第二章 等式与不等式（含解析）--2025-2026学年高中数学人教B版必修一单元测试
文档属性
| 名称 | 第二章 等式与不等式（含解析）--2025-2026学年高中数学人教B版必修一单元测试 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-09 16:59:33 | ||
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文档简介
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第二章 等式与不等式--2025-2026学年高中数学人教B版必修一单元测试
一、选择题
1．已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导成立的是( )
A.
B.,
C.,
D.,
2．不等式的解集为( )
A. B.
C.或 D.或
3．已知，，，则的最小值为( )
A.4 B. C. D.
4．已知,,则的最小值为( )
A.15 B.12 C.8 D.6
5．若,则的最小值为( )
A. B.0 C.2 D.3
6．已知，，，则( )
A. B. C. D.
7．已知,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．下列结论正确的是( )
A.当时,
B.当时,的最小值是2
C.当时,的最小值是5
D.设,,且,则的最小值是
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.不等式恒成立
B.若a,,则
C.若a,,满足,则
D.存在,使得成立
10．下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,则
11．已知正实数a,b满足,则( )
A.的最大值为4 B.的最大值为8
C.的最小值为 D.的最小值为8
三、填空题
12．已知,则的取值范围是________________；
13．函数的最小值为________.
14．如果,,则的取值范围是_____________.
15．函数的最小值是_________.
四、解答题
16．已知函数,.
(1)若,解不等式；
(2)解关于x的不等式.
17．已知函数,.
(1)若,解不等式；
(2)解关于x的不等式.
18．已知函数，.
(1)若方程有两根，且两根为，，求的取值范围；
(2)已知，关于x的不等式的解集为Q，若，求实数a的取值范围.
19．已知，，.求证：.
20．已知函数．
(1)当时,解关于x的不等式；
(2)当,解关于x的不等式．
参考答案
1．答案：D
解析：由,可得,则选项A判断错误；
由,,可得,则选项B判断错误；
令,,,,但是.则选项C判断错误；
由,可得,又,则,则.则选项D判断正确.
故选：D.
2．答案：A
解析：因为,所以,解得,
所以的解集为.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
4．答案：B
解析：由基本不等式可知：,
当且仅当,即时,等号成立,则的最小值为12.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为,所以,
当且仅当时,即,等号成立,
所以的最小值为2.
故选：C.
6．答案：D
解析：因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
7．答案：B
解析：设,
所以,解得,
所以,
又,,
所以,,故A,C,D错误,
故选：B.
8．答案：D
解析：A选项：当时,,,当且仅当时等号成立,但等号取不到,故,A选项错误；
B选项：当时,的最小值是2；当时,的最大值是,B选项错误；
C选项：当时,,则,
当且仅当即时等号成立,C选项错误；
D选项：当,,,
当且仅当,时等号成立
D选项正确.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：A选项：当,时,,,所以不成立,故A选项错误；
B选项：a,,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故B选项正确；
C选项：a,,由,得,
当且仅当,即时等号成立,故C选项正确；
D选项：当时,,所以存在,使得成立,D选项正确；
故选：BCD.
10．答案：CD
解析：对于A项：因为：,,所以得：,
又因为：,所以得：,故A项错误；
对于B项：令,,所以得：,但,故B项错误；
对于C项：由,得：,所以得：,故C项正确；
对于D项：由,,得：,
所以得：,故D项正确；
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：对于A,,得,当且仅当,时取等号,故A正确;
对于,当且仅当时取等号,故B错误;
对于C,,
当且仅当,时取等号,故C正确;
对于D,,当且仅当,时取等号,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：因为,故,
而,,故,
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,所以,当且仅当时取等号,故y的最小值为.
故答案为:
14．答案：
解析：,
,
又,
,
两式相加得,
故答案为：.
15．答案：
解析：由基12.
本不等式可得，
等号成立当且仅当，
所以函数的最小值是
.
故答案为：.
16．答案：(1)或；
(2)答案见解析.
解析：(1),；
解得不等式的解集为或；
(2)由,得,
①当时,得,
②当时,,,得
③当时,,则或,
④当时,,则或
⑤当时,,
综上,当时,解集为,当时,解集为,
当时,解集为或,当时,解集为或,
当时,解集为
17．答案：(1)或
(2)答案见解析
解析：(1)当时,,
所以由得,解得或,
故的解集为或.
(2)由得,
当时,不等式化为,解得,故不等式的解集为；
令,解得或,
当,即时,不等式解得或,故不等式的解集为或；
当,即时,不等式化为,解得,故不等式的解集为；
当,即时,不等式解得或,故不等式的解集为或；
当,即时,不等式解得,故不等式的解集为；
综上：当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)方程有两根，
可得，解得或，
且，，则.
由或，可得，所以的取值范围为.
(2)由，可得解得，即实数a的取值范围是.
19．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，所以，
当且仅当时取等号，即有，
于是得，
所以成立.
20．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时,原不等式即为,即,解得,
故当时,不等式的解集为.
(2)当时,不等式即为,
因为方程的解为,.
①当时,有,解原不等式可得；
②当时,有,解原不等式可得；
③当时,有,解原不等式可得.
