1.4充分条件与必要条件
在初中,我们已经对命题有了初步的认识.一般地,我们把用语言,符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成"若,则","如果,那么"等形式.其中称为命题的条件,称为命题的结论.
本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察"若,则"形式的命题中和的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语----充分条件,必要条件和充要条件.
一、充分条件与必要条件
1.一般地,"若,则"为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作,并且说,是的充分条件(sufficient condition),是的必要条件(necessary condition).
2.如果"若,则"为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件.
二、充要条件
1.如果"若,则"和它的逆命题"若,则"均是真命题,即既有,又有,就记作(与等价).此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件(necessary and sufficient condition).显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件.
类型一 充分、必要条件的判定
例1 设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,则甲是丁的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A,,,,
由甲是乙的充分不必要条件得, B,由乙是丙的充要条件得,,
由丁是丙的必要不充分条件得, D,所以 D,,故甲是丁的充分不必要条件.
故选:A.
例2 设,则""是""的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设的解集为,
由于,故""""
故选:A
类型二 充分、必要条件的探索
例3 (多选)""的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】我们只需找集合的真子集即可.
例4 (多选)一元二次方程有正数根的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】设,则它的对称轴,若它有根,则必有至少一个负根,若另一个为正根,设两根分别为,,则,由韦达定理,即.
类型三 由充分、必要条件求参数
例5 已知集合,.若是的充分条件,则实数a的取值范围是_______
【答案】
【解析】∵若x∈A是x∈B的充分条件,∴,
i若,则2a+3＜a+1,即a＜﹣2时,满足题意;
ii若,则满足,即,此时﹣2≤a≤.
综上a≤.故答案为
类型四 充要条件的证明
例6 已知,求证:的充要条件是.
【解析】由于,
故原命题变为"证明:的充要条件是".
i必要性:
因为,所以.
所以.
ii充分性:
因为,
又,所以且.因为(对配方),
所以,即.
得证.
例7 求证:关于的方程有两个负实根的充要条件是.
【答案】详见解析
【解析】
i充分性:,,
方程有实根,设的两根为,,
由韦达定理知:,、同号,
又,,同为负根;
ii必要性:
的两个实根,均为负,且,
,.
所以命题得证.
1.""是"方程至少有一个实数根"的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时,方程即为,解得;
当时,,得,;
所以"方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根"等价于""
""能推出"方程至少有一个实数根",反之不成立;
所以""是"方程至少有一个实数根"的充分不必要条件.
故选:B.
2.若集合,下列各式是""的充分不必要条件的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】即寻找集合的子集即可.
3.已知:实数满足 (其中):实数满足.
(1)若,且与都为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)当时,:实数满足,又:实数满足,
因为与都为真命题,所以两集合,取交集,解得;
(2)记,,因为是的必要不充分条件,所以
所以,
所以实数的取值范围是.
4.设证明:的充要条件是.
【解析】实际上
同时成立
.
故.
5.角平分线定理:△ABC中,边BC内上有一点D,则AD是∠A的角平分线的充要条件是.
【解析】证明:如图,
过B作BE∥AC交AD的延长线于点E,
i必要性:若AD为∠A的角平分线,则∠BAD＝∠CAD,∵BE∥AC,∴∠CAD＝∠E,∴∠BAD＝∠E,∴AB＝BE,∵△ACD∽△EBD,∴,∴,
ii充分性:若,∵BE∥AC,∴△ACD∽△EBD,∴,∴AB＝BE,∴∠BAD＝∠E,
∵BE∥AC,∴∠CAD＝∠E,∴∠BAD＝∠CAD,∴AD为∠A的角平分线.
综上,AD是∠A的角平分线的充要条件是.1.4充分条件与必要条件
在初中,我们已经对命题有了初步的认识.一般地,我们把用语言,符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成"若,则","如果,那么"等形式.其中称为命题的条件,称为命题的结论.
本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察"若,则"形式的命题中和的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语----充分条件,必要条件和充要条件.
一、充分条件与必要条件
1.一般地,"若,则"为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作,并且说,是的充分条件(sufficient condition),是的必要条件(necessary condition).
2.如果"若,则"为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件.
二、充要条件
1.如果"若,则"和它的逆命题"若,则"均是真命题,即既有,又有,就记作(与等价).此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件(necessary and sufficient condition).显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件.
类型一 充分、必要条件的判定
例1 设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,则甲是丁的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例2 设,则""是""的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
类型二 充分、必要条件的探索
例3 (多选)""的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
例4 (多选)一元二次方程有正数根的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
类型三 由充分、必要条件求参数
例5 已知集合,.若是的充分条件,则实数a的取值范围是_______
类型四 充要条件的证明
例6 已知,求证:的充要条件是.
例7 求证:关于的方程有两个负实根的充要条件是.
1.""是"方程至少有一个实数根"的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若集合,下列各式是""的充分不必要条件的是( )
A. B. C. D.
3.已知:实数满足 (其中):实数满足.
(1)若,且与都为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
4.设证明:的充要条件是.
5.角平分线定理:△ABC中,边BC内上有一点D,则AD是∠A的角平分线的充要条件是.
