1.4.3 空间距离及立体几何中的探索性问题
基础巩固
一、单选题
1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可.
【详解】由题意得，，
所以点到直线的距离.
故选：A.
2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）.
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的坐标运算、点到直线距离的向量求法、求直线的方向向量（平面中）
【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果.
【详解】，故，
所以，
设直线与直线所成的角为，
则，可得，
因此点到直线的距离为．
故选：B.
3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量，由，得，取，得，
又，
点到平面的距离为，
故选：D．
4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长．
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在上，点N在上，所以设，
因为是异面直线与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，
所以异面直线与间的距离为，
故选：C．
5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
【答案】C
【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、异面直线距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系：
则： ，
，
设 ，
则有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，
同理可得 ；
对于A， ， ， ，故A正确；
对于B， ， ，
即，又，
故是异面直线与的公垂线段，故B正确；
对于C，设 与 所成的角为 ，则 ，
，，故C错误；
对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，故D正确；
故选：C.
6．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得面积的取值范围.
【详解】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
由二面角的平面角大小为30°，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），
则Q的轨迹是过点D的一条线段，
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，
由题意可知，，，
所以，，，
易知平面APD的一个法向量为，
设平面PDG的法向量为，
则，即，
令，得，，
所以是平面PDG的一个法向量，
则二面角的平面角的余弦值为
，
解得或（舍去），
所以Q在DG上运动，
所以面积的取值范围为．
故选：A．
二、多选题
7．（23-24高二上 陕西宝鸡 期中）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为
【答案】BC
【知识点】点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，
所以，.
设，则，.
故到直线的距离，故A错误.
，
平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B正确.
，，.
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，，所以.
所以点到平面的距离.
，所以，
又因平面，平面，
所以平面，同理平面，
所以平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C正确.
因为，所以，
又，则，
所以点到的距离，故D错.
故选：BC
8．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为
C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为
【答案】ABC
【知识点】点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法、异面直线距离的向量求法
【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项.
【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知，，
，
．
设平面的法向量为，
所以则可得平面的一个法向量为．
点F到点E的距离，故A正确；
点F到直线的距离为，故B正确；
点F到平面的距离，故C正确；
由正方体的性质可知，平面平面，
平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误．
故选：ABC．
9．如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．到面的距离为
C．异面直线与的距离为 D．异面直线与的夹角为
【答案】ABC
【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线线角求其他量、点到平面距离的向量求法、异面直线距离的向量求法
【分析】先建立空间直角坐标系，然后利用向量法分别判断4个选项即可.
【详解】
选项A：
如图建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，，，
，，，
，，
所以，
又因平面，平面，，
所以平面，A正确；
B选项：
由A知为平面的法向量，
，
所以到面的距离为，
故B正确，
C选项：
，，，
设异面直线与的公共法向量为，
则，，
令，则，，
,
则异面直线与的距离为，
故C正确，
D选项：
，，
，
所以异面直线与的夹角的余弦值为，夹角为
故D错误，
故选：ABC
10．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面 B．直线与直线的距离为
C．点A到平面的距离为 D．到平面的距离为
【答案】ABC
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、异面直线距离的向量求法
【分析】根据正方体特征直接建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行，运用点面距离公式和异面直线的距离公式进而求得答案.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以，即，
又因为平面，所以平面，故A正确；
由已证可知，点到平面的距离即为直线到平面的距离，
因为所以点到平面的距离为，
即直线与平面之间的距离为，故C正确，D错误；
因为，
设，，
则，令，则，
又因为，
所以直线与直线的距离为，故B正确.
故选：ABC
【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解；
（2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解；
（3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解.
三、填空题
11．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用、面面角的向量求法
【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长.
【详解】由条件知，
又二面角的平面角为，则，所以
，
所以．
故答案为：.
12．（2025高二·全国·专题练习）已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ．
【答案】/
【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、点到平面距离的向量求法
【分析】法1，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离；法2，利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】法1，在正四棱柱中，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图：
，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
则点到平面的距离.
法2，在正四棱柱中，连接，，
由点为中点，得，则，
，由平面，得，
设点到平面的距离为，则，
由，得，解得，
所以点到平面的距离为.
故答案为：.
13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 .
【答案】/
【知识点】求点面距离、点到平面距离的向量求法
【分析】可用等体积法求点到平面的距离，或直接建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离.
【详解】由题可知：平面平面,所以
所以,,,
所以,所以.
