1.2 集合的基本关系 学案5（含答案）

1.2
集合的基本关系
学案
课前预习
[读教材·填要点]
1．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
2．子集
(1)定义及记法：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)Venn图示：当AB时，用Venn图表示，如图①，图②所示．
(3)子集的性质：
①任何一个集合都是它本身的子集，即AA；
②规定空集是任何集合的子集，即A.
3．集合相等
(1)定义及记法：对于集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B．
(2)Venn图示：当A＝B时，用Venn图表示，如图所示．
4．真子集
(1)定义及记法：对于两个集合A与B，如果AB,
并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(2)Venn图示：当AB时，用Venn图表示，如图表示．
5．不包含于或不包含
(1)记法：
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)．
(2)Venn图示：
[小问题·大思维]
1．符号∈和有什么区别？
提示：符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，∈R；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须是集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}{1，0}，{x|x＜2}{x|x＜3}．
2．若AB，BC，则A C，对吗？若将“ ”换成“?”呢？
提示：对，AB，BC即是任意x∈A，必有x∈B，进而x∈C，所以AC，换成“”也对．
3．空集没有子集，对吗？若A≠，则A对吗？
提示：空集是任何集合的子集，所以，故前一种说法不对．若A≠，则A，后一种说法对．
考点一
子集、真子集的确认与个数问题
[研一题]
[例1]　已知集合M满足{1，2}M{1，2，3，4，5}，求所有满足条件的集合M.
[自主解答]　由题意知，M至少含有1，2两个元素，至多有1，2，3，4，5五个元素，所以满足条件的M有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．
若本例中条件变为{1，2}M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M共有多少个？
解：有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}共6个．
[悟一法]
(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身．
(3)含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
[通一类]
1．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0.
因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1，4}，其子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，1，4}，真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}.
考点二
集合相等及其应用
[研一题]
[例2]　已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，试求实数a，b的值．
[自主解答]　∵M＝N，
∴或
解得或或
再根据集合中元素的互异性得或
[悟一法]
解决集合相等问题的步骤：①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的互异性，则所求是可行的，否则应舍去．
[通一类]
2．若A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}，则(　　)
A．A＝B　　　　　　　　
B．AB
C．AB
D．以上都不对
解析：∵A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，
B＝{x|x＝，n∈Z}＝{0，1}．
∴A＝B.
答案：A
3．试确定整数x和y，使得
{2x，x＋y}＝{7，4}．
解：由集合相等的定义，得或
当时，解得
∵x，y∈Z，∴该组解舍去．
当时，解得符合题意．
故x＝2且y＝5.
考点三
子集关系的应用
[研一题]
[例3]　设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若BA，求实数a的取值范围．
[自主解答]　A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，
∵BA，∴分B＝A，BA两种情况讨论．
①当A＝B时，B＝{－4，0}，
即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当BA时，若B＝，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1；
若B≠，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1.
验证知B＝{0}满足条件．
综上可知，所求实数a的取值范围为a＝1或a≤－1.
[悟一法]
(1)根据两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合中元素的关系，转化为解方程或解不等式．
(2)空集是任何集合的子集，因此在处理A B(B≠ )的含参数问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况．
[通一类]
4．已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
若B?A，试求a的值．
解：由x2－2x－3＝0得，x＝－1或x＝3.
∴A＝{－1，3}．
(1)当a＝0时，方程ax＝1无解．
∴B＝，满足BA.
(2)当a≠0时，方程ax＝1的解为x＝，∴B＝{}．
∵BA＝{－1，3}．∴＝－1或＝3.
∴a＝－1或a＝.
故a的值是0或－1或.
解题高手
易错题
设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B A.求实数m的取值范围．
[错解]　∵A＝{x|－1≤x≤6}，
又∵BA，∴解得0∴实数m的取值范围是0[错因]　(1)忽略讨论B＝的情况从而导致漏解．空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B＝与B≠两种情况分别确定m的取值范围．
(2)忽略等号成立的情况，从而导致漏解和错解．利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及到两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助于数轴来建立变量间的关系，需特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)既是学习的难点，也是平时考查的重点之一，应引起足够的重视．
[正解]　∵A＝{－1≤x≤6}，
又∵BA.
(1)当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝ ，符合题意．
(2)当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠ .
由BA，借助数轴表示如图所示．
则解得0≤m≤.
综上(1)(2)所述，m＜－2或0≤m≤.
课堂强化
1．下列关系中正确的个数为(　　)
①0∈{0}，②{0}，③{0，1}{(0，1)}，
④{(1，3)}＝{(3，1)}
A．1　　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：①②正确，③④错误．
答案：B
2．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)
A．A B
B．C B
C．D C
D．A D
解析：选项A错，应当是B A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D A.
答案：B
3．设集合A＝{x|1A．a≥2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≤2
解析：∵AB，∴任意x∈A，有x∈B，结合数轴可知，a≥2.
答案：A
4．已知集合M＝{－8，1，9}，集合N＝{1，m－1}，若N M，则实数m＝
________．
解析：∵m－1∈N，NM，∴m－1∈M，
∴m－1＝－8或m－1＝9，∴m＝－7或10.
答案：－7或10
5．已知A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有________个．
解析：由题意知，这样的集合A有{1}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}共5个．
答案：5
6．已知M＝{0，2，b}，N＝{0，2，b2}，且M＝N，求实数b的值．
解：∵M＝N，M＝{0，2，b}，N＝{0，2，b2}，
∴b＝b2，解得b＝1或b＝0.
经检验知，b＝1符合要求，∴b＝1.
课下检测
一、选择题
1．下列关系正确的是(　　)
A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{(x，y)|x2－y2＝1}{(x，y)|(x2－y2)2＝1}
D．{x∈R|x2－2＝0}＝
解析：由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，A、B、D错误，C正确．
答案：C
2．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则集合A、B、C之间关系完全正确的是(　　)
A．A≠B，AC，BC
B．A＝B，AC，BC
C．A＝B，CA，CB
D．A≠B，CA，CB
解析：集合A中元素所具有的特征：x＝2k＋1＝2(k＋1)－1，∵k∈Z，∴k＋1∈Z与集合B中元素所具有的特征完全相同，∴A＝B；当k＝2n时，x＝2k＋1＝4n＋1
当k＝2n＋1时，x＝2k＋1＝4n＋3.即C是由集合A中的部分元素所组成的集合．∴CA，CB.
答案：C
3．已知A＝{－2，2012，x2－1}，B＝{0，2012，x2－3x}，且A＝B，则x的值为(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．－1，1
解析：∵A＝B，∴解得x＝1.
答案：A
4．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则M和N的关系是(　　)
A．MN　　
B．NM
C．M＝N　　
D．NM
解析：∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，∴NM.
答案：B
二、填空题
5．已知集合A＝{2，9}，集合B＝{1－m，9}，且A＝B，则实数m＝________．
解析：∵A＝B，∴1－m＝2.解得m＝－1.
答案：－1
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝.则A，B的关系是________．
解析：＝1可化为y＝x(x≠0)，可知，集合A表示直线y＝x，集合B表示剔除(0，0)点的直线y＝x.故BA.
答案：BA
7．定义A
B＝{x|x∈A且xB}，若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A
B的子集个数为________．
解析：由A
B的定义知：若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}
则A
B＝{1，3}，∴子集个数为22＝4个．
答案：4
8．设A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}．若B?A，则a的值为________．
解析：∵BA，∴a2－a＋1＝3或a.
当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验a＝－1，2均满足集合的互异性；
当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，故A＝{1，3，1}显然不满足集合元素的互异性，故a＝－1或2.
答案：－1或2
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若BA求实数a组成的集合C.
解：由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，
∴A＝{3，5}．
(1)当a＝时，由x－1＝0得x＝5.
∴B＝{5}．
∴B?A；
(2)∵A＝{3，5}且BA，
∴若B＝，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.
若B≠，则方程ax－1＝0中a≠0，得x＝.
∴＝3或＝5，即a＝或a＝.
∴C＝{0，，}．
10．已知集合A＝{x|1解：(1)当a＝0时，A＝，满足AB.
(2)当a＞0时，A＝{x|＜x＜}．
∵AB，∴≤1即a≥2.
(3)当a＜0时，A＝{x|＜x＜}．
∵AB，∴≥－2即a≤－1.
综上，实数a的范围是a＝0或a≤－1或a≥2.