1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
基础巩固
一、单选题
1．（2025高二·全国·专题练习）①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量；
③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量；
④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量．
以上四个命题中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】根据零向量、直线方向向量、平面法向量的性质和定义依次判断各项的正误，即可得.
【详解】直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，①正确；
当时，是零向量，不是直线的方向向量，②错误；
由坐标平面与轴垂直，故是该平面的一个法向量，③正确；
若直线平面，结合法向量的定义，直线的方向向量平行于平面的法向量，④错误．
故选：B
2．已知点，，，则平面的法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求平面的法向量
【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案.
【详解】由已知得，．设，
则即令，则，，所以．
故选：A.
3．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得.
【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误；
对于B，由，得，则，解得，B错误；
对于C，由，得，，
则，则或，C错误；
对于D，由，得，，
则，则，D正确.
故选：D
4．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间位置关系的向量证明
【分析】根据向量共线，即可列方程求解.
【详解】因为，所以，从而设，即，
由于为空间内三个不共面的向量，
所以解得所以．
故选：B
5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【分析】依题意得，所以，即可求解．
【详解】因为是平面的一个法向量，
点在平面内，所以，
所以.
由条件得，
所以，解得.
故选：D
6．（24-25高二上 湖南郴州 阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.
【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以，
因为侧棱垂直于底面，所以面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
因为分别是所在棱的中点，所以
所以，，故，
即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，所以，，
故，所以，
在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，
故，，即，所以不垂直，
则3个直观图中满足的有个，故C正确.
故选：C
7．（24-25高二上 山东 阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面法向量的概念及辨析
【分析】根据点法式方程的定义即可求解.
【详解】根据题意可得，
化简得，
故选：B
8．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．平面平面
【答案】B
【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明
【分析】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断.
【详解】
如图建系，设正方体的棱长为2.
对于A，易得，
因是的中点，故，点在上，设，
则，
平面的法向量可取为，
由，解得，即存在，使得平面，
此时，点恰为的中点，故A正确；
对于B，由上建系，则，
由，可知与不垂直，故B错误；
对于C，如图，取的中点为，连接，易得，
因，则得，故有，则，
又平面平面，平面平面，
故即为平面与平面的截线，
又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确；
对于D，由上建系，因为的中点，则，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
又，
设平面的法向量为，
则，故可取，
由，可得，
故平面平面，即D正确.
故选：B.
二、多选题
9．（24-25高二上 湖南邵阳 期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AC
【知识点】空间位置关系的向量证明、求直线的方向向量（空间中）、平面法向量的概念及辨析
【分析】判断法向量与直线的方向向量是否共线可判断BD的正误，计算出法向量与法向量的数量积后可判断C的正误，判断出两直线的方向向量是否共线可判断A的正误.
【详解】对于A，因为，所以直线，的方向向量共线，故，故A正确；
对于B，因为，所以不共线，故不成立，故B错误；
对于C，因为，所以，故，故C正确；
对于D，因为，所以共线，所以，故D错误；
故选：AC．
10．已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（ ）
A． B． C．4， D．4，
【答案】BD
【知识点】求平面的法向量
【分析】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，利用求解方程组，得到法向量．
【详解】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，
则即得，
令，解得
令，解得
故或，．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查空间平面法向量的计算方法，考查计算能力与方程思想，属于基础题．
11．（23-24高二上·山西运城·期中）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）.
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
【答案】ABC
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量
【分析】应用空间向量数量积公式计算判断A，B，应用线面垂直判定定理结合法向量定义判断C，应用向量减法及模长公式计算判断D.
【详解】对于A：因为，所以，A选项正确；
对于B：，所以，B选项正确；
对于C：因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，C选项正确；
对于D：因为，所以，D选项错误；
故选：ABC.
三、填空题
12．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数 .
