1.2集合间的基本关系
在定义了集合之后,我们将研究集合之间的关系,就像我们小学时刚接触自然数时那样.
本节课我们将认识集合间的基本关系,学会用图象表示这些关系,并且研究这些关系衍生出的简单性质.
一、子集与真子集相关概念
1.子集:一般地,对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作或,读作"包含于"或"包含".
2.集合相等:一般地,对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任意一个元素都是集合中的元素,那么集合和集合相等,记作.即,若且,则.这也是我们在证明集合相等时常用的手段.
3.真子集:若,但存在元素且,则称集合为集合的真子集(proper subset),记作或,读作"真包含于"或"包含".
4.空集:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set),记为,并规定:空集是任何集合的子集.
二、子集的性质(可类比数量关系)
1.任何一个集合是它本身的子集,即.
2.对于集合,,,
(1)若,,则;
(2)若,,则;
(3)若,,则;
(4)若,,则.
类型一 判断集合间关系
例1 (多选)下列四个选项中正确的是( )
A. B. C. D.
例2 能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是( )
A. B.
C. D.
类型二 确定集合的子集、真子集
例3 定义集合,设,则集合的非空真子集的个数为( )
A.12 B.14 C.15 D.16
例4 已知集合,,,则满足条件的集合的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
类型三 两集合相等问题
例5 下列集合中表示同一集合的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
例6 已知集合,,,若,则( )
A. B. C. D.
类型四 已知集合关系求参
例7 已知集合,集合.若,则实数等于( )
A. B. C. D.
例8 设集合,,若,求实数的值.
1.已知集合M＝{x|y2＝2x,y∈R}和集合P＝{(x,y)|y2＝2x,y∈R},则两个集合间的关系是( )
A. B. C. D.,互不包含
2.下列关系中,正确的个数是( ).
①；②；③；④.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若集合,,则( )
A. B. C. D.
4.满足的集合共有( ).
A.6个 B.7个 C.8个 D.15个
5.(多选)下列选项中的两个集合相等的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
6.已知,,,若,求实数的值.
7.已知集合,是否存在实数,使得.若存在,求出实数的取值范围；若不存在,请说明理由.1.2集合间的基本关系
在定义了集合之后，我们将研究集合之间的关系，就像我们小学时刚接触自然数时那样。
本节课我们将认识集合间的基本关系，学会用图象表示这些关系，并且研究这些关系衍生出的简单性质。
一、子集与真子集相关概念
1.子集：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集（subset），记作或,读作“包含于”或“包含”。
2.集合相等：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，同时，集合中任意一个元素都是集合中的元素，那么集合和集合相等，记作。即，若且,则。这也是我们在证明集合相等时常用的手段。
3.真子集：若，但存在元素且，则称集合为集合的真子集（proper subset），记作或，读作“真包含于”或“包含”。
4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为，并规定：空集是任何集合的子集。
二、子集的性质(可类比数量关系)
1.任何一个集合是它本身的子集，即。
2.对于集合，，,
(1)若，，则;
(2)若，，则;
(3)若，，则;
(4)若，，则.
类型一 判断集合间关系
例1 （多选）下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误.对于B选项，集合的元素是点的坐标，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误.对于C选项，两个集合是相等的集合，故C选项正确.对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.
故选CD.
例2 能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故选B.
类型二 确定集合的子集、真子集
例3 定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
例4 已知集合，，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【解析】，，
，则集合M中一定包含元素0、1，
满足条件的集合M有：
，共15个.
故选：C
类型三 两集合相等问题
例5 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B
例6 已知集合，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵集合，，且，
∴，或，
先考虑，解得，
此时，，满足题意，
∴；再考虑，解得，
此时，，不满足题意，
综上，故选：D
类型四 已知集合关系求参
例7 已知集合，集合.若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.
若B A，则，且，又∵,∴无解，
∴,解得，经检验符合元素的互异性，故选：C.
例8 设集合，，若，求实数的值．
【答案】a≤－1或a＝1.
【解析】∵A＝{0，－4}，B A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得解得a＝1.
(2)当时，又可分为两种情况．
①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；
②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.
1.已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )
A． B． C． D．，互不包含
【答案】D
【解析】由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D.
2.下列关系中，正确的个数是（ ）.
①；②；③；④.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】对于①，是集合中的元素，即，故正确；
对于②，空集是任何非空集合的真子集，故 ，故正确；
对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误；
对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误.故选：B
3.若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，时，取得所有奇数，
，时，取得整数因此．故选：B．
4.满足的集合共有（ ）.
A.6个 B.7个 C.8个 D.15个
【答案】B
【解析】集合M 中必含元素a，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.故选：B.
5.（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【分析】
对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断；
对于B：取特殊值1，由，而，即可判断；
对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断.
【详解】
对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；
对于B，，而，所以；故B错误；
对于C，，，所以；故C正确；
对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．
故选：AC．
6.已知,，，若，求实数的值.
【答案】或
【解析】，或或或；
若，无解；
若，无解；
若，；
若，；综上：或.
7.已知集合，是否存在实数，使得.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】存在；或或.
【解析】∵，而集合A与a的取值范围有关.
①当时，，显然.
②当时，，
∵，如图1所示，∴∴.
③当时，，
∵，如图2所示，∴∴.
综上可知，所求实数a的取值范围为或或.
