1.1 集合的含义与表示 课件1
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课件35张PPT。1.1 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．引入新课知识点一 集合的含义 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”
问题1：数学家说的集合是指什么？
提示：网中的所有鱼的全体．
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
提示：不能． 一般地，指定的某些对象的 称为集合．集合常
用 标记．集合中的每个 叫作这个集合的元素．元素常用 标记.全体 大写字母A，B，C，D，…对象小写字母a，b，c，d…新知自解在知识点1的入门答辩所涉及的情景中．
问题1：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？
提示：每一条鱼都是集合的元素，均在集合中．
问题2：网外面的鱼与集合的关系是什么？
提示：不是集合的元素．知识点二 元素与集合的关系入门答辩 1．元素与集合的关系
(1)若元素a在集合A中，就说元素a 集合A，记作
.
(2)若元素a不在集合A中，就说元素a 集合A，
记作 .属于a∈Aa?A不属于新知自解2．常用数集及表示符号NN＋ZQR知识点三 集合的表示方法给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A；
(2)方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为B；
(3)所有奇数组成的集合为C.
问题1：将集合A中的元素一一列举出来．
提示：2、4、6、8.
问题2：集合B中的元素满足的条件是什么？
提示：x2＋x＋1＝0.
问题3：如何表示集合C ？
提示：C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z} ．入门答辩 1．集合的表示方法
集合的常用表示法有列举法和描述法．
(1)列举法：把集合中的元素 出来写在大括号内的方法叫列举法．
(2)描述法：用 表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．一一列举确定的条件新知自解 2．集合的分类
集合可分为有限集和无限集，含 元素的集合叫作有限集，含 元素的集合叫作无限集．
不含有任何元素的集合叫作 ，记作 .有限个无限个空集? 1．集合中元素的特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素,要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合． 2．列举法与描述法
列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可．同时，要注意自然语言与集合语言的区别．描述法多适用于元素个数有无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元素及代表元素所满足的条件．
3．根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集．把握热点考向 高频考点题组化 [例1] 考察下列每组对象能否组成一个集合？
(1)2011参加世界大学生运动会的所有国家；
(2)2010年上海世博会的所有漂亮的展馆；
(3)参加2012年五·四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
[思路点拨] 根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断．考点一 集合的含义 [精解详析] (1)中“所有国家”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮”展馆，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．
综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．
[一点通] 判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小 的
正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全
体；④正三角形的全体；⑤ 的近似值的全体．其
中能构成集合的组数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5答案：A2．判断下列对象能否构成集合．
①某中学里较胖的同学；②某中学里身高超过1.75米的
同学；③第29届奥运会中的所有比赛项目；④大于4且
小于8的偶数．
解：①中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分
胖与不胖，所以①不能构成集合，而②③④中的对象是
确定的，所以能构成集合. [例2] 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
[思路点拨] 分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
[精解详析] 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时， 集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；考点二 集合中元素的性质 当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
[一点通] 这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．3．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，
则△ABC一定不是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，
b，c不相等．
答案：D4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，
求实数a的值．
解：∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1.
①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1，
与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意，
当a＝－2时，A中的元素为0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去．
综上所述，a＝0.考点三 集合的表示方法 [一点通]
1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．5．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为 ( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<3＋2＝5.
∵x∈N＋，
∴集合表示为{1,2,3,4}．
答案：B解析：①中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确；③中含有两个元素，是数集，所以不正确；④没有用“{}”括起来，不表示集合，所以不正确；⑤正确；⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，所以不正确．
答案：②⑤7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是
无限集．
(1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；
(3)方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；
(4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合． 1．组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．用列举法表示集合应注意：
①元素间用“，”隔开；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，写为{实数集}、{全体实数}都是错误的． 3．用描述法表示集合应注意：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“或”“且”“非”；⑤所有描述的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确．
问题1：数学家说的集合是指什么？
提示：网中的所有鱼的全体．
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
提示：不能． 一般地，指定的某些对象的 称为集合．集合常
用 标记．集合中的每个 叫作这个集合的元素．元素常用 标记.全体 大写字母A，B，C，D，…对象小写字母a，b，c，d…新知自解在知识点1的入门答辩所涉及的情景中．
问题1：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？
提示：每一条鱼都是集合的元素，均在集合中．
问题2：网外面的鱼与集合的关系是什么？
提示：不是集合的元素．知识点二 元素与集合的关系入门答辩 1．元素与集合的关系
(1)若元素a在集合A中，就说元素a 集合A，记作
.
(2)若元素a不在集合A中，就说元素a 集合A，
记作 .属于a∈Aa?A不属于新知自解2．常用数集及表示符号NN＋ZQR知识点三 集合的表示方法给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A；
(2)方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为B；
(3)所有奇数组成的集合为C.
问题1：将集合A中的元素一一列举出来．
提示：2、4、6、8.
问题2：集合B中的元素满足的条件是什么？
提示：x2＋x＋1＝0.
问题3：如何表示集合C ？
提示：C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z} ．入门答辩 1．集合的表示方法
集合的常用表示法有列举法和描述法．
(1)列举法：把集合中的元素 出来写在大括号内的方法叫列举法．
(2)描述法：用 表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．一一列举确定的条件新知自解 2．集合的分类
集合可分为有限集和无限集，含 元素的集合叫作有限集，含 元素的集合叫作无限集．
不含有任何元素的集合叫作 ，记作 .有限个无限个空集? 1．集合中元素的特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素,要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合． 2．列举法与描述法
列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可．同时，要注意自然语言与集合语言的区别．描述法多适用于元素个数有无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元素及代表元素所满足的条件．
3．根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集．把握热点考向 高频考点题组化 [例1] 考察下列每组对象能否组成一个集合？
(1)2011参加世界大学生运动会的所有国家；
(2)2010年上海世博会的所有漂亮的展馆；
(3)参加2012年五·四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
[思路点拨] 根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断．考点一 集合的含义 [精解详析] (1)中“所有国家”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮”展馆，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．
综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．
[一点通] 判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小 的
正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全
体；④正三角形的全体；⑤ 的近似值的全体．其
中能构成集合的组数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5答案：A2．判断下列对象能否构成集合．
①某中学里较胖的同学；②某中学里身高超过1.75米的
同学；③第29届奥运会中的所有比赛项目；④大于4且
小于8的偶数．
解：①中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分
胖与不胖，所以①不能构成集合，而②③④中的对象是
确定的，所以能构成集合. [例2] 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
[思路点拨] 分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
[精解详析] 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时， 集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；考点二 集合中元素的性质 当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
[一点通] 这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．3．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，
则△ABC一定不是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，
b，c不相等．
答案：D4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，
求实数a的值．
解：∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1.
①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1，
与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意，
当a＝－2时，A中的元素为0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去．
综上所述，a＝0.考点三 集合的表示方法 [一点通]
1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．5．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为 ( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<3＋2＝5.
∵x∈N＋，
∴集合表示为{1,2,3,4}．
答案：B解析：①中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确；③中含有两个元素，是数集，所以不正确；④没有用“{}”括起来，不表示集合，所以不正确；⑤正确；⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，所以不正确．
答案：②⑤7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是
无限集．
(1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；
(3)方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；
(4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合． 1．组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．用列举法表示集合应注意：
①元素间用“，”隔开；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，写为{实数集}、{全体实数}都是错误的． 3．用描述法表示集合应注意：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“或”“且”“非”；⑤所有描述的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确．