空间向量坐标运算、向量法研究直线，平面的位置关系
▍知识点1:空间直角坐标系及空间向量的坐标表示
（1）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底（如图）,以点为原点,分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分.
（2）空间向量的坐标表示
①在空间直角坐标系中,,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
②在空间直角坐标系中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
▍知识点2:空间向量运算的坐标表示
设,则
（1）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即.
（2）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即.
（3）数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即.
（4）两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即.
▍知识点3:空间向量的平行或垂直的坐标表示
（1）空间向量平行（共线）的充要条件
设,
则.
（2）空间向量垂直的充要条件
设非零向量,
则
▍知识点4:空间向量的模长公式及夹角的坐标表示
（1）空间向量长度公式的坐标表示:
若,则.
（2）空间两点的距离公式:
若,则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
②或.
注意:两点间距离公式是模长公式的推广,首先根据向量的减法推出向量的坐标表示,然后再用模长公式推出.
（3）向量的夹角坐标公式
设非零向量,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的.注意的范围是,当时,两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线.
▍知识点5:中点坐标公式及三角形重心坐标公式
（1）中点坐标公式
空间中有两点,则线段的中点C的坐标为
（2）重心坐标公式
已知的三个顶点, ,则的重心的坐标为.
▍知识点6:直线的向量表示
点A是直线l上的一个点,是直线l的方向向量,在直线l上取,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,
使或,这就是空间直线的向量表达式.
注意:
在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量.
▍知识点7:平面的向量表示
如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得.
进一步地,如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面内的充要条件是存在实数,使.我们把该式称为空间平面的向量表示式,由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
▍知识点8:平面的法向量定义
直线l⊥α,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.
注意:一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.
▍知识点9:平面的法向量确定通常有两种方法
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量;
（2）几何体中没有具体的直线,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,
一般步骤如下:
①设平面法向量为;
②找出平面内的两个不共线向量
③根据法向量的定义建立方程组;
④解方程组,取其中一个解,得到（因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,）
▍知识点10:向量法判定线面关系
设直线,的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则有:
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
【练题型】空间直角坐标系下的向量坐标运算
1．（24-25高三下·全国·强基计划）空间中由4个点构成的四面体体积为_________
2．（2025高二·全国·专题练习）从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，．
(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积．
4．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ．
【练题型】坐标法求取值范围
1．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）．
(1)若，求的最小值；
(2)若，求与夹角的最大值．
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为 .
3．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4.（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ．
【练题型】向量法探究空间中点的轨迹问题
1．（25-26高二上·北京·开学考试）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点
B．点轨迹的长度为
C．点的轨迹是平行四边形
D．点轨迹所围成的图形面积为
2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 .
【练题型】向量法证明及探究空间中的平行、垂直位置关系
1.（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（ ）
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点.
(1)在平面内确定一点，使平面；
(2)证明：棱上不存在点，使平面平面.
3．(多选)（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的中点，，则下列结论正确的有（ ）
A．平面
B．存在，使得平面
C．存在，使得平面
D．若存在，使得平面，则
【练题型】综合巩固提升
1．（2025高三·全国·专题练习）已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ．
3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .
4．（多选）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）．
A．与不可能平行 B．与始终异面
C．与平面可能垂直 D．与始终垂直
5．（2025·海南·模拟预测）如图所示，正方体的棱长为2，点为侧面内的一个动点（含边界），点分别是线段、、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面 B．平面截正方体所得的截面面积为
C．的最小值为 D．若，则点的运动轨迹长度为
6．（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时， 平面
C．，，有
D．，，有
7．（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二上·广东东莞·期末）在如图所示的试验装置中，和均为边长为1正方形框架，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在对角线，上移动，且，（）．则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．，平面 D．，平面⊥平面空间向量坐标运算、向量法研究直线，平面的位置关系
▍知识点1:空间直角坐标系及空间向量的坐标表示
（1）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底（如图）,以点为原点,分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分.
（2）空间向量的坐标表示
①在空间直角坐标系中,,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
②在空间直角坐标系中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
▍知识点2:空间向量运算的坐标表示
设,则
（1）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即.
（2）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即.
（3）数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即.
（4）两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即.
▍知识点3:空间向量的平行或垂直的坐标表示
（1）空间向量平行（共线）的充要条件
设,
则.
（2）空间向量垂直的充要条件
设非零向量,
则
▍知识点4:空间向量的模长公式及夹角的坐标表示
（1）空间向量长度公式的坐标表示:
若,则.
