1.3.2 全集与补集 教案1

1.3.2
全集与补集
教案
教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对的观点.
教学重点：补集的概念.
教学难点：补集的有关运算.
课
型：新授课
教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.
自学导引
设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，C＝{1,3,5}．
问题1：集合B∪C等于什么？
提示：B∪C＝A.
问题2：集合B与集合C的交集是什么？
提示：B∩C＝ .
新知自解
1．全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．常用符号U表示．
2．补集
(1)设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作 UA.
(2)符号表示： UA＝{x|x∈U，且x A}．
(3)Venn图表示
3．补集的性质
(1)A∪( UA)＝U；
(2)A∩( UA)＝ .
1．全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．
2．补集的定义可以解释为：如果从全集U中取出A的全部元素，则所剩下的元素组成的集合就是 UA.
把握热点考向
高频考点题组化
考点一
补集的运算
[例1]　(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2[思路点拨]　(1)先求出 UA和 UB，利用数轴解决．
(2)先写出集合U和集合B，再利用交集、补集的定义或Venn图求解．
[精解详析]　(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0可知 UA＝{x|1 UB＝{x|3结合数轴(如图)．
可知( UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；
(2)法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
[一点通]　
1．在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中注意边界问题．
2．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn图求解．
题组集训
1．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则 MN＝(　　)
A． 　　　　　　　　B．{1,3,5}
C．{2,4}
D．{1,2,3,4,5}
解析：由题意知 MN＝{1,3,5}．
答案：B
2．设全集U＝{x∈N＋|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则 U(A∪B)等于(　　)
A．{1,4}
B．{1,5}
C．{2,4}
D．{2,5}
解析：U＝{x∈N＋|x<6}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴ U(A∪B)＝{2,4}．
答案：C
3．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1(1)求A∩B；(2)求( UB)∪P；(3)求(A∩B)∩( UP)．
解：如图所示
(1)A∩B＝{x|－1(2)∵ UB＝{x|x≤－1，或x>3}，
∴( UB)∪P＝{x|x≤0，或x≥}；
(3) UP＝{x|0(A∩B)∩( UP)＝{x|－1＝{x|0考点二
Venn图在集合运算中的应用
[例2]　设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩( UB)＝{3,5}，( UA)∩B＝{7,19}，( UA)∩( UB)＝{2,17}，求集合A，B.
[思路点拨]　利用列举法可求得集合U，然后利用Venn图处理．
[精解详析]　因为U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn图，如图所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
[一点通]　Venn图直观形象，特别是在有限集的运算中，效果比较明显，对集合A，B而言，有下图：
用好此图，在解题中能起到事半功倍的效果．
题组集训
4．如果U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，那么( UA)∩( UB)等于(　　)
A．{1,2}
B．{3,4}
C．{5,6}
D．{7,8}
解析：如图所示，阴影部分为( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{7,8}．
答案：D
5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30 x＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．
答案：12
考点三
交集、并集、补集的应用
[例3]　已知集合A＝{x|2a－2[思路点拨]　先求出 RB，再分类讨论，由A? RB求出a.
[精解详析]　 RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ ，
∵A? RB，∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
(1)若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2；
(2)若A≠ ，则有或
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是：a≤1或a≥2.
[一点通]　解答有关交、并、补集综合运算及含参数的问题，常借助Venn图和数轴，采用数形结合的思想给予解答，在解答过程中注意集合运算性质的等价转化及端点值的取舍．
题组集训
6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且( UA)∩B≠ ，则实数k的取值范围为(　　)
A．k＜0或k＞3
B．2＜k＜3
C．0＜k＜3
D．－1＜k＜3
解析：∵ UA＝{x|1＜x＜3}，( UA)∩B≠ ，
∴1＜k＜3或1＜k＋1＜3，
∴0＜k＜3.
答案：C
7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
解：由条件( UA)∩B＝{2}和A∩( UB)＝{4}，知2∈B，但2 A；4∈A，但4 B.将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程式，得
即解得a＝，b＝－.
1．补集的性质
① UU＝ ；② U( UA)＝A；
③ U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
④ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
2．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免讨论，可以借助补集思想来求解，即从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应集合的补集．