二项分布、超几何分布、正态分布专项训练
考点目录
二项分布 超几何分布
正态分布
1．（24-25高二下·广东云浮·期末）假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·湖南娄底·期末）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知在重伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为，记试验进行至事件发生次为止时试验进行的次数为，称服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则，，…
C．若，则，，，，…
D．若，则当取不小于的最小正整数时，最大
6．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，且，则
B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从二项分布，且，则，
7．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为 .
8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为 ；在该质点有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的概率为 .
9．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ．
10．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若，
（i）求随机变量Y的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小．
(2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由．
11．（25-26高三上·山西长治·开学考试）某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立．
(1)求的值；
(2)若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望．
12．（24-25高三下·北京·阶段练习）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.
(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论）
13．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1)当时，记目标被击中的次数为，求的分布列、数学期望和方差；
(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（，）
14．（25-26高三上·浙江湖州·开学考试）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望：
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
15．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占．
(1)当时，
①求出3件产品中恰有2件A等品的概率；
②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望；
(2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．
（参考数据：，）
1．（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习·多选）袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试·多选）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
7．（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ．
8．（25-26高三上·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是 ．
9．（24-25高二下·江苏泰州·期末）一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则 ， ．
10．（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”．
(1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率；
(2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望．
11．（25-26高三上·湖北·开学考试）高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）．
(1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？
(2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望．
12．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望.
13．（25-26高三上·重庆·阶段练习）某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：
性别 愿意参与 不愿意参与 合计
男生
女生
合计
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？
(2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
14．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验.
(1)求抽到的次品数的分布列；
(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.
1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）
参考数据：，，.
A．790 B．2720 C．430 D．1360
2．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高三上·河北·开学考试·多选）人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三上·四川·开学考试·多选）为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高三上·四川宜宾·开学考试）已知随机变量服从，若，则 .
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥，其重量指标X（单位kg）可以看作一个随机变量，且，对于或的产品即为不合格，且，现从这批袋装水泥中随机抽取500袋，用Y表示这500袋水泥的重量指标X位于区间的袋数，则随机变量Y的方差是 .
9．（24-25高二下·山东·阶段练习）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为 ．
10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得至多为 .
11．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
(1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？
②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
附：；若，则，，．
12．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中.
(1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若，则，.
13．（24-25高二下·江西吉安·期末）某高科技公司在产品研发的过程中，为了研究芯片性能指标与原材料中某种关键成分的含量（单位：）之间的关系，研发团队进行了一系列实验，现随机抽取了部分实验数据如下表：
2 4 6 8 10
30 40 60 50 70
(1)请根据上述数据，求出与的线性回归方程；（参考公式：，）
(2)经研究发现，该芯片在正常工作时，其性能指标服从正态分布，其中，当芯片的性能指标在之间时，芯片的工作状态最佳.若由（1）中回归方程预测，当关键成分含量为12时，芯片性能指标为.
（i）假设在一次产品检验中，从该批次芯片中随机抽取2000个，估计性能指标不在范围内的芯片个数（结果保留整数）；（附：若，则，）
（ii）某机器的控制系统使用了个芯片，其中每个芯片处在最佳工作状态的概率为，各个芯片工作相互独立，如果系统中有超过一半的芯片处在最佳工作状态，则控制系统的工作效率最高，其概率记为.若在控制系统中增加一个芯片，控制系统工作效率最高的概率记为，试判断与的大小关系并证明.
14．（24-25高二下·江苏南京·期中）雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望.
(2)现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为.
（i）求该同学第二关通过的概率；
（ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值.
附：若随机变量服从正态分布 则
15．（24-25高二下·湖南长沙·期末）某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.
(1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；
(2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；
(3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.
参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；
②若，则，，.二项分布、超几何分布、正态分布专项训练
考点目录
二项分布 超几何分布
正态分布
1．（24-25高二下·广东云浮·期末）假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐，
则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布，
所以恰有两包食盐的质量不低于的概率为．
故选：A
2．（24-25高二下·湖南娄底·期末）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由知，
则，
，
可知10名学生的成绩在65分以上的人数，
所以，
故选：C．
3．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设质点向右移动次，向左移动次.
