平面A'BD⊥平面BCD,又BC 平面BCD,平面BCD∩平面A'BD=BD,BC⊥BD,所以BC⊥平面A'BD,又A'D 平面A'BD,所以A'D⊥BC,故A正确.如图③,在平面BCD内,过点O作OF⊥BD,交CD于F,连接A'F,因为A'O⊥BD,A'O∩OF=O,所以BD⊥平面A'OF,又BD 平面BCD,所以平面A'OF⊥平面BCD,又平面A'OF∩平面BCD=OF,所以点A'在平面BCD内的射影G在直线OF上,过点G作BD的平行线交直线BC于H,连接A'H,A'G,因为A'G⊥平面BCD,GH⊥BC,所以∠A'HG即为二面角A'-BC-D的平面角,tan∠A'HG=.易知四边形OGHB为矩形,所以GH=OB=,因为A'G≤A'O=1,所以tan∠A'HG=≤=,所以∠A'HG有最大值,且最大值为,故B,D均错误.因为S△BCD不变,所以当三棱锥A'-BCD的高最大时,其体积最大,易知当A'O⊥平面BCD时,三棱锥A'-BCD的高最大,为A'O.如图④,取A'B的中点E,连接OE,CE,则OE∥A'D,故∠COE(或其补角)即为异面直线A'D与CO所成的角,当A'O⊥平面BCD时,由对A选项的分析知BC⊥平面A'BD,又A'B 平面A'BD,所以A'B⊥BC,在△OCE中,OE=A'B=1,OC=,CE===,
所以cos∠COE===>=cos,所以∠COE<,故C正确.故选AC.
12.23 [解析] 样本数据按从小到大排列为14,16,18,20,21,22,24,28,一共有8个数据,8×0.75=6,所以样本数据的75%分位数为×(22+24)=23.
13. [解析] 设a与b的夹角为θ,且θ∈[0,π],|a|==,则b在a上的投影向量为|b|cos θ·=cos θ··a=cos θ··(1,1)=(-2,-2)=-2(1,1),即cos θ·=-2,所以cos θ=-,所以θ=.
14.(1,4) [解析] 设点P(x0,y0),则点P到l1的距离d=,直线PD的方程为y=
-2x+2x0+y0,由解得xD=,所以|OD|=,
所以S平行四边形ODPE=|OD|d=
×=1,所以-=±1,所以点P的轨迹Γ为两个双曲线x2-=1,-x2=1.因为双曲线x2-=1的实半轴长为1,双曲线-x2=1的实半轴长为2,若Γ与圆x2+y2=t(t>0)有四个交点,则1<<2,即1小题6 “8+3+3”73分练
1.C [解析] 由题意得A={0,1,2,3,4},又B={x|x=3k-1,k∈Z},∴A∩B={2}.故选C.
2.D [解析] 因为复数z=(2+3i)(3+2i)=6+4i+9i-6=13i,所以z的实部为0,虚部为13,故A,B均错误;=-13i,||=13,故C错误,D正确.故选D.
3.B [解析] 9x2+4y2=36化为+=1,椭圆的焦点在y轴上,设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),依题意有所以a2=25,b2=20,所求的椭圆方程为+=1.故选B.
4.D [解析] 如图,因为=4,所以=+=+=+(-)=+,又=3,所以=,所以=+=-.故选D.
5.D [解析] 设数列{an}的公比为q,由题得a1≠0,q≠0,因为a2n=,所以a1·q2n-1=
(a1qn-1)2,即a1·q2n-1=q2n-2,化简得a1=q.因为-a2是a1与a3的等差中项,所以-2a2=a1+a3,即-2a1q=a1+a1q2,化简得q2+2q+1=0,解得q=-1,则a1=-1,所以a5=a1·q4=-1×1=-1,故选D.
6.A [解析] 由5cos 2α=sin,得5(cos2α-sin2α)=,
即5(cos α-sin α)(cos α+sin α)=cos α-sin α,因为α∈,所以cos α-sin α<0,
所以cos α+sin α=,结合cos2α+sin2α=1,且cos α<0,sin α>0,得cos α=-,sin α=,
所以tan α==-.故选A.
7.D [解析] 对于A,当x=时,a=+>+=2,c=+=2,此时a>c,故A中命题为真命题;对于B,当x=0时,b=2,c=,此时b>c,故B中命题为真命题;对于C,当x=-时,a=--<0,c=-+=1,此时ac,故D中命题为假命题.故选D.
8.D [解析] 连接PQ,由题意可得PQ⊥平面ABC,且球心O是PQ的中点,设PQ与平面ABC的交点为R,则R为△ABC的中心,连接CR并延长交AB于M,得CM⊥AB,M为AB的中点,连接PM,QM,由题意可得PM⊥AB,MQ⊥AB,所以∠PMC,∠QMC分别为两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角,即∠PMC=α,∠QMC=β,
所以tan α=,tan β=.设球O的半径为r,球心O到平面ABC的距离为m(m≥0),不妨令PR≤QR,则PR=r-m,QR=r+m,设△ABC的边长为a(a>0),则CR=a,由正三角形的性质得MR=RC=a,所以tan α=,tan β=,连接OC,则r2=m2+=m2+a2,所以r≥a,所以tan(α+β)===
=
-<0,所以<α+β<π,故当r=a时,α+β最大,此时tan(α+β)=-.故选D.
9.BD [解析] 将f(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到y=sin=sin=sin=-sin的图象,所以A错误;将f(x)=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin=sin=g(x)的图象,所以B正确;与f(x)的图象关于直线x=对称的图象对应的函数为y=f=sin=sin(π-x)=sin x,所以C错误;与f(x)的图象关于直线x=对称的图象对应的函数为y=f=sin=sin=sin=g(x),所以D正确.故选BD.
10.ABD [解析] 对于A,B,如图①,由题可知,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为正方形,所以S正方形ABCD=36,=4,分别取BC,B1C1的中点E,M,连接ME,则ME为棱台的斜高,因为侧面BCC1B1为等腰梯形,所以ME==2,所以侧面BCC1B1的面积为(2+6)×2×=8,故正四棱台的表面积为36+4+8×4=40+32,故A正确;连接AC,A1C1,分别取AC,A1C1的中点O,O1,连接OO1,过点A1作A1H⊥AC于H,则正四棱台的高为OO1,A1O1=,AO=3,则AH=2,在梯形A1O1OA中,OO1=A1H==2,所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积V=×(4+36+)=,故B正确.对于C,D,如图②,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开且处于同一平面,连接AC1,与A1B1交于点Q,在等腰梯形ABB1A1中,过A1作A1F⊥AB于F,则AF=2,又AA1=4,所以∠A1AF=,得∠ABC=∠ABB1+∠B1BC=,从而得AA1∥BC,又B1C1∥BC,所以AA1∥B1C1,则△AA1Q∽△C1B1Q,所以===2,得A1Q=A1B1=,∠AA1B1=π-∠A1AB=,在△A1AQ中,由余弦定理得cos∠AA1B1==-,可得AQ=,则C1Q=AQ=,所以AC1=AQ+QC1=2,因为P为棱BB1上的动点(含端点),所以A,P,C1三点不能共线,所以AP+PC1>AC1=2,C错误;连接AC,当A,P,C三点共线时,AP+PC最小,由余弦定理得,cos∠ABC==-,可得AC=6,所以AP+PC的最小值为6,故D正确.故选ABD.
11.ABD [解析] 因为f(x)-f(-x)=2x,所以f'(x)+f'(-x)=2,即g(x)+g(-x)=2,令x=0,得g(0)=1,故A正确;对于f(x)-f(-x)=2x,当x≠0时,+=2,所以y=的图象关于点(0,1)对称,故B正确;对于C,假设f(x)+f(2-x)=0,求导得f'(x)-f'(2-x)=0,即g(x)-g(2-x)=0,又g(x)+g(2-x)=0,所以g(x)=0,所以g(0)=0,与g(0)=1矛盾,假设不成立,故C错误;对于D,因为g(x)+g(-x)=2,g(x)+g(2-x)=0,所以g(2-x)-g(-x)=-2,又g(0)=1,所以g(1)=0,g(2)=-1,所以g(n+2)-g(n)=-2,所以数列{g(n)}(n∈N*)的奇数项是以0为首项,-2为公差的等差数列,数列{g(n)}(n∈N*)的偶数项是以-1为首项,-2为公差的等差数列,又g(2)-g(1)=-1,所以数列{g(n)}(n∈N*)是以0为首项,-1为公差的等差数列,所以g(n)=1-n,所以g(k)=,故D正确.故选ABD.
12.0.271 8 [解析] 技术改造前,易知μ1=50,σ1=0.4,则其优品率为P(49.613.2 [解析] 由题可知A,B,C,F四点共线,且=3,如图,过A作AD⊥l于D,过B作BE⊥l于E,则|AD|=|AF|,|BE|=|BF|,所以|AD|=3|BE|,又Rt△ACD∽Rt△BCE,所以==,所以=3,得=2,即=2,故μ=2.
14.5×3n-1 5×32n-1+1 [解析] 因为C1共5项,按规则f对数列C1进行变换,C1中的每一项都变为3项,以此类推,得C1,C2,C3,…,Cn的项数构成首项为5,公比为3的等比数列,所以Cn的项数为5×3n-1.根据变换规则,若数列Cn中,2与0的个数相同,则数列Cn+1中,2与0的个数也相同;若数列Cn中,2比0多n个,则数列Cn+1中,2比0少n个;若数列Cn中,2比0少n个,则数列Cn+1中,2比0多n个.因为数列C1中有5项,其中2个2,3个0,2比0少1个,所以数列C2的15项中,2比0多1个.以此类推,若n为奇数,则数列Cn中,2比0少1个;若n为偶数,则数列Cn中,2比0多1个.所以数列C2n中,2比0多1个,所以S2n=×2=5×32n-1+1.
小题7 “8+3+3”73分练
1.A [解析] z===-i,则|z|==1.故选A.
2.D [解析] 由题意可得A={x|3x2-8x+4<0}=,B={x|lg x≤0}={x|03.B [解析] 对于A,若α∥β,l∥α,m∥β,则l与m可能平行,也可能相交,还可能异面,故A错误;对于B,若l∥m,m⊥β,则l⊥β,又α∥β,所以l⊥α,故B正确;对于C,D,若α⊥β,l∥α,m∥β,则l与m可能平行,也可能相交,还可能异面,故C,D错误.故选B.
4.B [解析] 先从3个不同的公益广告中选2个安排到第一个和最后一个播放,有种方法,然后将3个不同的商业广告排成一排,有种方法,3个不同的商业广告之间有两个空,选择一个将剩下的1个公益广告安排进去即可,所以共有=72(种)不同的播放方式.故选B.
5.B [解析] 设火星的公转周期为T1,椭圆轨道的长半轴长为a1,水星的公转周期为T2,椭圆轨道的长半轴长为a2,则T1≈8T2,且所以=≈8,所以≈4,即a1≈4a2.故选B.
6.C [解析] f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=cos 2ωx+sin 2ωx=2sin(ω<0),∵函数f(x)的最小正周期为π,∴=π,得ω=-1,∴f(x)=2sin=-2sin.对于A,当x=时,f=-2sin=-2≠0,∴f(x)的图象不关于点对称,故A错误;对于B,令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,故B错误;对于C,由B选项知函数f(x)在上单调递减,故f(x)在(0,1)上单调递减,故C正确;对于D,令2x-=kπ+(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),∴f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z),易知直线x=不是函数f(x)图象的对称轴,故D错误.故选C.
7.C [解析] 因为f(x)=sin πx+e3x-3-e3-3x-x+3,所以f(x+1)=sin(πx+π)+e3x+3-3-e3-3x-3-x-1+3=-sin πx+e3x-e-3x-x+2.设g(x)=f(x+1)-2=-sin πx+e3x-e-3x-x,显然g(x)的定义域为R,则g(x-1)=f(x)-2,因为g(-x)=-sin(-πx)+e-3x-e3x+x=-(-sin πx+e3x-e-3x-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,又g'(x)=-πcos πx+3e3x+3e-3x-1≥-πcos πx+2-1=5-πcos πx>0(当且仅当x=0时取等号),所以g(x)在R上单调递增.因为f(x)+f(3-2x)<4,所以[f(x)-2]+[f(3-2x)-2]<0,所以g(x-1)+g(2-2x)<0,即g(x-1)<-g(2-2x)=g(2x-2),所以x-1<2x-2,解得x>1,则满足f(x)+f(3-2x)<4的x的取值范围是(1,+∞).故选C.
8.B [解析] 连接F2M,由点F2关于l的对称点M在线段F1P的延长线上,且
∠F1PF2=60°,得∠F2PM=120°,则∠PF2M=30°.设直线l与x轴的交点为H,因为l的倾斜角为135°,所以∠HF2M=45°,故在△PF1F2中,有∠F1PF2=60°,∠PF2F1=105°,
∠PF1F2=15°,由正弦定理得==,所以=,即=,又sin 15°=sin(45°-30°)=×-×=,
sin 105°=sin(60°+45°)=×+×=,所以离心率e===
=.故选B.
9.BCD [解析] 对于A,将数据从小到大排列为1,1,2,2,3,4,4,5,共有8个数据,因为8×45%=3.6,所以数据的第45百分位数为第4个数据,即为2,所以A不正确.对于B,若数据x1,x2,x3,…,xn的标准差为s,则数据2x1,2x2,2x3,…,2xn的标准差为=2s,所以B正确.对于C,随机变量X服从正态分布N(1,2),若P(X>0)=,则根据正态曲线的对称性,可得P(00)-1=,所以C正确.对于D,随机变量Y服从二项分布B(4,p),若方差D(Y)=,则4p(1-p)=,解得p=或p=.当p=时,可得P(Y=2)=××=;当p=时,可得P(Y=2)=××=.综上可得,P(Y=2)=,所以D正确.故选BCD.
10.ACD [解析] 对于A选项,连接SO,OA,则SO与底面垂直,所以SA与圆锥底面所成的角为∠SAO=30°.因为SA⊥SB,所以△SAB的面积为SA·SB=×SA2=2,可得SA=2,所以该圆锥的高为SO=SA·sin 30°=2×=1,故A正确.对于B选项,该圆锥的底面半径为OA=SA·cos 30°=2×=,故该圆锥的体积V=π×OA2×SO=π×()2×1=π,故B错误.对于C选项,设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ,因为底面圆的周长为2π×OA=2π,所以θ===π,故C正确.对于D选项,取AB的中点E,连接OE,SE,因为SA=SB,E为AB的中点,所以SE⊥AB,同理OE⊥AB,所以二面角S-AB-O的平面角为∠SEO.因为SO⊥平面OAE,OE 平面OAE,所以SO⊥OE.因为SA⊥SB,SA=SB,所以△SAB为等腰直角三角形,则AB===2,所以SE=AB=,所以sin∠SEO===,可得∠SEO=45°,所以二面角S-AB-O的大小为45°,故D正确.故选ACD.
