1.1 集合的含义与表示 学案2（含答案解析）

1.1集合的含义与表示
学案
1．集合的含义
(1)集合与元素
一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．
集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合中元素的三个性质
①确定性
给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了．要么a在集合A中，要么a不在集合A中，二者必居之一．不允许有模棱两可的情况出现．例如：“我们班的高个子同学”就不具备确定性，因为组成集合的标准不明确，身高是多少时算“高个子”？再如“著名科学家”“较大的数”等，都不能组成集合，原因是各对象间找不出公共特征、属性，即元素的“指定”．
②互异性
在给定的集合中，元素是互异的．也就是说，集合中的任何两个元素都不相同，因此，集合中的元素没有重复现象．例如，方程(x－1)2(x＋3)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－3，其中1是二重根，在写由该方程的根构成的集合时，1只能出现一次，即只能写成由1和－3两个元素组成的集合，而不能写成由1,1，－3三个元素组成的集合．
③无序性
集合中元素的无序性，是指在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集中在一起，虽然习惯上会将某些元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，例如：由元素a，b组成的集合与由元素b，a组成的集合是同一个集合．
(3)元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果元素a在集合A中，就说a属于A
a∈A
“a属于A”
不属于
如果元素a不在集合A中，就说a不属于A
aA
“a不属于A”
破疑点
如何使用符号“∈”与“”
1．符号“∈”，“”是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系的，这一点务必牢记；
2．“a∈A”或“aA”取决于a是不是集合A中元素，如果是，用a∈A；否则，用aA.
【例1－1】下列语句：
①2012年伦敦奥运会上获得金牌的运动员可以构成一个集合；
②世界上所有的“大款”可以构成一个集合；
③由实数x，－x，，所组成的集合里最多有2个元素；
④小于5的正整数组成的集合中的元素可按顺序1,2,3,4书写，也可按顺序2,4,3,1书写．
其中正确的是________．
解析：在①中，由于获得金牌的运动员是确定的，因此它能组成一个集合．在②中，由于“大款”没有一个确定的标准，因而不能判定一个人到底是不是“大款”，故它不能组成集合．在③中，由于，所以由集合中元素的互异性知，当x＝0时，由实数x，－x，，所组成的集合里只有一个元素0；当x≠0时，集合里有两个元素x和－x.④符合集合中元素的无序性．
答案：①③④
【例1－2】设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系正确的是(　　)．
A．0∈M,2∈M
B．0M,2∈M
C．0∈M,2M
D．0M,2M
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0不是不等式3－2x＜0的解，故0M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2是不等式3－2x＜0的解，故2∈M.
答案：B
2．常用的数集及其记法
在数学中，最常用到的集合是关于数的集合，简称为数集．例如：不等式的解集、方程的解集等等．随着学习的深入，经常会用到自然数、整数、正整数、有理数、实数各自构成的集合，为了表达起来方便，对于这些常用的数集，我们专门指定一些大写字母来表示(如下表)：
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N＋
Z
Q
R
警误区
N与N＋的区别
在这些特定集合符号中，N与N＋的区别为：N比N＋多一个元素0，也就是说，自然数集包括数0,0是最小的自然数．再就是符号N＋中的“＋”号在下标位置，不能写成N＋.
【例2】给出下列几个关系式：；0.3∈Q；0∈N；0∈{0}；0∈N＋；；－π∈Z；－5∈Z.其中正确的关系式的个数是(　　)．
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：判断数与常用数集之间的关系，关键是要牢记各数集字母所表示的集合的意义，以避免混用．由于，0.3∈Q,0∈N,0∈{0},0N＋，，－πZ，－5∈Z，所以正确的关系式有5个．
答案：B
3．集合的表示方法
集合的常用表示方法有列举法、描述法．
(1)列举法
把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．一般来说，对于元素较少的集合常用列举法表示．例如：中国的直辖市构成的集合用列举法可表示为{北京，上海，天津，重庆}，关于x的方程x－a＝0的解集可写成{a}．
破疑点
用列举法表示集合的几点注意事项
用列举法表示集合时，必须注意如下几点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合的元素不能重复；⑤集合的元素可以表示任何事物，如人、物、地点、数等；⑥对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可用列举法表示，但是必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如N＋＝{1,2，3，…}，所有正偶数组成的集合可写成{2,4,6,8，…}．
(2)描述法
用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法．
用描述法表示集合的具体方法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的代表符号及取值范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出这个集合中元素所满足的条件．例如，不等式x＋5＜1的整数解组成的集合可以表示为{x∈Z|x＋5＜1}；方程x2－2x－3＝0的解集可以表示为{x|x2－2x－3＝0}；函数y＝－3x＋1图像上的点(x，y)的集合可以表示为{(x，y)|y＝－3x＋1}．
破疑点
用描述法表示集合的几点注意事项
使用描述法表示集合时注意：①弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式；②弄清元素所满足的条件是什么，当用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑；③当条件中出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围；④当集合的元素有无数多个，或者集合的元素是有限个但比较多时，用列举法显然不能或不容易表示出集合，这时就采用描述法．
【例3－1】不等式|8－3x|＞0的解集是(　　)．
A．
B．R
C．
D．
解析：由|8－3x|＞0可知，8－3x≠0，即，所以不等式|8－3x|＞0的解集是.
