2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】
专题10.1 平面及其基本性质
知识点一、平面的概念、表示、画法
1.平面的概念
（1）平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念，平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念。
（2）几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的.
2.平面的表示
（1）通常用希腊字母α，β，7，…表示，如平面α，平面β等.
（2）用平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD。
（3）用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC
3.平面的画法
（1）平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用_虚线画出来.
知识点二、空间点、直线与平面位置关系的符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示
点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α 直线l在平面α外 l α
直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l
知识点三、平面的基本性质
1.平面的基本性质
公理 内容 图形 符号 作用
公理1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面
公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上
2.公理2的三个推论：
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
题型01：平面的概念及表示
【例1】下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【例2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例3】若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【例4】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A． B．
C． D．
题型02：空间位置关系的画法
【例5】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，，．
【例6】用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
【例7】如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由．
【例8】如图，在长方体中，P为棱的中点．
（1）画出平面PAC与平面ABCD的交线；
（2）画出平面与平面ABCD的交线．
题型03：平面的基本性质及辨析
【名师点拨】1.确定平面的条件：
（1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线.
2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
【例9】下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点
【例10】下列说法，正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【例11】下列命题
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型04：平面分空间的区域数量
【名师点拨】空间n个平面最多可将空间分成多少个部分
当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。
1.这n个平面两相交；
2.没有三个以上的平面交于一点；
3.这n个平面的交线任两条都不平行。
当n=1时，an=2；当n=2时，an=4 ； 当n=3时，an=8；当n=4时，an=15；
n个平面最多可将平面分割成（n +5n+6）个部分。
【例12】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【例13】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【例14】一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测，个平面最多将空间分成（ ）部分.
A．2n B． C． D．
【例15】金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）．
题型05：点线确定平面数量问题
【例16】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（ ）
A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4
【例17】空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面．
【例18】下列命题是真命题的是（ ）
A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面
【例19】已知分别与异面直线都相交的两条直线，则这四条直线确定的平面有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．3或4
题型06：点、线共面问题（四点共面与多线共面）
【名师点拨】基本思路：
①证明四个点在两条平行线上
②证明四个点在两条相交线上
③证明三个点共线
④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内
【例20】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B．C． D．
【例21】空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【例22】以下四个命题中，正确命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面
C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【例23】到空间不共面的4个点距离都相等的平面有（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．个
【例24】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【例25】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．
题型07：证明三点共线
【名师点拨】基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上
【例26】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．
【例27】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．
【例28】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
题型08：三线共点问题
【名师点拨】基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上
【例29】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
【例30】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．
题型09：由平面基本性质作截面图形
【名师点拨】作图原则
（1）两点确定一条直线.
（2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.
（3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.
【例31】用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【例32】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
题型10：平面截面图形的有关计算
【例33】如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例34】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【例35】如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点．
(1)画出过三点的平面与平面、平面的交线；
(2)设过三点的平面与交于点，求的长．
一、填空题
1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 .
2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面.
3．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）．
4.（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成____________部分．
5．（2022高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件．
6．（2024高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面．
7．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 .
8．（2021七宝中学期中）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______.
9．（2021上海交大附中期末）给出下列说法：
①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．
其中正确说法的序号是______ ．
10．（2023徐汇中学期中）下列说法中正确的有______个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上.
11．（2024上海实验高级中学期中）下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点
②经过空间任意三点有且只有一个平面
③过两平行直线有且只有一个平面
④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是______ .
12．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
二、选择题
13.（24-25高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面
14.（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面
15．（2023春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）．
A． B．C． D．
16.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．（2024上海高二阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）直线经过平面外的一点M；
（3）直线既在平面内，又在平面内.
18．（2024大同中学高二开学考试）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点．
19.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：
(1)直线和在同一平面上；
(2)直线、和交于一点．
20．（2024复旦附中高二开学考试）如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
21.（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
(3)DE、BF、三线交于一点．2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】
专题10.1 平面及其基本性质
知识点一、平面的概念、表示、画法
1.平面的概念
（1）平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念，平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念。
（2）几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的.
2.平面的表示
（1）通常用希腊字母α，β，7，…表示，如平面α，平面β等.
（2）用平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD。
（3）用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC
3.平面的画法
（1）平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用_虚线画出来.
知识点二、空间点、直线与平面位置关系的符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示
点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α 直线l在平面α外 l α
直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l
知识点三、平面的基本性质
1.平面的基本性质
公理 内容 图形 符号 作用
公理1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面
公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上
2.公理2的三个推论：
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
题型01：平面的概念及表示
【例1】下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【答案】D
【分析】
根据平面的概念，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确；
对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确；
对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确；
对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确.