11.ABD [解析] 由f(x)=ax3+x2+cx+(a≠0),得f'(x)=3ax2+2x+c(a≠0),f(x)图象的对称中心为.对于A,因为f(x)有三个不同的零点,所以f(x)有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不同的根,所以Δ=4-12ac>0,得3ac<1,故A正确.对于B,由x1,x2,x3成等差数列及三次函数图象的对称性可知x2=-,所以f(x2)=f==0,又ac<,所以2+a2=9ac<3,所以a2<1,所以a∈(-1,0)∪(0,1),故B正确.对于C,令g(x)=0,得ax3+x2+cx-=0(a≠0),若g(x)恰有两个不同的零点m,n,则m或n必为g(x)的极值点.若m为g(x)的极值点,则方程ax3+x2+cx-=0(a≠0)的三个根为m,m,n,可得2m+n=-;若n为g(x)的极值点,同理可得m+2n=-,故C错误.对于D,若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3,则由根与系数的关系得
所以(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=(t1+t2+t3)2-2(t1t2+t2t3+t3t1),可得++=++,故D正确.故选ABD.
12.-3 [解析] 由题知2a+b=(2,4)+(4,-2)=(6,2),则c·(2a+b)=(1,λ)·(6,2)=6+2λ=0,解得λ=-3.
13.3 [解析] 当n=1时,a1=S1=1-3=-2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-3n-[(n-1)2-3(n-1)]=2n-4,显然a1=-2也满足上式,故an=2n-4,n∈N*,则bn=an·(=(2n-4)·()-2n+4=(2n-4)·3-n+2=.因为是bk+1,bk+2的等差中项,所以bk=bk+1+bk+2,即=+,则2k-4=+,解得k=3.
14. [解析] 如图,分别取A1D1,B1C1的中点E,F,连接DE,EF,CF.由题易知BM⊥CF,BM⊥CD,∵CF∩CD=C,∴BM⊥平面CDEF,又DP⊥BM,∴点P在平面CDEF内.由D1P=1,得点P在以D1为球心,1为半径的球面上,∴动点P的轨迹为平面CDEF与球D1的球面的交线.连接DF,D1F,设点D1到平面DEF的距离为h,平面DEF截球D1所得截面圆的半径为r,则由=,得h·S△DEF=×2××2×1,∵S△DEF=×2×=,∴h=,则r==,∴动点P的轨迹长度为.
小题8 “8+3+3”73分练
1.A [解析] 由x2+2x-3<0,得-32.D [解析] 由题知z==-i,则z在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选D.
3.B [解析] 由X~N(3,22)可知E(X)=3,D(X)=4,又因为Y=(X-3),所以E(Y)=E=E(X)-=-=0,D(Y)=D=D(X)=1,则==.故选B.
4.C [解析] f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,因为x∈(0,π),所以ωx+∈,因为x1,x2是f(x)在区间(0,π)上的两个极值点,不妨设x15.C [解析] 作出圆台的轴截面,如图,设截面的上底与腰的延长线构成的等腰三角形底边上的高为h cm,由相似三角形的性质,得=,解得h=4.设水到达最大容积时水面的半径为r cm,则=,解得r=4,所以水的最大容积V=π(8-3-1)×(42+4×6+62)=(cm3).故选C.
6.B [解析] 由f(x)=ln x-得f'(x)=+,函数f(x)的图象在点(1,-1)处的切线的斜率k=f'(1)=2,切线方程为y+1=2(x-1),即y=2x-3,由题知切线y=2x-3与曲线y=ax2+(a-1)x-2只有一个公共点.当a=0时,由解得
故当a=0时,满足题意;当a≠0时,可得ax2+(a-1)x-2=2x-3有两个相等的实数根,即ax2+(a-3)x+1=0有两个相等的实数根,所以Δ=(a-3)2-4a=0,解得a=1或9.综上可得,a=0,1或9.故选B.
7.C [解析] 如图①,作出平行四边形OACB,连接OC,设a=,b=,则a+b=.在平行四边形OACB中,OA=1,∠OCA=,延长OA至OD,使OA=AD,连接AB,CD,则==a-b.由正弦定理,得△OAC的外接圆的直径2R==2,所以外接圆半径R=1.设外接圆圆心为G,连接OG,DG,如图②,易知∠GOD=,又OG=1,OD=2,所以由余弦定理可得DG==,所以||≤DG+R=+1,故|a-b|的最大值为+1.故选C.
8.B [解析] 设△AF1F2,△BF1F2的内切圆圆心分别为O1,O2,设△AF1F2的内切圆与x轴相切于点H,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a,由圆的切线长定理得|HF1|-|HF2|=2a,所以H的横坐标为a,则点H是双曲线的右顶点.同理可得点H也是△BF1F2的内切圆与x轴的切点.连接O1O2,O1F2,O2F2,则O1O2⊥x轴,设直线AB的倾斜角为θ,则∠O1F2H=,∠O2F2H=,又|F2H|=c-a,所以r1=|O1H|=(c-a)tan,r2=|O2H|=(c-a)tan,所以3(c-a)tan=4(c-a)tan,可得tan=,
所以kAB=tan θ==4,又9.BC [解析] 对于A,由x4+y4=1,令y=0,可得x4=1,解得x=1或x=-1,所以曲线E与x轴只有(1,0)和(-1,0)这2个交点,故A错误;对于B,因为(-x)4+(-y)4=x4+y4=1,所以点(x,y)和点(-x,-y)均在曲线E上,所以曲线E关于原点O对称,故B正确;对于C,因为x4+y4=1,所以|x|≤1且|y|≤1,所以曲线E上的点都在直线x=1,x=-1,y=1,y=-1所围成的矩形内(包含边上的点),所以曲线E上的点都在某个矩形内,故C正确;对于D,因为|x|≤1,且|y|≤1,所以x2≥x4,y2≥y4,所以x2+y2≥x4+y4=1,所以曲线E上的点到原点O的距离d=≥1,故D错误.故选BC.
10.BC [解析] 对于A选项,=2-0.6=2×5.2-0.6=9.8,=1.5+0.4=1.5×6+0.4=9.4,∴>,故A错误;对于B选项,点P到直线lA的距离dA==,点P到直线lB的距离dB==,则dA>dB,故B正确;对于C选项,点P与点(,)间的距离hA==
,点P与点(,)间的距离hB==,∴hA>hB,故C正确;对于D选项,∵r=
,=
,∴=
=
=
=,∴=,则==1,=,则==0.5,∴>,故D错误.故选BC.
11.BC [解析] 用x替换2x,得f(x-1)=f(3-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=
-f(x+2)=f(x),易知函数f(x)的最小正周期为4,故A错误;当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,因为函数f(x)的最小正周期为4,所以函数f(x)在[2024,2025]上单调递增,故B正确;因为f(0)=0,f(1)=1,当x=0时,f(2)=f(0)=0,当x=1时,f(3)=-f(1)=-1,又f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则f(k)=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=1,故C正确;当x∈[0,1]时,f(x)=x,结合f(x)的周期性及其图象的对称性作出函数f(x)的图象,如图所示,作出y=log5|x|的图象,由图知两函数图象共有5个交点,即方程f(x)=log5|x|有5个根,故D错误.故选BC.
12. [解析] 在△ABC中,B+C=60°,所以A=120°,所以==,由正弦定理可得==.
13.-2 [解析] 设点P(x,y),则=(1-x,-y),=(5-x,-y),由·≤4,得(x-1)(x-5)+y2≤4,即(x-3)2+y2≤8,则点P在以点C(3,0)为圆心,2为半径的圆上及其内部.点C(3,0)到直线3x-y+1=0的距离d==>2,所以点P到直线3x-y+1=0的距离的最小值为d-2=-2.
14.573 [解析] 设数列{an}的公差为d(d≠0),因为a2,a5,a14成等比数列,所以a2a14=,即(5-d)(5+11d)=(5+2d)2,解得d=2或d=0(舍去),所以an=5+2(n-3)=2n-1,则a100=199.当2n≤x<2n+1时,[log2x]=n,所以[log2(2n+1)]=[log2(2n+3)]=…=[log2(2n+1-1)]=n,共有2n-1个n,因为27<199<28,所以S100=b1+b2+…+b100=[log21]+[log23]+…+[log2199]=0+20×1+21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+×7=1×20+2×21+3×22+4×23+5×24+6×25+36×7,令T=1×20+2×21+3×22+4×23+5×24+6×25,则2T=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26,两式相减得-T=20+21+22+23+24+25-6×26,则T=5×26+1,所以S100=5×26+1+36×7=573.
小题9 “8+3+3”73分练
1.D [解析] 由题意知z===1+2i,所以=1-2i,所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.
2.B [解析] A={x∈Z|x+1>0}={x∈Z|x>-1},因为A∩B中有2个元素,所以A∩B={0,1},所以1≤a<2.故选B.
3.A [解析] sin=sin=-cos=-.故选A.
4.D [解析] 将甲、乙捆绑看作一个元素,由丙不能在第一个与最后一个发言,知丙的位置有3个,将剩余4个元素全排列有种方法,故不同的安排方法共有3××=144(种).故选D.
5.D [解析] 由a(a+1)>0,得a>0或a<-1.当a>0时,e==>;当a<-1时,双曲线方程为-=1,e==>.综上可得,e>.故选D.
6.A [解析] 如图,连接AC,设AC的中点为O,连接OP,则OP⊥平面ABCD,因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,所以OA=OC=,又PC=2,所以由勾股定理得PO=,故四棱锥的体积为×22×=,四棱锥的表面积为4××22×+22=4+4.设内切球的半径为r,则由等体积法可得(4+4)r=,解得r=,所以内切球的表面积S=(8-4)π.故选A.
7.C [解析] 方法一:如图①,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0).设P(x,y),则=(x,y).因为=(1,0),所以·=x.由题意知,圆O的半径r=.因为点P在劣弧BC(包括端点)上,所以1≤x≤+,所以·的取值范围是.
方法二:如图②,连接AC,CP.易知∠BAC=,设∠PAB=θ,0≤θ≤,则∠PAC=-θ.由已知可得||=1,||=,∠APC=,所以||=||cos∠PAC=cos,所以·=||||cos θ=coscos θ=cos θ=(cos θ+sin θ)cos θ=cos2θ+sin θcos θ=+=+sin.因为0≤θ≤,所以≤2θ+≤,所以≤sin≤1,所以1≤+sin≤,即·的取值范围是.故选C.
8.D [解析] f(x)=ax+bx,a>0且a≠1,b>0且b≠1,f'(x)=axln a+bxln b,令g(x)=f'(x),则g'(x)=ax(ln a)2+bx(ln b)2>0恒成立,故f'(x)=axln a+bxln b在(0,+∞)上单调递增,要使f(x)=ax+bx在(0,+∞)上单调递增,只需f'(0)=ln a+ln b≥0,即只需ab≥1.对于A,令h(x)=x-1-ln x,x>1,则h'(x)=1-=>0在(1,+∞)上恒成立,故h(x)=x-1-ln x在(1,+∞)上单调递增,故h(1.2)>h(1)=0,即0.2>ln 1.2,则ab=5ln 1.2<5×0.2=1,A不符合题意;对于B,ab=
0.2ln 15=<<=ln 2<1,B不符合题意;对于C,令q(x)=(1-x)ex,x∈(0,1),则q'(x)=
-ex+(1-x)ex=-xex<0恒成立,故q(x)=(1-x)ex在(0,1)上单调递减,故q(0.2)φ(5),即=>,因为=0.36>,所以>,所以e1.8>5,所以0.2e1.8>1,即ab=0.2e1.8>1,D符合题意.故选D.
9.AD [解析] 对于A,因为<,ab>0,所以<,可得a>b,故A选项正确;对于B,取a=1,b=2,此时满足|a-2|>|b-2|,但aa-b可得a2b+b>ab2+a,则b(a2+1)>a(b2+1),因为a,b>0,所以>,即a+>b+,又函数y=x+在(0,+∞)上不单调,所以不能得到a>b,故C选项错误;对于D,由ln(a2+1)>ln(b2+1)可知a2>b2,因为a,b>0,所以a>b,故D选项正确.故选AD.
10.ACD [解析] 依题意,f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin,由f=2,得2ω·+=2kπ+,k∈Z,解得ω=3k+,k∈Z,又0<ω<1,所以ω=,则f(x)=2sin.f(x)的最小正周期为2π,A正确;y=f=2sin=2cos 2x是偶函数,B错误;y=fcos x=2sincos x,令g(x)=2sincos x,则g=2sincos=2cos xcos=2sincos x=g(x),则y=fcos x的图象关于直线x=对称,C正确;f(tx)=2sin,t>0,当x∈[0,π]时,tx+∈,依题意知2π≤tπ+<3π,解得t∈,D正确.故选ACD.
11.ABD [解析] 对于A选项,可以得到an=故Sn=1或0,令M=2,则对任意n∈N*,都有|Sn|0,取m=[2M]([2M]是不超过2M的最大整数),存在n=2m,使得|Sn|≥+1>M,B正确;对于C选项,下面证sin x≥x,x∈,令f(x)=sin x-x,x∈,则f'(x)=cos x-在上单调递减,因为f'(0)=1->0,f'=cos-=-<0,所以存在x0∈,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,故f(x)=sin x-x在(0,x0)上单调递增,在上单调递减,又f(0)=f=0,故f(x)≥0在上恒成立,即sin x≥x,x∈,令0<<,则有sin≥·,又由B选项可知,当an=时,对任意M>0,存在n∈N*,使得|Sn|>M,同理当an=·时,对任意M>0,存在n∈N*,使得|Sn|>M,故当an=sin时,对任意M>0,存在n∈N*,使得|Sn|>M,C错误;对于D选项,若对任意n∈N*,存在M1>0,使得|Sn|0,使得|an|12. [解析] 设甲获得冠军为事件A,比赛共进行了三局为事件B,则P(A)=×+××+××=,P(AB)=××+××=,所以P(B|A)===.
13. [解析] 设线段AF2的中垂线与AF2相交于点M,由椭圆方程+=1可知a=3,b=,所以c=2.连接AF1,由已知得|AF1|=|F1F2|=2c=4,又点A在椭圆上,所以根据椭圆的定义有|AF1|+|AF2|=2a=6,所以|AF2|=2,所以|AM|=|MF2|=1.在Rt△F1F2M中,
cos∠F1F2M==,又∠F1F2M+∠F1F2B=π,所以cos∠F1F2B=-.连接F1B,因为点B在椭圆上,所以根据椭圆的定义有|BF1|+|BF2|=2a=6,设|BF2|=m,则|BF1|=6-m,|F1F2|=4,在△F1F2B中,由余弦定理得cos∠F1F2B===-,解得m=,即|BF2|=.
14.6 27 [解析] 该组合体一共有24个面,每一个面都是全等的边长为1的等边三角形,则其表面积为24××1×1×sin=6.该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球,用一个正四面体来研究.如图,在正四面体ABCD中,E是△BCD的中心,F是外接球的球心,连接AE,DE,DF,则F在AE上,2DEcos=DC,可得DE=,则AE==.设外接球的半径为R,则AF=DF=R,又AF+EF=AE,DF2=EF2+DE2,所以R=.两正交四面体公共部分一共有8个面,且每一个面都是全等的边长为1的等边三角形,则其表面积为8××1×1×sin=2,大正四面体的体积为××2×2×sin×=,则每个小正四面体的体积为×=,则公共部分的体积为-4×=,设其内切球的半径为r,则公共部分的体积也可表示为×2r=,解得r=,故所求比值为=27.
