1.1 集合的含义与表示 教案1
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1.1集合的含义与表示
教案
课程目标
1．理解集合的概念，会判断元素与集合的关系．
2．理解并记住集合中元素的性质．
3．熟记常用数集的符号．
4．理解列举法和描述法，能运用它们表示集合．
基础知识
1．集合
一般地，指定的某些对象的__________称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的__________．
集合常用大写字母A，B，
C，D，…标记．
2．元素与集合的关系
(1)关系：__________或_________．
(2)表示：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a__________A；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a__________A.
名师点拨
集合中元素的性质：
①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必为其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
③无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分．
3．数集
(1)定义：________________的集合简称数集．
(2)常见数集：自然数集记为_______________；整数集记为_______________；正整数集记为_______________；有理数集记为_______________；实数集记为_______________．
【做一做1】下列关系正确的是(
)．
A．0∈N＋
B．πR
C．1Q
D．0∈Z
4．集合的表示法
(1)列举法：把集合中的________________一一列举出来写在大括号内的方法．
(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
这种用确定的____表示某些对象是否____这个集合的方法叫作描述法．
名师点拨
在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{
}本身就有“所有”“全部”的意思．
【做一做2－1】
集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是(
)．
A{0,1,2,3,4}
B{1,2,3,4}
C{0,1,2,3,4,5}
D{1,2,3,4,5}
【做一做2－2】
3和4的所有正的公倍数的集合为__________．
5．集合的分类
按所含元素的个数分为：有限集和无限集．含________个元素的集合叫有限集，含________个元素的集合叫无限集．
6．空集
不含有任何__________的集合叫作空集，记作.
名师点拨
数0，{0}，，{}的关系：数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以为元素的集合．
答案：1．全体 元素
2．(1)属于 不属于 (2)∈
3．(1)数 (2)N Z N＋ Q R
【做一做1】
D
4．(1)元素 (2)条件 属于
【做一做2－1】
A
【做一做2－2】
{x|x＝12k，k∈N＋}
5．有限 无限
6．元素
重点难点
1．对于集合定义的理解
剖析：(1)集合中的元素是具体的，它的属性是明确的，即对于某一集合而言，任何一个元素要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必为其一．
(2)对于一个集合，应该从整体的角度来看待它，例如由“我们班的学生”组成的一个集合A，这就是一个整体．
(3)要注意组成集合的对象的广泛性：一方面，任何一个确定的对象，都可以组成一个集合，如人、物、数、方程、不等式等都可以作为构成集合的对象；另一方面，集合本身也可以作为集合的对象．
2．结合实例说明集合中元素的性质特征
剖析：(1)确定性．作为集合的元素，必须是确定的，对于集合A和元素a，要么a∈A，要么aA，二者必为其一，且只为其一．如：所有大于100的数组成一个集合．集合中的元素是确定的，而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如：“很大的树”“较高的人”等都不能构成集合．
(2)互异性．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中只能出现一次．如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是0或1.
(3)无序性．集合中元素的次序无先后之分，如：小于3的正整数，可以表示为{1,2}，也可以表示为{2,1}，它们都表示同一个集合．
由此可见，利用集合的三个特征性质来判定元素是否能构成集合，是非常有效的方法．
典型例题
题型一集合的判定
【例1】
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)美丽的小鸟；(2)不超过20的非负整数；(3)立方接近零的正数；(4)直角坐标系中，第一象限内的点．
分析：要判定每组对象能否构成集合，可先分析各组对象所具有的条件是否明确，若明确，再结合元素所必须具备的特征作出判断．
反思：判定元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．
题型二
集合中元素的性质的应用
【例2】
已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
分析：分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
反思：本题是应用集合中元素的性质来解决的．这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者解题时易忽视元素的互异性，必须在学习中高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想．
题型三
集合的表示
【例3】
用适当的方法表示下列集合．
(1)化简式子＋(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；
(2)大于4的所有奇数组成的集合；
(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；
(4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．
分析：(1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示集合；(2)奇数的表达式为2k＋1(k∈N)，由于有无数个元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示；(4)只有3个根，用列举法表示．
反思：1.用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序．
题型四
求参数的取值范围
【例4】
已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
分析：由描述法可知集合A是关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数解集，首先应考虑方程是不是一元二次方程．
反思：已知集合中元素的个数，求其中某参数的取值范围时，关键是对集合的表示法的正确理解．本题中，由于集合A是方程的解集，所以转化为讨论方程根的问题．
答案：【例1】
解：(1)中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；(3)中接近零的界限不明确；(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．
综上可知(2)(4)能构成集合，(1)(3)不能构成集合．
【例2】
解：若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
【例3】
解：(1)
{0,2，－2}．
(2){x|x＝2k＋1，k≥2且k∈N}．
(3){(x，y)|x＜0且y＞0}．
(4){－，1，}．
【例4】
解：当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意．
当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝
4＋4a≤0.解得a≤－1.
综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．
随堂练习
1
下列所给的对象不能构成集合的是(
)．
A．某公司的全体员工
B．2009年全国经济百强县
C．2010年考入北京大学的全体学生
D．美国NBA的篮球明星
2
给出下列关系：①∈R；②Q；③|－3|N＋；④||∈N.
其中正确关系的个数为(
)．
A．1
B．2
C．3
D．4
3
集合{x∈N＋|x－3＜2}用列举法可表示为(
)．
A{0,1,2,3,4}
B{1,2,3,4}
C{0,1,2,3,4,5}
D{1,2,3,4,5}
4
集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一个元素，则m的值构成的集合为__________．
5
选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
答案：1．D 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A，B，C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
2．B ①②正确，③④错误．
3．B {x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}．
4. 当m＝0时，A＝{－1}满足题意；
当m≠0时，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，A＝{－2}满足题意．
5．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为.
