1.3.2 全集与补集 教案2
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文档简介
1.3.2 全集与补集
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生参与并深刻体会全集的必要性，理解集合的子集、补集的含义，会求补集．
(2)能够应用Venn图和数轴表述集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
通过对全集补集概念、性质、规律的探究，不断提高学生抽象概括能力，培养数形结合能力，掌握归纳类比的方法．
3．情感、态度与价值观
(1)在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识．
(2)在将所学知识系统化、条理化的基础上通过合作学习的形式，培养学生积极参与的主体意识.
(3)在感受生活中集合实例的同时，让学生认识到数学的科学价值、应用价值．
●重点难点
重点：补集概念的理解及初步应用．
难点：全集的理解，补集应用中方法规律的探究．
全集、补集的理解是本节课的难点，难在概念的理解和认识．为此，从学生熟悉的“补角”引入．当同学们回答出“规定”“定义”时，就有了对全集的初步感知．我们必须给学生充分的时间让他们思考交流．全集与补集相辅相成，理解了全集概念，补集概念的形成水到渠成．然后把重点放在语言转换与性质归纳上．在学生概括出补集定义之后，引导学生类比交、并集得出符号语言、图示语言两种表示形式．通过类比，学生的知识迁移能力得到提高，同时学生从中体会到数学的符号美、图形美，也即数学的简约美．
(教师用书独具)
●教学建议
新课标强调丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会自主学习，为终身学习和发展打下良好的基础．根据本节课内容和学生的实际，采用分组研究、小组展示、过程评价的授课方式，把知识探究、变式深入与必要的讲述相结合的教法进行教学.
学生借助多媒体和导学案积极思考，通过师生、生生的多方交流，经历“探究→展示→应用→反思→总结”的数学学习的模式，进一步培养自主探究、合作学习的能力．
●教学流程
旧知新问，以旧探新，通过补角、方程在不同范围内的解等问题的引入，使学生逐渐发现全集的内涵． 通过自然语言、符号语言、图形语言，加深对补集的理解 完成例1、例2及其变式训练，加深对全集、补集的理解和应用
通过例3及其变式训练，强化补集运算的应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解全集、补集的含义及符号表示．(易混点)
2.会求给定集合的补集．(重点)
3.熟练掌握集合的交、并、补运算．(难点)
类型1
全集与补集
【问题导思】
1．观察下列集合之间有怎样的关系？
(1)U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{4,5}．
(2)U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}．
【提示】 集合A和集合B的元素合起来就是集合U的全部元素．
2．在问题1中，A∩B是什么？在U中去掉A中所含有的元素后剩余的是集合B的所有元素吗？
【提示】 A∩B＝ .是．
1．全集的概念
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
2．补集的概念
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)，记作 UA
符号语言
若A U，则 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
3.补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的概念可得：
(1) UU＝ ； (2) U ＝U；
(3) U( UA)＝A； (4)A∪( UA)＝U；
(5)A∩( UA)＝ .
类型2
补集运算
已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求 UB.
【思路探究】 利用A∪( UA)＝U和已知先求出全集U，然后求 UB，可借助于数轴进行．
【自主解答】 因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪( UA)＝{x|x>2}．
所以 UB＝{x|21．解答本题，依据A∪( UA)＝U求全集U是关键环节．
2．求补集运算，
一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．
已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求 RA， RB.
【解】 借助数轴，由图可知：
RA＝{x|1≤x≤2}， RB＝{x|－3≤x＜1}．
类型3
交、并、补的综合运算
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，
B＝{x|2【思路探究】 先计算括号内的部分，再进行其它运算．
【自主解答】 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|21．解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
2．解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求( UA)∩B时，可先求出 UA，再求交集；求 U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集．
(1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则 U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7}
D．{1,3,5,6,8}
(2)(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1A．(1,4)
B．(3,4)
C．(1,3)
D．(1,2)∪(3,4)
【解析】 (1)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴ U(A∪B)＝{6,8}．
(2)解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，
∴B＝[－1,3]，则 RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∴A∩( RB)＝(3,4)．
【答案】 (1)A (2)B
类型4
根据补集运算求参数
(2013·太原高一检测)设全集U＝R，M＝{x|3a【思路探究】 先求出 UP，再分类讨论求出a的取值范围．
【自主解答】 UP＝{x|x<－2或x>1}，
∵M? UP，∴分M＝ ，M≠ 两种情况讨论．
(1)M＝ 时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5，
(2)M≠ 时，如图可得：
，或，
∴a≤－或≤a<5，
综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥或a≤－}．
1．解答本题的关键是利用M? UP，对M＝ 与M≠ 进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解．
2．补集的性质( UA)∪A＝U， UA U，A U在解题中经常用到．
已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|x>a}，且 UA B，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A＝{x|x<1}，U＝R，
∴ UA＝{x|x≥1}，
∵ UA B，如图所示，
∴a<1.