【答案】4
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），
（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），
∵λ，∴﹣2，∴b，
∴N（0，，0），（，，），（，0），
∵MN⊥AD，∴10，
解得实数λ＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．（24-25高二上 山东 阶段练习）如图，四棱柱为正方体．
①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为．
则上述结论正确的是 .（填序号）
【答案】①②③
【知识点】平面法向量的概念及辨析、求平面的法向量、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、求直线的方向向量（平面中）
【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断.
【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，
于是，,故① ，② 正确；
因平面，而，
故 可作为平面的法向量，即③正确；
在正方体中，因平面,平面，
则，易得，又，故平面，
而，即可作为平面的法向量，故④错误.
故答案为：①②③.
14．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ．
【答案】/
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、求平面的法向量
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，得．
设，则．
因为平面，所以，则，解得，，
所以，，故．
故答案为：
四、解答题
15．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量
【分析】设，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得，，求出平面的法向量；法二：过点作于点，则为的中点，再由线面垂直的判定及性质定理得平面，写出的坐标，即可得.
【详解】根据题意，设，
法一：，，，则，，
设平面的法向量为，则有，
令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一）
法二：过点作于点，则为的中点，
平面，平面，
，
，
，又，平面，
平面，平面，
，又，且，平面，
平面，易得，，，
，故，
平面的一个法向量为（答案不唯一）.
16．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证；
方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证．
（2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可；
方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证.
【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
方法一：设正方体的棱长为2，则.
由正方体的性质知平面，
所以为平面的一个法向量．
由于，则，所以．
又平面，所以平面．
方法二：设正方体的棱长为2，，．
由于，，，故，
又平面，故平面．
（2）方法一：由于，，
则，
所以也是平面的一个法向量，
又平面，则平面与平面不重合，
所以平面平面．
方法二：由于，，则，所以，
又平面，平面，所以平面．
由（1）知平面，又与相交于点，
所以平面平面．
17．（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：．
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可．
【详解】设，，，则构成空间的一个基底，
则，，
∴，
∴，即．
18．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明
【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明.
【详解】证明：在直三棱柱中，.
又，，平面，∴平面.
∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直.
以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则由题可得，，，，，，
∴，，，.
设平面的法向量为，
则，即，即，
令，则，∴平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，即，即，
令，则，∴平面的一个法向量为.
∴，∴平面平面.
19．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.
(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可；
【详解】（1）
取的中点，连接，
因为矩形ABCD，，，
所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
（2）
作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，
由（1）得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以
所以存在点N，使得平面ADM，.
能力提升
1．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则 ．
【答案】2：3：（-4）
【知识点】求平面的法向量
【详解】试题分析：由得
因为为平面的法向量，则有，即
由向量的数量积的运算法则有解得
所以
故正确答案为
2．（24-25高二上 重庆 期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 .
【答案】
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值．
【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，即，
设，，
则，
因为直线平面，则，
可得，解得，
则，
可得
当且仅当，时，取得最小值，即的长度的最小值为．
故答案为：．
3．（24-25高二上 广东江门 阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算
【分析】由空间向量共线设求出点坐标，进而表示出，，再利用向量的数量积和二次函数知识解答即可；
【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有，
因此，，，
于是得，
则当时，，此时，点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为，
故选：D.
4．（23-24高二上 安徽池州 期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，三点共线
B．当时，平面
C．当时，平面
D．当时，
【答案】D
【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据长方体的性质，可得判定A正确；求得的法向量为，结合，可判定B正确；求得平面的法向量为，结合，可判定C正确；由时，结合，
所以与不垂直，所以D错误.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设，可得，
对于A中，当时，即为对角线的中点，
连接，在矩形中，可得也是的中点，
所以三点共线，所以A正确；
对于B中，当时，可得，所以，，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
所以，所以平面，所以B正确；
对于C中，当时，可得，所以，
设平面的法向量为，且，
则，取，可得，所以，
则，所以平面，所以C正确；
对于D中，当时，，由，
解得，则,
所以与不垂直，所以D错误.
