1.1 集合的含义与表示 课件3
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课件50张PPT。§1 集合的含义与表示 基础知识是形成学科能力的源头，本栏目根据课标要求，精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、易错处及时提醒，多策并举，夯实基础，要求学生动手填一填吧！1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）来描述不同的具体问题，感受各种语言的意义和作用.1.本课的重点是集合元素的特性及集合的表示方法.
2.本课的难点是集合元素的特性的应用和描述法表示集合的格式.1.集合的含义及表示集
合含义表示指定的某些对象A、B、C、…a、b、c…2.请根据元素与集合的关系连线3.请把下列常用的一些数集及其记法连起来4.集合的常用表示方法
（1）列举法：就是在大括号内把集合中的元素___________.
（2）描述法：就是在大括号内用____________表示某些对象属于一个集合.
5.有限集和无限集
（1）有限集：含有________元素的集合.
（2）无限集：含_______元素的集合.
6.空集
_____________的集合叫空集，常用符号“____”表示.一一列举出确定的条件有限个无限个不含任何元素?1.“高一·二班的高个子同学”能组成一个集合吗？为什么？
提示：不能.因为某个同学是不是“高个子”没有一个明确的标准，他是不是属于这个集合是不确定的.故“高一·二班的高个子同学”不能构成一个集合.
2.有个同学说“列举法只能表示有限集”，他说的对吗？
提示：不对，列举法虽然是要求将元素一一列举出来，但对于有规律的无限集也可以用列举法表示，如{0，1，2，3，…}可表示自然数集.3.用“∈”、“?”填空.
3.5______N;-4______Z;
0.5______R; ______Q.
【解析】3.5不是自然数；-4是整数；0.5是实数； 不是有理数.
答案：? ∈ ∈ ?4.（1）用列举法表示“小于4的正整数集”为______.
（2）用描述法表示“不大于6的自然数组成的集合”为______.
【解析】（1）小于4的正整数有1，2，3，可用列举法表示为{1，2，3}；
（2）用描述法表示为{x∈N|x≤6}.
答案：(1)｛1，2，3｝ (2){x∈N|x≤6}1.对集合含义的理解
（1）集合的含义：集合在数学中是不加定义的，我们只是对它进行描述性的说明，其本质是某些确定的元素组成的总体.
（2）元素：集合中的“对象”所指的范围非常广泛，凡是我们所研究的对象都可以作为集合中的元素出现.也就是我们现实生活中所看到的、听到的、闻到的、想到的各种各样的事物以及一些抽象的符号，都可以看成集合的元素.2.对集合中元素性质的三点认识
（1）确定性：指的是作为一个集合的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，二者必居其一.集合元素的确定性通常用来判断所给的总体能否组成集合.
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）无序性：集合中的元素是没有顺序的，即没有先后之分.因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样.3.对描述法表示集合的理解
（1）描述法的重要特征是有“|”；
（2）“|”的左侧是一个代表集合元素的符号；
（3）“|”的右侧是该集合元素满足的条件，条件力求简明、准确；
（4）以上内容都要写在大括号内. 核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力，请引导学生进入探究空间吧！ 集合的基本概念
【技法点拨】
判断某些对象能否组成集合的两个原则
（1）看这些对象是否是确定的，即看这些对象是不是明确、具体的.如果明确、具体，则可以组成集合，若是模棱两可，则不能组成集合.（关键词：确定性）
（2）看这些对象是否有重复现象，如果有重复现象则不能组成集合，不重复则可以组成集合.（关键词：不能重复）【典例训练】
1.下列对象能组成集合的是( )
(A)中央电视台著名节目主持人
(B)我市跑得快的汽车
(C)《喜羊羊与灰太狼》中羊村的所有羊
(D)香港的高楼2.判断下列各组对象能否组成一个集合.
（1）小于10的素数；
（2）数学教师；
（3）现在就读于北京四中的所有学生；
（4）my book中的字母.【解析】1.选C.对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合.而对C，羊村的羊是确定的，能组成集合.
2.（1）小于10的素数共有2，3，5，7四个数，它们是明确、具体的，故可以组成一个集合.
（2）“数学教师”有明确的界限和标准，故“数学教师”能组成一个集合.（3）给定一个学生，要么是“现在就读于北京四中的学生”，要么不是.故“现在就读于北京四中的所有学生”是明确、具体的，它可以组成一个集合.