∴最终位置为：，
∴ ，解得：，
∴，解得：，
∵为正整数，
∴，
∴质点向右移动3次，向左移动次，
∴该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为：
，
故选：C.
4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则，
则正面朝上次的概率为，
所以.
故选：A.
5．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知在重伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为，记试验进行至事件发生次为止时试验进行的次数为，称服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则，，…
C．若，则，，，，…
D．若，则当取不小于的最小正整数时，最大
【答案】ABD
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B， 由，则，，…，故B正确；
对于C，因，则，，，，…，故C错误；
对于D，因，最大时，当且仅当成立，
即，解得：.
故当取不小于的最小正整数时，最大，故D正确.
故选：ABD.
6．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，且，则
B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从二项分布，且，则，
【答案】ABD
【详解】对于A，因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，所以A正确；
对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为，所以B正确；
对于C，因为随机变量服从二项分布，则，，所以，所以C错误；
对于D，因为随机变量服从二项分布，则，，又，所以,，所以D正确.
故选：ABD
7．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为 .
【答案】9
【详解】已知，则
，，
又，，
所以是9的倍数，的最小值为9.
故答案为：9.
8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为 ；在该质点有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的概率为 .
【答案】
【详解】第一空，设质点向右移动的次数为，又质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立的，则服从二项分布，经分析质点位于4的位置，则右5次向左1次，则；
第二空，设事件“质点有且仅有一次经过1”，事件“共两次经过2”，
“质点仅在第1秒位于1”；“质点仅在第3秒位于”
质点仅在第5秒位于1”，
则两两互斥，则，
仅在第一秒经过1，则质点的走法：RRRLR（第六步不受影响）；RRRR（第五六步不受影响）；RLLRL（第六步不受影响）；RLLL（第五六步不受影响），，
仅在第三秒经过1，则质点的走法：LRRLL（第六步不受影响）；LRRRR（第六步不受影响），仅在第五秒经过1，则质点的走法：LLRRR（第六步不受影响）；
LRLRR（第六步不受影响），
则，又三种情况下，有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的情况有：RRRLRR，RRRRLL，LRRRRL，则.
则.
故答案为：；.
9．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ．
【答案】
【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）.
此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即．
故答案为：．
10．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若，
（i）求随机变量Y的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小．
(2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由．
【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，；
(2)，理由见解析.
【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，
Y可取0，1，2，3，4，，
，
Y服从超几何分布，Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4
P
，所以；
（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，
在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，
对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，，
则，
故，
由（i）可知，
因为，所以；
（2）当，则，若最大，则，
即，得，又，
，即时，取得最大值．
11．（25-26高三上·山西长治·开学考试）某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立．
(1)求的值；
(2)若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”，
根据题意，由条件概率公式得，
已知，则，故；
（2）由（1）知，该产品测试合格的概率为，因连续2次测试相互独立，
故服从二项分布，即，
由二项分布概率公式得，
当时，；
当时，；
当时，；
0 1 2
由二项分布期望公式得．
12．（24-25高三下·北京·阶段练习）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.
(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合，
设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则
，共有种组合，所以，
即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为；
（2）由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人，
由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为，
因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为，
，
，
所以的分布列为：
数学期望；
（3），原因如下：
男生的平均成绩为，
则，
女生的平均成绩为，
则，
从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本，
则，
，
所以.
13．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1)当时，记目标被击中的次数为，求的分布列、数学期望和方差；
(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（，）
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)12门
【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，4，
由，有，
，，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
有，；
（2）由目标至少被击中一次的概率为，
又由目标至少被击中一次的概率超过，则，则，
所以，
所以至少需要12门大炮.
14．（25-26高三上·浙江湖州·开学考试）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望：
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2)小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
【详解】（1）由题意，，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分，
所以，，，，
所以X的分布列如下，
0 1 2 3
所以；
（2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为，
若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则，
故，
若，则，
所以，则，可得，即
故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
15．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占．
(1)当时，
①求出3件产品中恰有2件A等品的概率；
②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望；
(2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．
（参考数据：，）
【答案】(1)①；②分布列见解析，
(2)145
【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件，
则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为；
②当时，A等品有4个，B等品有6个．
X服从超几何分布，，1，2，3，
，，
，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
（2），
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是．
由于函数在上单调递减，在上单调递增，
而，从而，当时单调递增，
又，．
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是．
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
1．（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，
则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球，
则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数，
所以.
