第一章 空间向量与立体几何（含解析）--2025-2026学年高中数学人教B版选择性必修一单元测试
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何（含解析）--2025-2026学年高中数学人教B版选择性必修一单元测试 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-09 17:01:13 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何--2025-2026学年高中数学人教B版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．已知，且，则( )．
A.4 B.6 C.8 D.10
2．若是空间的一个基底,则也可以作为该空间基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
3．已知空间向量，，，若，则( )
A.2 B.-2 C.14 D.-14
4．已知向量,,是一组单位向量,且两两垂直.若,,则的值为( ).
A.7 B. C.28 D.11
5．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6．若,,,则的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
7．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为BD中点，则点到直线EF的距离( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在正方体中,能作为空间的一个基底的一组向量有( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
10．如图,点D、E、F分别为的边、、的中点,且,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知向量，则与共线的单位向量为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．化简：________.
13．已知向量，，若，则___________.
14．已知,,且,则_________
15．已知MN是长方体外接球的一条直径,点P在长方体表面上运动,长方体的棱长分别为1、1、4,则的取值范围为_____________
四、解答题
16．已知平面与平面平行，且这两个平面之间的距离为，则到，的距离相等的所有点组成的集合是什么图形？
17．如图,四面体OABC的所有棱长都是1,D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE.
（1）计算DE的长;
（2）求点O到平面ABC的距离.
18．如图所示，已知四棱锥中，ABCD为矩形，平面，，，，求下列各对异面直线所成角的余弦值：
（1）PC与AB；
（2）PD与AB；
（3）PA与BC.
19．已知AB是平面的一条斜线且B为斜足，设AB的射影是，而l是与平面平行的一条直线.判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：
（1）当时，；
（2）当时，.
20．如图，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)证明：是直角三角形.
(2)若，求平面ABE与平面CDE夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以存在实数t，
使得，又,
所以，
所以，
解得，
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：对于A项,易知,则A项中向量共面,不符合;
对于B项,易知,则B项中向量共面,不符合;
对于D项,易知,则D项中向量共面,不符合;
对于C项,易知,,不共面,即C正确.
故选:C
3．答案：C
解析：因为空间向量，，，
如果，则，
所以，
解得，
所以，
故选：C.
4．答案：C
解析：向量,,是一组单位向量,且两两垂直,
所以且.
因为,,
所以.
故选:C.
5．答案：C
解析：因为空间向量,,
则,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
6．答案：C
解析：因为,,,
所以.
故选:C
7．答案：B
解析：如图所示建立适当空间直角坐标系，
，，
，，
故选：B
8．答案：A
解析：
连接，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
则，
所以点到直线EF的距离为
，
故选：A.
9．答案：AC
解析：由题意得:如下图所示:
对于A项:,,不共面,能作为空间的一个基底,故A项正确;
对于B项:,所以:,,共面,不能作为空间的一个基底,故B项错误;
对于C项:,,不共面,能作为空间的一个基底,故C项正确;
对于D项:,
所以:,,共面,不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选:AC.
10．答案：ABC
解析：在中,,故A正确;
,故B正确;
,故C正确;
,故D不正确.
故选:ABC.
11．答案：AD
解析：，
则与共线的单位向量为或，
其中，.
故选：AD
12．答案：
解析：原式
.
13．答案：
解析：由题意可得，
则，
解得.
故答案为：.
14．答案：或
解析：因,,,
所以,解得:.
故答案为:.
15．答案：
解析：根据题意,以D为坐标原点,为x轴正方向,为y轴正方向,为z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图示.
设长方体外接球球心为O,则DB1为外接球的一条直径,
设O为DB1中点,不妨设M与D重合,N与B1重合.
所以,
所以
,
由P在长方体表面上运动,所以,故
所以,即.
故答案为:
16．答案：距离平面和都是的一个平面
解析：
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1,所以该四面体为正四面体,
,而且,所以,即,所以DE的长为.
（2）因为四面体OABC为正四面体,所以点O在平面ABC的射影为的中心,
的外接圆半径为,所以点O到平面ABC的距离为.
18．答案：（1）
（2）0
（3）
解析：（1）在矩形ABCD中，，
为PC与AB所成的角.
平面，，，
，与AB所成角的余弦值为.
（2）平面，平面，，
与AB所成角的大小为，余弦值为0.
（3）在矩形ABCD中，，
为PA与BC所成的角.
平面，，，
，与BC所成角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：设，则由，且可知，即.
（1）若，则，.
，
，
，.
（2）若，则，.
，
，.
.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在四棱锥中，
取的中点M，连接，
由，，
得四边形是边长为1的正方形，
则，，
又，于是，
由平面，平面，得，
又，平面，因此平面，
又平面，所以，
即是直角三角形.
(2)以A为坐标原点，直线，，分别为x,y,z轴
建立空间直角坐标系，
则，,,
,.