答案：C
【例3－2】用列举法表示下列集合：
①小于7的所有正偶数组成的集合；
②方程x3＝x2的解集．
分析：列举法是把集合中的全部元素一一列举出来写在大括号内的方法，因此①中要明确小于7的所有正偶数有哪些；②中要明确方程x3＝x2的实数根的大小，即要解方程．
解：①∵小于7的正偶数有2,4,6，
∴小于7的所有正偶数组成的集合为{2,4,6}．
②由x3＝x2得，x2(x－1)＝0，∴x＝0或x＝1.
∴方程x3＝x2的解集为{0,1}．
【例3－3】用描述法表示下列集合：
①函数y＝－2x2＋x－9图像上的所有点组成的集合；
②不等式2x－3＜1的解组成的集合；
③如图中阴影部分的点(含边界)的集合．
分析：描述法是用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法，在应用时，关键是写出这个集合中元素的代表符号及其所满足的条件．①集合中的元素是点，因此元素的代表符号可用(x，y)表示，元素满足的条件是y＝－2x2＋x－9；②集合中的元素是不等式的解，可用不等式中未知数x来表示元素，满足的条件是2x－3＜1；③集合中的元素也是点，用(x，y)来表示元素，满足的条件可由阴影部分点的横坐标x和纵坐标y的取值范围来确定．
解：①函数y＝－2x2＋x－9的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x－9}．
②不等式2x－3＜1的解组成的集合可表示为{x|2x－3＜1}，即{x|x＜2}．
③图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.
4．集合的分类
按集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集．
(1)有限集：含有限个元素的集合叫有限集，如{0,1,9}，有限集常用列举法表示．
(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集，如{x|x＞7}，无限集常用描述法表示．
(3)空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作.如小于5且大于6的实数组成的集合是空集．引进空集的概念是出于实际的需要，在集合论中，空集有重要的意义．如“方程在某个数集中无解”就可以说成“在某个数集上方程的解集是空集”．
警误区
{0}与的区别
{0}与的区别：{0}表示含有一个元素0的集合，是一个非空集合，而表示空集，不含任何元素．
【例4－1】判断下列集合是有限集，还是无限集，并选择适当的方法表示．
①1和70组成的集合；
②大于1且小于70的自然数组成的集合；
③大于1且小于70的实数组成的集合．
分析：观察本题中的三个集合，可以看出均是用文字语言来描述的集合．①中集合仅有两个元素，是有限集，用列举法表示；②中集合有68个元素，是有限集，但元素个数较多，所以可用描述法表示；③中集合有无数个元素，是无限集，用描述法表示．
解：①设1和70组成的集合为A，则集合A中仅有两个元素，是有限集，用列举法可表示为A＝{1,70}．
②设大于1且小于70的自然数组成的集合为B，则集合B中有68个元素，用描述法可表示为B＝{x∈N|1＜x＜70}．
③设大于1且小于70的实数组成的集合为C，则集合C中有无数个元素，用描述法可表示为C＝{x∈R|1＜x＜70}．可简记为{1＜x＜70}．
【例4－2】下列四个集合中，表示空集的是________．
①{x∈N||x|＝5}；②{x|x＞2，且x＜1}；③{x|2x2＋3x－2＝0}；④{(x，y)|y2＝－x2}．
解析：空集是不含任何元素的集合．在①中由|x|＝5得x＝±5，又因为x∈N，所以x＝5，故①中集合含有一个元素5，不是空集；在②中，因为没有大于2且小于1的实数，所以②中集合是空集；在③中，因为方程2x2＋3x－2＝0的解是x＝－2或，所以③中集合有两个元素－2，，不是空集；在④中，由y2＝－x2知，x2＋y2＝0，所以x＝y＝0，故④中集合有一个元素(0,0)，不是空集．
答案：②
5．集合中元素的“三性”问题
集合中的元素具有“三性”，即“确定性、互异性、无序性”．对于含参数的集合问题，有时可利用这三个性质找到解题的切入点，列方程或方程组求出参数的值．值得注意的是，最后需检验所得结果是否符合集合元素的互异性，这一点要引起足够的重视．
例如，已知集合A＝{1,0，x}，x2∈A，求实数x的值．由元素与集合的关系可知x2＝1,0或x.解得x＝－1,0或1.当x＝0或1时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，所以实数x的值为－1.
【例5】由三个实数组成的集合，既可以表示为，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2
013＋b2
013＝__________.
解析：法1：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两个集合中的元素是相等的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐．仔细观察两个集合中的元素可发现，要使有意义，则a≠0，于是必有，即b＝0，于是a2＝1，即a＝－1或a＝1.当a＝1时不满足集合中元素的互异性，故舍去．因此a＝－1.故a2
013＋b2
013＝(－1)2
013＋02
013＝－1.
法2：根据两集合中的元素相等，可以得到两集合中元素的和相等，元素的积相等，于是，∴经检验a＝－1.所以a2
013＋b2
013＝－1.