小题10 “8+3+3”73分练
1.D [解析] 根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知,命题“ x∈R,ex-x-1≥0”的否定是“ x∈R,ex-x-1<0”.故选D.
2.A [解析] 由题意可得
解得3.C [解析] 根据频率分布条形图可知n1=4,n2=5,即n14.C [解析] 对于A,由α∥β,l⊥α可得l⊥β,又m⊥β,所以l∥m,即“l∥m”是“α∥β”的必要条件,故A错误;对于B,由m⊥β,l⊥m可得l β或l∥β,当l β时,由l⊥α,可得α⊥β,当l∥β时,经过l和平面β内一点可确定平面γ,设γ∩β=l',则l∥l',由l⊥α可得l'⊥α,同理可得α⊥β,即“l⊥m”是“α⊥β”的充分条件,故B错误;对于C,假设α,β没有公共点,则α∥β,又由l⊥α,m⊥β可得l∥m,这与l,m异面矛盾,故假设不成立,故C正确;对于D,由α,β有公共点,可得α,β相交,又l⊥α,m⊥β,所以l,m相交或异面,故D错误.故选C.
5.D [解析] 由题意可得an+1-an=a1+2n,则可得a2-a1=a1+2,a3-a2=a1+4,…,a10-a9=a1+18,将以上各式相加,得a10-a1=9a1+=9a1+90,即a10=10a1+90,又a10=130,所以a1=4.故选D.
6.D [解析] 根据题意,设小球半径为R,因为小球与四棱台的每个面都相切,所以四棱台的体积等于以球心为顶点,以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和,这六个四棱锥的高都是球的半径R,该四棱台的高是2R,则该四棱台的体积V=(S1+S2+S)=(S1+S2+),变形可得S=S1+S2+2=(+)2,则有=+.故选D.
7.C [解析] 因为ω>0,且x∈[0,2π],所以ωx+∈,由题意可得4π≤2πω+<5π,解得≤ω<,又因为直线x=为函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以ω+=kπ+,k∈Z,解得ω=6k+2,k∈Z,所以k=0,ω=2,则f(x)=sin,所以f=sin=sin=.故选C.
8.C [解析] 设直线y=x与函数y=ln(x+a)+b的图象相切于点Q(x0,y0),则所以ln(x0+a)+b=x0,又[ln(x+a)+b]'=,所以=1,即x0+a=1,所以ln 1+b=x0,即b=x0,所以a+b=1,所以ea+b=ea-a+1.令f(x)=ex-x+1,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.所以当x=0时,f(x)取得最小值f(0)=2,所以ea+b的最小值为2.故选C.
9.BC [解析] 对于A,取a=(1,1),b=(-1,-1),满足a b,取μ=-1,λ=2,则-a=(-1,-1),2b=(-2,-2),满足μa λb,但μ<λ,A错误;对于B,因为2022<2023,2024≤2025,所以a b,B正确;对于C,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x0,y0),由a b,得x1≥x2且y1>y2,则x1+x0≥x2+x0且y1+y0>y2+y0,所以(a+c) (b+c),C正确;对于D,根据a b,取向量a=(-2,-2),b=(-1,-1),c=(-1,-1),则a·c=4,b·c=2,则a·c>b·c,D错误.故选BC.
10.AC [解析] 对于A,S△ABD=×1×1×=,所以该几何体的表面积为6×=,故A正确.对于B,如图所示,设点D在平面ABC内的射影为O,连接DO,AO,延长AO交BC于M,则M为BC的中点,AO=AM=×1×=,又因为AD=1,所以正三棱锥D-ABC的高为DO===,所以该几何体的体积为2×××=,故B错误.对于C,由B选项可知DO⊥平面ABC,由对称性可知D,O,E三点共线,连接DE,则DE⊥平面ABC,又DE 平面ADE,所以平面ADE⊥平面ABC,故C正确.对于D,以O为坐标原点,OM,OD所在直线分别为y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AO=,所以OM=-=,则B,C,E,所以=(-1,0,0),
=.设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则有
取z=1,可得y=-2,x=0,所以n=(0,-2,1).因为A,D,所以=,又·n=-+=-≠0,所以直线AD与平面BCE不平行,故D错误.故选AC.
11.ACD [解析] 对于A选项,X1的可能取值为5,7,且P(X1=7)=P(X1=5)=,故E(X1)=5×+7×=6,A正确.对于B选项,X2=12,即2次旋转中,1次按顺时针方向旋转,1次按逆时针方向旋转,故P(X2=12)=××=,B错误.对于C选项,X7=7,即7次旋转后,顺时针走了210°或逆时针走了150°,设硬币正面朝上的次数为x,则反面朝上的次数为7-x,由150°(7-x)-150°x=150°,解得x=3,故P(X7=7)=××=,C正确.对于D选项,若硬币8次均正面朝上,此时X8=4,故P(X8=4)=×=,若硬币7次正面朝上,1次反面朝上,此时X8=6,故P(X8=6)=××=,若硬币6次正面朝上,2次反面朝上,此时X8=8,故P(X8=8)=××=,若硬币5次正面朝上,3次反面朝上,此时X8=10,故P(X8=10)=××=,若硬币4次正面朝上,4次反面朝上,此时X8=12,故P(X8=12)=××=,若硬币3次正面朝上,5次反面朝上,此时X8=2,故P(X8=2)=××=,若硬币2次正面朝上,6次反面朝上,此时X8=4,故P(X8=4)=××=,若硬币1次正面朝上,7次反面朝上,此时X8=6,故P(X8=6)=××=,若硬币8次均反面朝上,此时X8=8,故P(X8=8)=×=,故E(X8)=4×+6×+8×+10×+12×+2×+4×+6×+8×=>6,D正确.故选ACD.
12.1-i [解析] 设z=a+bi,a,b∈R,则=a-bi,因为z·=2(z+)=4,所以解得
或又因为z在复平面内对应的点不在第一象限,所以b≤0,可知所以z=1-i.
13. +=1 [解析] 因为=+m,F,A,B三点共线,所以m+=1,即m=,所以=+,即-=(-),可得=,所以=,于是=2,即a+c=2(a-c),则=,即e=.因为P为椭圆C上一点,所以+=1,即+=1,由=,得a2=9c2,所以b2=8c2,所以+=1,解得c2=1,则故椭圆C的方程为+=1.
14. [解析] 由c+2cos C=2b可得c+2×=2b,即b2+c2-a2=bc,所以cos A=,则A=.连接OB,OC,由正弦定理可得圆O的半径为×=1,即||=||=||=1.根据余弦定理可知cos∠BOC===-,则∠BOC=,又=m+n=m(-)+n(-)=m+n+(m+n),所以(1-m-n)=m+n,所以(1-m-n)2||2=m2||2+n2||2+2mn||||cos∠BOC,所以(1-m-n)2=m2+n2-mn,整理可得3mn=2m+2n-1,又mn≤,所以2(m+n)-1≤(m+n)2,解得m+n≤或m+n≥2.当m+n≥2时,点O在△ABC外部,且∠BOC+A=π,所以B,O,C,A四点共圆,不满足题意,舍去,所以m+n≤,故m+n的最大值为.
小题11 “8+3+3”73分练
1.C [解析] 由题意,当x=1时,z=xy=1,当x=2,y=2时,z=xy=4,当x=2,y=4时,z=xy=16,故C中有3个元素,故选C.
2.B [解析] 由题意得参考的总人数为500+800+700=2000,故三所学校高三年级参考学生数学成绩的总样本平均数为×92+×105+×100=100.故选B.
3.C [解析] 由a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),得a3=a2-a1=-1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-1,a6=a5-a4=1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=1,…,则{an}是以6为周期的周期数列,所以a2024=a337×6+2=a2=1.故选C.
4.D [解析] 由a=(1,2),得|a|=.由(b-2a)⊥a,得(b-2a)·a=0,则a·b=2a2=10.由|b-2a|=4,得(b-2a)2=16,即b2+4a2-4a·b=16,即b2+4×5-4×10=16,所以|b|=6.故选D.
5.A [解析] 因为点M到点A,B的距离相等,所以动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面α的交线.如图所示,取AB的中点C,连接CM,可得CM⊥AB,则AM=.因为直线AB与平面α所成的角为45°,所以∠MAC的最小值为45°,故cos∠MAC的最大值为cos 45°,所以线段AM的长度的最小值为==4.故选A.
6.D [解析] a=log23=log2=1+log2=1+,b=log812=log8=1+log8=1+,c
=lg 15=lg=1+lg=1+,∵0b>c.故选D.
7.D [解析] 设P(x,y),∵·=3a2,∴(x+a)(x-a)+y2=3a2,即x2+y2=4a2,∴点P在圆x2+y2=4a2上,该圆的圆心为(0,0),半径r1=2a.又点P在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=a2上,该圆的圆心为(a-1,a+2),半径r2=a,故两圆有公共点,可得|r2-r1|≤≤r1+r2,整理可得又a>0,所以a≥1.故选D.
8.A [解析] 由c2-a2=ab,得c2=a2+ab.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以a2+ab=a2+b2-2abcos C,所以a=b-2acos C.由正弦定理得sin A=sin B-2sin Acos C,
即sin A=sin(A+C)-2sin Acos C,即sin A=sin Ccos A-cos Csin A=sin(C-A),所以A=C-A或A+C-A=π(舍去),故C=2A.因为C=2A,所以B=π-3A.由正弦定理得=,即==,可得b==
=
=,所以S△ABC=bcsin A==3tan A-4tan Asin2A=3tan A-=3tan A-=.因为π-3A>0,所以A<,所以0.令f'(x)>0,得x4+6x2-3<0,可得0此时cos C=cos 2A=cos2A-sin2A===
=.故选A.
9.AD [解析] 对于A,4个北方城市的环比数据的极差为99.7-99.5=0.2,4个南方城市的环比数据的极差为99.6-99.3=0.3,所以4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差,故A正确;对于B,4个北方城市的环比数据的均值为=99.6,4个南方城市的环比数据的均值为=99.5,所以4个北方城市的环比数据的均值大于4个南方城市的环比数据的均值,故B错误;对于C,4个北方城市的环比数据的方差为×[(99.5-99.6)2+(99.6-99.6)2+(99.6-99.6)2+(99.7-99.6)2]=0.005,4个南方城市的环比数据的方差为×[(99.5-99.5)2+(99.3-99.5)2+(99.6-99.5)2+(99.6-99.5)2]=0.015,所以4个北方城市的环比数据的方差小于4个南方城市的环比数据的方差,故C错误;对于D,4个北方城市的环比数据的中位数为=99.6,4个南方城市的环比数据的中位数为=99.55,所以4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数,故D正确.故选AD.
10.ACD [解析] 因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点在直线l:x+y-1=0上,所以+0-1=0,解得p=2,A选项正确.设A,B,将抛物线C:y2=4x的方程与直线l:x+y-1=0的方程联立,得y2=4(1-y),即y2+4y-4=0,由根与系数的关系得y1+y2=-4,y1y2=-4,所以·=+y1y2=-4=-3,B选项错误.因为直线AB的斜率为-1,所以|AB|=|y1-y2|==×=8,C选项正确.设点D的坐标为(4t2,4t),点D到直线AB的距离为d,则△ABD的面积S=·|AB|·d=4d,所以当△ABD的面积为4时,d=.直线AB的方程是x+y-1=0,由点到直线的距离公式知,点D到直线AB的距离d==,令d=,得|4t2+4t-1|=2,即(4t2+4t-1)2-4=0.由(4t2+4t-1)2-4=(4t2+4t-3)(4t2+4t+1)=(2t+1)2[(2t+1)2-4]=(2t+1)2(2t-1)(2t+3)=16=0,解得t=-或或-,所以有且仅有3个点D,使得△ABD的面积为4,D选项正确.故选ACD.
11.BCD [解析] 由f(x-1)+f(x+1)=f(-2),得f(x+1)+f(x+3)=f(-2),则f(x-1)=f(x+3),即f(x)=f(x+4),故f(x)是以4为周期的周期函数,C正确;令x=-1,得f(-2)+f(0)=f(-2),则f(0)=0,故f(2024)=f(0)=0,A错误;由f(2x+6)=f(-2x),得f(x+6)=f(-x),则f(-x)=f(x+6)=
f[(x-12)+6]=f(x-6),可得f(-3-x)=f(-3+x),故f(x)的图象关于直线x=-3对称,B正确;由f(x+6)=f(-x),得f(x+3)=f(3-x),故f(x)的图象关于直线x=3对称,所以直线x=-3+4n(n∈Z)及x=3+4n(n∈Z)均为f(x)的图象的对称轴,所以f(-2)=f(0)=0,f=f=1,在f(x-1)+f(x+1)=f(-2)=0中,令x=,得f+f=0,即f=-f=-1,则f=f=f=-1,故(-1)kkf=-f+2f-3f+4f-…-2025f=(1-2-3+4)+…+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,D正确.故选BCD.
12. [解析] 因为|3+4i|==5,(1-3i)·z=|3+4i|,所以z===+i,所以复数z的虚部为.
13. 1 [解析] 设圆锥MM'的底面半径为r,球O的半径为R,因为圆锥MM'的轴截面为正三角形,所以圆锥MM'的高h=r,母线长l=2r.由题可知h=2R,所以球O的半径R=r,所以圆锥MM'的体积V1=×(π×r2)×r=πr3,球O的体积V2=πR3=π×=πr3,所以==.圆锥MM'的表面积S1=πrl+πr2=3πr2,球O的表面积S2=4πR2=4π×=3πr2,所以==1.
14. [解析] 因为a>0,所以y=ax+b在[t,t+1](t>0)上单调递增,又y=log2x在[t,t+1](t>0)上单调递增,所以y=log2x+ax+b在[t,t+1](t>0)上单调递增.因为f(x)=|log2x+ax+b|在区间[t,t+1](t>0)上的最大值为Mt(a,b),所以Mt(a,b)=f(t)或Mt(a,b)=f(t+1).由题意可知f(t)≥+1或f(t+1)≥+1,则只需-(log2t+at+b)≥+1或log2(t+1)+a(t+1)+b≥+1,
整理得b≤-log2t-at--1或b≥-log2(t+1)-at-+1,即关于b的不等式b≤-log2t-at--1或
b≥-log2(t+1)-at-+1的解集为R,可知-log2(t+1)-at-+1≤-log2t-at--1,整理得log2(t+1)-log2t=log2≥2,则1+≥4,又因为t>0,所以0小题12 “8+3+3”73分练
1.A [解析] 由3x<9解得x<2,所以A=(1,2),B=(-∞,2),所以A B,A∪B=B.故选A.
2.B [解析] 以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,由=可得P为BC的中点,所以P(2,1),易知A(0,0),D(0,2),B(2,0),可得=(2,1),=(-2,2),所以·=2×(-2)+1×2=-2.故选B.
3.A [解析] 如图,从8个顶点中任取3个连接构成三角形包含的样本点有=56(个),其中能构成正三角形包含的样本点有△ACD1,△BDC1,△ACB1,△BDA1,△A1C1B,△B1D1A,△B1D1C,△A1C1D,共8个,故所求概率为=,故选A.