∴实数a的取值范围为{a|a<1}.
(对应学生用书第10页)
补集思想在求参数范围问题中的应用
(12分)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围．
【规范解答】 设全集U＝{a|(－4a)2－4(2a＋6)≥0}＝{a|a≤－1或a≥}.
2分
若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且
6分
解得a≥，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为{a|a≥}.
8分
其在全集U＝{a|a≤－1或a≥}中的补集为{a|a≤－1}.10分
∴满足题意的实数a的取值范围是{a|a≤－1}.
12分
1．对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，它是处理问题的间接化原则的体现．
2．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，如已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
3．补集作为一种思想方法，对于我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
1．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
2． UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
1．(2012·广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6}
D．{2,4,6}
【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴ UM＝{3,5,6}．
【答案】 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图1－3－1所示，阴影部分表示的集合是( )
图1－3－1
A．{3,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,5}
D．{3,4}
【解析】 由图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴ U(M∪N)＝{3,4}．
【答案】 D
3．(2013·深圳高一检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则 UA＝________.
【解析】 ∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，
∴ UA＝{x|0＜x＜1}．
【答案】 {x|0＜x＜1}
4．设全集U＝R，A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|x－2≥0}，判断 UA与 UB之间的关系．
【解】 因为A＝{x|x<－1或x>1}，
所以 UA＝{x|－1≤x≤1}．
因为B＝{x|x－2≥0}，
所以 UB＝{x|x<2}，
所以 UA? UB.
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x＜1}，则 RA＝( )
A．{x|x＞1} B．x≥1
C．{x|x≥1}
D．
【解析】 结合补集的定义，借助数轴知 RA＝{x|x≥1}．
【答案】 C
2．(2013·福州高一检测)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0C．{x|x<0}
D．{x|x>1}
【解析】 UB＝{x|x≤1}，∴A∩( UB)＝{x|0【答案】 B
3．图1－3－2中的阴影表示的集合是( )
图1－3－2
A．A∩( UB)
B．B∩( UA)
C． U(A∩B)
D． U(A∪B)
【解析】 阴影部分表示A以外的部分与B的交集，故阴影部分表示的集合为B∩( UA)．故选B.
【答案】 B
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N
B．M∩N
C．( UM)∪( UN)
D．( UM)∩( UN)
【解析】 ∵ UM＝{1,4,5,6}， UN＝{2,3,5,6}，
∴( UM)∩( UN)＝{5,6}，故选D.
【答案】 D
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1}
B．{a|a<1}
C．{a|a≥2}
D．{a|a>2}
【解析】 RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪( RB)＝R，∴a≥2.
【答案】 C
二、填空题
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x<5}，则 AB＝________.
【解析】 把集合A看作全集，故 AB＝{x|0≤x<2或x＝5}．
【答案】 {x|0≤x<2或x＝5}
7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x【解析】 ∵A∪( UA)＝U，
∴A＝{x|1≤x<2}．∴a＝2.
【答案】 2
8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
【解析】 ∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴9＋3m＝0，∴m＝－3.
【答案】 －3
三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2【解】 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－310．(2013·沈阳高一检测)已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B RA，求实数m的取值范围．
【解】 (1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}，
(2) RA＝{x|x≤－1或x＞3}，当B＝ 时，即m≥1＋3m得m≤－满足B RA，
当B≠ 时使B RA即或解得m＞3，综上所述，m的取值范围是{m|m≤－或m>3}．
11．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩( RB)＝A，求实数m的取值范围．
【解】 (1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，
所以
所以所以m＝2；
(2) RB＝{x|xx>m＋2}，由已知可得A RB，所以
m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.
故实数m的取值范围为{m|m>5或m<－3}.
