1.2 集合的基本关系 学案6（含答案）

1.2
集合间的基本关系
学案
学习目标：子集的概念与运算
重点：子集的概念
难点：符号∈和 的区别
知识点一
子集
自学导引
给出下面两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
提示：不是．
问题3：集合B中的元素比集合A中的元素多，如用封闭图形表示两个集合，该怎样表示？
提示：
新知自解
1．子集
含义
对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A B(或B A)，就说集合A是集合B的子集.
图形语言
性质
任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
2．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
知识点2
集合相等
自学导引
给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
问题1：集合B能否用列举法表示出来？
提示：能，B＝{0,1}．
问题2：集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？
提示：完全相同．
新知自解
1．集合相等
对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.
2．图形语言
知识点3
真子集
自学导引
对于上面给出的两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A是集合B的子集吗？
提示：是的．
问题2：集合B是集合A的子集吗？
提示：不是．
问题3：集合A与集合B相等吗？
提示：不相等．
1．真子集
(1)含义：对于两个集合A与B，如果A B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(2)当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作A?B(或B?A)．
2．性质
(1)空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有 A.
(2)对于集合A，B，C，若A B，B C，则A C.
1．子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝ 时，A B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都使A B成立．
2．符号∈和 的区别
符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，∈R；符号 只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1} {1,0}，{x|x<2} {x|x<3}．
把握热点考向
高频考点题组化
考点一
集合间关系的判定
[例1]　下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ ＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
A．1　　　　　　　　B．2
C．3
D．4
[思路点拨]　首先要分清二者是元素与集合间的关系，还是集合与集合之间的关系．如果是集合与集合之间的关系，还需要分清是包含、真包含、不包含等关系．
[精解详析]　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，{0}是含有单元素0的集合，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．
[答案]　B
[一点通]　判断集合之间的关系其基本方法是转化为判定元素和集合间的关系．首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B，若是，则A B，否则A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A，若是，则B A，否则B A.最后下结论：若A B，B A，则A＝B；若A B，B A，则A?B，若A B，B A，则B?A，若上述三种情况均不成立，则A B，B A.
题组集训
1．下列结论正确的是(　　)
A．集合{x|x3＋1＝0，x∈R}＝
B．已知M＝{(1,2)}，N＝{(2,1)}，则M＝N
C．已知M＝{(2,3)}，N＝{2,3}，则有M N
D．已知A＝{x|x＝5k，k∈N}，B＝{x|x＝10n，n∈N}，则有B?A
解析：x＝－1时，x3＋1＝0，∴A错；(1,2)与(2,1)是不同的有序数对，∴B错；∵(2,3)为有序数对，2,3为数，∴C错．
答案：D
2．已知集合A＝{高一·三班同学}，B＝{高一·三班二组成员}，则(　　)
A．A B
B．A B
C．A?B
D．B?A
解析：由集合中元素的特点可知，D正确．
答案：D
3．指出下列各对集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
②A＝{－1,1}，
B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
③A＝{－1,1}，B＝{ ，{－1}，{1}，{－1,1}}；
④A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
⑤A＝{x|－1解：(1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A?B.
考点
2
集合相等
[例2]　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
[思路点拨]　欲求c的值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合中元素的互异性，有下面两种情况：
(1)　(2)
[精解详析]　由集合中元素的互异性，知b≠0，c≠±1，c≠0，a≠0.又A＝B，
∴或
∴a＝2ac－ac2或a＝2ac2－ac，
即c2－2c＋1＝0或2c2－c－1＝0，
又∵c≠±1，∴c＝－，
故所求实数c的值为－.
[一点通]　根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组)．要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要注意将方程(或方程组)的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去．
题组集训
4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a＝(　　)
A．1　　　　　　　　　
B．－1
C．2
D．－2
解析：∵中，a≠0，∴a＋b＝0.当b＝1时，a＝－1，这时＝－1，符合题意；当＝1时，a＝0，不合题意．故b－a＝1－(－1)＝2.
答案：C
5．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，则实数b的值为________．
解析：∵M＝N，∴b＝b2.解得b＝1或b＝0(舍去)，
∴b＝1.
答案：1
考点三
子集的应用
[例3]　试写出满足条件 ?M?{0,1,2}的所有集合M.
