3.2.1双曲线及其标准方程 教学设计 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
（一）新课标要求
了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，掌握双曲线的定义、标准方程.
能够根据双曲线的定义和标准方程解决简单的数学问题和实际问题.
（二）核心素养
数学抽象：从实际问题和几何图形中抽象出双曲线的定义和标准方程.
逻辑推理：通过类比椭圆的研究方法，推导双曲线的标准方程，培养逻辑推理能力。
数学运算：能够运用双曲线的标准方程进行相关的运算，解决问题.
直观想象：借助教材中的图形，想象双曲线的形状和特征，培养空间想象能力.
二、教学重难点
（一）教学重点
双曲线的定义和标准方程的推导及应用.
（二）教学难点
双曲线标准方程的推导过程.
三、教学过程
（一）导入（5分钟）
教师展示教材中关于双曲线实际应用的描述：“双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质.”
提问学生：“上一节学习了椭圆的相关知识，椭圆是平面内与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，那如果是距离的差为常数的点的轨迹会是什么呢？” 同时引导学生回忆椭圆的研究方法，为类比研究双曲线做铺垫.
（二）新课讲授
1. 双曲线的定义（10分钟）
教师引导学生观察教材中的图3.2 - 1和图3.2 - 2，讲解探究内容：
当点在线段外运动，且满足时，动点满足（是常数，且），此时两圆交点的轨迹是双曲线，分左右两支.
教师板书双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2. 双曲线标准方程的推导（15分钟）
步骤一：建立坐标系
教师引导学生类比椭圆标准方程的建立过程，观察双曲线的对称性（结合图3.2 - 3），
发现直线是它的一条对称轴，
所以取经过两焦点和的直线为轴，
线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.
设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，
则焦点，的坐标分别是，，
又设（为大于0的常数，）.
步骤二：根据定义列等式
由双曲线的定义，双曲线是集合
因为，，
所以
步骤三：化简等式
类比椭圆标准方程的化简过程，对进行化简.
结合椭圆方程的化简，移项之后平方，整理之后再平方.
可得.
两边同除以，得到.
因为，即)，所以.
类比椭圆，令（），代入上式，
得到 ，
步骤四：检验方程
可知道
就是焦点在轴上的双曲线的标准方程，
其中焦点，，且.
接着，教师引导学生思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，
焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？结合图3.2 - 4，
得出焦点在轴上的双曲线的标准方程为
，
焦点，.
3. 例题讲解（8分钟）
例1：已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差
的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
解答步骤：
首先，根据焦点坐标，，可知双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
然后，由（因为两焦点间距离为10），可得；又因为双曲线上一点与两焦点距离差的绝对值，所以.
最后，根据，可得, 所以双曲线的标准方程为.
例2：已知,两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2，且声速为340，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
解答步骤：
分析：由声速及，两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知，两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以，为焦点的双曲线上。因为爆炸点离处比离处远，所以爆炸点应在靠近处的双曲线的一支上.
如图,建立平面直角坐标系，
使，两点在轴上，并且原点与线段的中点重合.
设爆炸点的坐标为，则,即
，.
又，所以，即，根据，可得.
因为，
所以点的轨迹是双曲线的右支.
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为.
针对上述探究引导学生分析讨论并按小组汇报.
（三）课堂练习（7分钟）
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，，
（2）焦点在轴上，经过点，
（3）焦点为，，且经过点
2. 求证：双曲线与椭圆的焦点相同.
3. 已知方程表示双曲线，求的取值范围.
4. 双曲线的两个焦点分别为，，焦距为8，是双曲线上一点，且，求的值.
教师巡视，指导学生解题，之后各小组选派学生代表展示解题过程，教师进行点评.
（四）课堂小结（3分钟）
教师引导学生回顾本节课内容：
双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于
）的点的轨迹.
双曲线的标准方程：
焦点在轴上：，焦点，；
焦点在轴上：，焦点，.
能够利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
四、作业布置
教材课后练习题.
思考：除了教材中的实际应用，双曲线在生活中还有哪些应用？