4.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q,q>0,因为-a3,a2,a4成等差数列,
所以2a2=-a3+a4,所以2q=-q2+q3,解得q=2(负值舍去),所以S2024==22024-1,a2024=a1q2023=22023,则S2024=2a2024-1.故选A.
5.C [解析] 梯形ABCD旋转一周形成圆台,且圆台的上底面半径r1=1,下底面半径r2=3,由圆O和梯形ABCD相切可得,AD=r1+r2=1+3=4,所以圆台的高h==2.圆O旋转一周形成球,则球的半径r===,所以圆台的体积V1=h(++r1·r2)=,球的体积V2=r3=4π,所以=.故选C.
6.D [解析] 根据题意,若函数f(x)具有性质P1,则f(x)的图象在过点(1,f(1))的直线的上方,且这样的直线只有一条.对于A,f(x)=|x-1|的图象,以及过点(1,0)的直线,如图①所示,数形结合可知,过点(1,0)的直线有无数条都满足题意,故A错误;对于B,f(x)=lg x的图象,以及过点(1,0)的直线,如图②所示,数形结合可知,不存在过点(1,0)的直线,使得f(x)的图象在该直线的上方,故B错误;对于C,f(x)=x3的图象,以及过点(1,1)的直线,如图③所示,数形结合可知,不存在过点(1,1)的直线,使得f(x)的图象在该直线的上方,故C错误;对于D,f(x)=-sinx的图象,以及过点(1,-1)的直线,如图④所示,数形结合可知,存在唯一的一条过点(1,-1)的直线y=-1,即k=0,满足题意,故D正确.故选D.
7.C [解析] 如图,由题意知,双曲线的一条渐近线方程为y=-x,则由
解得所以P,由三角函数的定义知sin∠POF=,cos∠POF=-,又tan∠FPO=,且显然∠FPO为锐角,sin2∠FPO+cos2∠FPO=1,所以cos∠FPO=,
sin∠FPO=,则sin∠PFO=sin(∠OPF+∠POF)=×+×=.在△POF中,由正弦定理可得=,即=,化简得=2,所以C的离心率e===3.故选C.
8.C [解析] 因为f(x)=ekx+1,所以kf(x)=k(ekx+1),
由kf(x)≥g(x)得k(ekx+1)≥ln x(x>0),即kx(ekx+1)≥(1+x)ln x(x>0),
即ln ekx·(ekx+1)≥(1+x)ln x(x>0),构造函数h(x)=(1+x)ln x(x>0),
则ln ekx·(ekx+1)≥(1+x)ln x(x>0)可化为h(ekx)≥h(x)(x>0).h'(x)=ln x++1(x>0),
令t(x)=ln x++1(x>0),则t'(x)=-=(x>0),令t'(x)=0,解得x=1,所以当x∈(0,1)时,t'(x)<0,t(x)在(0,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,t'(x)>0,t(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,t(x)取得最小值,即t(x)min=t(1)=2>0,所以t(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.因为h(ekx)≥h(x)(x>0),所以ekx≥x(x>0),即kx≥ln x(x>0),所以k≥(x>0),令m(x)=(x>0),则m'(x)=(x>0),令m'(x)=0,即1-ln x=0,解得x=e,所以当x∈(0,e)时,m'(x)>0,m(x)在(0,e)上单调递增,当x∈(e,+∞)时,m'(x)<0,m(x)在(e,+∞)上单调递减,所以当x=e时,m(x)取得最大值,即m(x)max=m(e)=,所以m(x)≤,所以k≥.故选C.
9.ACD [解析] 对于A,z=+i,则=-i,所以||==1,故A正确;对于B,z·==-=1,z2==+i2+2××i=+i,所以z·≠z2,故B错误;对于C,z3=z2·z==i,故C正确;对于D,z2024=z2·z2022=z2·(z3)674=z2·i674=z2·(i2)337=-z2,所以z2+z2024=0,故D正确.故选ACD.
10.ABD [解析] 如图①,当λ=0时,P与A1重合,则三棱锥A-PBD为正三棱锥,BD=3,设A在平面PBD内的射影为O,则O为△PBD的中心,连接OA,OB,则OB==,所以AO==,即当λ=0时,点A到平面PBD的距离为,故A正确;如图②,连接AC,A1C1,由正方体的性质可得BD⊥平面ACC1A1,因为AE 平面ACC1A1,所以BD⊥AE,设F为BB1的中点,连接EF,AF,则EF⊥平面ABB1A1,因为BP 平面ABB1A1,所以EF⊥BP,当λ=时,P为A1B1的中点,则△ABF≌
△BB1P,所以∠FAB=∠PBB1,又∠ABP+∠PBB1=,所以∠ABP+∠FAB=,所以AF⊥BP,又AF∩EF=F,AF,EF 平面AEF,所以BP⊥平面AEF,又AE 平面AEF,所以BP⊥AE,又BD∩BP=B,BD,BP 平面PBD,所以AE⊥平面PBD,故B正确;如图③,当P运动时,P到平面ABD的距离保持不变为3,又S△ABD=×3×3=,所以VA-PBD=VP-ABD=×3×=,所以三棱锥A-PBD的体积为定值,故C错误;由C可知,三棱锥A-PBD的体积为定值,设点A到平面PBD的距离为d,AB与平面PBD所成的角为θ,则d==,显然当λ=0时,△PBD的面积最大为×=,则dmin==,此时AB与平面PBD所成角的正弦值为sin θ==,当λ=1时,△PBD的面积最小为×3×3=,则dmax==,此时AB与平面PBD所成角的正弦值为sin θ===,所以AB与平面PBD所成角的正弦值的取值范围是,故D正确.故选ABD.
11.BC [解析] 根据题意,小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是,所以p1=,p2=×+=,故选项A错误.当n≥3时,前进几步是由两部分组成的,即先前进n-1步,再前进1步,其概率为pn-1,或者先前进n-2步,再前进2步,其概率为pn-2,所以pn=pn-1+pn-2(n≥3),故选项B正确.因为pn=pn-1+pn-2(n≥3),
所以2pn+pn-1=2pn-1+pn-2(n≥3),而2p2+p1=2×+=2,所以2pn+pn-1=2(n≥2),
即pn=1-pn-1(n≥2),故选项C正确.因为当n≥2时,pn=1-pn-1,所以pn-=-,
又p1-=-=-,所以数列是首项为-,公比为-的等比数列,所以pn-=-×,所以pn=-×.当n为奇数时,n-1为偶数,则pn=-×,此时数列{pn}是递增数列,所以pn<;当n为偶数时,n-1为奇数,则pn=+×,此时数列{pn}是递减数列,所以pn≤p2=.综上,当n=2时,概率最大,即小郡一共前进2步的概率最大,故选项D错误.故选BC.
12.- [解析] cos=cos=sin=-.
13.17 [解析] 令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=-1,
又(1-2x)9展开式的通项为Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr(0≤r≤9且r∈N),
所以a1=(-2)1×=-18,所以a0+ai=-1-(-18)=17.
14. [解析] 连接F2M,设M(x1,y1),N(x2,y2),因为F1(-c,0),F2(c,0),所以由F1M∥F2N,|F1M|=2|F2N|,即=2,得
即①,又·+=,所以(x2+c)(x2-x1)+y2(y2-y1)+=4c2,将①式代入得,(x2+c)(3c-x2)-+=4c2,即(x2+c)(x2-3c)++4c2=,配方整理得(x2-c)2+=,所以=,即|F2N|=,则|F1M|=,又由|F1N|+|F2N|=2a,|F1M|+|F2M|=2a,得|F1N|=,|F2M|=.因为F1M∥F2N,所以∠MF1F2+∠NF2F1=π,
所以cos∠MF1F2+cos∠NF2F1=0.根据余弦定理,得cos∠MF1F2==
=,
cos∠NF2F1==
=,所以+=0,解得9c2=5a2,所以e==.
考卷Ⅱ 解答·标准练
解答1 “15~17题” 43分练
15.解:(1)因为a2cos B+abcos A=2c,所以a(acos B+bcos A)=2c, 1分
由正弦定理得a(sin Acos B+sin Bcos A)=2sin C, 2分
所以asin (A+B)=2sin C. 3分
因为A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin C, 4分
故asin C=2sin C,
又sin C>0,所以a=2. 6分
(2)由(1)及已知,有cos A===-, 7分
可得b2+c2+bc=4, 8分
又a+b+c=2+,所以b+c=,
9分
所以(b+c)2-bc=5-bc=4,得bc=1,
11分
故S△ABC=bcsin A=. 13分
16.解:(1)由题可得,甲赢得比赛有以下三种情况:
前三局甲获胜,概率为P1==; 2分
比赛四局,甲前三局中胜两局负一局,第四局甲胜,概率为P2=×××=; 3分
比赛五局,甲前四局中胜两局负两局,第五局甲胜,概率为P3=×××=. 5分
所以甲赢得比赛的概率P=++=. 7分
(2)设两人的比赛局数为X,则随机变量X的可能取值为3,4,5, 9分
则P(X=3)=+=,
10分
P(X=4)=×××+×××=, 11分
P(X=5)=1-P(X=4)-P(X=3)=1--=, 12分
则E(X)=3×+4×+5×=. 15分
17.解:(1)证明:如图①,取AA1的中点M,连接MP,MB.
在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1ADD1是梯形,A1D1=2,AD=4,又点M,P分别是棱A1A,D1D的中点,
所以MP∥AD,且MP==3. 2分
在正方形ABCD中,BC∥AD,BC=4,又BQ=3QC,所以BQ=3,
可得MP∥BQ且MP=BQ,所以四边形BMPQ是平行四边形,所以PQ∥MB. 4分
因为MB 平面ABB1A1,PQ 平面ABB1A1,所以PQ∥平面ABB1A1.
6分
(2)方法一:在平面AA1D1D中,过A1作A1O⊥AD于O.
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,A1O⊥AD,A1O 平面AA1D1D,所以A1O⊥平面ABCD. 7分
在正方形ABCD中,过O作AB的平行线交BC于点N,则ON⊥OD.
以O为原点,ON,OD,OA1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系.
因为四边形AA1D1D是等腰梯形,A1D1=2,AD=4,所以AO=1,
又A1A=D1D=,所以A1O=4.
易得B(4,-1,0),D(0,3,0),C(4,3,0),D1(0,2,4),则P,所以=(4,0,0),=,=(0,-4,0). 9分
设=λ=(0,-4λ,0)(0≤λ≤1),则=+=(4,-4λ,0).
设平面PDQ的法向量为m=(x,y,z),由得
令z=1,得m=(4λ,4,1), 11分
易知平面DCQ的一个法向量为n=(0,0,1). 12分
设二面角P-QD-C的平面角为θ,由题意得|cos θ|==.
又|cos θ|=|cos|==,
所以=,解得λ=或λ=-(舍),此时CQ=×4=3,BQ=1. 14分
所以当二面角P-QD-C的正弦值为时,线段BQ的长为1. 15分
方法二:在平面AA1D1D中,过A1作A1O⊥AD于O.
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,A1O⊥AD,A1O 平面AA1D1D,所以A1O⊥平面ABCD. 7分
在正方形ABCD中,过O作AB的平行线交BC于点N,则ON⊥OD.
以O为原点,ON,OD,OA1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系.
因为四边形AA1D1D是等腰梯形,A1D1=2,AD=4,所以AO=1,
又A1A=D1D=,所以A1O=4.
易得D(0,3,0),D1(0,2,4),则P,
所以=. 9分
设Q(4,t,0)(-1≤t≤3),则=(4,t-3,0).
设平面PDQ的法向量为m=(x,y,z),由得
令z=1,得m=(3-t,4,1), 11分
易知平面DCQ的一个法向量为n=(0,0,1). 12分
设二面角P-QD-C的平面角为θ,由题意得|cos θ|==.
又|cos θ|=|cos|==,
所以=,解得t=0或t=6(舍),此时BQ=1. 14分
所以当二面角P-QD-C的正弦值为时,线段BQ的长为1. 15分
方法三:如图③,在平面A1ADD1中,过P作PH⊥AD,垂足为H.
因为平面A1ADD1⊥平面ABCD,平面A1ADD1∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,PH 平面A1ADD1,所以PH⊥平面ABCD,又DQ 平面ABCD,所以PH⊥DQ. 7分
在平面ABCD中,过H作HG⊥DQ,垂足为G,连接PG.
因为PH⊥DQ,HG⊥DQ,PH∩HG=H,PH,HG 平面PHG,
所以DQ⊥平面PHG,又PG 平面PHG,所以DQ⊥PG.
因为HG⊥DQ,PG⊥DQ,
所以∠PGH是二面角P-QD-A的平面角. 9分
在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1ADD1是梯形,A1D1=2,AD=4,A1A=D1D=,点P是棱DD1的中点,
所以PH=2,DH=. 10分
设BQ=x(0≤x≤4),
则CQ=4-x,DQ==,
连接QH,在△QHD中,××4=××HG,从而HG=. 12分
因为二面角P-QD-C的平面角与二面角P-QD-A的平面角互补,
且二面角P-QD-C的正弦值为,所以sin∠PGH=,
从而tan∠PGH=5.
所以在Rt△PHG中,==5,解得x=1或x=7(舍). 14分
所以当二面角P-QD-C的正弦值为时,线段BQ的长为1. 15分
解答2 “15~17题” 43分练
15.解:(1)因为a2+b2+ab=c2,
所以a2+b2-c2=-ab,
则cos C===-, 3分
又C∈(0,π),所以C=. 5分
(2)方法一:根据正弦定理,
由c=2bcos B,得sin C=2sin Bcos B=sin 2B, 7分
所以C=2B或C+2B=π. 8分
当C=2B时,C=,B=,此时B+C>π,不符合题意; 9分
当C+2B=π时,A=B=,则a=b=1, 11分
故△ABC的面积S=absin C=×1×1×=. 13分
方法二:根据正弦定理,由c=2bcos B,得sin C=2sin Bcos B=sin 2B,
7分
所以sin C=sin 2B=, 8分
因为C=,所以B∈,
则2B∈,所以2B=,得B=, 9分
则A=π--=,得a=b=1,
11分
所以△ABC的面积S=absin C=×1×1×=. 13分
16.解:(1)函数f(x)=cos x+xsin x,x∈(-π,π),求导得f'(x)=-sin x+sin x+xcos x=xcos x. 2分
当-π0,f(x)单调递增;当-当00,f(x)单调递增;当所以f(x)的单调递增区间为,,单调递减区间为,. 4分
f(x)的极小值为f(0)=1. 5分
(2)证明:当x∈[0,π)时,令F(x)=ex+e-x-2(cos x+xsin x), 6分
求导得F'(x)=ex-e-x-2xcos x≥ex-e-x-2x. 9分
令φ(x)=ex-e-x-2x,求导得φ'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0(当且仅当x=0时取等号),
12分
所以函数φ(x)在[0,π)上单调递增,则φ(x)≥φ(0)=0, 13分
所以F'(x)≥0,则F(x)在[0,π)上单调递增, 14分
因此F(x)≥F(0)=0,
所以2f(x)≤ex+e-x. 15分
17.解:(1)由题知X~B,
则E(X)=8×=2. 4分
因为每道题答对得5分,不答或答错得0分,所以此人的得分为5X,故此人得分的数学期望为E(5X)=5E(X)=5×2=10. 6分
(2)由题知此人答对k道题的概率为P(X=k)=×,k=0,1,2,…,8,
记pk=P(X=k), 8分
则==
=
==1+,k=1,2,…,8. 12分
当k=1,2时,pk>pk-1,即p2>p1>p0; 13分
当k=3,4,5,6,7,8时,pk即p8所以p2最大,所以此人答对2道题的概率最大. 15分
解答3 “15~17题” 43分练
15.解:(1)因为sin2A+sin2B+sin Asin B=sin2C,所以由正弦定理==可得a2+b2+ab=c2. 2分
由余弦定理可得cos C===-.