故选：D.
5．（多选）已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（ ）
A．当时，为锐角
B．当时，
C．当时，有且仅有一个点P，使得
D．当时，∥平面
【答案】BD
【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量
【分析】建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的坐标运算并结合平面法向量的求法解得答案.
【详解】如图，设该三棱柱棱长为2，易得AD⊥BC，，以D为坐标原点，分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系.
于是，，，则.
对A，若，则，所以，正负不定，不一定为锐角，故错误；
对B，若，，则，故正确；
对C，若，，，若，则，而，则或，则点P不唯一，故错误；
对D，，设平面ADE的法向量为，则，取b=1，则，，所以，由可知，，则，而平面，所以∥平面.故正确.
故选：BD.
6．（多选）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
【答案】ABC
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确.
【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.
故选：ABC.1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
题型1 两条直线的方向向量的应用 4
题型2 平面法向量的相关问题 6
题型3 用空间向量证明平行关系 9
考点1 利用空间向量证明线线平行 9
考点2 利用空间向量证明线面平行 11
考点3 利用空间向量证明面面平行 15
题型4 用空间向量证明垂直关系 17
考点1 利用空间向量证明线线垂直 17
考点2 利用空间向量证明线面垂直 21
考点3 利用空间向量证明面面垂直 25
知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示
1．点的位置向量
如图所示，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.
2．直线的方向向量
用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点.
如图，是直线的方向向量，在直线上取,设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得,即
3．空间直线的向量表示式
如图，取定空间中的任意一点，可得到点在直线上的充要条件是存在实数，使,①
将代入①式，得
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4．用向量表示空间平面的位置
空间中平面可以由内两条相交直线确定.如图1，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.
进一步地，如图2，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使③
我们把③式称为空间平面的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
知识点二 平面的法向量
1．平面的法向量的定义
已知平面(如图所示)，直线，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量.
给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
2．平面法向量的性质
(1)如果直线垂直平面，则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量.
(2)如果是平面的一个法向量，则对任意的实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行.
(3)如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点，向量一定与向量垂直，即从而可知平面的位置可由和唯一确定.
3．平面法向量的求法
平面法向量的确定通常有两种方法：
方法一直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可.
方法二待定系数法：在几何体中没有现成的有向线段，这时一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求平面的法向量.一般步骤如下：
(1)设平面的法向量为.
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，,
(3)根据法向量的定义建立关于，，的方程组
(4)解方程组，取其中的一组解，即得该平面的一个法向量.由于平面的法向量有无数个，因此可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量.
知识点三 空间中直线、平面的平行
1．直线与直线平行
如图1，设分别是直线的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以,使得
2．直线与平面平行
如图2，设是直线的方向向量，是平面的法向量，,则
3．平面与平面平行
如图3，设，分别是平面，的法向量，则,使得
知识点四 空间中直线、平面的垂直
1．直线与直线垂直
如图1，如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判断两直线是否垂直，如图，设直线的方向向量分别为，，则有,则有
由上述条件，证明空间两条直线可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明
(1)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，表示两直线的方向向量的坐标，证明
(2)基向量法：选定基底，利用向量的加减运算律，结合图形将两直线的方向向量用基向量表示，然后利用数量积运算求解为0即可.
2．直线与平面垂直
如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则,使得
3．平面与平面垂直
如图3，设平面，的法向量分别为,则.
题型1 两条直线的方向向量的应用
1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（ ）
A． B．与相交 C．与异面 D．
3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ）
A．或1 B． C． D．1
4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型2 平面法向量的相关问题
5．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 .
7．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ．
8．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量．
9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量．
题型3 用空间向量证明平行关系
考点1 利用空间向量证明线线平行
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
11．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．
考点2 利用空间向量证明线面平行
12．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
13．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.
14．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.
