1.3.1 交集与并集 教案2

1.3.1
交集与并集
教案
1．理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．
2．掌握有关术语和符号∩和∪，能用Venn图表达集合之间的关系和运算．
1．交集
(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的________组成的集合，叫作A与B的交集，也就是由集合A与B的“公共”元素组成的集合．
当集合A和集合B无公共元素时，说集合A，B的交集为空集．
(2)符号表示：A与B的交集记作A∩B，即A∩B＝____________.
(3)图示：用Venn图表示A∩B，如图所示．
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝，(A∩B)
A，(A∩B)
B，ABA∩B＝A.
【做一做1】
设集合A＝{1,3,5,8}，B＝{5,6,8}，则A∩B等于(
)．
A．{5}
B．{5,8}
C．{8}
D．{1,3,5,6,8}
2．并集
(1)定义：一般地，由属于集合A____属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，也就是由集合A与B的“全部”元素组成的集合．
当元素a是集合A，B的公共元素时，由集合元素的互异性知，集合A与B的并集中仅有一个元素a，不能有两个相同的元素a.
(2)符号表示：A与B的并集记作A∪B，即A∪B＝____________.
“x∈A或x∈B”包含三种情况：①x∈A，但xB；②x∈B，但xA；③x∈A，且x∈B.
(3)图示：用Venn图表示A∪B，如图①②所示．
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪＝A，A
(A∪B)，B
(A∪B)，ABA∪B＝B.
【做一做2】
已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于(
)．
A．{x|x≥－1}
B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2}
D．{x|－1≤x≤2}
答案：1．(1)所有元素　(2){x|x∈A，且x∈B}
【做一做1】
B　依据交集的定义，用Venn图表示或观察A，B中的元素，如图所示，可得A∩B＝{5,8}．
2．(1)或　(2){x|x∈A，或x∈B}
【做一做2】
A　用数轴表示集合A和B，如图所示，
则阴影部分就是A∪B，
所以A∪B＝{x|x≥－1}．
1．对于A∩B＝，存在哪几种可能的情况？
剖析：存在三种情况：
(1)集合A，B均为空集；
(2)集合A，B中有一个是空集；
(3)集合A，B均为非空集，但无相同元素．
2．为什么集合{x|x∈A，或x∈B}与集合{x|x∈A，且x∈B}不一定相等？
剖析：在数学中，“或”表示至少有一个成立，而“且”表示都成立．“x∈A，或x∈B”表示元素x可能在集合A中，也可能在集合B中，也可能同时在集合A和B中，因此集合{x|x∈A，或x∈B}是集合A和B的并集．而“x∈A，且x∈B”仅表示元素x同时在集合A和B中，即是集合A和B的公共元素，因此集合{x|x∈A，且x∈B}表示集合A和B的交集．所以这两个集合不一定相等，并且有{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈A，或x∈B}．
例如，集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4}，则集合{x|x∈A，或x∈B}＝{1,2,3,4}＝A∪B，而集合{x|x∈A，且x∈B}＝{3}＝A∩B.很明显此时{x|x∈A，或x∈B}≠{x|x∈A，且x∈B}，且{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈A，或x∈B}．
题型一
集合的基本运算
【例1】
已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.
分析：已知集合A，B都是无限集合，要求A∩B，A∪B，可借助数轴直观求解．
反思：利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求出集合的交集、并集，是必须掌握且要熟练运用的方法．
题型二
交集与并集的综合应用
【例2】
设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.
分析：欲求A∪B，关键在于求出a，由条件A∩B＝{2,3}，根据交集的定义，可得|a＋1|＝2，从而求出A，B.
反思：本例中，抓住A∩B＝{2,3}，联想交集性质A∩BA，从而得到2和3均在A中，推知|a＋1|＝2.由此可知捕捉解题的“题眼”，找到解题切入点，是顺利解题的关键，若已知中含有未知字母(或参数)，在解出未知字母(或参数)后，应代入原集合进行检验，最后再进行并、交运算．
题型三
由集合间的关系求参数的取值范围
【例3】
设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
分析：集合A，B均是关于x的一元二次方程的解集，由A∪B＝A可得BA，通过讨论集合B是否为空集来求得a的取值范围．
反思：通过深刻理解集合表示法的转换及集合之间的关系，把求参数取值范围问题转化为不等式、方程等常见的数学问题，这称为数学的转化与化归思想，也是常用的数学方法．
解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B＝的情形，其原因是对BA的理解不够充分．对于BA，当A≠时，则有B＝或B≠.避免出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和注意经验的积累．
答案：【例1】
解：分别在数轴上表示集合A和B，
根据A∩B，A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
【例2】
解：∵2∈A，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3.
当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.由集合元素的互异性知a≠1.
当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，即集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
【例3】
解：A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解集．
∵A∪B＝A，∴BA.
∵A＝{－1,2}≠，∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋x＋a＝0无实数解，则有Δ＝1－4a＜0，即此时有a＞.
当B≠时，即关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数解．
若B中仅有一个元素，则Δ＝0，即a＝，
此时B＝＝.
∵－A，∴B不是A的子集，即a＝不合题意．
若B中含有两个元素，则必有B＝{－1,2}，则－1和2是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解，
∴即
∵1≠－1，∴此时不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是.
1
(2010广东高考，文1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝(
)．
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2}
D．{0}
2
若集合P＝{x|x2＝1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M等于(
)．
A．{3}
B．{1}
C．{－1}
D．
3
已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x≤1，或x≥2}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是(
)．
A．a≤1
B．a＜1
C．a≥2
D．a＞2
4
若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝__________.
5
(2010福州三中期中，17)已知集合A＝{2，a－1}，B＝{a2－7，－1}，且A∩B＝{2}，求实数a的值．
答案：1．A　因为A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，
所以A∪B＝{0,1,2,3,4}．
2．C　P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．所以P∩M＝{－1}，故选C.
3．C　如图所示，要使A∪B＝R，则a位于2的右边或与2重合，即a≥2.
4．2　∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.
5．解：∵A∩B＝{2}，∴2∈A且2∈B.
∴a2－7＝2.∴a＝3或a＝－3.
当a＝3时，集合A中的元素a－1＝2，不符合集合中元素的互异性，∴a＝3舍去．
当a＝－3时，A＝{2，－4}，B＝{2，－1}，符合已知A∩B＝{2}．
综上所述，a＝－3.