5分
又因为C∈(0,π),所以C=.
6分
(2)由a,b,c成等差数列,可得a+c=2b①, 7分
因为△ABC的面积为,C=,所以absin C=,即ab=15②,
9分
由(1)知a2+b2+ab=c2③,由①②③解得a=3,b=5,c=7. 12分
所以a+b+c=15,
故△ABC的周长为15. 13分
16.解:(1)设C的半焦距为c,则=,
1分
故b2=a2-c2=. 3分
将代入C的方程,有+=1,故=1,
则a2=3,b2=2, 6分
所以C的方程为+=1. 7分
(2)由(1)可知C的左焦点为(-1,0),
8分
故过左焦点且斜率为的直线为l:y=x+. 9分
将l与C的方程联立得消去y得2x2+3x=0.
10分
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则不妨令x1=0,x2=-, 11分
故|MN|=|x1-x2|=,
12分
且P到l的距离d==, 13分
所以△PMN的面积为=××=.
15分
17.解:(1)证明:如图,过点B作CD的平行线,即为l.理由如下:∵AE∥CD,AE 平面AEB,CD 平面AEB,
∴CD∥平面AEB.
又∵CD 平面BCD,且平面ABE∩平面BCD=l,∴l∥CD.
又∵AB⊥l,∴AB⊥CD. 4分
又∵B在以AC为直径的圆上运动,
∴AB⊥BC.
又∵BC∩CD=C,BC,CD 平面BCD,∴AB⊥平面BCD,∵BD 平面BCD,∴AB⊥BD. 6分
(2)在△ACD中,AC=2CD=2,∠ACD=60°,由余弦定理可得DA=,∴DA2+DC2=AC2,∴∠ADC=90°,故CD⊥DA.
由(1)知AB⊥CD,AB∩DA=A,AB,DA 平面ABD,∴CD⊥平面ABD,
又∵AE∥CD,∴AE⊥平面ABD.
9分
令EN∩AD=H,则∠EHA即为直线EN与平面ABD所成的角. 11分
∵∠EHA=-∠AEH,
∴sin∠EHA=cos∠AEH.
在△AEN中,EN2=12+22-2×1×2×cos 120°=7, 13分
∴cos∠AEH=cos∠AEN=
==,
即直线EN与平面ABD所成角的正弦值为. 15分
解答4 “15~17题” 43分练
15.解:(1)零假设为H0:该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别无关联.
χ2==≈6.109>3.841=x0.05, 4分
依据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05. 6分
(2)女生中乒乓球组与羽毛球组抽取的人数比例为35∶40=7∶8,故抽取的15人中,乒乓球组的有15×=7(人),羽毛球组的有15×=8(人),
7分
故X的可能取值为0,1,2, 8分
P(X=0)==, 9分
P(X=1)==, 10分
P(X=2)==, 11分
故X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
13分
16.解:(1)证明:由题意得AB=BC=CD=DA=AP=PD=2,
又PC=PB=2,所以PD2+CD2=PC2,AP2+AB2=PB2, 2分
所以DC⊥PD,AB⊥AP. 3分
因为底面ABCD为菱形,所以AB∥CD,故DC⊥AP,又AP 平面PAD,DP 平面PAD,AP∩DP=P,所以DC⊥平面PAD. 5分
又DC 平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD. 6分
(2)由(1)知DC⊥平面PAD,而AD 平面PAD,所以DC⊥DA,故底面ABCD为正方形. 7分
设DA的中点为O,连接OP,在平面ABCD内作OF∥DC交BC于F,因为△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD,故PO⊥平面ABCD.
如图,以O为坐标原点,分别以OA,OF,OP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),E, 8分
故=(0,2,0),=(-2,0,0),=. 9分
设n=(x1,y1,z1)为平面AEB的法向量,则有
即可取n=(,0,3). 11分
设m=(x2,y2,z2)为平面CEB的法向量, 则有
即可取m=(0,,2), 13分
则|cos|===, 14分
所以平面AEB与平面CEB夹角的余弦值为. 15分
17.解:(1)由题意知b4-b2=8,b3-b1=4,a1+b1=4, 1分
因为a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,所以 2分
设等差数列{an}的公差为d,则
解得 5分
所以an=5+(n-1)×2=2n+3,所以m的值为,{an}的通项公式为an=2n+3. 7分
(2)由(1)知,an=2n+3,b2n-1=a2n-1-6,b2n=2a2n, 8分
所以S2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(a1+a3+a5+…+a2n-1-6n)+2(a2+a4+a6+…+a2n)=-6n+2×=-6n+n(7+4n+3)=6n2+7n, 14分
所以{bn}的前2n项和S2n=6n2+7n.
15分
解答5 “15~17题” 43分练
15.解:(1)由题知an>0,设等比数列{an}的公比为q,则q>0,
由得
即 2分
整理得q2+q-6=0, 4分
解得q=2或q=-3(舍去),所以an=a3qn-3=2n-1. 6分
(2)由(1)可知an+log2an=2n-1+n-1, 7分
故Tn=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=2n-1+.
10分
显然,Tn随着n的增大而增大,
又T10=210-1+45=1068<2024,
11分
T11=211-1+55=2102>2024,
12分
所以满足Tn<2024的最大整数n=10.
13分
16.解:(1)由题意知==3.5, 1分
=×(15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4)=85.4, 2分
-6=1+4+9+16+25+36-6×3.52=17.5, 3分
所以r=
=
=≈0.96. 7分
(2)由题知===,
9分
所以=85.4-3.5×=-,
11分
所以y关于x的经验回归方程为=x-, 13分
所以预测2025年2月该公司的销售金额为×7-=219.4(万元).
15分
17.解:(1)由题意可知
2分
解得 4分
所以椭圆E的方程为+=1.
5分
(2)设直线l的方程为x=my-1,C(x1,y1),D(x2,y2),由(1)知A(-3,0),B(3,0).
由得(8m2+9)y2-16my-64=0, 7分
则y1+y2=,y1y2=,Δ>0. 9分
直线AC的方程为y=(x+3),直线BD的方程为y=(x-3),联立直线AC,BD的方程,得===
==
=
=, 11分
解得x=-9,y=,即P. 13分
因为点O是AB的中点,OM∥PA,所以=,
所以·=·=(-3,0)·=9,
所以·是定值,且该定值为9.
15分
解答6 “15~17题” 43分练
15.解:(1)证明:如图①,取BC的中点M,连接MA,MA1.
因为AB=AC,A1B=A1C,所以BC⊥AM,BC⊥A1M,因为AM,A1M 平面A1MA,且AM∩A1M=M,所以BC⊥平面A1MA, 2分
因为A1A 平面A1MA,所以BC⊥A1A,又因为A1A∥B1B,所以B1B⊥BC. 3分
因为平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,且B1B 平面BB1C1C,
所以B1B⊥平面ABC, 5分
因为A1A∥B1B,所以A1A⊥平面ABC. 6分
(2)方法一:因为∠BAC=90°,且BC=2,所以AB=AC=.
由(1)知A1A⊥AB,A1A⊥AC,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,2),B(,0,0),C(0,,0),C1(0,,2),
所以=(,0,-2),=(0,,-2),=(0,,0). 8分
设平面A1BC的法向量为m=(x1,y1,z1),则可得
令z1=1,则m=(,,1). 10分
设平面A1BC1的法向量为n=(x2,y2,z2),则可得
令z2=1,则n=(,0,1). 12分
设平面A1BC与平面A1BC1的夹角为θ,则cos θ===,
所以平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值为. 13分
方法二:由题知三棱柱ABC-A1B1C1是底面为直角三角形的直三棱柱,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体ABDC-A1B1D1C1,如图③.
连接C1D,则平面A1BC1即为平面A1BDC1,过点C作CP⊥C1D,垂足为P,再过P作PQ⊥A1B,垂足为Q,连接CQ.
因为BD⊥平面CDD1C1,且CP 平面CDD1C1,所以BD⊥CP. 7分
又因为CP⊥C1D,BD,C1D 平面A1BDC1,且BD∩C1D=D,
所以CP⊥平面A1BDC1,又PQ 平面A1BDC1,所以CP⊥PQ. 9分
因为A1B 平面A1BDC1,所以A1B⊥CP,又因为PQ⊥A1B,CP,PQ 平面CPQ,且CP∩PQ=P,所以A1B⊥平面CPQ,
因为CQ 平面CPQ,所以CQ⊥A1B,则∠CQP为平面A1BC与平面A1BC1的夹角. 11分
在△A1BC中,由等面积法可得CQ=.易知PQ=A1C1=,又CP⊥PQ,所以cos∠CQP==,
所以平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值为. 13分
16.解:(1)f'(x)=2e2x-(2a-1)ex-a=(2ex+1)(ex-a). 1分
①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 2分
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 4分
综上所述,当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
5分
(2)当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(x)不可能有两个零点,不符合题意,故a>0. 6分
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
因为f(x)有两个零点,所以f(x)min=f(ln a)=a(1-a-ln a)<0, 8分
因为a>0,所以1-a-ln a<0.
9分
令g(a)=1-a-ln a,a>0, 10分
则g'(a)=-1-<0,所以g(a)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,
所以当a>1时,g(a)<0,
即f(x)min<0. 12分
方法一:因为f(-1)=-(2a-1)+a=++a>0,所以f(x)在(-1,ln a)上有1个零点;
13分
令h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,由h'(x)>0得x>0,
由h'(x)<0得x<0,
所以函数h(x)=ex-x-1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,所以当x>ln a>0时,ex>x+1,故-ax>-a(ex-1),所以f(x)>e2x-(2a-1)ex-a(ex-1)=e2x-(3a-1)ex+a,
取x=ln(3a)>ln a,则f[ln(3a)]>e2ln(3a)-(3a-1)eln(3a)+a=9a2-(3a-1)×3a+a=4a>0,所以f(x)在(ln a,ln(3a))上有1个零点. 14分
综上所述,当f(x)有两个零点时,a>1. 15分
方法二:当x→-∞时,f(x)→+∞,则f(x)在(-∞,ln a)上有1个零点;
13分
当x→+∞时,f(x)→+∞,则f(x)在(ln a,+∞)上有1个零点. 14分
综上所述,当f(x)有两个零点时,a>1. 15分
17.解:(1)由顾客的消费额X(单位:元)服从正态分布N(130,252),得μ=130,σ=25, 1分
所以消费额X在[105,180]内的概率为P(105≤X≤180)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)≈×(0.682 7+0.954 5)=0.818 6, 4分
因为该天该商场有20 000位顾客,所以估计该天消费额X在[105,180]内的人数约为0.818 6×20 000=16 372.
5分
(2)设事件A1=“顾客中‘龙腾奖’”, 事件A2=“顾客中‘旺旺奖’”, 事件B=“顾客获得乙奖品”, 6分
由题意知P(A1)==,P(B|A1)=1-=,P(B|A2)=. 7分
设事件D1=“3枚骰子的点数之和为6”,D2=“3枚骰子的点数之和为12”,D3=“3枚骰子的点数之和为18”,则A2=D1+D2+D3.
(i)若“3枚骰子的点数之和为6”,则3枚骰子的点数为1,1,4;1,2,3;2,2,2.D1包含的样本点有++1=3+6+1=10(个). 8分
(ii)若“3枚骰子的点数之和为12”,则3枚骰子的点数为1,5,6;2,5,5;2,4,6;3,4,5;3,3,6;4,4,4.D2包含的样本点有+++++1=6+3+6+6+3+1=25(个). 9分
(iii)若“3枚骰子的点数之和为18”,则3枚骰子的点数为6,6,6,D3包含的样本点有1个.
所以P(A2)===.
10分
①由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,即顾客获得乙奖品的概率为. 12分
②若顾客已获得乙奖品,则其是中“龙腾奖”而获得的概率是P(A1|B)===
=, 14分
所以顾客已获得乙奖品,则其是中“龙腾奖”而获得的概率是. 15分
解答7 “15~17题” 43分练
15.解:(1)由题知cos B=,S=ac·sin B, 2分
因为S=-(a2+c2-b2),所以ac·sin B=-×2ac·cos B,
可得tan B=-, 4分
又B∈(0,π),所以B=. 5分
(2)方法一:∠CBD=-=,
在△ABD中,由正弦定理得==AD=2, 6分
同理,在△CBD中,有==2CD=2, 8分
又∠ADB+∠CDB=π,
所以sin∠ADB=sin∠CDB, 9分
所以AB=CB,即a=c. 10分
在△ABC中,b2=c2+a2-2ca·cos∠ABC,即32=c2+a2+ac=3a2,
可得a=,所以c=a=, 12分
所以△ABC的周长为3+2. 13分
方法二:由(1)可知∠ABC=,
又∠ABD=,所以∠CBD=.
6分
由题可知,AD=2DC=2,
故=+=+=+(-)=+,
8分
因为∠ABD=,所以·=·=c2-ac=0, 9分
又c>0,所以a=c,则A=C=.
11分
在Rt△ABD中,c=AD·cos=,
12分
故△ABC的周长为AB+BC+AC=++3=3+2. 13分
16.解:(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),设椭圆上一点P(x0,y0)(-a≤x0≤a),易知F2(c,0),则|PF2|==
=
=,显然当x0=a时,|PF2|取得最小值a-c. 2分
由题意得解得
4分
所以椭圆E的方程为+=1.
5分
(2)设C(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知|F1F2|=2,|F2A|=a-c=1.
因为AB∥CF1,所以△CF1F2∽△BAF2,得|CF1|∶|AB|=|F1F2|∶|F2A|=2∶1,所以y1=-2y2①.
9分
由题知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1,
由整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,
得 11分
把①式代入上式得
得==,
解得m=±, 14分
所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 15分
17.解:(1)证明:设AC与BD的交点为O,连接OF,如图.
因为AD∥BC,且AB⊥AD,
所以AB⊥BC.
2分
因为2AD=2,所以AD=1,
又AB=,BC=2,
所以tan∠ABD=,tan∠BCA=,
又∠ABD,∠BCA均为锐角,
所以∠ABD=∠BCA,
所以∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠BCA=90°, 4分
所以∠AOB=90°,
所以AO⊥OB,即AC⊥BD.
因为EA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以EA⊥BD,
因为EA∩AC=A,EA,AC 平面EAC,所以BD⊥平面EAC, 6分
又BD⊥α,所以平面α∥平面EAC.