（2）空间两点的距离公式:
若,则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
②或.
注意:两点间距离公式是模长公式的推广,首先根据向量的减法推出向量的坐标表示,然后再用模长公式推出.
（3）向量的夹角坐标公式
设非零向量,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的.注意的范围是,当时,两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线.
▍知识点5:中点坐标公式及三角形重心坐标公式
（1）中点坐标公式
空间中有两点,则线段的中点C的坐标为
（2）重心坐标公式
已知的三个顶点, ,则的重心的坐标为.
▍知识点6:直线的向量表示
点A是直线l上的一个点,是直线l的方向向量,在直线l上取,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,
使或,这就是空间直线的向量表达式.
注意:
在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量.
▍知识点7:平面的向量表示
如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得.
进一步地,如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面内的充要条件是存在实数,使.我们把该式称为空间平面的向量表示式,由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
▍知识点8:平面的法向量定义
直线l⊥α,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.
注意:一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.
▍知识点9:平面的法向量确定通常有两种方法
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量;
（2）几何体中没有具体的直线,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,
一般步骤如下:
①设平面法向量为;
②找出平面内的两个不共线向量
③根据法向量的定义建立方程组;
④解方程组,取其中一个解,得到（因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,）
▍知识点10:向量法判定线面关系
设直线,的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则有:
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
【练题型】空间直角坐标系下的向量坐标运算
1．（24-25高三下·全国·强基计划）空间中由4个点构成的四面体体积为_________
【答案】【难度】0.65
【详解】设是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，
可以发现是三棱锥的高，三角形是的底面，
故所求为.
2．（2025高二·全国·专题练习）从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.94
【详解】设点，又，
则，
所以，
所以点的坐标为
3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，．
(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积．
【答案】(1)；(2)；(3)3.【难度】0.65
【详解】（1）设，
因为四边形是平行四边形，所以，由，，，
得，，
所以，故．
（2）因为，，，所以，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量，
所以．
（3）因为，，，所以，，
所以，即，
又，所以，
所以的面积，
所以以为邻边的平行四边形的面积为3．
4．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ．
【答案】【难度】0.65
【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，得．
设，则．
因为平面，所以，则，解得，，
所以，，故．
【练题型】坐标法求取值范围
1．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）．
(1)若，求的最小值；
(2)若，求与夹角的最大值．
【答案】(1)；(2)【难度】0.65
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设．
，，
由于，所以，即．
又，所以，
由于，所以当时取得最小值．
（2），，
因为，所以，即．
又．
由于，所以（利用二次函数的性质求解），
即当或1时，取得最小值，因此的最大值为
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为 .
【答案】.【难度】0.65
【详解】如图，当时，此时延长交于点，
由于，故，所以为的中点，
同理可知的延长线交于点，
故，又平面，平面，
所以平面，且，此时为最小值，
此时可证恰为异面直线的公垂线，
证明如下：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
故，，
则，，
所以，恰为异面直线的公垂线；
如图，当点分别无限趋向于点时，越大，
由于要平行于对角面，
故取不到，从而.
3．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【难度】0.65
【详解】在直三棱柱中，底面，
以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点、，
，，
由于，则，可得，
，则，
.
4.（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ．
【答案】【难度】0.4
【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系，
结合题设知，，且，，
所以，，故，
所以，可得，
而，则，
又，故时，.
故答案为：
【练题型】向量法探究空间中点的轨迹问题
1．（25-26高二上·北京·开学考试）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点
B．点轨迹的长度为
C．点的轨迹是平行四边形
D．点轨迹所围成的图形面积为
【答案】D【难度】0.65
【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
正三角形边长为，则面积为，故D正确；
点轨迹的长度为，故B错误；
2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.85
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
因为平面，所以可设，则，
由于，所以，，解得，，
所以，.
3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 .
【答案】【难度】0.65
【详解】以为坐标原点，分别为，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，
因为，则，
整理可得，即点的轨迹方程为，
令，则；令，则；
可知点的轨迹即为点与两点之间的线段，
所以轨迹长度为.
【练题型】向量法证明及探究空间中的平行、垂直位置关系
1.（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（ ）
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
【答案】D【难度】0.65
【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
设正方体棱长为1，
则，
所以，
若，则，
即，方程有无数组解，
2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点.
(1)在平面内确定一点，使平面；
(2)证明：棱上不存在点，使平面平面.
