1.3.1 交集与并集 教案3
图片预览
文档简介
1.3.1
交集与并集
教案
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
1.3.1 交集与并集
导入新课
思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．
思路3.(1)①如图1中甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1
②观察集合A，B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
①通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
②用文字语言来叙述上述问题中集合A，B与集合C之间的关系．
③用数学符号来描述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．
④试用Venn图表示A∪B＝C.
⑤请给出集合并集的定义．
⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们观察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？
A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；
A＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}．
⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算，并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示．
讨论结果：①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫作求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集，记为A∪B＝C，读作A并B.
②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
③C＝{x|x∈A，或x∈B}．
④如图1所示．
⑤一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.A∩B＝C，A∪B＝C.
⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，用Venn图表示，如图2所示．
图2
思路1
例1
某学校所有男生组成集合A，一年级的所有学生组成集合B，一年级的所有男生组成集合C，一年级的所有女生组成集合D.求A∩B，C∪D.
活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法．
解：A∩B＝{x|x是该校一年级的男生}＝C；
C∪D＝{x|x是该校一年级学生}＝B.
点评：本题主要考查集合的并集和交集.
变式训练
1．设集合A＝{x|x是不大于10的正奇数}，B＝{x|x是12的正约数}．求A∩B，A∪B.
解：A＝{x|x是不大于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，
B＝{x|x是12的正约数}＝{1,2,3,4,6,12}，
A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9,12}．
2．集合P＝{1,2,3，m}，M＝{m2,3}，P∪M＝{1,2,3，m}，则m＝________.
分析：由题意得m2＝1或2或m，解得m＝－1或1或或－或0.因m＝1不合题意，故舍去．
答案：－1或或－或0
3．满足A∪B＝{0,2}的集合A与B的组数为( )．
A．2 B．5 C．7 D．9
分析：∵A∪B＝{0,2}，∴A{0,2}．则A＝或A＝{0}或A＝{2}或A＝{0,2}．当A＝时，B＝{0,2}；当A＝{0}时，则集合B＝{2}或{0,2}；当A＝{2}时，则集合B＝{0}或{0,2}；当A＝{0,2}时，则集合B＝或{0}或{2}或{0,2}，则满足条件的集合A与B的组数为1＋2＋2＋4＝9.
答案：D
4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )．
A．1
B．3
C．4
D．8
分析：转化为求集合A子集的个数．很明显3A，又A∪B＝{1,2,3}，必有3∈B，即集合B中至少有一个元素3，其他元素来自集合A中，则集合B的个数等于A＝{1,2}的子集个数，又集合A中含有2个元素，则集合A有22＝4个子集，所以满足条件的集合B共有4个．
答案：C
例2
设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B.
活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A，B分别表示出来．
解：将A＝{x|－1＜x＜2}及B＝{x|1＜x＜3}在数轴上表示出来，如图3所示的阴影部分即为所求．
图3
由图，得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x＜2}．
点评：本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的集合，运算时常利用数轴来计算结果.
变式训练
1．设集合A＝{x|2x－4＜2}，B＝{x|2x－4＞0}，求A∪B，A∩B.
答案：A∪B＝R，A∩B＝{x|2＜x＜3}．
2．设集合A＝{x|2x－4＝2}，B＝{x|2x－4＝0}，求A∪B，A∩B.
答案：A∪B＝{3,2}，A∩B＝.
3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )．
A．[0,2]
B．[1,2]
C．[0,4]
D．[1,4]
分析：在同一条数轴上表示出集合A，B，如图4所示．由图，得A∩B＝[0,2]．
图4
答案：A
思路2
例1
集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上表示出来，那么运算结果的寻求就容易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：把集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}在数轴上表示，如图5所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝.
图5
点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，借助于直观图示(数轴或Venn图)写出结果.
变式训练
1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N＋，
因n∈N＋，故n－1∈N，有2n－1∈N，
那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，
所以AB.
而10∈B但10A，
即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
2.设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.
解：因A∩B＝{9}，
则9∈A，
则a－1＝9或a2＝9，a＝10或a＝±3.
当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9，
则A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}．
∴A∩B＝{9}，
即a＝10符合题意．
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．
故a＝10，此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．
3．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于( )．
A．{x|－3＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－3}
D．{x|x＜1}
分析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．
答案：A
例2
设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的取值范围．
活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，
∴BA.
∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
变式训练
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
分析：由A∪B＝A，得BA，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．
解：∵A∪B＝A，∴BA.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠.
当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
当B≠时，观察图6：
图6
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
1．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪0B；
(2)用适当的符号(或)填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A，B两集合的所有元素为3,4,5,6,7,8，
故A∪B＝{3,4,5,
6,7,8}．
(2)(A∩B)
A，B(A∩B)，(A∪B)A，(A∪B)B，(A∩B)
(A∪B)．
2．设集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设集合A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故A、B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝.
4．设集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A，B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知集合M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.
分析：M，N中元素是数，A，B中元素是平面内点集，关键是找其元素．
解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，则A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．
7．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )．
A．AC B．CA C．A≠C D．A＝
分析：思路一：∵(B∩C)B，(B∩C)C，A∪B＝B∩C，
∴(A∪B)B，(A∪B)C.∴ABC.∴AC.
思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B，D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，
而此时A＝C，排除C.
答案：A
观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
(2)当A＝时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．(1)(2)(3)中的集合A，B均满足AB，用Venn图表示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．
解：A∩B＝AABA∪B＝B.
可用类似方法得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A(A∪B)，B(A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，ABA∪B＝B；
A∩B＝B∩A；(A∩B)A，(A∩B)B；A∩A＝A；A∩＝；ABA∩B＝A.