7分
(2)因为AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,
所以AB,AD,EA两两垂直.
以A为原点,AB,AD,EA所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 9分
则A(0,0,0),D(0,1,0),B(-,0,0),E(0,0,2),C(-,2,0),所以=(0,1,0),=(,1,0),=(0,2,0),=(,0,2),
因为点F为棱EC的中点,所以=(+)=. 11分
设平面FB小题1 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x∈N|x2<16},B={x|x-2≤0},则A∩B= ( )
A.{0,1,2} B.{1,2}
C.{x|-42.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=2a2,公差d≠0,Sm=0,则m的值为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
3.[2024·河南四市质检] 过抛物线y2=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为4,则|AB|= ( )
A.16 B.8
C.10 D.12
4.下列说法正确的是 ( )
A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
B.若直线a不平行于平面α且a α,则平面α内不存在与a平行的直线
C.已知直线a,b,平面α,β,且a α,b β,α∥β,则直线a,b平行
D.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α相交
5.劳动可以树德、增智、强体和育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛,已知冠军是甲、乙当中的一人,丁和戊都不是最差的,则这5名同学的名次排列(无并列名次)方法共有 ( )
A.12种 B.48种
C.36种 D.24种
6.[2024·山东淄博一模] 在平面直角坐标系xOy中,已知向量与关于x轴对称,向量a=(0,1),若满足+a·=0的点A的轨迹为E,则 ( )
A.E是一条垂直于x轴的直线 B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线 D.E是椭圆
7.[2024·大连二模] 已知α,β∈,2tan α=,则cos= ( )
A. B.
C.- D.-
8.[2024·台州二模] 设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M,N分别在双曲线C的左、右支上,且满足∠MF2N=,=2,则双曲线C的离心率为 ( )
A.2 B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·昆明一诊] 已知函数f(x)=sin 2x,若f(x1)=f(x2)=,则|x1-x2|的值可以为 ( )
A. B. C. D.
10.已知复数z,w均不为0,则 ( )
A.z2=|z|2 B.=
C.=- D.=
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则下列说法正确的是 ( )
A.y=f(x)是奇函数
B.若f(1)=1,则f(-2)=4
C.若f(1)=-1,则y=f(x)+x3为增函数
D.若当x>0时,f(x)+x3>0恒成立,则y=f(x)+x3为增函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数f(x)=ln x的图象在点P(x0,f(x0))处的切线过原点O(0,0),则x0= .
13.[2024·大连一模] 如图①,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,M为BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图②所示,则三棱锥P-AEF外接球的表面积是 ;过点M的平面截三棱锥P-AEF外接球所得截面的面积的取值范围是 .
14.[2024·邯郸三调] 记min{x,y,z}表示x,y,z中最小的数.设a>0,b>0,则min的最大值为 .
小题2 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·鹰潭一模] 若复数z满足z(1+i)=|1+i|,则z= ( )
A.1-i B.1+i
C.2-2i D.2+2i
2.若“ x<2,2xA.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
3.某市教育局为了解高三学生的学习情况,组织了一次摸底考试,共有50 000名考生参加这次考试,这些考生的数学成绩X近似服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=,x∈R,且P(70≤X≤110)=0.8,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为 ( )
A.2000 B.3000
C.4000 D.5000
4.[2024·苏州一调] 函数f(x)=sin在区间(0,2π)内的零点个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.已知数列{an}满足a1=1,对于任意的n∈N*且n≥2,都有an=则a20= ( )
A.211 B.211-2
C.210 D.210-2
6.[2024·湖南三校联考] 球缺指的是一个球被平面截下的一部分,垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高,设球的半径为R,球缺的高为h,则球缺的体积V=πh2.已知圆锥的高为2,底面半径为1,则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·岳阳模拟] 已知函数f(x)=若f(x)不存在最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0) B.
C.(-1,0)∪ D.∪(1,+∞)
8.已知P是圆O:x2+y2=1外的动点,过点P作圆O的两条切线,设两切点分别为A,B,当·的值最小时,点P到圆心O的距离为 ( )
A. B.
C. D.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某旅游公司设计了一款冰雪文创产品,试营销以来,这款冰雪文创产品的单价x(单位:元)与销量y(单位:万件)的数据如下表所示:
产品单价x(单位:元) 9 9.5 10 10.5 11
销量y(单位:万件) 11 10 8 6 5
则下列结论正确的是 ( )
A.产品单价x的平均值是10元
B.产品单价x与销量y存在正相关关系
C.产品单价x与销量y之间的关系可用一元线性回归模型拟合
D.产品单价x与销量y的样本相关系数r≈-0.99
10.[2024·九江二模] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,动点P在C上,若定点M(2,)满足|MF|=2|OF|,则 ( )
A.C的准线方程为x=-2
B.△PMF周长的最小值为5
C.直线MF的倾斜角为
D.四边形OPMF不可能是平行四边形
11.[2024·长春三模] 在同一平面直角坐标系内,定义在R上的函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两函数图象有且仅有一个公共点(0,1),则下列结论错误的是 ( )
A.函数y=f(x)·ex的最大值为1
B.函数y=f(x)·ex的最小值为1
C.函数y=的最大值为1
D.函数y=的最小值为1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知cos=,则sin= .
13.在(x+2y)(x-y)6的展开式中,x2y5的系数为 .
14.若x2-80为完全平方数,则正整数x的取值组成的集合为 .
小题3 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·厦门一模] 设集合M={x|-2≤x≤2},N={y|y=2x+1},则M∪N= ( )
A.{x|x≥-2} B.{x|1C.{x|1≤x≤2} D.{x|x>1}
2.[2024·菏泽一模] 已知复数z满足z(1+i)=i2024,其中i为虚数单位,则z的虚部为 ( )
A.- B.
C.-i D.
3.[2024·合肥一检] 已知双曲线C:x2-=1(b>0)的焦距为4,则C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
4.已知sin 2α=-,则= ( )
A.4 B.2
C.-2 D.-4
5.[2024·南京二模] 已知P(A)=,P(A)=,P(A|B)=,则P(B)= ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·淮北一检] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f(log236)= ( )
A. B.
C. D.
7.若数列{an}满足an+1=(an≠0且an≠-1),则与的比值为 ( )
A. B.
C.2 D.3
8.[2024·武汉模拟] 能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是 ( )
A. B.
C. D.+
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·广州一模] 已知向量=a,=b,与不共线,向量=a+b,OC平分∠AOB,则下列结论一定正确的是 ( )
A.a·b=0
B.(a+b)⊥(a-b)
C.向量a,b在a+b上的投影向量相等
D.|a+b|=|a-b|
10.已知△ABC中,AB=1,AC=4,∠BAC=,AE为∠BAC的平分线,交BC于点E,D为AC的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.BE=
B.AE=
C.△ABE的面积为
D.若P是△ABD的外接圆上的动点,则PB+PD的最大值为
11.如图,正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直,点P在正方形ABCD上及其内部运动,点Q在矩形ABEF上及其内部运动,AB=2,AF=1,则下列结论正确的是 ( )
A.存在点P,Q,使得PQ=3
B.存在点P,Q,使得CQ∥EP
C.到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个
D.若PA⊥PE,则三棱锥P-AQE体积的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知按从小到大排列的一组数据:1,5,a,10,11,13,15,21,42,57,若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍,则a的值为 .
13.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P是椭圆与抛物线的一个交点,PF⊥x轴,则椭圆的离心率e为 .
14.已知函数f(x)=eax(a≠0),过点A(a,0)作与y轴平行的直线交函数f(x)的图象于点P,过点P作f(x)图象的切线交x轴于点B,则△APB面积的最小值为 .
小题4 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x3=x},则A∩B= ( )
A.{-1} B.{-1,1}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
2.[2024·石家庄一模] 已知命题p: x∈(0,+∞),ex>ln x,则 ( )
A.p是真命题,p的否定: x∈(0,+∞),ex≤ln x
B.p是真命题,p的否定: x∈(-∞,0),ex≤ln x
C.p是假命题,p的否定: x∈(0,+∞),ex≤ln x
D.p是假命题,p的否定: x∈(-∞,0),ex≤ln x
3.[2024·晋城一模] 若sin 18°=m,则sin 63°= ( )
A.(-m) B.m+
C.(m+) D.m+
4.[2024·厦门三模] 在菱形ABCD中,若|-|=||,且在上的投影向量为λ,则λ= ( )
A.- B. C.- D.
5.[2024·常德模拟] 已知奇函数y=f(x)的定义域为R,f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是 ( )
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增
B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=在(0,+∞)上单调递增
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1>1,S3=,若数列{an}的公比为q,则 ( )
A.0C.q>1 D.q≤-1
7.[2024·郑州一模] 已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的取值范围为[-1,2],则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
8.[2024·深圳一调] 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,且双曲线E的离心率为,则cos∠BAF1= ( )
A.- B.- C. D.-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·厦门一模] 已知甲、乙两组数据分别为20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3,则下列结论错误的是 ( )
A.甲组数据的第70百分位数为23
B.甲、乙两组数据的极差不相同
C.乙组数据的中位数为24.5
D.甲、乙两组数据的方差相同
10.[2024·长治模拟] 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如星形线、卵形线、蔓叶线等,心形线也是其中一种,因其形状像心形而得名.已知心形线C:x2+y2+y=如图所示,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是心形线C上不同的两点,且x1x2≠0,则下列说法正确的是 ( )
A.若∥,则|P1P2|=2
B.若∥,则|OP1|·|OP2|=1
C.|OP1|+|OP2|<4
D.C上有4个整点(横、纵坐标均为整数的点)
11.记f(n)(x)为函数f(x)的n阶导数,f(n)(x)=[f(n-1)(x)]'(n≥2,n∈N*),若f(n)(x)存在,则称f(x)n阶可导.英国数学家泰勒发现:若f(x)在x0附近n+1阶可导,则可构造Tn(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n(称其为f(x)在x0处的n次泰勒多项式)来逼近f(x)在x0附近的函数值.下列说法正确的是 ( )
A.若f(x)=sin x,则f(n)(x)=sin
B.若f(x)=,则f(n)(x)=(-1)n(n!)x-(n+1)
C.f(x)=ex在x0=0处的3次泰勒多项式为T3(x)=1+x++
D.cos 1≈0.57(≈1.732,π≈3.142)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·常德模拟] 已知函数f(x)=xln x-1的图象在点(1,f(1))处的切线l与圆C:(x-1)2+y2=9相交于A,B两点,则|AB|= .
13.将数字1,2,3,4填入如图所示的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,则不同的填表方式共有 种.
14.[2024·华中师大附中模拟] 在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,且AB⊥BC.记直线PA,PC与平面ABC所成的角分别为α,β,已知β=2α=60°,当三棱锥P-ABC的体积最小时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为 .
小题5 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2},B={2,3},则集合C={z|z=x+y,x∈A,y∈B}的真子集个数为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
2.在复平面内,复数z=m+(m+1)i(m∈R)对应的点在直线y=2x上,则m= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
3.函数f(x)=cos 2x的部分图象大致为 ( )
A B C D
4.[2024·台州二模] 已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1=3,且-3a1,a2,a3成等差数列,则数列{an}的前n项和Sn= ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·浙江五校联考] 已知实数x,y满足x>3,且xy+2x-3y=12,则x+y的最小值为 ( )
A.1+2 B.8
C.6 D.1+2
6.已知CD,AB分别是圆台上、下底面圆的直径,且AB⊥CD,若圆台的上底面圆的直径为2,下底面圆的直径为8,母线长为5,则三棱锥A-BCD的体积为 ( )
A. B. C.14 D.18
7.已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则下列结论正确的是 ( )
A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点
B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点
C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点
D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点
8.[2024·唐山一模] 已知函数f(x)=|sin ωx|+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,则 ( )
A.f(x)在上单调递增
B.点是f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在上的取值范围为[1,]
D.直线x=是f(x)图象的一条对称轴
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·临汾三模] 在的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A.所有奇数项的二项式系数的和为128
B.二项式系数最大的项为第5项
C.有理项共有两项
D.所有项的系数的和为38
10.[2024·阜阳一模] 已知O为坐标原点,椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,A,B两点都在C上,A,O,B三点共线,P(不与A,B重合)为C的上顶点,则 ( )
A.|AB|的最小值为4 B.|AF1|+|BF1|为定值
C.存在点A,使得AF1⊥AF2 D.kPA·kPB=-
11.如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点,沿BD将△ABD翻折,使得点A到达A'的位置,构成三棱锥A'-BCD(如图②),则下列说法正确的是 ( )
A.在翻折过程中,A'D与BC可能垂直
B.在翻折过程中,二面角A'-BC-D的平面角无最大值
C.当三棱锥A'-BCD的体积最大时,A'D与CO所成的角小于
D.在翻折过程中,二面角A'-BC-D的平面角的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.样本数据16,20,21,24,22,14,18,28的75%分位数为 .
13.已知向量a=(1,1),|b|=4,且b在a上的投影向量的坐标为(-2,-2),则a与b的夹角为 .
14.[2024·潍坊一模] 在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=2x,l2:y=-2x,点P为平面内一动点,过P作DP∥l2交l1于D,过P作EP∥l1交l2于E,得到的平行四边形ODPE的面积为1,记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2+y2=t(t>0)有四个交点,则实数t的取值范围是 .
小题6 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·宿迁一模] 已知集合A={x|0≤x≤4,x∈N},B={x|x=3k-1,k∈Z},则A∩B= ( )
A.{0,2} B.{2,4}
C.{2} D.{1,3}
2.关于复数z=(2+3i)(3+2i),下列说法正确的是 ( )
A.z的实部为12 B.z的虚部为13i
C.=12-13i D.||=13
3.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足短半轴长为2的椭圆方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.在△ABC中,=3,=4,则= ( )
A.+ B.-
C.- D.-
5.[2024·重庆二模] 已知等比数列{an}满足a2n=,且-a2是a1与a3的等差中项,则a5= ( )
A.32 B.2
C.1 D.-1
6.[2024·大连一模] 若α∈,且5cos 2α=sin,则tan α= ( )
A.- B.-
C.- D.1
7.已知a=x+,b=ex+e-x,c=sin x+cos x,则下列命题为假命题的是 ( )
A. x∈[-1,1],a>c B. x∈[-1,1],b>c
C. x∈[-1,1],a8.[2024·苏锡常镇调研] 正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC有相同的底面ABC,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球O的球面上,点P和点Q在平面ABC的异侧,正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC的侧面与底面ABC所成的角分别为α,β,则当α+β最大时,tan(α+β)= ( )
A.- B.- C.-1 D.-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知f(x)=sin,g(x)=sin,则 ( )
A.将f(x)的图象向左平移个单位长度可以得到g(x)的图象
B.将f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到g(x)的图象
C.f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=对称
10.[2024·葫芦岛一模] 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=3A1B1=6,AA1=4,P为棱BB1上的动点(含端点),则下列结论正确的是 ( )
A.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积是40+32
B.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积是
C.AP+PC1的最小值为2
D.AP+PC的最小值为6
11.[2024·潍坊一模] 已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),且f(x)-f(-x)=2x,g(x)+g(2-x)=0,则 ( )
A.g(0)=1
B.y=的图象关于点(0,1)对称
C.f(x)+f(2-x)=0
D.(n∈N*)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某企业生产一种零部件,其质量指标位于(49.6,50.4)内的为优品.技术改造前,该企业生产的该种零部件的质量指标X服从正态分布N(50,0.16);技术改造后,该企业生产的同种零部件的质量指标X服从正态分布N(50,0.04).那么,该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差约为 .(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)≈0.682 7,P(|X-μ|<2σ)≈0.954 5,P(|X-μ|<3σ)≈0.997 3)
13.[2024·淮北一模] 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,焦点为F,点A,B在抛物线上,点C在l上,满足=λ,=μ,若λ=3,则实数μ= .