考点3 利用空间向量证明面面平行
15．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．
16．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.求证：平面平面.（使用向量方法）
题型4 用空间向量证明垂直关系
考点1 利用空间向量证明线线垂直
17．在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．求证：．
18．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，.
(1)用向量，，表示向量，并求向量的模；
(2)证明：.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：.
考点2 利用空间向量证明线面垂直
20．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．
21．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点.
(1)求的长；
(2)求证： 平面
22．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．
考点3 利用空间向量证明面面垂直
23．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且．
(1)求平面的法向量
(2)求证：平面平面．
24．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面.
25．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面．
26．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为．
(1)求棱的长；
(2)证明：平面平面．1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
题型1 两条直线的方向向量的应用 4
题型2 平面法向量的相关问题 6
题型3 用空间向量证明平行关系 9
考点1 利用空间向量证明线线平行 9
考点2 利用空间向量证明线面平行 11
考点3 利用空间向量证明面面平行 15
题型4 用空间向量证明垂直关系 17
考点1 利用空间向量证明线线垂直 17
考点2 利用空间向量证明线面垂直 21
考点3 利用空间向量证明面面垂直 25
知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示
1．点的位置向量
如图所示，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.
2．直线的方向向量
用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点.
如图，是直线的方向向量，在直线上取,设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得,即
3．空间直线的向量表示式
如图，取定空间中的任意一点，可得到点在直线上的充要条件是存在实数，使,①
将代入①式，得
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4．用向量表示空间平面的位置
空间中平面可以由内两条相交直线确定.如图1，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.
进一步地，如图2，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使③
我们把③式称为空间平面的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
知识点二 平面的法向量
1．平面的法向量的定义
已知平面(如图所示)，直线，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量.
给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
2．平面法向量的性质
(1)如果直线垂直平面，则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量.
(2)如果是平面的一个法向量，则对任意的实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行.
(3)如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点，向量一定与向量垂直，即从而可知平面的位置可由和唯一确定.
3．平面法向量的求法
平面法向量的确定通常有两种方法：
方法一直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可.
方法二待定系数法：在几何体中没有现成的有向线段，这时一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求平面的法向量.一般步骤如下：
(1)设平面的法向量为.
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，,
(3)根据法向量的定义建立关于，，的方程组
(4)解方程组，取其中的一组解，即得该平面的一个法向量.由于平面的法向量有无数个，因此可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量.
知识点三 空间中直线、平面的平行
1．直线与直线平行
如图1，设分别是直线的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以,使得
2．直线与平面平行
如图2，设是直线的方向向量，是平面的法向量，,则
3．平面与平面平行
如图3，设，分别是平面，的法向量，则,使得
知识点四 空间中直线、平面的垂直
1．直线与直线垂直
如图1，如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判断两直线是否垂直，如图，设直线的方向向量分别为，，则有,则有
由上述条件，证明空间两条直线可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明
(1)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，表示两直线的方向向量的坐标，证明
(2)基向量法：选定基底，利用向量的加减运算律，结合图形将两直线的方向向量用基向量表示，然后利用数量积运算求解为0即可.
2．直线与平面垂直
如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则,使得
3．平面与平面垂直
如图3，设平面，的法向量分别为,则.
题型1 两条直线的方向向量的应用
1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求直线的方向向量（空间中）、null
【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解.
【详解】由，得，
所以直线的一个方向向量的坐标为.
故选：A
2．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（ ）
A． B．与相交 C．与异面 D．
【答案】D
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】由向量垂直即可解题.
【详解】因为，
故，所以，
故选：D
3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ）
A．或1 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】空间向量平行的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析（空间中）
【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解.
【详解】依题意，向量共线，则，
所以.
故选：B
4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】由空间向量共线求参数或值、求直线的方向向量（空间中）
【分析】根据求解即可.
【详解】由题知：，
因为，所以，解得，
所以.
