6.1.1空间向量的线性运算 同步练习（含解析）-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.1.1　空间向量的线性运算
一、基础达标
1.下列命题中为真命题的是(　　)
A.空间向量相等
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.若|a|=0,则a=0
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果不为向量的是(　　)
A.()+
B.()+
C.()-
D.()+
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=(　　)
A. B. C. D.
5.在空间四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则)=(　　)
A.- B. C. D.-
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则可表示为(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
7.已知a,b,c三个空间向量,若m=a-b+c与n=xa+yb+c共线,则x+y的值为　　　.
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为A1B1,CC1,BB1的中点,分别记为a,b,c.用a,b,c表示.
二、能力提升
9.如图,在正四面体ABCD中,F是AC的中点,E是DF的中点,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c B.a-b+c
C.a+b+c D.a-b+c
10.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,已知四棱锥P-ABCD是阳马,PA⊥平面ABCD,且=2,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c B.a+b+c
C.a-b+c D.a+b-c
12.(多选题)(2024江苏淮安月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为空间中一点,且满足=
λ+μ,λ,μ∈[0,1],则(　　)
A.当λ=1时,点P在棱BB1上
B.当μ=1时,点P在棱B1C1上
C.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
D.当λ=μ时,点P在线段BC1上
13.设e1,e2是不共线的向量,已知=4e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为　　　　　.
14.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简得到的向量:
(1);
(2);
(3)).
三、拓展探究
15.(多选题)在三棱锥O-ABC中,=a,=b,=c,点M在直线OA上,且OM=2MA,N是BC的中点,则下列结论可能成立的是(　　)
A.(a+b)
B.=-a+b+c
C.)
D.=-a-c
16.如图,已知空间四边形ABCD,点E,H分别是AB,AD的中点,点F,G分别是CB,CD上的点,且.用向量法求证:四边形EFGH是梯形.
参考答案
1.D　对于A,因为空间向量互为相反向量,所以A错误;对于B,将空间中所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点构成一个球面,所以B错误;对于C,空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但空间向量不是有向线段,所以C错误;对于D,若|a|=0,则a=0,D正确.故选D.
2.C　与向量大小相等,方向相同的向量有,共3个.故选C.
3.C　根据空间向量的加法法则及正方体的性质逐一判断可知A,B,D选项的运算结果都为,而C中,()-.故选C.
4.A　.故选A.
5.C　在空间四边形ABCD中,E为BC的中点,则=2,所以)=.故选C.
6.A　由题意,得=c-a+b.
7.0　因为m与n共线,则n=λm,
即xa+yb+c=λ(a-b+c),所以x=λ,y=-λ,λ=1,则x+y=λ-λ=0.故答案为0.
8.解 连接A1F(图略).在直三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,则=-=-a+b-c.(a-c).
9.A　依题意,结合图形可得,=-=-)=a-b+c.故选A.
10.A　因为=5e1+4e2,=-e1-2e2,
所以=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.
又因为A,B,D三点共线,所以=λ,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).
因为e1,e2是不共线向量,所以故k=1.
11.C　)=,所以=a-b+c.
故选C.
12.BCD　因为当λ=1时,+μ,所以=μ,则,即P在棱CC1上,故A错误;同理当μ=1时,则,故P在棱B1C1上,故B正确;因为当λ+μ=1时,μ=1-λ,所以=λ,即=λ,故点P在线段B1C上,故C正确;因为当λ=μ时,=λ=λ,故点P在线段BC1上,故D正确.故选BCD.
13.-16　因为=e1-4e2,=4e1+ke2,
又A,B,D三点共线,由向量共线的充要条件得,
所以k=-16.
14.解 (1),向量如图所示.
(2)-()=,向量如图所示.
(3))=)=,设M是线段CB'的中点,则)=.
向量如图所示.
15.BC　对于A,因为N是BC的中点,可得)=(b+c),所以A不正确.对于B,当点M在线段OA上时,因为OM=2MA,此时,则)-=-a+b+c,所以B正确.对于C,当点M在线段OA的延长线上时,因为OM=2MA,此时A为OM的中点,可得),所以C正确.对于D,当点M在线段OA上时,可得a-c;当点M在线段OA的延长线上时,=2a-c,当点M在线段AO的延长线上时,OM=2MA不可能成立,所以D不正确.综上可得,可能正确的结论为BC.故选BC.
16.证明 如图,连接BD.
∵点E,H分别是边AB,AD的中点,且,∴)=)=)=,
∴,且||=|≠||.
又点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.