14.已知数列C1:0,2,0,2,0,现按规则f:每个0都变为“2,0,2”,每个2都变为“0,2,0”对该数列进行变换,得到一个新数列,记数列Ck+1=f(Ck),k∈N*,则数列Cn的项数为 ,数列C2n的所有项的和S2n= .
小题7 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=,则|z|= ( )
A.1 B.
C.2 D.4
2.已知集合A={x|3x2-8x+4<0},B={x|lg x≤0},则A∪B= ( )
A. B.[1,2)
C.(-∞,2) D.(0,2)
3.设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法正确的是 ( )
A.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m
B.若α∥β,l∥m,m⊥β,则l⊥α
C.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l⊥m
D.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l∥m
4.[2024·宁波十校模拟] 某电视台计划在某个时间段连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告,且商业广告不能3个连续播放,则不同的播放方式有 ( )
A.144种 B.72种
C.36种 D.24种
5.[2024·南京一模] 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,提出了开普勒第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其各自椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=·,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的公转周期的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的椭圆轨道的长半轴长的 ( )
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
6.[2024·黄石三模] 已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω<0)的最小正周期为π,则 ( )
A.函数f(x)的图象关于点对称
B.函数f(x)在[1,2]上单调递增
C.函数f(x)在(0,1)上单调递减
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
7.[2024·大连一模] 设函数f(x)=sin πx+e3x-3-e3-3x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<4的x的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°,直线l:y=-x+t经过点P.若点F2关于l的对称点M在线段F1P的延长线上,则C的离心率是 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 ( )
A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4
B.若数据x1,x2,x3,…,xn的标准差为s,则数据2x1,2x2,2x3,…,2xn的标准差为2s
C.随机变量X服从正态分布N(1,2),若P(X>0)=,则P(0D.随机变量Y服从二项分布B(4,p),若方差D(Y)=,则P(Y=2)=
10.[2024·泰安二模] 已知圆锥的顶点为S,O为底面圆心,母线SA与SB互相垂直,△SAB的面积为2,SA与圆锥底面所成的角为30°,则下列说法正确的是 ( )
A.圆锥的高为1
B.圆锥的体积为3π
C.圆锥侧面展开图的圆心角为π
D.二面角S-AB-O的大小为45°
11.已知函数f(x)=ax3+x2+cx+(a≠0)有三个不同的零点x1,x2,x3(x1A.3ac<1
B.若x1,x2,x3成等差数列,则a∈(-1,0)∪(0,1)
C.若g(x)恰有两个不同的零点m,n(mD.若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3(t1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量a=(1,2),b=(4,-2),c=(1,λ),若c·(2a+b)=0,则实数λ= .
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,bn=an·(,若是bk+1,bk+2的等差中项,则k= .
14.[2024·长沙模拟] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M是棱CC1的中点,空间中的动点P满足DP⊥BM,且D1P=1,则动点P的轨迹长度为 .
小题8 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U=R,集合A={x|x2+2x-3<0},B={x|0≤x≤2},则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A.(-3,0) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(2,3)
2.已知复数z满足z(3+4i)=5,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·济宁三模] 若随机变量X~N(3,22),随机变量Y=(X-3),则= ( )
A.0 B. C. D.2
4.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个极值点x1,x2,则f(x1+x2)的值为 ( )
A.1 B. C.- D.2
5.[2024·吕梁一模] 如图,“蒸茶器”的壶体部分可视为圆台,上、下底面直径(内部)分别为4 cm,12 cm,高为8 cm(内部),上口内置一个直径为4 cm,高为3 cm的圆柱形空心金属器皿(厚度不计,用来放置茶叶).根据经验,一般水面至茶叶(圆柱下底面)下方的距离大于或等于1 cm时,茶叶不会外溢,则用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢,水的最大容积为 ( )
A. cm3 B.380π cm3 C. cm3 D.304π cm3
6.[2024·安徽江南十校模拟] 已知函数f(x)=ln x-的图象在点(1,-1)处的切线与曲线y=ax2+(a-1)x-2只有一个公共点,则实数a的取值集合为 ( )
A.{1,9} B.{0,1,9}
C.{-1,-9} D.{0,-1,-9}
7.[2024·浙江名校协作体联考] 已知平面向量a,b满足|a|=1,=,则|a-b|的最大值为 ( )
A.2 B.+1
C.+1 D.3
8.[2024·重庆渝中区一模] 如图,双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若存在过F2的直线l交双曲线E的右支于A,B两点(点A在第一象限),△AF1F2,△BF1F2的内切圆半径分别为r1,r2,且满足3r1=4r2,则双曲线E的离心率的取值范围为 ( )
A.(1,3) B.(1,7)
C.(2,4) D.(1,4)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.平面直角坐标系中,曲线E的方程为x4+y4=1,则 ( )
A.曲线E与x轴有4个交点
B.曲线E关于原点O对称
C.曲线E上的点都在某个矩形内
D.曲线E上的点到原点O的距离均为1
10.某动物园研究了大量的A,B两种相似物种.记录其身长x(单位:dm)与体重y(单位:kg),通过计算得A,B两物种的平均身长分别为=5.2,=6,标准差分别为=0.3,=0.1,设A,B两物种的平均体重分别为,.若A,B两物种的体重y关于其身长x的经验回归直线分别为lA:=2x-0.6,lB:=1.5x+0.4,样本相关系数分别为rA=0.6,rB=0.3.现有两种物种中一身长为5.6 dm,体重为8.6 kg的个体P,下列说法中正确的是 ( )
A.<
B.点P(5.6,8.6)到直线lA的距离大于其到直线lB的距离
C.点P(5.6,8.6)与点(,)间的距离大于其与点(,)间的距离
D.A物种体重的标准差小于B物种体重的标准差
11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x-1)=f(3-2x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为6
B.函数f(x)在[2024,2025]上单调递增
C.
D.方程f(x)=log5|x|有4个根
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B+C=60°,a=3,则= .
13.[2024·徐州一模] 已知点A(1,0),B(5,0),若·≤4,则点P到直线3x-y+1=0的距离的最小值为 .
14.[2024·湖南长沙联考] 已知数列{an}为公差不为0的等差数列,a3=5,且a2,a5,a14成等比数列,设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-1.5]=-2,记bn=[log2an],Sn为数列{bn}的前n项和,则S100= .
小题9 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·烟台二模] 已知复数z满足(1-i)z=3+i,则在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合A={x∈Z|x+1>0},B={x|x≤a},若A∩B中有2个元素,则a的取值范围是 ( )
A.[2,4) B.[1,2)
C.[2,4] D.[1,2]
3.已知cos=,则sin= ( )
A.- B.
C. D.-
4.[2024·邵阳二联] 某市举行乡村振兴汇报会,六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言,其中负责人甲、乙的发言顺序必须相邻,丙不能在第一个与最后一个发言,则不同的安排方法共有 ( )
A.240种 B.120种
C.156种 D.144种
5.双曲线-=1的离心率e的可能取值为 ( )
A. B.
C. D.3
6.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧棱长都等于2,则该四棱锥的内切球的表面积为 ( )
A.(8-4)π B.12π
C.(8+4)π D.8π
7.如图,边长为1的正方形ABCD内接于圆O,P是劣弧BC(包括端点)上一点,则·的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.[2024·宁波十校模拟] 若函数f(x)=ax+bx在(0,+∞)上单调递增,则a和b的可能取值为 ( )
A.a=ln 1.2,b=5 B.a=ln 15,b=0.2
C.a=e0.2,b=0.8 D.a=e1.8,b=0.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·齐齐哈尔模拟] 已知a,b>0,则“a>b”的一个充分条件可以是 ( )
A.< B.|a-2|>|b-2|
C.a2b-ab2>a-b D.ln(a2+1)>ln(b2+1)
10.[2024·潍坊一模] 函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1(0<ω<1)的图象如图所示,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.y=f是奇函数
C.y=fcos x的图象关于直线x=对称
D.若y=f(tx)(t>0)在[0,π]上有且仅有两个零点,则t∈
11.已知数列{an}的通项公式为an,前n项和为Sn,则下列选项中正确的有 ( )
A.若an=sin,则对任意n∈N*,存在M>0,使得|Sn|B.若an=,则对任意M>0,存在n∈N*,使得|Sn|>M
C.若an=sin,则对任意n∈N*,存在M>0,使得|Sn|D.若对任意n∈N*,存在M1>0,使得|Sn|0,使得|an|三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·浙江五校模拟] 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛采用“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 .
13.[2024·武汉调研] 设椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与该椭圆交于A,B两点,若线段AF2的中垂线过点F1,则|BF2|= .
14.[2024·吉林模拟] 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的全等正四面体组合而成(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).如图,若正四面体的棱长为2,则该组合体的表面积为 ;该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 .
小题10 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈R,ex-x-1≥0”的否定是 ( )
A. x∈R,ex-x-1≤0 B. x∈R,ex-x-1≤0
C. x∈R,ex-x-1<0 D. x∈R,ex-x-1<0
2.若集合A={x|2mx-3>0,m∈R},其中2∈A且1 A,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.某单位共有A,B两部门,1月份进行服务满意度问卷调查,得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图.设A,B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1,n2,方差分别为,,则 ( )
A.n1>n2,> B.n1>n2,<
C.n1
4.已知l,m为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且l⊥α,m⊥β,则下列说法正确的是 ( )
A.“l∥m”是“α∥β”的充分不必要条件
B.“l⊥m”是“α⊥β”的必要不充分条件
C.若l,m异面,则α,β有公共点
D.若α,β有公共点,则l,m有公共点
5.[2024·唐山二模] 已知数列{an}满足an+1=an+a1+2n,a10=130,则a1= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.设四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面面积分别为S1,S2,侧面积为S,若一个小球与该四棱台的每个面都相切,则 ( )
A.S2=S1S2 B.S=S1+S2
C.S=2 D.=+
7.[2024·滨州二模] 已知函数f(x)=sin(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,直线x=为函数y=f(x)图象的一条对称轴,则f= ( )
A.- B.-
C. D.
8.已知直线y=x与函数y=ln(x+a)+b的图象相切(a,b∈R),则ea+b(e为自然对数的底数)的最小值为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.e
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x1≥x2且y1>y2时,称a b,当且仅当x1A.若a b且μa λb,则μ≥λ
B.若a=(2022,2024),b=(2023,2025),则a b
C.若a b,则对于任意向量c,都有(a+c) (b+c)
D.若a b,则对于任意向量c,都有a·c≤b·c
10.将两个棱长均为1的正三棱锥D-ABC和E-ABC的底面重合,得到如图所示的六面体,则 ( )
A.该几何体的表面积为
B.该几何体的体积为
C.过该多面体任意三个顶点的平面中存在两个平面互相垂直
D.直线AD∥平面BCE
11.[2024·淮北二检] 如图所示的钟表中,时针初始指向“12”,每次掷一枚均匀的硬币,若正面朝上则时针按顺时针方向旋转150°,若反面朝上则时针按逆时针方向旋转150°,用Xn表示n次旋转后时针指向的数字,则 ( )
A.E(X1)=6
B.P(X2=12)=
C.P(X7=7)=
D.E(X8)>6
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知复数z满足z·=2(z+)=4,若z在复平面内对应的点不在第一象限,则z= .
13.已知A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点,F是椭圆C的上焦点,P为椭圆C上一点,若=+m,则椭圆C的离心率e= ,椭圆C的方程为 .
14.[2024·鹤壁二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点O为△ABC外接圆的圆心,若a=,且c+2cos C=2b,=m+n,则m+n的最大值为 .
小题11 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·长沙长郡中学一模] 已知集合A={1,2},B={2,4},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则C中元素的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.在一次模拟考试中,三所学校高三年级的参考人数分别为500,800,700.现按比例分配的分层随机抽样的方法从三所学校高三年级的参考学生中抽取样本,经计算得三所学校高三年级参考学生数学成绩的样本平均数分别为92,105,100,则三所学校高三年级参考学生数学成绩的总样本平均数为 ( )
A.101 B.100
C.99 D.98
3.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),则a2024= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.[2024·宁波十校模拟] 已知平面向量a,b满足a=(1,2),|b-2a|=4且(b-2a)⊥a,则|b|=( )
A. B.5
C. D.6
5.[2024·湖北十一校联考] 如图,A是平面α内一定点,B是平面α外一定点,且AB=4,直线AB与平面α所成的角为45°.若平面α内的动点M到点A,B的距离相等,则线段AM的长度的最小值为 ( )
A.4 B.2
C.2 D.
6.[2024·阜阳一模] 设a=log23,b=log812,c=lg 15,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.b7.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-a,0),B(a,0),其中a>0,若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=a2上存在点P满足·=3a2,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.[1,+∞)
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2=ab,c=2,当△ABC的面积取得最大值时,cos C= ( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·绍兴模拟] 国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数,其中北方和南方各4个城市的90 m2及以下二手住宅销售价格的环比数据如下:
北方城市 环比(单位:%,上月=100) 南方城市 环比(单位:%,上月=100)
北京 99.5 上海 99.5
天津 99.6 南京 99.3
济南 99.6 南昌 99.6
哈尔滨 99.7 福州 99.6
则 ( )
A.4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差
B.4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值
C.4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差
D.4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数
10.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点在直线l:x+y-1=0上,且l交C于A,B两点,D为C上异于A,B的一点,则 ( )
A.p=2
B.·=4
C.|AB|=8
D.有且仅有3个点D,使得△ABD的面积为4
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+6)=f(-2x),且f(x-1)+f(x+1)=f(-2),若f=1,则 ( )
A.f(2024)=1
B.f(x)的图象关于直线x=-3对称
C.f(x)是周期函数
D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·唐山二模] 已知i为虚数单位,复数z满足(1-3i)·z=|3+4i|,则复数z的虚部为 .
13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是 .
14.[2024·长沙一中二模] 设f(x)=|log2x+ax+b|(a>0),记函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最大值为Mt(a,b),若对任意b∈R,都有Mt(a,b)≥+1,则实数t的最大值为 .