【答案】(1)当点的坐标为时，平面.(2)证明见解析【难度】0.65
【详解】（1）
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，，，
设，.
因为，，，又，不共线，
所以当时，平面.
所以，解得，，
所以当点的坐标为时，平面.
（2）设平面的法向量为，则，
因为，，所以，
令，则，，所以平面的一个法向量.
若平面平面，则也是平面的一个法向量.
因为，，
所以，即，得，
此时，
所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直.
所以棱上不存在点，使平面平面.
3．(多选)（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的中点，，则下列结论正确的有（ ）
A．平面
B．存在，使得平面
C．存在，使得平面
D．若存在，使得平面，则
【答案】ACD【难度】0.65
【详解】
在平面中，故作直线垂直于，而平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，
设，则，，，
因为，故，故，故，
对于A，设平面的法向量为，则即，
故可取，因为，故即平面，故A正确；
对于B，若平面，则，故四点共面，
故五点共面，而平面即为平面，故在平面中，
这与题设矛盾，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，而，故，故，
若平面，因为平面，故，
所以即，故C正确；
对于D，平面的法向量为，若平面，
则，故即，而即，
故，故，
而，故，故D正确；
【练题型】综合巩固提升
1．（2025高三·全国·专题练习）已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.85
【详解】设球心为 ，则满足：，
即，
解得：，所以半径，
因此该四面体外接球的表面积为.
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ．
【答案】【难度】0.65
【详解】因为四点共面，，
所以，则，
所以，，则，，
所以，，，
所以.
3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .
【答案】【难度】0.65
【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，
,
线段EF满足，
设，，，
设平面的法向量为，
，，
，令得，则，
因为平面，
所以，，
因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，
所以区域的面积最大值是.
4．（多选）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）．
A．与不可能平行 B．与始终异面
C．与平面可能垂直 D．与始终垂直
【答案】AD【难度】0.65
【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，
则，，，，，
则，
因为点在线段上，令，，则
由∥得.
∴且，故，
而，，，
所以，即，故D正确；
显然在由相交线和所成的平面上，
且与该平面有交点，
故在上移动过程中可能与相交，B错误；
若且，则，不存在这样的值，A正确；
若面，则，显然不存在这样的值，故C错误．
5．（2025·海南·模拟预测）如图所示，正方体的棱长为2，点为侧面内的一个动点（含边界），点分别是线段、、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面 B．平面截正方体所得的截面面积为
C．的最小值为 D．若，则点的运动轨迹长度为
【答案】AC【难度】0.4
【详解】对于A，连接,
因为点分别是线段、的中点，
所以，所以平面，
点分别是线段、的中点，故,
故四边形为平行四边形，所以且平面，
故直线平面，故A正确；
对于B，由A选项可知，平面截正方体所得的截面为梯形
且由正方体可知，,
故梯形的高,
故梯形的面积,故B错误；
对于C，以为原点，分别以为轴，轴，轴建空间直角坐标系，
则,
点为侧面内的一个动点（含边界），故设
所以，
所以，
当时，即时，等号成立，故C正确；
对于D，，若，
则，即，
因为故当时，此时，
当时，此时，
故点的运动轨迹为从点到点的一条线段，轨迹长度为，故D错误.
6．（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时， 平面
C．，，有
D．，，有
【答案】BCD【难度】0.65
【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则正方体各顶点坐标为，，，，，，，，
因为，，所以点Q坐标为，
又因为，，，
所以点坐标为，
对于A，当时，点，点，
则，故A错误；
对于B，当时，点，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，，
所以为平面的法向量，
，，所以，
又平面，所以平面，故B正确;
对于C，，，，
当时，恒成立，当时，令，得，
所以，，有，故C正确；
对于D，，，，
令，即，，
因为，所以，
所以，，有，故D正确.
7．（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
8．（23-24高二上·广东东莞·期末）在如图所示的试验装置中，和均为边长为1正方形框架，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在对角线，上移动，且，（）．则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．，平面 D．，平面⊥平面
【答案】ACD【难度】0.4
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，
则，.
对于A，，，，
解得.所以存在，使得.故A正确；
对于B，由，，
，
故B错误；
对于C，，，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
，所以对，平面.故C正确；
对于D，，，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，，，
设平面的一个法向量为，则 ，即，
令，得，，
，当时，，即平面平面.故D正确.
故选：ACD.