答案：－1
6．列举法和描述法的选取
列举法和描述法是集合的常用表示方法．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．用什么方法表示集合，要具体问题具体分析．一般情况下，常根据集合中所含元素的个数来选择表示集合的方法，对所含元素较少的有限集宜采用列举法，对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法．
【例6】用适当的方法表示下列集合：
(1)被3除余1的自然数组成的集合；
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合．
解：(1)由于被3除余1的自然数有无数个，所以此集合是无限集，适合用描述法表示．又因为这些自然数常表示为3n＋1(n∈N)，所以此集合可表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)由题意知，满足条件的正整数有3,5,7,11,13,17,19，此集合中的元素有7个，所以此集合是有限集，用描述法可表示为{x|x是小于20的奇质数}；用列举法可表示为{3,5,7,11,13,17,19}．考虑到在没有指定集合的表示方法时，能明确表示的集合要明确表示出来，因此本题选择用列举法{3,5,7,11,13,17,19}表示更好．
7．数集与点集的区分方法
集合的元素类型多是以数、点、集合、图形等形式出现，对于已知集合，必须知道集合中的元素是什么，特别是对于用描述法给定的集合，要弄清它的代表元素是什么，元素满足什么条件．如果一个集合中所有元素均是数，那么这个集合称为数集．同样，如果一个集合中所有元素均是点，那么这个集合称为点集．例如：集合A＝{x|1＜x＜2}中元素代表符号是x，满足1＜x＜2，即大于1且小于2的实数组成的集合，故集合A是数集；集合B＝{(x，y)|y＝2x＋1}中元素代表符号是有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝2x＋1，则(x，y)可看作一次函数y＝2x＋1图像上的点的坐标，故集合B是点集．因此，形如{x|x满足的条件}的集合是数集，形如{(x，y)|x，y满足的条件}的集合是点集．
【例7】判断正误：
(1)方程＋|3y＋3|＝0的解集是；(　　)
(2)方程x2＋x－6＝0的解集为{(－3,2)}．(　　)
解析：在(1)中，由方程可知即所以方程＋|3y＋3|＝0的解集是点集，而不是数集；在(2)中，方程x2＋x－6＝0的解是x＝－3或x＝2，故此方程的解集是数集{－3,2}，而不是点集{(－3,2)}．
答案：(1)×　(2)×
8．集合语言在函数、不等式、方程等方面的应用
集合语言是现代数学的基本语言，是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下：
集合语言的不同形态各有自己的特点，符号语言比较简洁、严谨，可大大缩短语言表达的“长度”，有利于推理、计算；图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互间的关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和帮助理解的作用(在后面的学习中可深刻体会到这一点)；文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．将集合语言具体化为自然语言，将它们描述的语言形象化、直观化，是解决集合问题的常用技巧．
【例8－1】已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
分析：集合A是用描述法表示的关于x的方程ax2－2x－1＝0的解集．由于A中至多有一个元素，则关于x的方程ax2－2x－1＝0仅有一个实数解或无实数解，这样就转化为讨论关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数解的个数问题，首先考虑该方程是否是关于x的一元二次方程，也就是对a是否等于0分类讨论．
解：当a＝0时，方程为－2x－1＝0，解得，即a＝0，符合题意；
当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程，
∵集合A中至多有一个元素，
∴一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根．
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
综上可得，实数a满足的条件是a＝0或a≤－1.
【例8－2】若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为(　　)．
A．9　　　B．6　　　C．4　　　D．2
解析：在集合N中，由于x，y∈M，而M＝{0,1,2}，所以(x，y)的值共有9种取法：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，可采用代入验证法，将x，y的值代入条件x－2y＋1≥0和x－2y－1≤0，快速选择答案．我们可以得出N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}．
答案：C
9．与集合有关的新概念问题
与集合有关的新概念问题除了考查基本概念外，还会考查一些新定义的集合问题．以集合概念为背景给出新的定义，使问题变得新颖巧妙，这类问题的特点是信息“新”，意义深刻，往往具有一定的实际背景．解决这类问题的关键是理解透彻集合的概念、表示方法、集合中元素的性质以及所给的新定义．求解时，应紧扣题目中给出的新定义，将新、旧知识联系起来，并用已有的解题方法来分析、解决问题．有时可将集合中的元素一一列举出来，然后得出正确的答案．
【例9－1】设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为(　　)．
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：由P＋Q的含义可知，当P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}时，元素和有：0＋1＝1,0＋2＝2,0＋6＝6,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋6＝8，5＋1＝6,5＋2＝7，5＋6＝11，而0＋6＝5＋1，重复，只计一次．
所以P＋Q中共有8个不同的元素1,2,3,4,6,7,8,11.
答案：B
【例9－2】设是R上的一个运算，A是某些实数组成的集合．若对任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)．
A．自然数集
B．整数集
C．有理数集
D．无理数集
解析：该题以信息给予的形式辨别运算．自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如3－4＝－1N；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如2÷4＝0.5Z；无理数集中乘法运算的结果可以是有理数，如＝2∈Q，故选C.
答案：C