所以.
直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且.
因为平面,所以平面,.
.
因为,所以,
所以.
故答案为：.
方法二：如图所示，
直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且.
因为侧面是矩形，取的中点F，连接,则.
因为侧棱平面，所以平面,所以两两垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
据题意可知，
则
设平面AB1D的一个法向量是
所以,所以,
令,则,所以.
因为,所以点C到平面AB1D的距离.
故答案为：
四、解答题
14．（23-24高二上 全国 课后作业）在长方体中，，，，求到直线的距离．
【答案】
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】方法一： 建立空间直角坐标系，过作于点，由，，求出点坐标，求解即可；
方法二： 连接，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量公式求解.
【详解】方法一： 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，设，则，．
∵，，，
∴解得∴，
∴．
即到直线的距离为．
方法二： 连接，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
∴，，
∴，∴，
∴到直线的距离．
15．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
(1)求点到直线的距离
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【知识点】点到平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离；
(2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离．
【详解】（1）由题可知两两相互垂直，
如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
又分别是棱的中点，，得
因为
所以在上的投影长为
所以点到直线的距离为
（2）由知，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以点到平面的距离为.
16．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)不存在，理由见解析；
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得；
（2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果；
（2）设，
利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度．
【详解】（1）在图1连接交于点，
在图2中，知、都是等边三角形，
得，，又，平面，
可得平面；
又直线平面，
所以.
（2）因为，，则在中，由，
由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，，
如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
因此，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则；
即向量，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为，
（3）假设在内存在点，使得平面成立，，
设，，，
，
由，得，
解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立；
17．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示．
(1)求异面直线与所成角；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小；
（2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论.
【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点，
因为四边形为边长是的正方形，则，
在图2中，则有，，，
因为是直二面角，所以平面平面，
因为平面平面，，平面，所以有平面，
以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图：
由题意，、、、，
所以，，
设异面直线与所成角为，
所以有，
因为，故，即异面直线与所成角为.
（2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中，
使得二面角的余弦值为，
则，
又，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
由题意可知，平面的一个法向量为，
所以，化简得：，
解得或（舍去），
故存在点，只需满足，
即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为．
18．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论.
【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形，
因为，，．
由余弦定理得．
因为，所以，折叠后有．
在四棱锥中，连接，如下图所示：
在中，，，，
由余弦定理可得，
因为，，所以，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
（2）翻折前，翻折后，则有，又平面，
以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
过作交于点，
设，则，，，
易知，，，所以.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得.
所以，满足，符合题意.
所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时.
19．（24-25高二上 山东临沂 阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在 ，
【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离.
（3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可．
【详解】（1）证明：，，
又平面平面，
所以平面，
平面，，
又平面平面，
平面；
（2）平面，
∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，设平面的法向量为，
则，故可设.，
所以点B到平面的距离为.
（3）存在，理由如下：
假设在线段上存在一点，使得平面平面，
设，
则，，
，
设平面的法向量，
由，
得，
令，得．
设平面的法向量为，
，
故，
取，得．
因为平面平面，
所以，
解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且．
能力提升
一、单选题
1．（23-24高二上 广东深圳 期中）在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求距离即可.
【详解】
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
得，，
取，，则，，
所以点到直线的距离为．
故选：C.
2．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求异面直线的距离、求点面距离
【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值．
【详解】
解：如图所示，取的中点F，连接，，
∵，底面，
∴四边形是矩形，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，
过点作，
∵平面平面，平面平面，
平面，
∴平面，
过点M作交于点P，则，
取，连接，则四边形是矩形．
可得平面，
在中，，
得，
∴点P到直线的距离的最小值为．
故选：B．
3．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点到平面距离的向量求法、空间向量与立体几何综合
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用点到面的距离的向量求法和可构造方程组求得坐标，利用可求得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设关于平面的对称点为，
则，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
与到平面的距离，
又，，
，，，，
（当且仅当三点共线时取等号），
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.
4．（23-24高二上 四川成都 期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 .
【答案】
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】由题设直线经过点，且为一个方向向量，易得，应用点线距离的向量求法求点到直线的距离.
【详解】由题设，直线为，经过点，且为一个方向向量，
所以，故到直线的距离为.