故选：D.
【例2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案.
【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，
即，，
故选：A
【例3】若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可.
【解析】因为直线和平面都是由点形成的，
所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为，
根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为.
故选：B
【例4】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内，
符号表达为：，，
故选：C
题型02：空间位置关系的画法
【例5】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，，．
【答案】(1)详情见解析
(2)详情见解析
(3)详情见解析
【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形.
【解析】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示：
（2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示：
．
（3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示：
【例6】用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】根据点线面的关系，将文字语言转化为符号语言和图形语言．
【详解】（1）符号语言表示：,
图形表示：如图
；
（2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图
.
【例7】如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由．
【答案】答案见解析.
【分析】找到交线上的两个公共点，根据基本事实3即可得到结果.
【详解】如图所示，在平面内延长，交的延长线于一点，则平面．因为平面，所以平面，所以是平面与平面的一个公共点．又是两平面的一个公共点，所以为两平面的交线．
【例8】如图，在长方体中，P为棱的中点．
（1）画出平面PAC与平面ABCD的交线；
（2）画出平面与平面ABCD的交线．
【分析】
(1)平面PAC与平面ABCD的交线为AC；
(2)延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线.
（1）
平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图(1).
（2）
延长交于点E，连接CE，
则CE为平面与平面ABCD的交线，如图(2).
题型03：平面的基本性质及辨析
【名师点拨】1.确定平面的条件：
（1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线.
2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
【例9】下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点
【解题思路】根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误；
对于B，空间四边形不是平面图形，B错误；
对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确；
对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误.
故选：C.
【例10】下列说法，正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】D
【分析】由空间中直线与直线的位置关系对选项逐一判断即可.
【详解】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误，
对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，
对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，
故选：D
【例11】下列命题
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误，
对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确，
对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误，
对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外
，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确
故选：B
题型04：平面分空间的区域数量
【名师点拨】空间n个平面最多可将空间分成多少个部分
当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。
1.这n个平面两相交；
2.没有三个以上的平面交于一点；
3.这n个平面的交线任两条都不平行。
当n=1时，an=2；当n=2时，an=4 ； 当n=3时，an=8；当n=4时，an=15；
n个平面最多可将平面分割成（n +5n+6）个部分。
【例12】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值.
【解析】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；
综上，可以为、、、部分，不能为部分，
故选：B.
【例13】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.
【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分；
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，
所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12.
故选：B.
【例14】一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测，个平面最多将空间分成（ ）部分.
A．2n B． C． D．
【答案】D
【解析】由一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，可以排除两个选项.四个平面时，可以考虑在三个平面最多将空间分成八部分的情况下再加一个平面，则第四个平面最多可以将该八部分中的七个分为两部分，所以四个平面最多将空间分成十五部分，可以排除C选项.
故选：D.
【例15】金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）．
【解题思路】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交分析求解.
【解答过程】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，
把四面进行极限倾斜相交，如图所示，
在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样，
多出来的空间是交叉的切割出来的空间，
在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面，
如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间，
即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间，
但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个，
即标记“×”的位置，
所以在的基础上加减，即结果是.
故答案为：.
题型05：点线确定平面数量问题
【例16】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（ ）
A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4
【答案】C
【分析】分三种情况讨论即可求解.
【详解】如图，在正方体中，
①，，直线，与可以确定1个平面（平面）；
②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）；
③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）．
故选：C.
【例17】空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面．
【答案】11
【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解.
【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面，
故答案为：11
【例18】下列命题是真命题的是（ ）
A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面
【答案】D
【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题；
对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面，
如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题．
对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题；
对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确；
故选：D.
【例19】已知分别与异面直线都相交的两条直线，则这四条直线确定的平面有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．3或4
【答案】D
【分析】与异面直线都相交的两条直线中，；；；分别相交，可确定4个平面，但不能相交，也不平行，不能确定一个平面，故知可确定4个平面.
【详解】根据两条相交直线可确定一个平面知，；；；分别确定一个平面，
若平行或相交时，四线共面，与是异面直线矛盾，故是异面直线，
所以这四条直线确定的平面有4个.
当b为正方体底面对角线 a为正方体竖直侧棱 c，d为两条底面的棱时 确定三个平面
故选:D
【点睛】本题主要考查了异面直线的概念，两条相交直线确定一个平面，属于容易题.