设平面的法向量为，
则，
取，得，
显然是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
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第一章 空间向量与立体几何--2025-2026学年高中数学人教B版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．已知，且，则( )．
A.4 B.6 C.8 D.10
2．若是空间的一个基底,则也可以作为该空间基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
3．已知空间向量，，，若，则( )
A.2 B.-2 C.14 D.-14
4．已知向量,,是一组单位向量,且两两垂直.若,,则的值为( ).
A.7 B. C.28 D.11
5．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6．若,,,则的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
7．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为BD中点，则点到直线EF的距离( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在正方体中,能作为空间的一个基底的一组向量有( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
10．如图,点D、E、F分别为的边、、的中点,且,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知向量，则与共线的单位向量为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．化简：________.
13．已知向量，，若，则___________.
14．已知,,且,则_________
15．已知MN是长方体外接球的一条直径,点P在长方体表面上运动,长方体的棱长分别为1、1、4,则的取值范围为_____________
四、解答题
16．已知平面与平面平行，且这两个平面之间的距离为，则到，的距离相等的所有点组成的集合是什么图形？
17．如图,四面体OABC的所有棱长都是1,D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE.
（1）计算DE的长;
（2）求点O到平面ABC的距离.
18．如图所示，已知四棱锥中，ABCD为矩形，平面，，，，求下列各对异面直线所成角的余弦值：
（1）PC与AB；
（2）PD与AB；
（3）PA与BC.
19．已知AB是平面的一条斜线且B为斜足，设AB的射影是，而l是与平面平行的一条直线.判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：
（1）当时，；
（2）当时，.
20．如图，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)证明：是直角三角形.
(2)若，求平面ABE与平面CDE夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以存在实数t，
使得，又,
所以，
所以，
解得，
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：对于A项,易知,则A项中向量共面,不符合;
对于B项,易知,则B项中向量共面,不符合;
对于D项,易知,则D项中向量共面,不符合;
对于C项,易知,,不共面,即C正确.
故选:C
3．答案：C
解析：因为空间向量，，，
如果，则，
所以，
解得，
所以，
故选：C.
4．答案：C
解析：向量,,是一组单位向量,且两两垂直,
所以且.
因为,,
所以.
故选:C.
5．答案：C
解析：因为空间向量,,
则,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
6．答案：C
解析：因为,,,
所以.
故选:C
7．答案：B
解析：如图所示建立适当空间直角坐标系，
，，
，，
故选：B
8．答案：A
解析：
连接，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
则，
所以点到直线EF的距离为
，
故选：A.
9．答案：AC
解析：由题意得:如下图所示:
对于A项:,,不共面,能作为空间的一个基底,故A项正确;
对于B项:,所以:,,共面,不能作为空间的一个基底,故B项错误;
对于C项:,,不共面,能作为空间的一个基底,故C项正确;
对于D项:,
所以:,,共面,不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选:AC.
10．答案：ABC
解析：在中,,故A正确;
,故B正确;
,故C正确;
,故D不正确.
故选:ABC.
11．答案：AD
解析：，
则与共线的单位向量为或，
其中，.
故选：AD
12．答案：
解析：原式
.
13．答案：
解析：由题意可得，
则，
解得.
故答案为：.
14．答案：或
解析：因,,,
所以,解得:.
故答案为:.
15．答案：
解析：根据题意,以D为坐标原点,为x轴正方向,为y轴正方向,为z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图示.
设长方体外接球球心为O,则DB1为外接球的一条直径,
设O为DB1中点,不妨设M与D重合,N与B1重合.
所以,
所以
,
由P在长方体表面上运动,所以,故
所以,即.
故答案为:
16．答案：距离平面和都是的一个平面
解析：
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1,所以该四面体为正四面体,
,而且,所以,即,所以DE的长为.
（2）因为四面体OABC为正四面体,所以点O在平面ABC的射影为的中心,
的外接圆半径为,所以点O到平面ABC的距离为.
18．答案：（1）
（2）0
（3）
解析：（1）在矩形ABCD中，，
为PC与AB所成的角.
平面，，，
，与AB所成角的余弦值为.
（2）平面，平面，，
与AB所成角的大小为，余弦值为0.
（3）在矩形ABCD中，，
为PA与BC所成的角.
平面，，，
，与BC所成角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：设，则由，且可知，即.
（1）若，则，.
，
，
，.
（2）若，则，.
，
，.
.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在四棱锥中，
取的中点M，连接，
由，，
得四边形是边长为1的正方形，
则，，
又，于是，
由平面，平面，得，
又，平面，因此平面，
又平面，所以，
即是直角三角形.
(2)以A为坐标原点，直线，，分别为x,y,z轴
建立空间直角坐标系，
则，,,
,.
设平面的法向量为，
则，
取，得，
显然是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
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