故答案为：21.4.3 空间距离及立体几何中的探索性问题
题型1 点到直线的距离 3
题型2 点到平面的距离 7
题型3 异面直线的距离 10
题型4 直线到平面，平面到平面的距离 13
题型5 空间几何体中的翻折问题 18
题型6 立体几何中的探索性问题 23
知识点一 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长.因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，因此可通过向量来求空间中两点之间的距离.
说明：设空间直角坐标系中，,则.
知识点二 点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间中点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
(1)点在直线上时，点到直线的距离为.
(2)点在直线外时，点到直线的距离即此点与过此点向直线作垂线所得的垂足间的距离，即点到直线的距离可转化为两点间的距离.
2．用向量法求点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点，设,则向量在直线上的投影向量在中，由勾股定理，得
知识点三 点到平面的距离
1．两个结论
(1)过平面外一点有唯一的一条直线垂直于.
(2)连接平面外一点与内任意一点的所有线段中，垂线段最短.
2．点到平面的距离
一点到它在一个平面内正投影的距离，叫做点到这个平面的距离.
3．向量法求点到平面的距离
如图所示，设是平面的法向量，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.因此
注：(1)点是平面内的任意一点，做题过程中可灵活选择.
(2)因为是平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即.
知识点四 相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离
1．直线到它的平行平面的距离
(1)如果一条直线平行于平面，则直线上的各点到平面的距离都相等.
(2)一条直线上的任意一点到与直线平行的平面的距离，叫做直线与这个平面间的距离.
2．两个平行平面之间的距离
(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段.
(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离.
题型1 点到直线的距离
1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型2 点到平面的距离
5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下 江苏连云港 阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型3 异面直线的距离
8．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型4 直线到平面，平面到平面的距离
11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型5 空间几何体中的翻折问题
15．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．
(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
16．（25-26高三上·重庆·阶段练习）如图，在边长为3的正方形中，分别在边上，，将沿翻折，使得点与点重合，且平面平面，
(1)证明：平面且.
(2)求平面与平面的夹角.
17．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
题型6 立体几何中的探索性问题
18．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在直三棱柱中，，，，．
(1)在线段上是否存在点，使得
(2)在线段上是否存在点，使得平面 说明理由．
19．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.
（1）求证：；
（2）若平面，求二面角的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
20．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（24-25高二上 福建南平 期中）如图，在直棱柱中，已知，点分别为的中点.
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求点到平面的距离；
(3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
22．（2025高二·全国·专题练习）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．
(1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标．
(2)求点到平面的距离．
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．1.4.3 空间距离及立体几何中的探索性问题
题型1 点到直线的距离 3
题型2 点到平面的距离 7
题型3 异面直线的距离 10
题型4 直线到平面，平面到平面的距离 13
题型5 空间几何体中的翻折问题 18
题型6 立体几何中的探索性问题 23
知识点一 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长.因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，因此可通过向量来求空间中两点之间的距离.
说明：设空间直角坐标系中，,则.
知识点二 点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间中点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
(1)点在直线上时，点到直线的距离为.
(2)点在直线外时，点到直线的距离即此点与过此点向直线作垂线所得的垂足间的距离，即点到直线的距离可转化为两点间的距离.
2．用向量法求点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点，设,则向量在直线上的投影向量在中，由勾股定理，得
知识点三 点到平面的距离
1．两个结论
(1)过平面外一点有唯一的一条直线垂直于.
(2)连接平面外一点与内任意一点的所有线段中，垂线段最短.
2．点到平面的距离
一点到它在一个平面内正投影的距离，叫做点到这个平面的距离.
3．向量法求点到平面的距离
如图所示，设是平面的法向量，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.因此
注：(1)点是平面内的任意一点，做题过程中可灵活选择.
(2)因为是平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即.
知识点四 相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离
1．直线到它的平行平面的距离
(1)如果一条直线平行于平面，则直线上的各点到平面的距离都相等.
(2)一条直线上的任意一点到与直线平行的平面的距离，叫做直线与这个平面间的距离.
2．两个平行平面之间的距离
(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段.
(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离.
题型1 点到直线的距离
1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可.
【详解】依题意，得，．
因此在上得投影长为，
所以点到直线的距离为．
故选：B．
2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案.
【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，由，可得，
为的重心，所以，，，
则，，，
故点到直线的距离为.
故选：A
3．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，可得，
设，所以可得；
因此，
因此点到直线的距离为
.
当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为.
故选：A
4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解.
【详解】因为平面，，
所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，则，，设，其中，
所以，，则点到直线的距离：
.
设，因为，所以，则.