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．习题1—3 A组3,4.
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．
交集与并集
教案
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
1.3.1 交集与并集
导入新课
思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．
思路3.(1)①如图1中甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1
②观察集合A，B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
①通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
②用文字语言来叙述上述问题中集合A，B与集合C之间的关系．
③用数学符号来描述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．
④试用Venn图表示A∪B＝C.
⑤请给出集合并集的定义．
⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们观察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？
A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；
A＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}．
⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算，并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示．
讨论结果：①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫作求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集，记为A∪B＝C，读作A并B.
②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
③C＝{x|x∈A，或x∈B}．
④如图1所示．
⑤一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.A∩B＝C，A∪B＝C.
⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，用Venn图表示，如图2所示．
图2
思路1
例1
某学校所有男生组成集合A，一年级的所有学生组成集合B，一年级的所有男生组成集合C，一年级的所有女生组成集合D.求A∩B，C∪D.
活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法．
解：A∩B＝{x|x是该校一年级的男生}＝C；
C∪D＝{x|x是该校一年级学生}＝B.
点评：本题主要考查集合的并集和交集.
变式训练
1．设集合A＝{x|x是不大于10的正奇数}，B＝{x|x是12的正约数}．求A∩B，A∪B.
解：A＝{x|x是不大于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，
B＝{x|x是12的正约数}＝{1,2,3,4,6,12}，
A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9,12}．
2．集合P＝{1,2,3，m}，M＝{m2,3}，P∪M＝{1,2,3，m}，则m＝________.
分析：由题意得m2＝1或2或m，解得m＝－1或1或或－或0.因m＝1不合题意，故舍去．
答案：－1或或－或0
3．满足A∪B＝{0,2}的集合A与B的组数为( )．
A．2 B．5 C．7 D．9
分析：∵A∪B＝{0,2}，∴A{0,2}．则A＝或A＝{0}或A＝{2}或A＝{0,2}．当A＝时，B＝{0,2}；当A＝{0}时，则集合B＝{2}或{0,2}；当A＝{2}时，则集合B＝{0}或{0,2}；当A＝{0,2}时，则集合B＝或{0}或{2}或{0,2}，则满足条件的集合A与B的组数为1＋2＋2＋4＝9.
答案：D
4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )．
A．1
B．3
C．4
D．8
分析：转化为求集合A子集的个数．很明显3A，又A∪B＝{1,2,3}，必有3∈B，即集合B中至少有一个元素3，其他元素来自集合A中，则集合B的个数等于A＝{1,2}的子集个数，又集合A中含有2个元素，则集合A有22＝4个子集，所以满足条件的集合B共有4个．
答案：C
例2
设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B.
活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A，B分别表示出来．
解：将A＝{x|－1＜x＜2}及B＝{x|1＜x＜3}在数轴上表示出来，如图3所示的阴影部分即为所求．
图3
由图，得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x＜2}．
点评：本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的集合，运算时常利用数轴来计算结果.
变式训练
1．设集合A＝{x|2x－4＜2}，B＝{x|2x－4＞0}，求A∪B，A∩B.
答案：A∪B＝R，A∩B＝{x|2＜x＜3}．
2．设集合A＝{x|2x－4＝2}，B＝{x|2x－4＝0}，求A∪B，A∩B.
答案：A∪B＝{3,2}，A∩B＝.
3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )．
A．[0,2]
B．[1,2]
C．[0,4]
D．[1,4]
分析：在同一条数轴上表示出集合A，B，如图4所示．由图，得A∩B＝[0,2]．
图4
答案：A
思路2
例1
集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上表示出来，那么运算结果的寻求就容易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：把集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}在数轴上表示，如图5所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝.
图5
点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，借助于直观图示(数轴或Venn图)写出结果.
变式训练
1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N＋，
因n∈N＋，故n－1∈N，有2n－1∈N，
那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，
所以AB.
而10∈B但10A，
即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
2.设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.
解：因A∩B＝{9}，
则9∈A，
则a－1＝9或a2＝9，a＝10或a＝±3.
当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9，
则A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}．
∴A∩B＝{9}，
即a＝10符合题意．
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．
故a＝10，此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．
3．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于( )．
A．{x|－3＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－3}
D．{x|x＜1}
分析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．
答案：A
例2
设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的取值范围．
活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，
∴BA.
∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
变式训练
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
分析：由A∪B＝A，得BA，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．
解：∵A∪B＝A，∴BA.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠.
当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
当B≠时，观察图6：
图6
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
1．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪0B；
(2)用适当的符号(或)填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A，B两集合的所有元素为3,4,5,6,7,8，
故A∪B＝{3,4,5,
6,7,8}．
(2)(A∩B)
A，B(A∩B)，(A∪B)A，(A∪B)B，(A∩B)
(A∪B)．
2．设集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设集合A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故A、B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝.
4．设集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A，B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知集合M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.
分析：M，N中元素是数，A，B中元素是平面内点集，关键是找其元素．
解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，则A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．
7．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )．
A．AC B．CA C．A≠C D．A＝
分析：思路一：∵(B∩C)B，(B∩C)C，A∪B＝B∩C，
∴(A∪B)B，(A∪B)C.∴ABC.∴AC.
思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B，D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，
而此时A＝C，排除C.
答案：A
观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
(2)当A＝时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．(1)(2)(3)中的集合A，B均满足AB，用Venn图表示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．
解：A∩B＝AABA∪B＝B.
可用类似方法得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A(A∪B)，B(A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，ABA∪B＝B；
A∩B＝B∩A；(A∩B)A，(A∩B)B；A∩A＝A；A∩＝；ABA∩B＝A.
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．习题1—3 A组3,4.
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．