第十四讲：幂函数知识总结与题型归纳
知识再现
1、幂函数的概念与图像
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数．
3.常用幂函数，，，，的图象如图．
4.常见的幂函数图像及性质：
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
5.对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数
（1）当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
（2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处）
题型一 幂函数概念及性质
例1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B
例2（多选）.下列说法不正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过两点
B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小
C．幂函数的图象不可能出现在第四象限
D．当幂函数的图象是一条直线时，或1
解析：对于A，幂函数的图象都通过点，幂函数不过点，故A不正确；
对于B，当时，幂函数定义域为，以幂函数为例，
它在和上分别单调递减，在定义域不单调，故B不正确；
对于C，由幂函数的性质可知幂函数图象不可能出现在第四象限，故C正确；
对于D，当时，幂函数的图象是一条直线，
但不过点，故D不正确.故选：ABD.
例3.（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
解析：由已知可得，解得或.故选：BC.
例4.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
解析：是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得 故选：B
例5．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B． C． D．
解析：幂函数的图像过点，，解得，
， 的值域是.故选：D.
例6.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
解析：设，代入点得，
则，令，
函数的值域是.故选：C.
题型二： 幂函数图象的判断及应用
例7.幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
解析：根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，
且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；
当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，
是曲线；综上所述幂函数，，，，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.
故选：D.
例8.已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且
解析：由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，
又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.
例9.给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
解析：图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
例10.函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意知，函数，则满足，解得，
故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C
题型三 比较大小
例11．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
解析：试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
例12.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由，，，
则，，又，，
则，即，所以．故选：D．
例13.设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，
且， 在上递增，
所以，即，综上： 故选：A
例14．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
解析：由于函数为幂函数，且在上单调递减，
则，解得，
，，，
由于指数函数在上为增函数，因此，，故选B.
题型四：幂函数的单调性与奇偶性综合
例15.（多选）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
解析：将点代入函数得：，则.
所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；
，所以为偶函数，所以B正确；
当时，，即，所以C错误；
当若时，
假设，整理得
，化简得，，
即证明成立，
利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立； 即成立，所以D正确.
故选：BD.
例16.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B． C．或 D．
解析：因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以解得：.故选：A.
例17.已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．
解析：幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，
所以，，解得－1＜k＜3，
因为k∈N*，所以k=1，2；
且幂函数（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，
函数的解析式为：．
例18.已知幂函数在上是减函数，．
（1）求的解析式；
（2）若， 求的取值范围．
解析：（1）由函数为幂函数得，解得或，
又函数在上是减函数，则，即，所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，所以的取值范围是.
例19.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：试题分析：由已知，得或．当时，，当时，．又在单调递增，∴．∴在上的值域为，在上的值域为，∴，∴，即．故选D.
例20．已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
解析：（Ⅰ）∵是幂函数，则设（α是常数），
∵的图象过点，∴，
故，即；
（Ⅱ）在区间上是减函数．证明如下：
设
∴，
，
∴在区间上是减函数．
题型五：幂函数性质综合
例21．若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ）
A． B． C． D．
解析：，，，
所以，函数的图象过定点，
又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点.
故选：D.
例22．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：如图，只有上凸函数才满足题中条件，所以只有④满足，其他4个都不满足，
故选：A.
例23．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.
解析：（1）在区间上是单调增函数，即，解得.
又，.当时，不是偶函数；
当时，是偶函数.故函数的解析式为.
（2）由（1）知，则.
对任意的恒成立，，且.又，，解得.故实数c的取值范围是.
例24.已知x，，满足，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
解：令，，则，∴为奇函数．
∵，∴．又∵，
∴，∴，．
又∵在R上单调递增，∴，即．故选：B．第十四讲：幂函数知识总结与题型归纳
知识再现
1、幂函数的概念与图像
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数．
3.常用幂函数，，，，的图象如图．
4.常见的幂函数图像及性质：
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
5.对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数
（1）当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
（2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处）
题型一 幂函数概念及性质
例1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2（多选）.下列说法不正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过两点
B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小
C．幂函数的图象不可能出现在第四象限
D．当幂函数的图象是一条直线时，或1
例3.（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
例4.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例5．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B． C． D．
例6.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
题型二： 幂函数图象的判断及应用
例7.幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
例8.已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且
例9.给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
例10.函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
题型三 比较大小
例11．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
例12.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例13.设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例14．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：幂函数的单调性与奇偶性综合
例15.（多选）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
例16.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B． C．或 D．
例17.已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．
例18.已知幂函数在上是减函数，．
（1）求的解析式；
（2）若， 求的取值范围．
例19.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例20．已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
题型五：幂函数性质综合
例21．若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ）
A． B． C． D．
例22．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例23．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.
例24.已知x，，满足，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