题型06：点、线共面问题（四点共面与多线共面）
【名师点拨】基本思路：
①证明四个点在两条平行线上
②证明四个点在两条相交线上
③证明三个点共线
④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内
【例20】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．
故选：B
【例21】空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】在正方体中，举例即可.
【解析】如图，在正方体中，
三条直线两两相交，但不共面；
，都在平面中，但不相交.
所以空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的既非充分也非必要条件.
故选：D.
【例22】以下四个命题中，正确命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面
C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【答案】A
【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解析】A选项，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上，
根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，所以A选项正确.
B选项，如下图，共面，共面，但不共面，所以B选项错误.
C选项，如下图，共面，共面，但异面，所以C选项错误.
D选项，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，所以D选项错误.
故选：A
【例23】到空间不共面的4个点距离都相等的平面有（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．个
【答案】A
【分析】将空间不共面的四个点看作四面体的顶点，分两类情况即可求解.
【解析】将空间不共面的四个点看作四面体的顶点，
第一类：平行于底面，且过测棱的中点，此时由4种情况符合要求，如图：
第二类：一条棱的中点于底面的一条中位线所成的平面，此时有3种情况符合要求，如图：
故总共有7种情况符合要求.
故选：A
【例24】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【答案】C
【分析】
由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误.
【解析】
因为 ,
则四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，
而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，
所以点M不在平面内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且，
所以为平行四边形，
所以共面，
所以四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
【例25】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．
【答案】B，C，F，G四点共面，证明见解析
【分析】要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明．
【详解】【证明】取DG中点P，连接PA，PF，如图示：
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE．
又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面．
题型07：证明三点共线
【名师点拨】基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上
【例26】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．
【答案】证明见解析
【解析】由，可知点，
且平面ABC，可知点平面ABC，又，
所以点P在平面ABC与平面的交线上，
同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上，
所以P，Q，R三点共线．
【例27】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．
【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线
【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论.
【详解】O是中点，则O是中点，故平面，
与截面交于P，故，故平面，又平面，
故、、平面，又、、平面，
故、、在平面和平面的交线上.
故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线.
【例28】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
【证明】如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1 平面A1BCD1.
同理BD1 平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C 平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，
∴B，Q，D1三点共线．
题型08：三线共点问题
【名师点拨】基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上
【例29】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行关系可判断四边形BCQP为梯形，进而可证梯形的腰交于一点，根据两平面相交，可判断交点在交线上，即可说明三线共点.
【详解】如图，连接PQ．
由，，得，且．
又，
∴，且，
∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，．
又平面，且平面，
∴平面，且平面，
∴R在平面与平面的交线上，即，
∴直线，BP，CQ相交于一点．
【例30】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明.
【详解】连接，
因为为的中点，为的中点，所以且.
又因为且，所以且，
所以四点共面，
设.又平面平面，
所以点为平面与平面的公共点．
又因为平面平面，
所以根据基本事实3,得，
即三线交于一点．
题型09：由平面基本性质作截面图形
【名师点拨】作图原则
（1）两点确定一条直线.
（2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.
（3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.
【例31】用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】B
【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案．
【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示，
因此截面边数最多有6条．
故选：B．
【例32】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【答案】D
【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.
【详解】分别取的中点，连接，
如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形，
由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以,
所以，同理，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形为菱形，
故选：.
题型10：平面截面图形的有关计算
【例33】如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，取的中点，连接，然后利用平面的性质可得过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，从而可求出截面的面积.
【详解】连接，取的中点，连接，
因为是的中点，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，
连接交于，连接交于，连接，
因为，
所以，所以梯形为等腰梯形，
所以，
所以梯形的面积为，
故选：B
【例34】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长.
【解析】延长，与直线相交于，
连接与分别交于点，连接，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点分别是的中点，
所以，
由得，
，，
所以分别为靠近的三等分点，故，
所以由勾股定理得，
，
，
所以的周长为.
故选：C.
【例35】如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点．
(1)画出过三点的平面与平面、平面的交线；
(2)设过三点的平面与交于点，求的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度；
（2）利用（1）直接求解.
【详解】（1）如图所示：平面，
与底面的交点必在侧面与底面的交线上，
过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上），
与平面的交线是（在线段上）．
（2）由（1）可知：，
在Rt中，由勾股定理得．
一、填空题
1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案.
【详解】由，得，而，，则，又，
所以.
故答案为：
2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面.
【答案】
【分析】根据确定平面的依据，即可求解.
【解析】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面.