（4）“my book”中共有五个字母“m,y,b,o,k”，它们是明确、具体的，故可以组成一个集合.【想一想】一般含哪一类形容词的对象不能组成集合？
提示：一般在某个对象前面有“著名的”“较高的”“较大的”“漂亮的”等这类没有明确界限的形容词时，这些对象一般不能组成集合. 元素与集合的关系
【技法点拨】
1.判断一个对象是否为某个集合中元素的技巧2.实数的分类
自然数
负整数
正分数
负分数
正无理数
负无理数有理数整数分数实
数无理数【典例训练】
1.下列结论不正确的是( )
(A)0∈N (B) ?Q
(C)0?Q (D)-1∈Z
2.若所有形如 的数组成集合A，试判断
是不是集合A的元素.【解析】1.选C.0是自然数，A正确； 不是有理数，B正确；
0是有理数，C不正确；-1是整数，D正确.
2.是.在 中，令a=2,b=2，即可得
所以【互动探究】若题2中的条件不变，那么 是不是集合A的元素？
【解析】不是.虽然该数中 前的数是2∈Z，但
故【归纳】解答本例1的关注点及解答本例2时的关键点.
提示：（1）解答本例1时应关注常见数集及其符号记法，明确
各数集符号所包含的元素，准确记忆，书写规范.
（2）解答本例2的关键点是清楚集合A的含义，将 化成
的形式，即找到a、b的值，且a∈Z,b∈Z.【变式训练】下列结论中，不正确的是( )
(A)若a∈N，则-a?N
(B)若a∈Z,则a2∈Z
(C)若a∈Q,则|a|∈Q
(D)若a∈R,则
【解题指南】通过反例找到不正确的即可.【解析】选A.当a是0时，0∈N，-a也是0，故-a∈N.故A项不正确；B项中整数的平方还是整数，故B项正确；C项中有理数的绝对值还是有理数，故C项正确；实数的三次方根还是实数，故D项正确. 集合的表示方法
【技法点拨】
1.用列举法表示集合时应注意的四点
（1）各元素要写在大括号内；
（2）元素之间用“，”隔开；
（3）不能有重复的元素；
（4）各元素无先后顺序.2.描述法表示集合的两个要点【典例训练】
1.用另一种表示方法表示集合.
（1）A=｛2，3，5，7，11，13，17，19｝=______；
（2）B={x|x表示地球上的四大洋｝=______.
2.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集.
（1）大于3且小于5的自然数；
（2）不等式2x＋1＞7的整数解.【解析】1.（1）集合A是用列举法表示的集合，用描述法表示为A={x|x是20以内的素数｝.
（2）集合B是用描述法表示的集合，用列举法表示为B={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
答案：（1）{x|x是20以内的素数}
（2）{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
2.（1）可以表示成集合{4}，它是一个有限集.
（2）可以表示成集合{x∈Z|2x＋1＞7}，它是一个无限集.【想一想】通过本例，你发现什么样的集合用列举法表示比较方便，什么样的集合不能用列举法表示？
提示：一般元素个数不多的有限集或元素间有明显规律的无限集用列举法表示比较方便；当集合是无限集，且元素间无明显规律时，不能用列举法表示.【变式训练】用另外一种方法表示下列集合.
（1）{2,4,6,8};(2){x|3【解析】(1)用描述法表示为{x∈N*|x<10,且 ∈N*};
(2)用列举法表示为{4,6,8,10,12}. 集合中元素的特性（互异性）的应用
【技法点拨】
集合中元素特性的应用
（1）集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题.
（2）求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性对集合中的元素进行检验.【典例训练】
1.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等腰三角形
2.已知集合A={2,4,6}，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为
( )
(A)2 (B)2或4 (C)4 (D)0【解析】1.选D.由于集合中的元素具有互异性，即a,b,c互不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形.
2.选B. 若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.【思考】用列举法表示集合中的元素（含参数）时应注意什么问题？
提示：因为集合中的元素不能有重复现象，故如果元素中含有参数，解出这个参数的值后，一般要利用集合元素的互异性进行检验. 规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和良好的规范答题习惯。【易错误区】忽视元素的互异性
【典例】已知集合A={1,3,a2+a,a+1}，若a∈A，则a的值为______.
