1.4.1 课时2空间中直线、平面的平行
【基础巩固】
1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，解得，所以.
故选：A.
2．设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【解析】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立，
当时，则必有，必要性成立，故是的必要不充分条件.故选：B.
3．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【答案】B
【解析】因为，所以，则存在唯一实数，使得，
即，所以，所以，
因为，所以，所以，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故选：B.
4．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得平面，且平面与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为平面，可知平面的法向量为，
设，可得，
可得，解得，
则，可得，所以.故选：C.
5．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．已知，平面的法向量为，则
【答案】AC
【解析】A.空间中任意两个非零向量一定共面，若向量与向量共线，则向量一定可以平移到由确定的平面上，
故空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确.
B.若为非零向量，且方向相同，则，
故时，可能为，B错误.
C. 假设共面，则存在实数，使得，
由向量组是空间的一个基底可知不共面，故不存在实数，使得成立，
所以不共面，即也是空间的一个基底，C正确．
D．因为，所以，
所以或，故D错误．
故选：AC.
6．已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，写出平面的一个法向量______（答案不唯一）
【答案】（答案不唯一）
【解析】已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，
因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直.
根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，则.
可得，即，移项得到.
为了得到平面的一个法向量，我们可以给赋值.
不妨令，将代入，可得.
所以平面的一个法向量可以是.故答案为：（答案不唯一）
7．如图，平面，底面是正方形，分别为的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则_________.
【答案】
【解析】如图所示，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则得一个法向量为.
因为平面，则，
设，则，所以，
解得，所以，即.
故答案为：.
8．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：因为平面，平面，所以，
因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，
所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，，.
则，因为，，分别是，，的中点，
所以，，，所以.
因为平面的一个法向量为，所以，即.
又因为平面，所以平面.
(2)因为，所以，所以，
又平面，所以平面.
又因为，平面，所以平面平面.
【能力拓展】
9．如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，.
设平面的法向量为，则，即
令，可得.设，则.
因为直线与平面没有公共点，所以平面，则，
所以，即.
当时，取得最小值，最小值为
故选：D.
10．在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得：
，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，则由得，
可令，得，，即.
由于直线与平面平行，则，得：，即：，
又，.
所以，
将代入上式整理得：，
所以当时，取得最小值，最小值为.故选：C.
11．在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
根据正方体可以所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
设，则，， ，
设平面的法向量为，则，取，
因为平面，故，故即，故
设三棱锥外接球的球心坐标为，由得：
，整理得：，
故，故外接球半径为
故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.
【素养提升】
12．已知矩形，，，为中点，沿 折成直二面角，为中点.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)
取的中点，连接，因为矩形，，，
所以，由为中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，由平面，所以.
(2)
作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，
由(1)得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以，所以存在点，使得平面，.1.4.1 课时2空间中直线、平面的平行
【基础巩固】
1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
3．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
4．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得平面，且平面与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．已知，平面的法向量为，则
6．已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，
若直线平面，写出平面的一个法向量_________.（答案不唯一）
7．如图，平面，底面是正方形，分别为的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则_________.
8．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．
求证：(1)平面； (2)平面平面．
【能力拓展】
9．如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
【素养提升】
12．已知矩形，，，为中点，沿 折成直二面角，为中点.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