故答案为：.
3．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）．
【答案】
【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论.
【解析】因为既在平面内又在平面内，所以在两平面的交线上，即;
因为点平面，点平面，平面平面直线l，所以
故答案为：
4.（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成____________部分．
【解题思路】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果．
【解答过程】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，
再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥，
如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分，
故答案为：15．
5．（2022高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可.
【详解】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线，
所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
6．（2024高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面．
【答案】1
【分析】根据平面的事实1即可判定.
【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上，
根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
故答案为：1.
7．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案.
【详解】由，得，而，，则，又，
所以.
故答案为：
8．（2021七宝中学期中）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______.
【答案】1或4
【分析】利用三个不共线的点可以确定一个平面，对第四个点分类为：（1）第四个点在此平面内；（2）第四个点不在此平面内；分为这两种情况讨论即可
【详解】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面.
故答案为：1或4
9．（2021上海交大附中期末）给出下列说法：
①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．
其中正确说法的序号是______ ．
【答案】④
【分析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误.
【详解】如图，在正方体中，，，
但是异面，故①错误.
又交于点，但不共面，故②错误.
如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.
如图，因为，故共面于，
因为，故，故即，
而，故，故即即共面，故④正确.
故答案为：④
10．（2023徐汇中学期中）下列说法中正确的有______个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上.
【答案】2
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
【详解】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
，，且，则A在上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查平面的基本性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查.
11．（2024上海实验高级中学期中）下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点
②经过空间任意三点有且只有一个平面
③过两平行直线有且只有一个平面
④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是______ .
【答案】③
【分析】由平面的基本性质及推论可判断①②③，根据空间线线关系，可判断④.
【详解】①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，故正确；
④在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误.
故正确命题的序号是③.
故答案为：③.
【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题
12．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
【答案】
【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长.
【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.
故答案为：
二、选择题
13.（24-25高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面
【解题思路】利用平面的基本性质逐一判断即可．
【解答过程】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误；
对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误；
对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确；
下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．
证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点，
连接，，，
由，为，，则，且，同理，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形．
对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误．
故选：C．
14.（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面
【解题思路】根据平面基本事实可得正确的选项.
【解答过程】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线，
它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了，
故选：B.
15．（2023春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.
【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．
对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，
易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．
故选：D
16.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面.
【解答过程】①当时，如图（1），是四边形，故①正确；
②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确；
③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为
所以，③正确.
④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确；
故选：D.
三、解答题
17．（2024上海高二阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）直线经过平面外的一点M；
（3）直线既在平面内，又在平面内.
【答案】（1），如图.（2），如图.（3），如图.
【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.
【详解】（1），
如图：
（2），
如图：
（3）或，
如图：
【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.
18．（2024大同中学高二开学考试）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论．
【详解】如图所示，连接EF，GH，
由H，G分别是AD，CD的中点，则，且，
又，则，且，
所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P，
又，平面ABD，则平面ABD，
同理平面BCD，
又平面平面，则，
所以直线相交于一点．
19.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：
(1)直线和在同一平面上；
(2)直线、和交于一点．
【解题思路】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可;
（2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证；
【解答过程】（1）如图，连结.
∵点分别是的中点，∴ .
∵四边形为平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴四点共面，即和共面．
（2）证明：正方体中，
∵点分别是的中点，∴且
∵四边形为平行四边形，∴ ，且
∴∥且
∴与相交，设交点为P，
∵，平面，∴平面；
又∵，平面，∴平面，
∵平面平面，∴，
∴三线交于点P.
20．（2024复旦附中高二开学考试）如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面.
（2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点 ，即可得到答案.
（3）延长交于,由于面 面 ，则在交线上.
【详解】（1）连接
在长方体
、分别是和的中点
、、、四点共面
（2）
确定一个平面
面
面
对角线与平面交于点
面
在面与面的交线上
面且面
面 面
即点共线.
（3）延长交于
面
面
面
面
面 面
、、三线共点.
21.（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
(3)DE、BF、三线交于一点．
【解题思路】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面；
（2）结合面面交线证明三点共线；
（3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点；
【解答过程】（1）证明：因为EF是的中位线，所以．
在正方体中，，所以．
所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．
（2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为．
因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点．
同理，P也是与的公共点．所以．
又，所以，，且．则，
故P、Q、R三点共线．
（3）因为且，所以DE与BF相交，
设交点为M，则由，平面，得平面，
同理，点平面．又平面平面，
所以．所以DE、BF、三线交于一点M．