【解题指导】【解析】因为a∈A,A={1,3,a2+a,a+1}，由于a≠a+1.
所以a的取值为1或3或a2+a③.
当a=1时，a2+a=2,a+1=2①,这与集合元素的互异性矛盾，故舍去；
当a=3时，a2+a=12,a+1=4①,适合题意；
当a=a2+a②时，a=0,此时a+1=1①，与集合元素的互异性矛盾，故舍去.
综上可知，所求的a值为3.
答案：3 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②③见解析过程）【即时训练】已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0}中恰好只有一个元素，则实数a的值为______.
【解析】∵A中恰好只有一个元素，
∴方程ax2－2x＋1＝0恰好只有一个根.
当a＝0时，方程的解为 满足题意；
当a≠0时，Δ＝(－2)2－4a＝0，
∴a＝1.∴所求a的值为a＝0或a＝1.
答案：0或1 1.已知集合A=｛1，2，3，5，7｝，以下说法不正确的是( )
(A)3∈A (B)6?A (C)4∈A (D)0?A
【解析】选C.显然4不是集合A的元素，故有4?A，所以C项不正确.2.已知集合A＝{x∈N*| }，则必有( )
(A)-1∈A (B)0∈A
(C) ∈A (D)1∈A
【解析】选D.∵x∈N*,
∴x=1,2,即A={1,2},∴1∈A.3.已知M={x|x≤ }，则表示集合M的方法是______.
【解析】集合M表示的特征满足描述法的定义，它是用描述法表示的集合.
答案：描述法4.集合{x|x2-5x+6=0}用另一种表示方法可以表示为______.
【解析】集合{x|x2-5x+6=0}表示由方程x2-5x+6=0的实数解组成的集合，解方程可得x=2或x=3，故该集合用列举法可以表示为{2，3}.
答案：{2，3}5.观察下列三个集合：
(1)A={x|y=x2+1};(2)B={y|y=x2+1};
(3)C={(x,y)|y=x2+1}.
它们表示的含义相同吗？为什么？【解析】它们表示的含义不同.
集合A={x|y=x2+1}表示数集，即函数y=x2+1中自变量的集合；集合B={y|y=x2+1}表示数集，即函数y=x2+1的函数值的集合；集合C={(x,y)|y=x2+1}表示点集，即函数y=x2+1图像上所有点的集合.
因而它们表示的含义不同.
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）来描述不同的具体问题，感受各种语言的意义和作用.1.本课的重点是集合元素的特性及集合的表示方法.
2.本课的难点是集合元素的特性的应用和描述法表示集合的格式.1.集合的含义及表示集
合含义表示指定的某些对象A、B、C、…a、b、c…2.请根据元素与集合的关系连线3.请把下列常用的一些数集及其记法连起来4.集合的常用表示方法
（1）列举法：就是在大括号内把集合中的元素___________.
（2）描述法：就是在大括号内用____________表示某些对象属于一个集合.
5.有限集和无限集
（1）有限集：含有________元素的集合.
（2）无限集：含_______元素的集合.
6.空集
_____________的集合叫空集，常用符号“____”表示.一一列举出确定的条件有限个无限个不含任何元素?1.“高一·二班的高个子同学”能组成一个集合吗？为什么？
提示：不能.因为某个同学是不是“高个子”没有一个明确的标准，他是不是属于这个集合是不确定的.故“高一·二班的高个子同学”不能构成一个集合.
2.有个同学说“列举法只能表示有限集”，他说的对吗？
提示：不对，列举法虽然是要求将元素一一列举出来，但对于有规律的无限集也可以用列举法表示，如{0，1，2，3，…}可表示自然数集.3.用“∈”、“?”填空.
3.5______N;-4______Z;
0.5______R; ______Q.
【解析】3.5不是自然数；-4是整数；0.5是实数； 不是有理数.
答案：? ∈ ∈ ?4.（1）用列举法表示“小于4的正整数集”为______.
（2）用描述法表示“不大于6的自然数组成的集合”为______.
【解析】（1）小于4的正整数有1，2，3，可用列举法表示为{1，2，3}；
（2）用描述法表示为{x∈N|x≤6}.
答案：(1)｛1，2，3｝ (2){x∈N|x≤6}1.对集合含义的理解
（1）集合的含义：集合在数学中是不加定义的，我们只是对它进行描述性的说明，其本质是某些确定的元素组成的总体.