(教师用书独具)
设集合U＝{x∈N＋|x≤10}，A?U，B?U，且A∩B＝{4,5}，( UB)∩A＝{1,2,3}，( UA)∩( UB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
【思路探究】 此题条件较多，可采用数形结合的方法用Venn图将已知条件在图中标出，从图中找出所求．这样就可以将抽象问题直观化，从而使问题得到快速解答．
【自主解答】 根据题意，画出Venn图如下：
∵A∩B＝{4,5}，∴将4、5写在A∩B中．
∵( UB)∩A＝{1,2,3}，
∴1、2、3写在A中，且不在A∩B内．
∵( UA)∩( UB)＝{6,7,8}，即 U(A∪B)＝{6,7,8}，
∴将6、7、8写在U中A、B之外．
∵( UB)∩A与( UA)∩( UB)中均无9、10，
∴9、10在B中且不在A∩B中，故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
在运用Venn图解题时，必须熟悉图形中各部分是如何用集合的交、并、补集表示的，一般地，全集U的子集A与B把全集分为四个区域：A∩( UB)，( UA)∩B，A∩B， U(A∪B)(如图所示)，在已知全集U和其中三个区域内的元素的情况下，就可以确定第四个区域内的元素．解题时为了直观，可将集合U中的元素依次填入相应的区域内．
设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．(M∩P)∩N
B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩( UN)
D．(M∩P)∪( UN)
【解析】 如图，阴影部分为M∩P，而题目要求的是在M∩P的基础上去掉被集合N覆盖的部分，换句话说即是与 UN做交运算．从而题图中阴影部分表示的集合为(M∩P)∩( UN)，故选C.
【答案】 C
开阔视野
若A为有限集，作集合A中元素的个数为cardA，那么两个有限集合A、B并集的元素个数(即cardA∪B)，应如何求？
由图示可以清楚地看到
card(A∪B)＝cardA＋cardB－card(A∩B)，类似地我们可以考虑三个有限集、四个有限集并集中元素的个数应该如何求？是否还可进一步推广呢？
这种用图示来解决集合与集合之间关系的方法，简便易行，明确直观，也从一个侧面体现了数形结合的思想．用这种方法，可以轻松地验证如下结论：
(1)若A B，则 UB UA
(2) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)
(3) U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
(4)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
(5)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)等等.
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生参与并深刻体会全集的必要性，理解集合的子集、补集的含义，会求补集．
(2)能够应用Venn图和数轴表述集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
通过对全集补集概念、性质、规律的探究，不断提高学生抽象概括能力，培养数形结合能力，掌握归纳类比的方法．
3．情感、态度与价值观
(1)在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识．
(2)在将所学知识系统化、条理化的基础上通过合作学习的形式，培养学生积极参与的主体意识.
(3)在感受生活中集合实例的同时，让学生认识到数学的科学价值、应用价值．
●重点难点
重点：补集概念的理解及初步应用．
难点：全集的理解，补集应用中方法规律的探究．
全集、补集的理解是本节课的难点，难在概念的理解和认识．为此，从学生熟悉的“补角”引入．当同学们回答出“规定”“定义”时，就有了对全集的初步感知．我们必须给学生充分的时间让他们思考交流．全集与补集相辅相成，理解了全集概念，补集概念的形成水到渠成．然后把重点放在语言转换与性质归纳上．在学生概括出补集定义之后，引导学生类比交、并集得出符号语言、图示语言两种表示形式．通过类比，学生的知识迁移能力得到提高，同时学生从中体会到数学的符号美、图形美，也即数学的简约美．
(教师用书独具)
●教学建议
新课标强调丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会自主学习，为终身学习和发展打下良好的基础．根据本节课内容和学生的实际，采用分组研究、小组展示、过程评价的授课方式，把知识探究、变式深入与必要的讲述相结合的教法进行教学.
