2026高考数学一轮复习-第10周数列求和、数列的综合应用训练题（含解析）

第10周 数列求和、数列的综合应用
一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
2．已知数列满足an=n2，则a1+a2+a3+…+a2n+1= (　　)
A.- B.
C.-n D.n
3．已知两个等差数列与的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价为1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是25-(万元)，则n的值为 (　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
5．古埃及人在进行分数运算时,只使用分子是1的分数,因此这种分数叫作埃及分数,或者叫单分子分数.下列埃及分数求和正确的是 (　　)
A.+++++= B.+++…+=
C.+++…+= D.++…+=
6．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．是递减数列 B．，
C． D．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.
7．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
8．对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”为，记数列的前n项和为，若对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为 .
四、解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9．（本小题满分 15分）
已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
10．（本小题满分 17分）
对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
(1)若为等比数列，求；
(2)求在，，，…，中，3级十全十美数的个数.
参考答案
1．C 【解析】因为为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，可得，所以.
故选C.
2．A 【解析】a1+a2+a3+…+a2n+1
=-12+22-32+42-52+…+(2n)2-(2n+1)2
=-1+(22-32)+(42-52)+…+[(2n)2-(2n+1)2]
=-1-(2+3)-(4+5)-…-(2n+2n+1)
=-
=-=-(n+1)(2n+1).
3．A 【解析】因为为整数，
所以的值可以为：1，5，16.
故选A.
4．A 【解析】由题意
总价Sn=1+2×+3×+…+，Sn=+2×+3×+…+n，
所以Sn=1+++…+-n=5-(n+5)，
所以Sn=25-5(n+5)=25-60·，解得n=7.
5．ACD 【解析】+++++=+++++==,故A正确;
因为==,
所以+++…+=(1-+-+-+…+-)==,故B错误;
+++…+=+++…+=+++…+=1-=,故C正确;
因为===2,所以++…+=2=2=,故D正确.
6．BCD 【解析】，，
∴，
，
∴，，
∴，，且，故B、C正确；
∴公差，等差数列是递增数列，故A错误；
因为，，所以时，取得最小值，
所以，故D正确.
故选BCD.
7．370 【解析】设等差数列的公差为．由，得①，
由得②，
联立①②，，解得，
所以．
则，
所以
．
8． 【解析】由题意知，
当时，，
则，
则，对也成立，故，则，
则数列为等差数列，
故对任意的恒成立可化为：
.
9．【解析】（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
所以．
10．【解析】（1）解：设的公比为，
则，即，
由，可得，解得或，
所以或.
（2）解：由（1）知，当时，，
当时，，
两式相减得.
当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0；
当为偶数时，设，则，
要想末尾3个数字为0，需满足被整除，
当时，均不符合题意；
当时，，
自，以后各项均可被125整除，
故只需考虑能否被125整除，
其中不是5的倍数，
故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数，
在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，
故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40.