1.4.2.1异面直线所成的角 难点训练微专题(解析版）
突破通法：
利用空间向量求两异面直线所成角的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系;
（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标;
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角;
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
微专题训练
一、单选题
1．在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得.
【详解】
如图，设正方体棱长为4，，
则，.
因，
，
则，故，
，故，
且，
则，
设BE与DF所成的角为，则.
故选：C.
2．如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答.
【详解】设，，，则 ，，
，
，
所以 ，
故直线与所成的角余弦值为0.
故选： D.
3．如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算.
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
则，故与MN所成角的余弦值为．
故选：A.
4．如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建系，分类讨论位置，根据线面角的向量求法求解即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，
由知异面直线和所成的角即和所成的角，即，设．
①当在线段上时（包含端点），易知，则；
②当在线段上时（不含，包含），设，则，
则，当时，取得最大值；
③当在线段上时（不含，包含），设，
同理，则；
④当在线段上时（不含端点），显然．
综上所述，的最大值为，
故选：C．
5．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
所以，
由于在平面内，所以的纵坐标为0，
且直线方程满足，满足，联立，解得，
所以，
因为，
所以与所成的角的余弦值为，
所以与所成的角的大小为.
故选：B.
6．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解.
【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直，
如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，所以,
则，
设异面直线与所成角为，则.
故选:A.
7．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，分别取，则，
且，
而
由，
，
，
设与的所成角为，
则.
故选：A.
8．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案.
【详解】因为平面，底面是正方形，
故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
因为点E为SC中点，所以，
所以，，
设异面直线EB与AC所成角为，
则.
故选：A.
二、多选题
9．在长方体中，，点分别是的中点，点为线段上的动点，记异面直线所成角为，则下列判断正确的是（ ）
A．向量共面 B．向量不共面
C．当为中点时， D．当取到最小值时，则
【答案】ACD
【分析】依题意建系，设，利用共面向量基本定理即可判断A，B；对于C，D，可根据空间向量的夹角坐标公式，化简计算判断C项，借助于二次函数的值域即可判断D项.
【详解】
如图，在长方体中建立空间直角坐标系.
依题意， ，
对于A，B，设，则，
又，
设，
故有，解得，
由此可得，对于每一个，都有唯一的的值与之对应，
故由共面向量基本定理可得，向量共面，故A正确，B错误；
对于C，当为中点时，，，因，
则，故C正确；
对于D，由，
因，当时，，；
当，设，则，，
故当时，取得最大值为，
因函数在上单调递减，即此时取到最小值，故D正确.
故选：ACD.
10．已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由向量加法法则判断A，利用计算后判断B，由平方后计算出判断CD．
【详解】对于A：由空间向量的加法法则知A正确；
对于B：是中点，则
，B正确；
对于CD：直三棱柱中，侧棱与底面垂直，因此侧棱与底面内所有直线都垂直，
由，，即得：
，
，
又，
则，
又直线AB与所成的角为，所以或，
因此或，
所以或．
因此CD均错．
故选：AB.
11．已知空间中三点，则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的一个单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【答案】BC
【分析】根据共线向量的定义、单位向量的定义、向量夹角的定义以及法向量的定义直接计算即可判断选项.
【详解】由题意知，，因为，所以与不是共线向量，即A错误；
的单位向量为，所以的单位向量为或，即B正确；
，所以与夹角的余弦值为，即C正确；
设平面的一个法向量为，则即，
令，则，所以，即D错误,
故选：BC.
三、填空题
12．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
故答案为：
13．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 .
【答案】/
【分析】根据，结合向量数量积的运算法则，分别求出和的值，再利用，求解即可．
【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2，
因为，
所以，，
因为，
所以，
即，
且，
所以，
又异面直线夹角的取值范围为，
所以异面直线与所成角为．
故答案为：．
14．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值.
【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
则,
则异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，．
(1)求的长度；
(2)求与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间的基向量表示出，再根据向量数量积运算律计算模长即可；
（2）根据向量的线性运算表示，再运用空间向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）因
则，，
于是.
又，
则，
故.
（2）因为，
则，
故，
又则，故，
则，
则，
故与夹角的余弦值为．
16．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点．
(1)用向量，，表示，并求线段AG的长；
(2)求直线AG与所成角的正弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题可得，再利用模长公式求解即可；
（2）同理（1）用向量，，表示，计算出与的数量积，再用夹角公式求解.
【详解】（1）由题意知
．
因为四边形是正方形，，，
所以，，，
所以
，
即线段的长为．
（2）因为，，
由（1）知，以，，，
所以
．
又
，
所以．
设直线AG与所成角为，则，
即直线AG与所成角的正弦值为．1.4.2.1异面直线所成的角 难点训练微专题(学生版）
突破通法：
利用空间向量求两异面直线所成角的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系;
（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标;
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角;
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
微专题训练
一、单选题
1．在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在长方体中，，点分别是的中点，点为线段上的动点，记异面直线所成角为，则下列判断正确的是（ ）
A．向量共面 B．向量不共面
C．当为中点时， D．当取到最小值时，则
10．已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知空间中三点，则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的一个单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
三、填空题
12．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 .
13．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 .
14．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
15．如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，．
(1)求的长度；
(2)求与夹角的余弦值．
16．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点．
(1)用向量，，表示，并求线段AG的长；
(2)求直线AG与所成角的正弦值．