[思路点拨]　欲求M，首先需弄清条件“ ?M?{0,1,2}”的含义．由“ ?M”说明M为非空集合，即M中至少含有一个元素；由“M?{0,1,2}”知，M中至多含有2个元素，因此M中元素个数为1或2，故可根据元素个数逐一列出集合M.
[精解详析]　∵ ?M?{0,1,2}，∴M为{0,1,2}的非空真子集．
∴M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；
当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；
∴M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．
[一点通]　解答此类问题应根据子集、真子集的概念求解，在写集合的子集或真子集时，一般按元素由少到多的顺序一一列举，可避免重复和遗漏．
题组集训
6．集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．16
B．8
C．7
D．4
解析：A＝{0,1,2}∴，真子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．
答案：C
7．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为 ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为 ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}.
考点四
已知集合间的关系，求参数的范围
[例4]　设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B A.求实数m的取值范围．
[思路点拨]　由B A可得集合B＝ 或B中的任何一个元素都在集合A中，可借助数轴解决．
[精解详析]　当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝ ，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠ .
由B A，借助数轴表示如图所示．
则解得0≤m≤.
综上所述，实数m的取值范围是m<－2或0≤m≤.
[一点通]　
已知集合间的关系，求参数范围的步骤：
(1)化简所给集合．
(2)用数轴表示所给集合．
(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)．
(4)求解．
注意：①列关于参数的不等式(组)时，等号能否取到．
②在处理A B(B≠ )的含参数问题时，不要忽视A＝ 这种情况．
题组集训
8．设A＝{x|1A．a≥2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≤2
解析：A＝{x|1答案：A
9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，B＝{1,2}，且A?B，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{1,2}，A?B，
∴A可以是 ，{1}，{2}．
当A＝ 时，Δ＝a2－4<0，即－2当A＝{1}时，方程有两个相等的实数根，Δ＝a2－4＝0且1＋a＋1＝0，所以a＝－2；
当A＝{2}时，方程有两个相等的实数根，Δ＝a2－4＝0且4＋2a＋1＝0，此时不能成立，舍去．
综上所述，a的取值范围为{a|－2≤a<2}．
1．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2． 与0，{0}，{ }的区别与联系
与0
与{0}
与{ }
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
是集合；0是实数
不含任何元素；{0}含一个元素0
不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是空集
关系
0
?{0}
?{ }或 ∈{ }
3．判断两集合间的关系的方法
判断两个集合之间的关系，主要有以下三种方法：
应用创新演练
1．对于集合A，B，若B A不成立，则下列理解正确的是(　　)
A．集合B的任何一个元素都属于A
B．集合B的任何一个元素都不属于A
C．集合B中至少有一个元素属于A
D．集合B中至少有一个元素不属于A
解析：由于B A不成立，所以集合B中存在元素不属于A，至于有没有元素属于A不能确定．
答案：D
2．已知非空集合P满足：①P {1,2,3,4,5}，②若a∈P，则6－a∈P，符合上述条件的集合P的个数是(　　)
A．4　　　　　　　　B．5
C．7
D．31
解析：由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
答案：C
3．设A＝{x|－1a}，若A?B，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a≥3}
B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3}
D．{a|a<－1}
解析：
由A?B，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能否取得－1是正确求解的关键．
答案：B
4．设集合M＝{x|x＝－，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N
B．M?N
C．M N
D．M?N
解析：集合M的元素x＝π，是的奇数倍；集合N的元素x＝π，是的整数倍，由此可知M?N.
法二：由于是选择题，因此可用特殊值法快速求解，取k＝1,2,3，…，得M＝{…，，，，…}，
N＝{…，，，，…}．
由此可知M?N.
答案：B
5．满足{a，b} A?{a，b，c，d}的集合A有________个．
解析：集合A可以是{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．
答案：3
6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的值是________．
解析：因为集合A有且只有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
①当a＝0时，A＝{0}符合题意；
②当a≠0时，要满足题意，需有Δ＝4－4a2＝0，即a＝±1.
综上所述，a＝0，或a＝±1.
答案：0或±1
7．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．
故所求实数a的值为1.
8．已知集合A＝{x|1解：(1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝，
又B＝{x|－1∵A B，∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝{x|∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，实数a的取值范围是：a＝0或a≥2或a≤－2.