学生借助多媒体和导学案积极思考，通过师生、生生的多方交流，经历“探究→展示→应用→反思→总结”的数学学习的模式，进一步培养自主探究、合作学习的能力．
●教学流程
旧知新问，以旧探新，通过补角、方程在不同范围内的解等问题的引入，使学生逐渐发现全集的内涵． 通过自然语言、符号语言、图形语言，加深对补集的理解 完成例1、例2及其变式训练，加深对全集、补集的理解和应用
通过例3及其变式训练，强化补集运算的应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解全集、补集的含义及符号表示．(易混点)
2.会求给定集合的补集．(重点)
3.熟练掌握集合的交、并、补运算．(难点)
类型1
全集与补集
【问题导思】
1．观察下列集合之间有怎样的关系？
(1)U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{4,5}．
(2)U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}．
【提示】 集合A和集合B的元素合起来就是集合U的全部元素．
2．在问题1中，A∩B是什么？在U中去掉A中所含有的元素后剩余的是集合B的所有元素吗？
【提示】 A∩B＝ .是．
1．全集的概念
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
2．补集的概念
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)，记作 UA
符号语言
若A U，则 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
3.补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的概念可得：
(1) UU＝ ； (2) U ＝U；
(3) U( UA)＝A； (4)A∪( UA)＝U；
(5)A∩( UA)＝ .
类型2
补集运算
已知全集U，A＝{x|2
【思路探究】 利用A∪( UA)＝U和已知先求出全集U，然后求 UB，可借助于数轴进行．
【自主解答】 因为A＝{x|2
所以U＝A∪( UA)＝{x|x>2}．
所以 UB＝{x|2
2．求补集运算，
一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．
已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求 RA， RB.
【解】 借助数轴，由图可知：
RA＝{x|1≤x≤2}， RB＝{x|－3≤x＜1}．
类型3
交、并、补的综合运算
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，
B＝{x|2
【自主解答】 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2
∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2
2．解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求( UA)∩B时，可先求出 UA，再求交集；求 U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集．
(1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则 U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7}
D．{1,3,5,6,8}
(2)(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1
B．(3,4)
C．(1,3)
D．(1,2)∪(3,4)
【解析】 (1)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴ U(A∪B)＝{6,8}．
(2)解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，
∴B＝[－1,3]，则 RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∴A∩( RB)＝(3,4)．
【答案】 (1)A (2)B
类型4
根据补集运算求参数
(2013·太原高一检测)设全集U＝R，M＝{x|3a
【自主解答】 UP＝{x|x<－2或x>1}，
∵M? UP，∴分M＝ ，M≠ 两种情况讨论．
(1)M＝ 时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5，
(2)M≠ 时，如图可得：
，或，
∴a≤－或≤a<5，
综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥或a≤－}．
1．解答本题的关键是利用M? UP，对M＝ 与M≠ 进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解．
2．补集的性质( UA)∪A＝U， UA U，A U在解题中经常用到．
已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|x>a}，且 UA B，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A＝{x|x<1}，U＝R，
∴ UA＝{x|x≥1}，
∵ UA B，如图所示，
∴a<1.
∴实数a的取值范围为{a|a<1}.
(对应学生用书第10页)
补集思想在求参数范围问题中的应用
(12分)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围．
【规范解答】 设全集U＝{a|(－4a)2－4(2a＋6)≥0}＝{a|a≤－1或a≥}.
2分
若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且
6分
解得a≥，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为{a|a≥}.
8分
其在全集U＝{a|a≤－1或a≥}中的补集为{a|a≤－1}.10分
∴满足题意的实数a的取值范围是{a|a≤－1}.
12分
1．对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，它是处理问题的间接化原则的体现．
2．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，如已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
3．补集作为一种思想方法，对于我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
1．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
2． UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
1．(2012·广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6}
D．{2,4,6}
【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴ UM＝{3,5,6}．
【答案】 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图1－3－1所示，阴影部分表示的集合是( )
图1－3－1
A．{3,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,5}
D．{3,4}
【解析】 由图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴ U(M∪N)＝{3,4}．
【答案】 D
3．(2013·深圳高一检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则 UA＝________.
【解析】 ∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，
∴ UA＝{x|0＜x＜1}．
【答案】 {x|0＜x＜1}
4．设全集U＝R，A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|x－2≥0}，判断 UA与 UB之间的关系．
【解】 因为A＝{x|x<－1或x>1}，
所以 UA＝{x|－1≤x≤1}．
因为B＝{x|x－2≥0}，
所以 UB＝{x|x<2}，
所以 UA? UB.