故选：A
题型2 平面法向量的相关问题
5．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求平面的法向量
【分析】根据法向量的求法求解即可.
【详解】由已知，设平面的一个法向量为，
，取，得，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.
故选：A.
6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 .
【答案】9
【知识点】空间向量数量积的应用、平面法向量的概念及辨析
【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出.
【详解】由点，得，
由是平面的一个法向量，且点，得，
因此，所以.
故答案为：9
7．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ．
【答案】（答案不唯一，只需满足即可）
【知识点】求平面的法向量
【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解.
【详解】设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为在平面内，则平面，且，
，
故满足条件的一个点的坐标为.
故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）.
8．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量．
【答案】(1)(答案不唯一)
(2)(答案不唯一)
【知识点】求平面的法向量
【分析】（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量；
（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.
【详解】（1）因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．
（2）因为正方体的棱长为3，，
所以M，B，的坐标分别为，，，
因此，，
设是平面的法向量，则
，，
所以，
取，则，．于是是平面的一个法向量．
9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量．
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，求出，，再由线面垂直的判定定理可得答案.
【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线
为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，
则，，，，，
于是，，，
所以，，
所以，，所以，．
因为，平面，平面，
所以平面．所以是平面的一个法向量．
题型3 用空间向量证明平行关系
考点1 利用空间向量证明线线平行
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
【答案】证明见解析
【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可.
【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)，
则即取=(1，1，-1).
易知，
∴，
∴，
即PQ∥BD1.
【点睛】本题主要考查了空间向量垂直关系的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于中档题.
11．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．
【答案】证明见解析
【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案；
证法二：由空间向量的线性表示可得答案.
【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
所以，又，故．
证法二：由题意可得
，
又，所以．
考点2 利用空间向量证明线面平行
12．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
【答案】详见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】由题意，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，平面EFG的法向量，利用法向量与的数量积，即可得到判定，得到结论.
【详解】∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，
∴AB，AP，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
∴＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，
设平面EFG的法向量为，则即
令，则＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，
∵＝(2，0，－2)，∴·＝0，∴ ，
∵PB面EFG，∴PB∥平面EFG.
【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何线面位置关系的判定中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用平面法向量的性质和空间向量的共面定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
13．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面；
【详解】证明：如图，
因为H，P分别是BC，AB的中点，所以，
因为，可得，又因为平面ABC，
以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，，，，，
所以向量，且平面的法向量为，
则，所以，
又因为平面，所以平面.
14．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】解法一：以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明；
解法二：取的中点为坐标原点，的方向分别为x轴 y轴 z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明.
【详解】解法一：
以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设，由题意得，，
因为，所以
即，即，
所以，所以，
又因为面的一个法向量为，所以，所以，
又因为面，所以面.
解法二：
取的中点，连接，因为为的中点，
所以，所以平面，
过作，交BC于，
以为坐标原点，的方向分别为x轴 y轴 z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为为中点，设，
则，
设点的坐标为.
因为，所以.
因为为的中点，故，又为的中点，故，
所以，
又平面的一个法向量为，故，所以，
又平面，所以平面.
考点3 利用空间向量证明面面平行
15．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明
【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证．
【详解】因为，，是棱的中点，
所以，所以为正三角形．
因为为等腰梯形，，，
所以．
取的中点，连接，则，所以．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
所以，，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面.
16．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.求证：平面平面.（使用向量方法）
【答案】证明见解析
【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明
【分析】以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可；
【详解】证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
则.
设平面的法向量为，
则，所以，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，所以，取，则，
所以平面的一个法向量为，
因为，即，所以平面平面.
题型4 用空间向量证明垂直关系
考点1 利用空间向量证明线线垂直
17．在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】建立空间直角坐标系，依次写出坐标，再求解出坐标，求得其数量积为0，证明其垂直即可.
【详解】
以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图
设,则
因此
所以，故.
18．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，.
