2.1等式性质与不等式性质 第2课时 导学案(学生版+教师版) -2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质（第2课时）
一、学习目标
　　掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式.
二、课前预习
◆ 知识点一　等式的基本性质
性质1　如果a=b,那么　b=a　.
性质2　如果a=b,b=c,那么　a=c　.
性质3　如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4　如果a=b,那么ac=bc.
性质5　如果a=b,c≠0,那么=.
◆ 知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
4 可乘性 a>b,c>0 ac　>　　bc c的符号
a>b,c<0 ac　　<　bc
5 同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向、同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a-c(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (　 )
(3)若a>b,c>d,则>. (　 )
(4)若ac2>bc2,则a>b. (　 )
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)不等式a-c(2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误.
(3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误.
(4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确.
三、课中探究
◆ 探究点一　利用不等式性质比较大小　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1)已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.< B.a2>b2 C.a|c|>b|c| D.>
(2)(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若b>a>0,c>0,则> D.若a>b>0,则a+>b+
例1　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于A,当a>0>b时,>,故A不一定成立;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,但a2>b2不成立,故B不一定成立;对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,故C不一定成立;对于D,由a>b,c2+1>0,得>,故D一定成立.故选D.
(2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-ca>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD.
[素养小结]
解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
◆ 探究点二　利用不等式的性质证明不等式
例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明:a3>b3.
例2　证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,∴a3-b3>0,即a3>b3.
[素养小结]
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式范围
例3 设2例3　解:∵2[素养小结]
求代数式的取值范围需注意两点:
(1)严格运用不等式的性质,即两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除;
(2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
四、课内练习
1 (多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 (　 )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a|c|>b|c|,则a>b
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b,则a3>b3
[解析] 对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD.
2(多选题)[2025·青岛二中高一月考] 已知ad,则下列选项正确的是 (　 )
A.a-c C.> D.a5+b5[解析]∵c>d,∴-c<-d,又a0>a,∴<,故B错误;∵a0,∴>,故C正确;∵ab2>0,a33、 (1)已知a>b>c>d,求证:<. (2)已知a>b>0,c.
证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵c-d>0,
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>.
4、 (1)已知1(2)[2025·荆州中学高一月考] 若-1[解析] (1)由1(2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-12.1　等式性质与不等式性质（第2课时）
一、学习目标
　　掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式.
二、课前预习
◆ 知识点一　等式的基本性质
性质1　如果a=b,那么_______ 性质2　如果a=b,b=c,那么_______.
性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc.
性质5　如果a=b,c≠0,那么=.
◆ 知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
4 可乘性 a>b,c>0 ac_______bc c的符号
a>b,c<0 ac_______bc
5 同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向、同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a-cb+d,则a>b,c>d. (　 )
(3)若a>b,c>d,则>. (　 ) (4)若ac2>bc2,则a>b. (　 )
三、课中探究
◆ 探究点一　利用不等式性质比较大小　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1)已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.< B.a2>b2 C.a|c|>b|c| D.>
(2)(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若b>a>0,c>0,则> D.若a>b>0,则a+>b+
◆ 探究点二　利用不等式的性质证明不等式
例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明:a3>b3.
◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式范围
例3 设2四、课内练习
1 (多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 (　 )
A.若a>b,则ac>bc B.若a|c|>b|c|,则a>b
C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则a3>b3
2(多选题)[2025·青岛二中高一月考] 已知ad,则下列选项正确的是 (　 )
A.a-c C.> D.a5+b53、 (1)已知a>b>c>d,求证:<. (2)已知a>b>0,c.
4、 (1)已知1(2)[2025·荆州中学高一月考] 若-1