小题12 “8+3+3”73分练
(时间:40分钟 分值:73分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·吕梁一模] 设集合A={x|1A.A∪B=B B.A∩B=B
C.A=B D.A B
2.[2024·湖北七市州模拟] 已知正方形ABCD的边长为2,P为BC边上的点,若=,则·= ( )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
3.[2024·唐山一模] 从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形,则能构成正三角形的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则S2024与a2024满足的关系式是 ( )
A.S2024=2a2024-1 B.S2024=2a2024+1
C.S2024=4a2024-3 D.S2024=4a2024+1
5.已知等腰梯形ABCD,AB=2,CD=6,圆O为梯形ABCD的内切圆,并与AB,CD分别切于点E,F,如图所示,以EF所在的直线为轴,梯形ABCD和圆O分别绕轴旋转一周形成的曲面围成的几何体的体积分别记为V1,V2,则的值为 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·北京海淀区二模] 设函数f(x)的定义域为D,对于函数f(x)图象上一点(x0,y0),若集合{k∈R|k(x-x0)+y0≤f(x), x∈D}只有1个元素,则称函数f(x)具有性质.下列函数中具有性质P1的是 ( )
A.f(x)=|x-1| B.f(x)=lg x
C.f(x)=x3 D.f(x)=-sinx
7.[2024·合肥模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,圆O:x2+y2=a2与C的渐近线在第二象限的交点为P,若tan∠FPO=,则C的离心率为 ( )
A.2 B.
C.3 D.
8.已知函数f(x)=ekx+1,g(x)=ln x.若kf(x)≥g(x),则k的取值范围为 ( )
A.(0,e] B.[e,+∞)
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若z=+i(i为虚数单位),则下列说法正确的为 ( )
A.||=1 B.z·=z2
C.z3=i D.z2+z2024=0
10.[2024·齐齐哈尔三模] 已知正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为3,P在棱A1B1上,=λ,λ∈[0,1],E为CC1的中点,则 ( )
A.当λ=0时,A到平面PBD的距离为
B.当λ=时,AE⊥平面PBD
C.三棱锥A-PBD的体积不为定值
D.AB与平面PBD所成角的正弦值的取值范围是
11.[2024·长郡中学一模] 小郡玩一种跳棋游戏,一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1~10的10个小球,每次随机抽取一个小球并放回,规定:若每次抽取号码小于或等于5的小球,则前进1步;若每次抽取号码大于5的小球,则前进2步.每次抽取小球互不影响,记小郡一共前进n步的概率为pn,则下列说法正确的是 ( )
A.p2=
B.pn=pn-1+pn-2(n≥3)
C.pn=1-pn-1(n≥2)
D.小郡一共前进3步的概率最大
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·厦门一模] 若sin=-,则cos= .
13.已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,
14.[2024·泰安四检] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点M,N在C上,且满足F1M∥F2N且|F1M|=2|F2N|,若·+=,则C的离心率为 .
解答1 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·厦门一模] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2cos B+abcos A=2c.
(1)求a;
(2)若A=,且△ABC的周长为2+,求△ABC的面积.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16. 甲、乙两人进行五局三胜制乒乓球比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.
(1)求甲赢得比赛的概率;
(2)求两人比赛局数的数学期望.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.[2024·南京一模] 如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,平面AA1D1D⊥平面ABCD,A1A=D1D=,点P是棱DD1的中点,点Q在棱BC上运动.
(1)若BQ=3QC,证明:PQ∥平面ABB1A1;
(2)若二面角P-QD-C的正弦值为,求线段BQ的长.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答2 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·石家庄一模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a2+b2+ab=c2.
(1)求角C的大小;
(2)若b=1,c=2bcos B,求△ABC的面积.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.[2024·广州一调] 已知函数f(x)=cos x+xsin x,x∈(-π,π).
(1)求f(x)的单调区间和极小值;
(2)证明:当x∈[0,π)时,2f(x)≤ex+e-x.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.某项测试共有8道题,每道题答对得5分,不答或答错得0分.某人答对每道题的概率都是,每道题的答题结果互不影响,设某人答对题目的个数为X.
(1)求此人得分的数学期望;
(2)指出此人答对几道题的概率最大,并说明理由.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答3 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·常德模拟] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2B+sin Asin B=sin2C.
(1)求角C;
(2)若a,b,c成等差数列,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P.
(1)求C的方程;
(2)设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M,N两点,求△PMN的面积.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.如图,在多面体ABCDE中,∠ACD=60°,AC=AE=2CD=2,AE∥CD,平面ABE∩平面BCD=l,AB⊥l,B在以AC为直径的圆上运动.
(1)证明:AB⊥BD;
(2)若N为AC的中点,求直线EN与平面ABD所成角的正弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答4 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某校举办乒乓球与羽毛球比赛,要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查,得到如下2×2列联表.
(1)根据表中数据,依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中,按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人,若从这15人中随机抽取2人,记X为抽到乒乓球组的学生人数,求X的分布列及数学期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
(本小题满分13分)
单位:人
性别 比赛项目 合计
乒乓球组 羽毛球组
男生 50 25 75
女生 35 40 75
合计 85 65 150
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答 题 区 域
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,△PAD是边长为2的等边三角形,PC=PB=2.
(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)若点E为棱PC的中点,求平面AEB与平面CEB夹角的余弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.[2024·聊城二模] 已知数列{an},{bn}满足a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,m为常数,若{an}为等差数列,且b4-b2=2(b3-b1)=2(a1+b1)=8.
(1)求m的值及{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前2n项和S2n.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答5 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知各项均为正数的数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且a2a4=16,S5=S3+24.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记数列{an+log2an}的前n项和为Tn,求满足Tn<2024的最大整数n.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.[2024·武汉调研] 随着科技的发展,人工智能融入了各个行业,促进了社会的快速发展,其中利用人工智能生成的虚拟角色拥有更低的人工成本,正逐步应用于直播带货中.某公司使用虚拟角色直播带货的销售金额得到逐步提升,下表统计了该公司自2024年8月使用虚拟角色直播带货后每月的销售金额情况,其中x是月份编号,y是销售金额.若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示,回答如下问题:
(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01);
(2)试求y关于x的经验回归方程,并据此预测2025年2月该公司的销售金额.
附:在经验回归方程=x+中,=,=-,样本相关系数r=;参考数据:xiyi=2463.4,=20.
(本小题满分15分)
时间 2024年8月 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
答 题 区 域
17.已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点,且其离心率为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)过点(-1,0)且斜率不为零的直线l与椭圆E交于C,D两点,A,B分别为椭圆E的左、右顶点,直线AC与直线BD交于点P,M为线段PB上一点,满足OM∥PA(O为坐标原点),试问:·是否为定值 若是,求出该定值;若不是,说明理由.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答6 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·深圳二模] 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,且AB=AC,A1B=A1C.
(1)证明:A1A⊥平面ABC;
(2)若A1A=BC=2,∠BAC=90°,求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.已知函数f(x)=e2x-(2a-1)ex-ax,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐,龙腾旺旺来”活动,活动规则:顾客投掷3枚质地均匀的骰子一次,若3枚骰子的点数都是奇数,则中“龙腾奖”,获得两张“刮刮乐”;若3枚骰子的点数之和为6的倍数,则中“旺旺奖”,获得一张“刮刮乐”;其他情况不获得“刮刮乐”.
(1)据往年统计,顾客的消费额X(单位:元)服从正态分布N(130,252),若某天该商场有20 000位顾客,请估计该天消费额X在[105,180]内的人数.
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为,刮出乙奖品的概率为.
①求顾客获得乙奖品的概率;
②若顾客已获得乙奖品,求其是中“龙腾奖”而获得的概率.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答7 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·广州一模] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知S=-(a2+c2-b2).
(1)求角B的大小;
(2)若点D在边AC上,且∠ABD=,AD=2DC=2,求△ABC的周长.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.[2024·青岛二模] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为,椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B,C两点,E的右顶点记为A(A与B,C不重合),AB∥CF1,求直线l的方程.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.如图,在四棱锥E-ABCD中,AD∥BC,2AD=BC=2,AB=,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,过点B作平面α,使得BD⊥α.
(1)证明:平面α∥平面EAC;
(2)已知点F为棱EC的中点,若EA=2,求直线AD与平面FBD所成角的正弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答8 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·嘉兴二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cos A-3cos 2A=3.
(1)求cos A的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,2b=3c,求sin C的值.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.[2024·重庆七校一模] 如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等,O,D分别是AB,CC1的中点.
(1)证明:OD∥平面AC1B1;
(2)若A1O⊥BC,且∠BAA1=60°,求平面A1AC1与平面AC1B1夹角的余弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.甲进行摸球跳格游戏.如图,图上标有第1格,第2格,…,第25格,棋子开始时在第1格.盒中有5个球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出2个球,记下颜色后放回盒中,若2个球的颜色相同,则棋子向前跳1格,若2个球的颜色不同,则棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答9 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·淮北二模] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若c=1,求△ABC周长的最大值.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.如图,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,点F在圆O的圆周上,OB=BF=1,点G是线段BF的中点.
(1)证明:EG∥平面DAF;
(2)若直线DF与圆柱底面所成的角为45°,求点G到平面DEF的距离.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.如图,已知抛物线C:x2=4y,其上有定点A(-2,1),B(6,9),动点P在抛物线上,且点P位于点A,B之间的曲线段上(不与点A,B重合),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)若点P是AQ的中点,求点P的坐标;
(2)求证:|BQ|无最大值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答10 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·青岛一模] 为促进全民阅读,建设书香校园,某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召,并开展阅读活动.开学后,学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间(单位:分钟),得到了如图所示的频率分布直方图,已知前两个小矩形的高度分别为0.007 5,0.012 5,后三个小矩形的高度比为3∶2∶1.
(1)根据频率分布直方图,估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)开学后,学校从高一年级假期日均阅读时间不低于60分钟的学生中,按照比例分配的分层随机抽样的方式,抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲,记第一周演讲的3名学生的假期日均阅读时间处于[80,100)内的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.已知函数f(x)=ln x-ax,g(x)=,a≠0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求a的最小值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.如图,在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,DE∥BC,AB=AE=,DE=2,BC=4,CD=2.
(1)证明:CD⊥PE;
(2)若点P与直线CD上一点Q的最小距离为3,求平面PBE与平面PCD夹角的余弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答11 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=求{bn}的前2n项和T2n.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.[2024·阜阳一模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),动直线l过点M(2,0),当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时,点B到直线l的距离为.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)当直线l与双曲线C交于异于A,B的两点P,Q时,记直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为矩形,底面ABC为等边三角形.
(1)证明:A1B=A1C.
(2)若A1C⊥A1B,A1A=AB=2.
(i)证明:平面A1BC⊥平面ABC;
(ii)求平面ABC与平面A1BC1的夹角的余弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答12 “15~17题” 43分练
(时间:45分钟 分值:43分)
解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,(a+c)(sin A+sin C)=bsin B+3csin A.
(1)证明:△ABC是锐角三角形;
(2)若a=2,求△ABC的面积.
(本小题满分13分)
答 题 区 域
16.如图①,在矩形ABCD中,点E在边CD上,且AD=DE=2CE=.现将△ADE沿AE向上翻折,使点D到达点P的位置,得到四棱锥P-ABCE,如图②.
(1)若点F在棱AP上,且EF∥平面PBC,求的值;
(2)若平面APE⊥平面ABCE,求平面PEC与平面ABCE夹角的余弦值.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
17.[2024·葫芦岛协作校一联] 在n个数1,2,…,n(n∈N,n≥2)构成的一个排列j1j2…jn中,若一个较大的数排在一个较小的数的前面,则称它们构成逆序(例如j2>j5,则j2与j5构成逆序),这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数,记为T(j1j2…jn),例如,T(312)=2,
(1)计算T(51243);
(2)设数列{an}满足an+1=an·T(51243)-T(3412),a1=2,求{an}的通项公式;
(3)设排列j1j2…jn(n∈N,n≥2)满足ji=n+1-i(i=1,2,…,n),若bn=T(j1j2…jn),Sn=++…+,求Sn.
(本小题满分15分)
答 题 区 域
解答13 “18题、19题”34分练
(时间:35分钟 分值:34分)
解答题:本题共2小题,共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知f(x)=ae2x-2xex(其中e=2.718 28…为自然对数的底数).
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a=时,判断f(x)是否存在极值,并说明理由;
(3)若对任意x∈R,f(x)+≤0恒成立,求实数a的取值范围.
(本小题满分17分)
答 题 区 域
19.[2024·阜阳一模] 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列.
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p1≠0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
(本小题满分17分)
答 题 区 域
解答14 “18题、19题”34分练
(时间:35分钟 分值:34分)
解答题:本题共2小题,共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知双曲线C:-=1(b>a>1)的渐近线方程为y=±x,C的半焦距为c,且a4+b4+4=4c2.
(1)求C的标准方程.
(2)若P为C上的一点,且P为圆x2+y2=4外一点,过P作圆x2+y2=4的两条切线l1,l2(斜率都存在),l1与C交于另一点M,l2与C交于另一点N,证明:
(i)l1,l2的斜率之积为定值;
(ii)存在定点A,使得M,N关于点A对称.
(本小题满分17分)
答 题 区 域
19.[2024·苏锡常镇二调] 如图所示的数阵中第m(m≥1)行共有m+1个数,第m行的第1个数为,第2个数为,第t(t≥3)个数为-.规定:=1(t∈N).
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论.
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数.
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列{an},设数列{an}的前n项和为Sn,是否存在正整数k,使得对任意正整数n,kSn≤4n-1恒成立 若存在,请求出k的最大值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分17分)
答 题 区 域
解答15 “18题、19题”34分练
(时间:35分钟 分值:34分)
解答题:本题共2小题,共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.[2024·杭州二模] 为保护森林公园中的珍稀动物,利用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动,则该型号监测器能正确识别的概率(即检出概率)为p1;若该区域没有珍稀动物活动,则该型号监测器认为有珍稀动物活动的概率(即虚警概率)为p2.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统,每台监测器(功能一致)进行独立监测识别,若任意一台监测器识别到珍稀动物活动,则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若p1=0.8,p2=0.02.
(i)在该区域有珍稀动物活动的条件下,求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率;
(ii)在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下,求指定区域实际上没有珍稀动物活动的概率(精确到0.001).
(2)若0参考数据:≈0.987,≈0.986.
(本小题满分17分)
答 题 区 域
19.[2024·莆田二检] 已知函数f(x)=ex-mx,x∈(0,+∞).
(1)证明:当m≤e时,f(x)≥0;
(2)若函数g(x)=f(x)-xln x-1有两个零点x1,x2.
①求m的取值范围;
②证明:x1+ln x2(本小题满分17分)
答 题 区 域
解答16 “18题、19题”34分练
(时间:35分钟 分值:34分)
解答题:本题共2小题,共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l:y=kx+2交C于A,B两点.过原点O作l的垂线,交直线y=-2于点M.对任意k∈R,直线AM,AB,BM的斜率成等差数列.
(1)求C的方程;
(2)若直线l'∥l,且l'与C相切于点N,证明:△AMN的面积不小于2.
(本小题满分17分)
答 题 区 域
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}满足:①数列{an}的项数有限,且项数为N,②SN=0,③|ai|=1,则称数列{an}为“N阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列{an}(1≤n≤10)为“10阶可控摇摆数列”,求{an}的通项公式.
(2)若等差数列{an}(1≤n≤2m,m∈N*)为“2m阶可控摇摆数列”,且am>am+1,求数列{an}的通项公式.
(3)已知数列{an}为“N阶可控摇摆数列”,且存在1(本小题满分17分)
答 题 区 域
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