（2）元素：集合中的“对象”所指的范围非常广泛，凡是我们所研究的对象都可以作为集合中的元素出现.也就是我们现实生活中所看到的、听到的、闻到的、想到的各种各样的事物以及一些抽象的符号，都可以看成集合的元素.2.对集合中元素性质的三点认识
（1）确定性：指的是作为一个集合的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，二者必居其一.集合元素的确定性通常用来判断所给的总体能否组成集合.
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）无序性：集合中的元素是没有顺序的，即没有先后之分.因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样.3.对描述法表示集合的理解
（1）描述法的重要特征是有“|”；
（2）“|”的左侧是一个代表集合元素的符号；
（3）“|”的右侧是该集合元素满足的条件，条件力求简明、准确；
（4）以上内容都要写在大括号内. 核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力，请引导学生进入探究空间吧！ 集合的基本概念
【技法点拨】
判断某些对象能否组成集合的两个原则
（1）看这些对象是否是确定的，即看这些对象是不是明确、具体的.如果明确、具体，则可以组成集合，若是模棱两可，则不能组成集合.（关键词：确定性）
（2）看这些对象是否有重复现象，如果有重复现象则不能组成集合，不重复则可以组成集合.（关键词：不能重复）【典例训练】
1.下列对象能组成集合的是( )
(A)中央电视台著名节目主持人
(B)我市跑得快的汽车
(C)《喜羊羊与灰太狼》中羊村的所有羊
(D)香港的高楼2.判断下列各组对象能否组成一个集合.
（1）小于10的素数；
（2）数学教师；
（3）现在就读于北京四中的所有学生；
（4）my book中的字母.【解析】1.选C.对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合.而对C，羊村的羊是确定的，能组成集合.
2.（1）小于10的素数共有2，3，5，7四个数，它们是明确、具体的，故可以组成一个集合.
（2）“数学教师”有明确的界限和标准，故“数学教师”能组成一个集合.（3）给定一个学生，要么是“现在就读于北京四中的学生”，要么不是.故“现在就读于北京四中的所有学生”是明确、具体的，它可以组成一个集合.
（4）“my book”中共有五个字母“m,y,b,o,k”，它们是明确、具体的，故可以组成一个集合.【想一想】一般含哪一类形容词的对象不能组成集合？
提示：一般在某个对象前面有“著名的”“较高的”“较大的”“漂亮的”等这类没有明确界限的形容词时，这些对象一般不能组成集合. 元素与集合的关系
【技法点拨】
1.判断一个对象是否为某个集合中元素的技巧2.实数的分类
自然数
负整数
正分数
负分数
正无理数
负无理数有理数整数分数实
数无理数【典例训练】
1.下列结论不正确的是( )
(A)0∈N (B) ?Q
(C)0?Q (D)-1∈Z
2.若所有形如 的数组成集合A，试判断
是不是集合A的元素.【解析】1.选C.0是自然数，A正确； 不是有理数，B正确；
0是有理数，C不正确；-1是整数，D正确.
2.是.在 中，令a=2,b=2，即可得
所以【互动探究】若题2中的条件不变，那么 是不是集合A的元素？
【解析】不是.虽然该数中 前的数是2∈Z，但
故【归纳】解答本例1的关注点及解答本例2时的关键点.
提示：（1）解答本例1时应关注常见数集及其符号记法，明确
各数集符号所包含的元素，准确记忆，书写规范.
（2）解答本例2的关键点是清楚集合A的含义，将 化成
的形式，即找到a、b的值，且a∈Z,b∈Z.【变式训练】下列结论中，不正确的是( )
(A)若a∈N，则-a?N
(B)若a∈Z,则a2∈Z
(C)若a∈Q,则|a|∈Q
(D)若a∈R,则
【解题指南】通过反例找到不正确的即可.【解析】选A.当a是0时，0∈N，-a也是0，故-a∈N.故A项不正确；B项中整数的平方还是整数，故B项正确；C项中有理数的绝对值还是有理数，故C项正确；实数的三次方根还是实数，故D项正确. 集合的表示方法
【技法点拨】
1.用列举法表示集合时应注意的四点
（1）各元素要写在大括号内；
（2）元素之间用“，”隔开；
（3）不能有重复的元素；
（4）各元素无先后顺序.2.描述法表示集合的两个要点【典例训练】
1.用另一种表示方法表示集合.