所以点到直线的距离的最小值为.
故选：D
题型2 点到平面的距离
5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法
【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】连接，设，连接，
由，得，所以，
因为底面是菱形，所以，
又因为，且，在平面内，
所以平面，
在中，，，所以，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则有，令，得，
所以点到平面的距离.
故选：C.
6．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，则．
令，则，，∴．
∴点B到平面的距离．
故选：C
7．（23-24高二下 江苏连云港 阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以点到平面的距离为，
故选：D．
题型3 异面直线的距离
8．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论.
【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，
设 ，，
则 ，
因为，所以
即
所以，所以，
所以，
∴当时， 取得最小值，
故直线与之间的距离是
故选：B.
9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.
【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
10．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，
所以面，
连接，，则且交于.
因为 面，
所以，.
所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
则，，，，，
所以，.
设异面直线与的公垂线方向向量为，
则有 ，即，取.
又因为，
所以异面直线与的距离.
所以异面直线与的距离为.
故选：B
题型4 直线到平面，平面到平面的距离
11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】，，，，
显然，所以，
而平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离．
设平面的法向量为，则,令，得，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离是．
故选：D
12．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为，平面，平面，
所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为 .
故选：D.
13．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法
【分析】利用线面与面面平行的判定定理可证得平面平面，根据线面平行的性质可得平面，确定平面到平面的距离为到平面的距离，结合空间向量法求解点到平面的距离即可.
【详解】由且知，四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
由且知，四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.又平面，
所以平面，
则到平面的距离即为平面到平面的距离.
建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，则点到平面的距离为，
即平面到平面的距离为.
故选：A
14．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
所以，因为四点不共线，所以∥，
由面，面，则面，
因为，，分别是棱，的中点，所以∥，
同理，∥平面，而，面，
所以平面∥平面面，故平面，
所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离．
设平面的法向量为，则，不妨取，则，
所以点到平面的距离，
即平面和平面之间的距离是．
故选：B
题型5 空间几何体中的翻折问题
15．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．
(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不可能，理由见解析；
(3)
【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）假设平面，推导出错误结论平面平面，即可说明不可能与平面平行；
（3）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.
【详解】（1）连接，因为，为的中点， 是等边三角形，
则，
则在中，因为，，
所以．
在中，因为，所以，
同理可得，
又，，
故平面．
（2）不可能与平面平行，理由如下：
假设平面，
又因为平面平面．
所以平面．
因为平面平面，
从而有平面平面，这显然不成立，
所以不可能与平面平行．
（3）设为的中点，则．
因为平面平面，
所以平面平面．
又平面平面平面，所以平面．
以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，
过点且平行于的直线向上方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
因为，
所以，
取，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则．
16．（25-26高三上·重庆·阶段练习）如图，在边长为3的正方形中，分别在边上，，将沿翻折，使得点与点重合，且平面平面，
(1)证明：平面且.
(2)求平面与平面的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）由线面平行的判定定理可证明平面，由面面垂直的性质定理可得，计算得到的值，由勾股定理求得的值；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角可得结果.
【详解】（1）证明：因为平面平面，所以平面.
取的中点，连接.
因为，所以，则，所以.
又平面平面，平面平面，所以平面，所以.
因为，所以，
所以，
所以.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则
所以.
设平面的法向量为，则，
即令，得.
设平面的法向量为，则，
即令，得.
由，得，
所以平面与平面的夹角为.
17．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可得，再由相似的性质可得，最后由线面垂直的判定定理可证；
（2）解法一：设交于F点，连接，利用线面垂直的性质易得所求为，分析几何关系利用三角函数易得结果；解法二：以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法求解.
【详解】（1）∵，平面平面，
又二面角为直二面角，则平面平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，，，则，，，
则，
由勾股定理得，
∵平面，平面，，
∴平面.
（2）解法一：设交于F点，连接，
由（1）得平面，
平面，
，
∵平面，
∴，，
设平面与平面夹角为，则，
∵，，，，
∴，
∴，
∴二面角的正切值为.
解法二：由（1）知，
以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
由题设及（1）得，，，，，
平面的一个法向量为，
，，
设平面的一个法向量为，
由得，令，得，
设二面角的大小为，则，
∴二面角的正弦值为，
∴二面角的正切值为.