(1)用向量，，表示向量，并求向量的模；
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【知识点】用基底表示向量、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可；
（2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解.
【详解】（1）在平行六面体，
可得,
所以，
因为，
所以
；
（2）由（1）知，，
则
，
根据向量垂直判定定理可知，所以.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：.
【答案】证明见解析
【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明
【分析】方法一：几何法，根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；方法二：空间向量法，利用向量垂直的坐标表示证明；方法三：利用向量的四则运算和数量积的运算律证明.
【详解】方法一：几何法
因为，，所以，
又因为，，所以平面，
又因为，构造正方体，如图所示，
过作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为分别为和的中点，所以是的中点，
由于，故≌，则,
又因为，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以.
方法二：空间向量法
因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，
所以，
因为，，所以，
又平面，所以平面，
所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，
由题设（），
因为，
所以，所以，则.
方法三：利用向量四则运算和数量积的运算律求解
因为，，所以，
故，，
所以
，
所以，则．
考点2 利用空间向量证明线面垂直
20．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面．
【详解】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的一个法向量为，
则即，
令，则，
所以，故直线平面．
21．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点.
(1)求的长；
(2)求证： 平面
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长；
（2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可.
【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，所以，.
（2）依题意得，
所以，
则，即，
又因为，平面，所以平面.
22．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．
【答案】证明见解析
【知识点】证明线面垂直、空间向量数量积的应用、用空间向量求点的坐标、求平面的法向量
【分析】，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，法一：由，得，又由，由线面垂直的判定证明平面；法二：设，由得，结合，求得坐标，从而得到平面的法向量，由得平面．
【详解】因为平面，平面，所以，
又因为底面是正方形，所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
设，
则，，，，．
所以，，．
法一：因为，所以，所以，
又因为，，平面，
所以平面．
法二：设，则，．
因为，所以，
即．①
又因为，可设，所以，，．②
由①②可知，，，，所以．
设为平面的法向量，
则有，即，所以，取，则．
所以，所以平面．
考点3 利用空间向量证明面面垂直
23．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且．
(1)求平面的法向量
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可；
（2）证明两平面的法向量垂直即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为.
（2）设平面的一个法向量是，
则，令，则，
因为，所以，
所以平面平面.
24．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面.
【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，.
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，
不妨令，则，，所以，
设平面PAC的一个法向量为，
则，即，
不妨令，则，，
所以，
因为，
所以，
所以平面平面．
25．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量
【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明.
【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，令，
可得平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则，即，令，
可得平面的一个法向量．
因为，
所以，
所以平面平面．
26．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为．
(1)求棱的长；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求；
（2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可.
【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面，
且四边形为直角梯形，设，
所以，
解得，即；
（2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
由题意可得，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则；
设平面的法向量为，
则，令，则；
因为，
所以平面平面．1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
基础巩固
一、单选题
1．（2025高二·全国·专题练习）①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量；
③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量；
④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量．以上四个命题中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．已知点，，，则平面的法向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ）
A．5 B． C．3 D．
5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
6．（24-25高二上 湖南郴州 阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（24-25高二上 山东 阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．平面平面
二、多选题
9．（24-25高二上 湖南邵阳 期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
10．已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（ ）
A． B． C．4， D．4，
11．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）.
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
三、填空题
12．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数 .
13．（24-25高二上 山东 阶段练习）如图，四棱柱为正方体．
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为．
则上述结论正确的是 .（填序号）
14．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ．
四、解答题
15．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量．
16．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
17．（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：．
18．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面.
19．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.
(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
能力提升
1．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则 ．
2．（24-25高二上 重庆 期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 .
3．（24-25高二上 广东江门 阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上 安徽池州 期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，三点共线
B．当时，平面
C．当时，平面
D．当时，
5．（多选）已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（ ）
A．当时，为锐角
B．当时，
C．当时，有且仅有一个点P，使得
D．当时，∥平面
6．（多选）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