故选：C.
2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】设抽到的男生数为，则服从超几何分布，，解得3.
故选：C.
3．（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为.
故选：B.
4．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为；
不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，
合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，
根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；
根据古典概型得.
故选：B
5．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习·多选）袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，已知第一次摸到白球，此时袋中还剩9个球，其中5个白球，所以，故B正确；
对于C，表示摸到白球的个数，从10个球中摸2个球，其中6个白球，4个黑球，
所以服从超几何分布，即，故C不正确；
对于D，，所以，故D正确；
故选：ABD
6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试·多选）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由题可知服从超几何分布，且，，，，.
易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误；
，故选项B正确；
由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确；
由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误.
故选：BC.
7．（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ．
【答案】
【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则
．
法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则．
故答案为：．
8．（25-26高三上·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是 ．
【答案】/
【详解】设事件A表示“取出的3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，
则，
故答案为：.
9．（24-25高二下·江苏泰州·期末）一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则 ， ．
【答案】
【详解】根据题意，随机变量服从超几何分布，
，，
，，
，，
X的概率分布如下表所示，
X 0 1 2 3 4 5
P
由表可知，随机变量X的均值为
；
.
故答案为：；
10．（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”．
(1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率；
(2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）设事件为 “从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”，
则．
（2）由题意知，的可能取值为0，1，
的分布列如下表所示：
0 1
的均值为．
11．（25-26高三上·湖北·开学考试）高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）．
(1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？
(2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望．
【答案】(1)9
(2)分布列见解析，
【详解】（1）汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为；其他菜类3种里选择2种方法数为；
不同组合共计（种）
（2）的可能取值有0、1、2、3；
分布列为：
X 0 1 2 3
所以；
12．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，，
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
（2）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，
则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9，
，，
，，
有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，，
所以.
即两个教师得分之和的期望为13分.
13．（25-26高三上·重庆·阶段练习）某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：
性别 愿意参与 不愿意参与 合计
男生
女生
合计
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？
(2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)愿意参与数学建模竞赛与性别无关联；
(2)答案见解析.
【详解】（1）零假设：愿意参与数学建模竞赛与性别无关.
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立，
即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关.
（2）根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为.
因此选出人中，男生人数为人，女生人数为人
由题意可知：，服从超几何分布，，.
，
，
所以这3人中女生人数的概率分布列为：
14．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验.
(1)求抽到的次品数的分布列；
(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【详解】（1）的可能取值为，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
（2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”，
，
故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为.
1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）
参考数据：，，.
A．790 B．2720 C．430 D．1360
【答案】C
【详解】由题意可知，，
则数学成绩位于的人数约为.
故选：C.
2．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知，
第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等，
即，故B、D错误；
，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小，
.，所以A错误，C正确．
故选：C.
3．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称，
由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称，
因为正实数满足，而且，
所以有，
根据正态分布曲线的对称性可知，
因为是正实数，
所以，
即，当且仅当时取等号，
因此当时，的最小值为，
故选：C
4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
因为，所以，
即，
＝，
因为，所以根据对称性可知，
所以函数的图象关于对称，故排除AC；
当时，，所以排除D．
故选：B
5．（25-26高三上·河北·开学考试·多选）人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】∵，∴，故选项A正确；
∵，∴，故选项B错误；
∵，该正态曲线的对称轴为直线，∴由对称性可得，故选项C错误；
令，，
∵，，∴，，
∴，，
∵，∴根据正态曲线的特点可知：，∴，故选项D正确.
故选：AD.
6．（25-26高三上·四川·开学考试·多选）为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】根据正态分布的对称性，若，则.
由于，表明分布中心向右偏移，因此，故A正确；
方差影响分布的宽度，但已知条件无法直接推导出方差的大小，
当且时，满足，但，
因此不一定大于4，故B错误；
正态分布中，，由于，正态分布的均值大于0，
故，故C错误；
同理，，故D正确.
故选：AD.
7．（25-26高三上·四川宜宾·开学考试）已知随机变量服从，若，则 .
【答案】0.4/
【详解】由题，.
故答案为：.