综上,当时,原不等式的解集为；
当时,不等式的解集为.
当时,不等式的解集为.
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第二章 等式与不等式--2025-2026学年高中数学人教B版必修一单元测试
一、选择题
1．已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导成立的是( )
A.
B.,
C.,
D.,
2．不等式的解集为( )
A. B.
C.或 D.或
3．已知，，，则的最小值为( )
A.4 B. C. D.
4．已知,,则的最小值为( )
A.15 B.12 C.8 D.6
5．若,则的最小值为( )
A. B.0 C.2 D.3
6．已知，，，则( )
A. B. C. D.
7．已知,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．下列结论正确的是( )
A.当时,
B.当时,的最小值是2
C.当时,的最小值是5
D.设,,且,则的最小值是
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.不等式恒成立
B.若a,,则
C.若a,,满足,则
D.存在,使得成立
10．下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,则
11．已知正实数a,b满足,则( )
A.的最大值为4 B.的最大值为8
C.的最小值为 D.的最小值为8
三、填空题
12．已知,则的取值范围是________________；
13．函数的最小值为________.
14．如果,,则的取值范围是_____________.
15．函数的最小值是_________.
四、解答题
16．已知函数,.
(1)若,解不等式；
(2)解关于x的不等式.
17．已知函数,.
(1)若,解不等式；
(2)解关于x的不等式.
18．已知函数，.
(1)若方程有两根，且两根为，，求的取值范围；
(2)已知，关于x的不等式的解集为Q，若，求实数a的取值范围.
19．已知，，.求证：.
20．已知函数．
(1)当时,解关于x的不等式；
(2)当,解关于x的不等式．
参考答案
1．答案：D
解析：由,可得,则选项A判断错误；
由,,可得,则选项B判断错误；
令,,,,但是.则选项C判断错误；
由,可得,又,则,则.则选项D判断正确.
故选：D.
2．答案：A
解析：因为,所以,解得,
所以的解集为.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
4．答案：B
解析：由基本不等式可知：,
当且仅当,即时,等号成立,则的最小值为12.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为,所以,
当且仅当时,即,等号成立,
所以的最小值为2.
故选：C.
6．答案：D
解析：因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
7．答案：B
解析：设,
所以,解得,
所以,
又,,
所以,,故A,C,D错误,
故选：B.
8．答案：D
解析：A选项：当时,,,当且仅当时等号成立,但等号取不到,故,A选项错误；
B选项：当时,的最小值是2；当时,的最大值是,B选项错误；
C选项：当时,,则,
当且仅当即时等号成立,C选项错误；
D选项：当,,,
当且仅当,时等号成立
D选项正确.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：A选项：当,时,,,所以不成立,故A选项错误；
B选项：a,,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故B选项正确；
C选项：a,,由,得,
当且仅当,即时等号成立,故C选项正确；
D选项：当时,,所以存在,使得成立,D选项正确；
故选：BCD.
10．答案：CD
解析：对于A项：因为：,,所以得：,
又因为：,所以得：,故A项错误；
对于B项：令,,所以得：,但,故B项错误；
对于C项：由,得：,所以得：,故C项正确；
对于D项：由,,得：,
所以得：,故D项正确；
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：对于A,,得,当且仅当,时取等号,故A正确;
对于,当且仅当时取等号,故B错误;
对于C,,
当且仅当,时取等号,故C正确;
对于D,,当且仅当,时取等号,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：因为,故,
而,,故,
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,所以,当且仅当时取等号,故y的最小值为.
故答案为:
14．答案：
解析：,
,
又,
,
两式相加得,
故答案为：.
15．答案：
解析：由基12.
本不等式可得，
等号成立当且仅当，
所以函数的最小值是
.
故答案为：.
16．答案：(1)或；
(2)答案见解析.
解析：(1),；
解得不等式的解集为或；
(2)由,得,
①当时,得,
②当时,,,得
③当时,,则或,
④当时,,则或
⑤当时,,
综上,当时,解集为,当时,解集为,
当时,解集为或,当时,解集为或,
当时,解集为
17．答案：(1)或
(2)答案见解析
解析：(1)当时,,
所以由得,解得或,
故的解集为或.
(2)由得,
当时,不等式化为,解得,故不等式的解集为；
令,解得或,
当,即时,不等式解得或,故不等式的解集为或；
当,即时,不等式化为,解得,故不等式的解集为；
当,即时,不等式解得或,故不等式的解集为或；
当,即时,不等式解得,故不等式的解集为；
综上：当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)方程有两根，
可得，解得或，
且，，则.
由或，可得，所以的取值范围为.
(2)由，可得解得，即实数a的取值范围是.
19．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，所以，
当且仅当时取等号，即有，
于是得，
所以成立.
20．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时,原不等式即为,即,解得,
故当时,不等式的解集为.
(2)当时,不等式即为,
因为方程的解为,.
①当时,有,解原不等式可得；
②当时,有,解原不等式可得；
③当时,有,解原不等式可得.
综上,当时,原不等式的解集为；
当时,不等式的解集为.
当时,不等式的解集为.
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