（1）A=｛2，3，5，7，11，13，17，19｝=______；
（2）B={x|x表示地球上的四大洋｝=______.
2.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集.
（1）大于3且小于5的自然数；
（2）不等式2x＋1＞7的整数解.【解析】1.（1）集合A是用列举法表示的集合，用描述法表示为A={x|x是20以内的素数｝.
（2）集合B是用描述法表示的集合，用列举法表示为B={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
答案：（1）{x|x是20以内的素数}
（2）{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
2.（1）可以表示成集合{4}，它是一个有限集.
（2）可以表示成集合{x∈Z|2x＋1＞7}，它是一个无限集.【想一想】通过本例，你发现什么样的集合用列举法表示比较方便，什么样的集合不能用列举法表示？
提示：一般元素个数不多的有限集或元素间有明显规律的无限集用列举法表示比较方便；当集合是无限集，且元素间无明显规律时，不能用列举法表示.【变式训练】用另外一种方法表示下列集合.
（1）{2,4,6,8};(2){x|3
(2)用列举法表示为{4,6,8,10,12}. 集合中元素的特性（互异性）的应用
【技法点拨】
集合中元素特性的应用
（1）集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题.
（2）求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性对集合中的元素进行检验.【典例训练】
1.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等腰三角形
2.已知集合A={2,4,6}，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为
( )
(A)2 (B)2或4 (C)4 (D)0【解析】1.选D.由于集合中的元素具有互异性，即a,b,c互不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形.
2.选B. 若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.【思考】用列举法表示集合中的元素（含参数）时应注意什么问题？
提示：因为集合中的元素不能有重复现象，故如果元素中含有参数，解出这个参数的值后，一般要利用集合元素的互异性进行检验. 规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和良好的规范答题习惯。【易错误区】忽视元素的互异性
【典例】已知集合A={1,3,a2+a,a+1}，若a∈A，则a的值为______.
【解题指导】【解析】因为a∈A,A={1,3,a2+a,a+1}，由于a≠a+1.
所以a的取值为1或3或a2+a③.
当a=1时，a2+a=2,a+1=2①,这与集合元素的互异性矛盾，故舍去；
当a=3时，a2+a=12,a+1=4①,适合题意；
当a=a2+a②时，a=0,此时a+1=1①，与集合元素的互异性矛盾，故舍去.
综上可知，所求的a值为3.
答案：3 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②③见解析过程）【即时训练】已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0}中恰好只有一个元素，则实数a的值为______.
【解析】∵A中恰好只有一个元素，
∴方程ax2－2x＋1＝0恰好只有一个根.
当a＝0时，方程的解为 满足题意；
当a≠0时，Δ＝(－2)2－4a＝0，
∴a＝1.∴所求a的值为a＝0或a＝1.
答案：0或1 1.已知集合A=｛1，2，3，5，7｝，以下说法不正确的是( )
(A)3∈A (B)6?A (C)4∈A (D)0?A
【解析】选C.显然4不是集合A的元素，故有4?A，所以C项不正确.2.已知集合A＝{x∈N*| }，则必有( )
(A)-1∈A (B)0∈A
(C) ∈A (D)1∈A
【解析】选D.∵x∈N*,
∴x=1,2,即A={1,2},∴1∈A.3.已知M={x|x≤ }，则表示集合M的方法是______.
【解析】集合M表示的特征满足描述法的定义，它是用描述法表示的集合.
答案：描述法4.集合{x|x2-5x+6=0}用另一种表示方法可以表示为______.
【解析】集合{x|x2-5x+6=0}表示由方程x2-5x+6=0的实数解组成的集合，解方程可得x=2或x=3，故该集合用列举法可以表示为{2，3}.
答案：{2，3}5.观察下列三个集合：
(1)A={x|y=x2+1};(2)B={y|y=x2+1};
(3)C={(x,y)|y=x2+1}.
它们表示的含义相同吗？为什么？【解析】它们表示的含义不同.
集合A={x|y=x2+1}表示数集，即函数y=x2+1中自变量的集合；集合B={y|y=x2+1}表示数集，即函数y=x2+1的函数值的集合；集合C={(x,y)|y=x2+1}表示点集，即函数y=x2+1图像上所有点的集合.
因而它们表示的含义不同.