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥，其重量指标X（单位kg）可以看作一个随机变量，且，对于或的产品即为不合格，且，现从这批袋装水泥中随机抽取500袋，用Y表示这500袋水泥的重量指标X位于区间的袋数，则随机变量Y的方差是 .
【答案】45
【详解】由正态分布的性质得，重量指标在区间的概率为，
即1件产品的重量指标位于区间的概率为0.9，则，
所以随机变量Y的方差.
故答案为：45
9．（24-25高二下·山东·阶段练习）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为 ．
【答案】
【详解】根据可得，
即，又由对称性可知，
所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为；
因此3个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为；
故答案为：
10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得至多为 .
【答案】
【详解】由题可知，，
再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集.
由，可得，
所以解得，故至多为.
故答案为：.
11．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
(1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？
②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
附：；若，则，，．
【答案】(1)20千元；
(2)①978人；②18.78千元．
【详解】（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计50位农民的年平均收入为20千元．
（2）由题意知，
①由，
每个农民的年收入不少于17.56千元的概率为0.97725，
记1000个农民的年收入不少于17.56千元的人数为，则，其中．
于是恰好有个农民的年收入不少于17.56千元的事件概率为：．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于17.56千元的人数最有可能是978人．
②因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78千元．
12．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中.
(1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若，则，.
【答案】(1)小明有资格参加决赛.
(2)175
【详解】（1）由题意得，
故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为，
因为，所以小明有资格参加决赛.
（2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则，
由题意得，则，
所以.
13．（24-25高二下·江西吉安·期末）某高科技公司在产品研发的过程中，为了研究芯片性能指标与原材料中某种关键成分的含量（单位：）之间的关系，研发团队进行了一系列实验，现随机抽取了部分实验数据如下表：
2 4 6 8 10
30 40 60 50 70
(1)请根据上述数据，求出与的线性回归方程；（参考公式：，）
(2)经研究发现，该芯片在正常工作时，其性能指标服从正态分布，其中，当芯片的性能指标在之间时，芯片的工作状态最佳.若由（1）中回归方程预测，当关键成分含量为12时，芯片性能指标为.
（i）假设在一次产品检验中，从该批次芯片中随机抽取2000个，估计性能指标不在范围内的芯片个数（结果保留整数）；（附：若，则，）
（ii）某机器的控制系统使用了个芯片，其中每个芯片处在最佳工作状态的概率为，各个芯片工作相互独立，如果系统中有超过一半的芯片处在最佳工作状态，则控制系统的工作效率最高，其概率记为.若在控制系统中增加一个芯片，控制系统工作效率最高的概率记为，试判断与的大小关系并证明.
【答案】(1)
(2)（i）635；（ii）答案见解析
【详解】（1）由题意得，，
所以，
，
故，
所以关于的线性回归方程为.
（2）（i）当时，，即
已知，则或，
所以从该批次芯片中随机抽取2000个，性能指标不在范围内的芯片个数约为
个.
（ii）记为原系统中工作最佳的芯片个数，为增加一个芯片后系统中工作最佳的芯片个数.
由条件可知
当时，则原系统中，新系统中.
由题意可知，
所以
即；
当时，则原系统中，新系统中.
由题意可知，
所以，
即；
综上，当为奇数时，；当为偶数时，.
14．（24-25高二下·江苏南京·期中）雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望.
(2)现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为.
（i）求该同学第二关通过的概率；
（ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值.
附：若随机变量服从正态分布 则
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，
则，所以，
由题知，所以.
（2）（i）由题知，甲同学第一关通过的概率为，即
所以第二关通过的概率为.
（ii）记甲同学第关通过为事件A， 依题意有，
当时，，
所以，
所以，
所以，又因为，则，
所以数列是首项为， 公比为的等比数列，
所以，
当为奇数时，，
则随着的增大而减小，所以，
当为偶数时，，
又，所以的最小值为.
15．（24-25高二下·湖南长沙·期末）某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.
(1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；
(2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；
(3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.
参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；
②若，则，，.
【答案】(1)，，，
(2)①组更有可能是专业评委组，理由见解析；②
(3)大约为人
【详解】（1）由题意可知，，
，
（2）①因为，因此组更有可能是专业评委组；
②；
（3）由（1）（2）可知，正态分布的参数，.
设某评委打出的分数为随机变量，则，
故
.
，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人.