题型6 立体几何中的探索性问题
18．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在直三棱柱中，，，，．
(1)在线段上是否存在点，使得
(2)在线段上是否存在点，使得平面 说明理由．
【答案】(1)存在
(2)存在，理由见解析
【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）设，假设，利用，求出点坐标即可；
（2）设，求出平面的法向量，由，求出点坐标即可.
【详解】（1）因为，，，所以，故，
如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
假设在上存在点满足条件．
设，，
因为，所以，解得，
即在上存在点使得，此时点与点重合．
（2）假设在上存在点，使得平面．
设，，．
设平面的一个法向量，
则有，得，取，可得，
由，解得，
所以在上存在点，使得平面，这时为的中点．
19．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.
（1）求证：；
（2）若平面，求二面角的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析
【知识点】补全线面平行的条件、面面角的向量求法
【分析】（1）先证明平面，即可得到；
（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；
（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.
【详解】（1）连交于，由题意.
在正方形中，，
所以平面，得
（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.
设底面边长为，则高.
则，，
又平面，
则平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，
又二面角为锐角，则二面角为；
（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，
且，
设，
则
又平面，所以，
则.
即当时，
而不在平面内，故平面.
【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间向量的方法求二面角等，一般需要建立适当的坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解，属于常考题型.
20．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）设线段的中点为，线段的中点为，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证.
（2）根据已知，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，令，，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得.
【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，
依题意，，则，由，得，
而，是梯形的中位线，于是，
而平面，则平面，
而平面，于是，又平面，且和相交，
因此平面，而平面，所以平面平面；
（2）依题意，，则，即，
由（1）知平面，平面，则，
由，平面，可得平面，
过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，
则，，
令，，则，
由平面，则平面的一个法向量为，
由题设，
所以，可得（负值舍），所以时满足题设.
21．（24-25高二上 福建南平 期中）如图，在直棱柱中，已知，点分别为的中点.
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求点到平面的距离；
(3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案详见解析
【知识点】异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）建系，由异面直线夹角的向量法求解即可；
（2）由点到面距离的向量法公式即可求解；
（3）由线面角的向量法公式即可求解.
【详解】（1）由题意，以点为原点，方向分别为轴、轴与轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则，
故，
从而，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2），设平面的法向量为，
则，即，
取，得到平面的一个法向量为.
点到平面的距离为.
（3）假设存在满足条件的点M，设，则，
从而
即，即，
解得，故存在满足条件的点
22．（2025高二·全国·专题练习）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．
(1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标．
(2)求点到平面的距离．
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)6
(3)存在，点在线段上且与点的距离为2
【知识点】求空间图形上的点的坐标、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）取的中点，连接，根据菱形的性质及线面垂直的性质得到，，两两垂直，从而结合题意即可建立空间直角坐标系，再求出的长度，进而即可得到点的坐标；
（2）先结合（1）求出平面的一个法向量，再根据点到平面的距离公式计算求解即可；
（3）设，则，先求平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求出，进而即可得出出点的位置．
【详解】（1）依题意可得四边形是菱形，
又，连接，则是正三角形，
取的中点，连接，得，．
因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面，
又，平面，所以，，
所以，，两两垂直．
则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
由直四棱柱的棱长均为6，且，
则，所以，
从而点的坐标为．
（2）由，则，
则结合（1）得，，，，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，所以，
又，
所以点到平面的距离为．
（3）设，则，
设平面的一个法向量为，
则，即结合（2）得，
取，则，，所以，
又，
则，
化简得，解得或，
因为，所以，即．
故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为．1.4.3 空间距离及立体几何中的探索性问题
基础巩固
一、单选题
1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）.
A．4 B． C． D．
3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
6．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（23-24高二上 陕西宝鸡 期中）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为
8．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F到点E的距离为
B．点F到直线的距离为
C．点F到平面的距离为
D．平面到平面的距离为
9．如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．到面的距离为
C．异面直线与的距离为
D．异面直线与的夹角为
10．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线的距离为
C．点A到平面的距离为
D．到平面的距离为
三、填空题
11．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ．
12．（2025高二·全国·专题练习）已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ．
13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 .
四、解答题
14．（23-24高二上 全国 课后作业）在长方体中，，，，求到直线的距离．
15．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
(1)求点到直线的距离
(2)求点到平面的距离.
16．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
17．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示．
(1)求异面直线与所成角；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
19．（24-25高二上 山东临沂 阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
能力提升
一、单选题
1．（23-24高二上 广东深圳 期中）在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上 四川成都 期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 .