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x＜1}，则 RA＝( )
A．{x|x＞1} B．x≥1
C．{x|x≥1}
D．
【解析】 结合补集的定义，借助数轴知 RA＝{x|x≥1}．
【答案】 C
2．(2013·福州高一检测)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0
D．{x|x>1}
【解析】 UB＝{x|x≤1}，∴A∩( UB)＝{x|0
3．图1－3－2中的阴影表示的集合是( )
图1－3－2
A．A∩( UB)
B．B∩( UA)
C． U(A∩B)
D． U(A∪B)
【解析】 阴影部分表示A以外的部分与B的交集，故阴影部分表示的集合为B∩( UA)．故选B.
【答案】 B
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N
B．M∩N
C．( UM)∪( UN)
D．( UM)∩( UN)
【解析】 ∵ UM＝{1,4,5,6}， UN＝{2,3,5,6}，
∴( UM)∩( UN)＝{5,6}，故选D.
【答案】 D
5．已知集合A＝{x|x
B．{a|a<1}
C．{a|a≥2}
D．{a|a>2}
【解析】 RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪( RB)＝R，∴a≥2.
【答案】 C
二、填空题
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x<5}，则 AB＝________.
【解析】 把集合A看作全集，故 AB＝{x|0≤x<2或x＝5}．
【答案】 {x|0≤x<2或x＝5}
7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x
∴A＝{x|1≤x<2}．∴a＝2.
【答案】 2
8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
【解析】 ∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴9＋3m＝0，∴m＝－3.
【答案】 －3
三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2
由图可知 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2
( UA)∩B＝{x|－3
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B RA，求实数m的取值范围．
【解】 (1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}，
(2) RA＝{x|x≤－1或x＞3}，当B＝ 时，即m≥1＋3m得m≤－满足B RA，
当B≠ 时使B RA即或解得m＞3，综上所述，m的取值范围是{m|m≤－或m>3}．
11．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩( RB)＝A，求实数m的取值范围．
【解】 (1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，
所以
所以所以m＝2；
(2) RB＝{x|x
m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.
故实数m的取值范围为{m|m>5或m<－3}.
(教师用书独具)
设集合U＝{x∈N＋|x≤10}，A?U，B?U，且A∩B＝{4,5}，( UB)∩A＝{1,2,3}，( UA)∩( UB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
【思路探究】 此题条件较多，可采用数形结合的方法用Venn图将已知条件在图中标出，从图中找出所求．这样就可以将抽象问题直观化，从而使问题得到快速解答．
【自主解答】 根据题意，画出Venn图如下：
∵A∩B＝{4,5}，∴将4、5写在A∩B中．
∵( UB)∩A＝{1,2,3}，
∴1、2、3写在A中，且不在A∩B内．
∵( UA)∩( UB)＝{6,7,8}，即 U(A∪B)＝{6,7,8}，
∴将6、7、8写在U中A、B之外．
∵( UB)∩A与( UA)∩( UB)中均无9、10，
∴9、10在B中且不在A∩B中，故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
在运用Venn图解题时，必须熟悉图形中各部分是如何用集合的交、并、补集表示的，一般地，全集U的子集A与B把全集分为四个区域：A∩( UB)，( UA)∩B，A∩B， U(A∪B)(如图所示)，在已知全集U和其中三个区域内的元素的情况下，就可以确定第四个区域内的元素．解题时为了直观，可将集合U中的元素依次填入相应的区域内．
设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．(M∩P)∩N
B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩( UN)
D．(M∩P)∪( UN)
【解析】 如图，阴影部分为M∩P，而题目要求的是在M∩P的基础上去掉被集合N覆盖的部分，换句话说即是与 UN做交运算．从而题图中阴影部分表示的集合为(M∩P)∩( UN)，故选C.
【答案】 C
开阔视野
若A为有限集，作集合A中元素的个数为cardA，那么两个有限集合A、B并集的元素个数(即cardA∪B)，应如何求？
由图示可以清楚地看到
card(A∪B)＝cardA＋cardB－card(A∩B)，类似地我们可以考虑三个有限集、四个有限集并集中元素的个数应该如何求？是否还可进一步推广呢？
这种用图示来解决集合与集合之间关系的方法，简便易行，明确直观，也从一个侧面体现了数形结合的思想．用这种方法，可以轻松地验证如下结论：
(1)若A B，则 UB UA
(2) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)
(3) U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
(4)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
(5)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)等等.