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
教案
课程目标
1．理解集合的概念，会判断元素与集合的关系．
2．理解并记住集合中元素的性质．
3．熟记常用数集的符号．
4．理解列举法和描述法，能运用它们表示集合．
基础知识
1．集合
一般地，指定的某些对象的__________称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的__________．
集合常用大写字母A，B，
C，D，…标记．
2．元素与集合的关系
(1)关系：__________或_________．
(2)表示：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a__________A；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a__________A.
名师点拨
集合中元素的性质：
①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必为其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
③无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分．
3．数集
(1)定义：________________的集合简称数集．
(2)常见数集：自然数集记为_______________；整数集记为_______________；正整数集记为_______________；有理数集记为_______________；实数集记为_______________．
【做一做1】下列关系正确的是(
)．
A．0∈N＋
B．πR
C．1Q
D．0∈Z
4．集合的表示法
(1)列举法：把集合中的________________一一列举出来写在大括号内的方法．
(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
这种用确定的____表示某些对象是否____这个集合的方法叫作描述法．
名师点拨
在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{
}本身就有“所有”“全部”的意思．
【做一做2－1】
集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是(
)．
A{0,1,2,3,4}
B{1,2,3,4}
C{0,1,2,3,4,5}
D{1,2,3,4,5}
【做一做2－2】
3和4的所有正的公倍数的集合为__________．
5．集合的分类
按所含元素的个数分为：有限集和无限集．含________个元素的集合叫有限集，含________个元素的集合叫无限集．
6．空集
不含有任何__________的集合叫作空集，记作.
名师点拨
数0，{0}，，{}的关系：数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以为元素的集合．
答案：1．全体 元素
2．(1)属于 不属于 (2)∈
3．(1)数 (2)N Z N＋ Q R
【做一做1】
D
4．(1)元素 (2)条件 属于
【做一做2－1】
A
【做一做2－2】
{x|x＝12k，k∈N＋}
5．有限 无限
6．元素
重点难点
1．对于集合定义的理解
剖析：(1)集合中的元素是具体的，它的属性是明确的，即对于某一集合而言，任何一个元素要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必为其一．
(2)对于一个集合，应该从整体的角度来看待它，例如由“我们班的学生”组成的一个集合A，这就是一个整体．
(3)要注意组成集合的对象的广泛性：一方面，任何一个确定的对象，都可以组成一个集合，如人、物、数、方程、不等式等都可以作为构成集合的对象；另一方面，集合本身也可以作为集合的对象．
2．结合实例说明集合中元素的性质特征
剖析：(1)确定性．作为集合的元素，必须是确定的，对于集合A和元素a，要么a∈A，要么aA，二者必为其一，且只为其一．如：所有大于100的数组成一个集合．集合中的元素是确定的，而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如：“很大的树”“较高的人”等都不能构成集合．
(2)互异性．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中只能出现一次．如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是0或1.
(3)无序性．集合中元素的次序无先后之分，如：小于3的正整数，可以表示为{1,2}，也可以表示为{2,1}，它们都表示同一个集合．
由此可见，利用集合的三个特征性质来判定元素是否能构成集合，是非常有效的方法．
典型例题
题型一集合的判定
【例1】
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)美丽的小鸟；(2)不超过20的非负整数；(3)立方接近零的正数；(4)直角坐标系中，第一象限内的点．
分析：要判定每组对象能否构成集合，可先分析各组对象所具有的条件是否明确，若明确，再结合元素所必须具备的特征作出判断．
反思：判定元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．
题型二
集合中元素的性质的应用
【例2】
已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
分析：分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
反思：本题是应用集合中元素的性质来解决的．这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者解题时易忽视元素的互异性，必须在学习中高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想．
题型三
集合的表示
【例3】
用适当的方法表示下列集合．
(1)化简式子＋(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；
(2)大于4的所有奇数组成的集合；
(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；
(4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．
分析：(1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示集合；(2)奇数的表达式为2k＋1(k∈N)，由于有无数个元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示；(4)只有3个根，用列举法表示．
反思：1.用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序．
题型四
求参数的取值范围
【例4】
已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
分析：由描述法可知集合A是关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数解集，首先应考虑方程是不是一元二次方程．
反思：已知集合中元素的个数，求其中某参数的取值范围时，关键是对集合的表示法的正确理解．本题中，由于集合A是方程的解集，所以转化为讨论方程根的问题．
答案：【例1】
解：(1)中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；(3)中接近零的界限不明确；(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．
综上可知(2)(4)能构成集合，(1)(3)不能构成集合．
【例2】
解：若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
【例3】
解：(1)
{0,2，－2}．
(2){x|x＝2k＋1，k≥2且k∈N}．
(3){(x，y)|x＜0且y＞0}．
(4){－，1，}．
【例4】
解：当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意．
当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝
4＋4a≤0.解得a≤－1.
综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．
随堂练习
1
下列所给的对象不能构成集合的是(
)．
A．某公司的全体员工
B．2009年全国经济百强县
C．2010年考入北京大学的全体学生
D．美国NBA的篮球明星
2
给出下列关系：①∈R；②Q；③|－3|N＋；④||∈N.
其中正确关系的个数为(
)．
A．1
B．2
C．3
D．4
3
集合{x∈N＋|x－3＜2}用列举法可表示为(
)．
A{0,1,2,3,4}
B{1,2,3,4}
C{0,1,2,3,4,5}
D{1,2,3,4,5}
4
集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一个元素，则m的值构成的集合为__________．
5
选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
答案：1．D 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A，B，C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
2．B ①②正确，③④错误．
3．B {x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}．
4. 当m＝0时，A＝{－1}满足题意；
当m≠0时，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，A＝{－2}满足题意．
5．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为.
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．