第三章
指数函数与对数函数
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1、知识与技能
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（1）进行学习指数函数的图像和性质,并用来解答．
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（2）能够画出指数函数的图像,总结出指数函数的性质,并通过图像和性质比较指数的大小和解简单的指数不等式．
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2、
过程与方法
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（1）让学生掌握指数函数的图像和性质,进一步体会指数函数的性质与底数的关系．
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（2）通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维方式,是由表及里的上升循环过程,学习指数函数的性质是为了更好的研究具体函数．
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3、情感．态度与价值观
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使学生通过学习指数函数的图像,了解到指数函数具有的性质．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等,增强学习指数函数的积极性和自信心．
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[教学重点]:
指数函数的图像和性质．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )复习：指数函数在底数及这两种情况下的图像和性质：
象
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性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点,即时
当x>0时,y>1；当x<0时,0当x>0时,
0y>1
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
练习1:比较下列数的大小关系:（1）与;（2）与
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"欢迎登陆21世纪教育网 )根据指数函数的性质,我们就可以解方程．你能解指数不等式吗 怎样解？
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"欢迎登陆21世纪教育网 )例2（1）求不等式成立的x的集合；（2）已知,求数a的取值范围．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )分析：对于指数不等式,即比较不等式左右两边数的大小,可以把两边的数化为同底数,根据指数函数的单调性比较出来,也可以直接利用计算器算出数值进行比较．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )解:（1）即为,因为在R上是增函数,所以,．所以满足的x的集合为．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（2）由于且,所以函数为减函数,所以．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )练习2：（1）求不等式成立的x的集合;（2）已知,求数a的取值范围．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )解:（1）即为,因为在R上是增函数,所以,．所以满足的x的集合为．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（2）由于且,所以函数为增函数,所以．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )例3．请你在同一坐标系中画出函数和的图像,说出其
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"欢迎登陆21世纪教育网 )自变量,函数值及其图象间的关系．
解：在同一坐标系中画出函数和的图像如图所示,
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"欢迎登陆21世纪教育网 )从图中可以看出,当函数和函数的自变量的取值
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"欢迎登陆21世纪教育网 )互为相反时,其函数值是相等的,因而两个函数的图像关于y轴对称．
猜想：函数与的图像之间有什么关系？能说明吗
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"欢迎登陆21世纪教育网 )分析：函数图像上的点关于y轴对称的点，该点坐标还可可表示为在的图像上；图像上的点关于Y轴对称的点，该点坐标还可可表示为在图像上。因此，猜想函数与关于y轴对称是正确的。
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"欢迎登陆21世纪教育网 )
结论1：
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"欢迎登陆21世纪教育网 )一般地,当函数和函数,即函数的自变量的取值互为相反数时,其函数值是相等的,这两个函数的图像是关于y轴对称的．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )
练习3：请你在同一坐标系中画出函数和的图像．
[互动过程4]
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"欢迎登陆21世纪教育网 )指数函数且中,底数对函数图像有什么影响？请同学们在同一指教坐标系中画出函数和函数的图象,比较两个函数增长的快慢．
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
10
…
…
0．25
0．5
1
2
4
8
…
1024
…
…
0．11
0．33
1
3
9
27
…
59049
…
从表或图象可以看出
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（1）当时,总有；
（2）当时,总有；
（3）当从0增加到10,函数的函数值从1增加到1024,函数
的函数值从1增加到59049．这说明,当时,函数的函数值比函数
的函数值增长得快．
结论2：一般地,当时,
（1）当时,总有；
（2）当时,总有；
（3）当时,总有；
（4）指数函数的底数越大,当时,其函数值增长得就越快．
[互动过程5]
请同学们分别画出底数为0．2,0．3,0．5的指数函数的图象,
想像底数为2,3,5时指数函数的图象,研究指数函数
中,对函数图象变化的影响．
观察图形,请你总结出函数图象随着变化的规律是什么？
当字变量取同一数值时,比较对应函数值的大小,你能发现什么规律？
结论3：一般地,当时,
（1）当时,总有；
（2）当时,总有；
（3）当时,总有；
（4）指数函数的底数越大,当时,其函数值减少得就越缓慢．
例4．比较下列各题中的两个数的大小：
（1）；（2）．
解：方法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行比较大小．
（1）因为,所以；
（2）因为,所以
方法二：利用指数函数的性质对两个数值进行比较大小．
（1）．由指数函数的性质知,所以
（2）．由指数函数的性质知,所以．
练习4．比较下列各题中的两个数的大小：
（1）；（2）．
例5．已知,比较,的大小,并说明理由．
解：因为,所以．而,因此有,又,所以有,所以．
练习5：已知,比较,的大小,并说明理由．
[互动过程6]
我们已经把整数指数幂扩充到有理指数幂,前面学习过的幂函数中的指数也可以扩充到有理数．下面讨论有理数指数幂的性质．
列出的对应值；用描点的方法,画出函数的图像
x
0
0．5
1
2
3
4
…
0
0．71
1
1．41
1．73
2
…
它的性质：（1）函数定义在区间上,值域是；
（2）图像过点（0,0）,（1,1）；
（3）函数是增函数．
练习6．若,比较与的大小关系．
【课堂小结】：
1．利用指数函数的单调性比较两个数的大小关系．
2．掌握不同底的指数函数的大小比较关系．
3．幂函数的性质．
【作业布置】:课本习题:3-3
A组
1-7第三章
指数函数与对数函数
