1.3.2 全集与补集 教案3

1.3.2全集与补集
教案
1．了解全集、补集的概念，以及它们的表示方法．
2．在已知全集的情况下，会求它的某一子集的补集．
3．能进行集合的交集、并集和补集的综合运算．
1．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的集合的全部________，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作____________．
(3)图示：用Venn图表示全集U，如图所示．
2．补集
(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中____________的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)．
(2)符号表示：U中子集A的补集记作，即＝____________.
A∩()＝，A∪()＝U，()＝A，U＝，＝U，(A∩B)＝()∪()，(A∪B)＝()∩()．
(3)图示：用Venn图表示，如图所示．
集合平时很常用，数学概念有不同；
理解集合并不难，三条性质是关键；
元素确定和互异，还有无序要牢记；
集合不论空不空，总有子集在其中；
集合用图很方便，子交并补很明显．
【做一做1－1】
设全集U＝{小于10的自然数}，集合
A＝{小于10的正偶数}，B＝{小于10的正质数}，求，.
【做一做1－2】
已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，则A∩()＝__________.
答案：1．(1)元素　(2)U
2．(1)所有不属于A　(2){x|x∈U，且xA}
【做一做1－1】
解：U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
A＝{2,4,6,8}，B＝{2,3,5,7}．
∴＝{0,1,3,5,7,9}，＝{0,1,4,6,8,9}．
【做一做1－2】
{2,3}　由题意知＝{1,2,3}．
又A＝{2,3,4}，
所以A∩()＝{2,3}．
1．为什么AC与BC不一定相等？
剖析：依据补集的含义，符号AC和BC都表示集合C的补集，但是AC表示集合C在全集A中的补集，而BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以AC与 BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．
如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,
4}，则AC＝{2,5,6,7,8,9}，
BC＝{0,2}，很明显AC≠BC.
2．全集一定包含任何元素吗？集合A和集合A的补集会有公共元素吗？
剖析：全集仅是包含我们所研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素；集合A和A的补集无公共元素，因为补集的定义即为A以外的元素组成的集合．
题型一
求补集的简单运算
【例1】
已知A＝{0,1,2}，＝{－3，－2，－1}，＝{－3，－2,0}，用列举法写出集合B.
分析：先结合条件，利用补集性质求出全集U，再由补集定义求集合B.
反思：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．
题型二
交、并、补的综合运算
【例2】
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求，A∩B，(A∩B)，()∩B.
分析：由于U，A，B均为无限集，所求问题是集合间的交、并、补运算，故考虑借助数轴求解．
反思：求解与不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
题型三
Venn图在解题中的应用
【例3】
设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩()＝{3,5}，()∩B＝{7,19}，()∩()＝{2,17}，求集合A，B.
分析：利用列举法可求得集合U，然后利用Venn图处理．
反思：有些集合问题比较抽象，解题时若借助Venn图进行分析或利用数轴、图像采取数形结合的思想方法，往往可将问题直观化、形象化．本题在确定11,13的归属问题时，结合Venn图可把全集U划分为如下四部分，全集U中的任一元素必在且只在下图的四部分之一中，由题意可知11,13不在前三部分内，必然在A∩B内．
A∩()
B∩()
()∩()
A∩B
或(A∪B)
题型四
补集的综合应用
【例4】
已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A RB，求a的取值范围．
分析：→→
反思：解答本题的关键是利用A RB，对A＝与A≠进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
答案：【例1】
解：∵A＝{0,1,2}，＝{－3，－2，－1}，
∴U＝A∪＝{－3，－2，－1,0,1,2}．
又∵＝{－3，－2,0}，∴B＝{－1,1,2}．
【例2】
解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如图所示．
由图可知
＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2＜x＜3}，
U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
()∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}．
【例3】
解：因为U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn图，如图所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
【例4】
解：
RB＝{x|x≤1或x≥2}≠，∵A，
∴分A＝和A≠两种情况讨论．
(1)若A＝，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
(2)若A≠，则有或
∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
1
设集合U＝{x∈N|0＜x≤8}，S＝{1,2，4,5}，T＝{3,5,7}，则S∩()等于(
)．
A{1,2,4}
B{1,2,3,4,5,7}
C{1,2}
D{1,2,4,5,6,8}
2
已知集合U＝R，B＝{x|x＞2}，则等于(
)．
A{x|x＞2}
B{x|x≥2}
C{x|x＜2}
D{x|x≤2}
3
已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是(
)．
A．{3,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,5}
D．{3,4}
4
已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合M＝{x|x为不大于3的自然数}，则M＝__________.
5
已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，＝{2,4,6,8}，＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
答案：1．A　U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，则有UT＝{1,2,4,6,8}，
∴S∩(UT)＝{1,2,4}．
2．D
3．D　阴影部分是U(M∪N)＝{3,4}．
4．{－1}　∵M＝{0,1,2,3}，∴
UM＝{－1}．
5．分析：利用A∪()＝U求解．
解：U＝A∪()＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝U()＝{2,3,5,7}．