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3.3.3指数函数的图像和性质（第三课时）（教案）
[教学目标]
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1、知识与技能
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（1）进行复习指数函数的图像和性质,并用来解答．
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（2）能够画出指数函数的图像,总结出指数函数的性质,并通过图像和性质比较指数的大小和解简单的指数不等式．
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2、
过程与方法
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（1）让学生掌握指数函数的图像和性质,进一步体会指数函数的性质与底数的关系．
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（2）通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维方式,是由表及里的上升循环过程,学习指数函数的性质是为了更好的研究具体函数．
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3、情感．态度与价值观
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使学生通过学习指数函数的图像,了解到指数函数具有的性质．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等,增强学习指数函数的积极性和自信心．
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[教学重点]:
指数函数的图像和性质．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )[教学难点]：指数函数的图像和性质与底数的关系
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"欢迎登陆21世纪教育网 )[学法指导]：学生思考、探究．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )复习：指数函数在底数及这两种情况下的图像和性质
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"欢迎登陆21世纪教育网 )练习：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（1）
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（4）
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（5）
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"欢迎登陆21世纪教育网 )2．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征
函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0,1）
自左向右看,
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"欢迎登陆21世纪教育网 )图象逐渐上升
自左向右看,图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢；
利用函数的单调性,结合图象还可以看出：
（1）在[a,b]上,值域是或；
（2）若,则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数,总有；
（4）当时,若,则；
例1、比较下列各组数的大小
（1）；
（2）；
（3）
解：（1）因为函数为单调减函数,且-0．1<0．2,所以;
（2）因为,并且函数为单调减函数,又因为-0．5<-0．1<0,所以,
即;
（3）因为,当时,函数上的点在函数的下方,所以．
练习1．比较下列各题中两个值的大小：
（1）
1．72．5,1．73;
（2）
8-0．1,80．2;
（3）
1．70．3,0．93．1
答案：
例2．设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0且a1,确定x为何值时,有
（1）y1=y2
（2）y1>y2
解:因为指数函数为单调函数,
（1）当,即时,有y1=y2
（2）当时,
指数函数为单调增函数,
所以当,即时,有y1>y2;
当时,
指数函数为单调减函数,
所以当,即时,有y1>y2．
练习3．若指数函数在上是减函数,那么（
）
A．
B．
C．
D．
练习4．已知,则这样的（
）
A．存在且只有一个
B．存在且不只一个
C．存在且
D．根本不存在
课本练习:
练习1．
1;
练习2．
1,2
课堂小结:1．比较两个指数的大小;
2．解简单的指数不等式
作业:习题3-3B组1-6第三章
指数函数与对数函数
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1、知识与技能
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（1）在前面学习指数函数和的图像的基础上,进一步学习指数函数的图像与性质．
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2、
过程与方法
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2课时
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"欢迎登陆21世纪教育网 )复习指数函数的概念
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"欢迎登陆21世纪教育网 )练习：判断下列函数是否为指数函数
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"欢迎登陆21世纪教育网 )①
②
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"欢迎登陆21世纪教育网 )③（且）④
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"欢迎登陆21世纪教育网 )⑤
⑥
⑦
⑧．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )[互动过程2]
2．请你在同一坐标系中画出函数和
的图像,并说出它们的相同点和不同点．从中你能得什么结论
3．请你在同一坐标系中画出函数和（）
以及和（）的图像．并说出它们
的相同点和不同点．从中你能得什么结论
[互动过程3]
4．指数函数的定义:且,函数的定义域是实数集R．你能画出指数函数（且）的图象吗 应该是什么样的呢 请同学们探讨一下．
5．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
当x>0时,y>1；当x<0时,0当x>0时,
0y>1
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
例1．比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），
解：方法一直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数值进行大小比较。
因为，，所以
（2）因为，，所以
方法二利用指数函数的性质对两个数值进行大小比较。
（1）因为是一个单调增函数，且0．8>0．7，所以
（2）因为是一个单调减函数，且-0．1<0．1,所以
练习:习题3-3A组4,5
例2．求下列函数的定义域:①
②
解:指数函数的定义域为R,所以①的定义域为R．而函数②要有意义,需使有意义,即,所以函数的定义域为
例3．已知指数函数（a>0,且a≠1）的图象经过点（3，π）
求f（0）、f（1）、f（-3）的值．
分析：我们知道函数图象经过某个点，那么这个点的坐标就满足这个函数的方程。
六、小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；可以利用性质比较两个指数的大小．
七、作业：习题3．3
第1,2题
补充：1．在同一坐标系画出下列函数图象,并说出它们间的关系,并总结出一般的结论：
（1）与；
（2）与．
2．求函数的定义域．
3．若指数函数在上是减函数，求a的范围
图（1）
图2
